第32節(jié)向量組線性相關性ppt課件

1、線性表示。線性表示?？捎煽捎蒻a aa aa a，或說或說21mmkkkna aa aa aa a使得使得，存在常數(shù)，存在常數(shù)，維向量組維向量組若對于若對于LLLLLL2121的一個線性組合，的一個線性組合，為為ma aa aa a，則稱則稱21a ammkkka aa aa aa a2211+ + + += =線性表示的定義回顧線性表示的定義回顧線性相關的定義線性相關的定義1定定義義 向向量量組組, ,其其中中有有一一向向量量可可由由其其余余向向量量12:,nLLa a a aa a線線性性表表出出則則稱稱該該向向量量組組線線性性相相關關,1 12 23 3n n按按此此定定義義，判判斷斷一

2、一個個向向量量組組是是否否線線性性相相關關，需需要要逐逐個個判判斷斷能能否否用用其其余余向向量量線線性性表表示示,a a a a a aa aLL 定義1 設有m個n維向量1， 2 ， ， m，如果存在一組不全為零的數(shù) 使mkkk,21則稱向量組則稱向量組1 1 ， 2 2 ， ， mm線性相線性相關；關；否則，稱向量組線性無關否則，稱向量組線性無關11220mmkkka aa aa a+ + + += = 線性相關兩種定義的等價性線性相關兩種定義的等價性 向量組向量組a1a1，a2a2， ，amam線性相關線性相關的充要條件是：的充要條件是： 向量組中至少有一個向量可以由其余向量線性表示。向

3、量組中至少有一個向量可以由其余向量線性表示。必要性：因為必要性：因為a1，a2， ，am線性相關，故存在不全線性相關，故存在不全為零的數(shù)為零的數(shù)l1，l2， ， lm，使，使 l1a1l2a2 lmamo 。不妨設不妨設l10，于是，于是 mm)()()(13132121+ +=， 即即a1為為a2，a3， ，am的線性組合。的線性組合。 充分性：不妨設a1可由其余向量線性表示： a1=l2a2l3a3 lmam，則存在不全為零的數(shù)1，l2，l3， ， lm，使 (1)a1+l2a2l3a3 lmam=o ，即a1，a2， ，am線性相關。 證明：證明：1. 1. 含有零向量的向量組一定線性相

4、關。含有零向量的向量組一定線性相關。 2.由一個向量構成的向量組線性相關當且僅當該向量為零向量。3.3.由兩個向量構成的向量組線性相關當且僅當這兩個向量的分量由兩個向量構成的向量組線性相關當且僅當這兩個向量的分量 對應成比例。對應成比例。4. n 4. n 維基本單位向量維基本單位向量e1e1，e2e2，enen是線性無關的。是線性無關的。5. 5. 幾何意義幾何意義 定義1 設有m個n維向量1， 2 ， ， m，如果存在一組不全為零的數(shù) 使mkkk,21則稱向量組則稱向量組1 1 ， 2 2 ， ， mm線性相線性相關；關；否則，稱向量組線性無關否則，稱向量組線性無關11220mmkkka

5、aa aa a+ + + += = 思考題：給出線性無關的直接定義思考題：給出線性無關的直接定義1122120 mm12mmkkk k = k = .k= 0aaaaaaaaaaaa+=+=如果則必有如果則必有則稱，線性無關則稱，線性無關,nnRA ,nR a a, 0 a a, 0= =a akA01 a akA 證明向量組證明向量組 線性無關線性無關.a aa aa aa a12, kAAAL證證利用條件設法推出利用條件設法推出0110= = = = = kkkkL即可即可.設設0112210= =+ + + + + a aa aa aa akkAkAkAkkL(1)010= = a ak

6、Ak (1)式左乘式左乘1 kA得得0001= = kAka a(1)式成為式成為011221= =+ + + + a aa aa akkAkAkAkL(2)(2)式左乘式左乘001112= = = kAkAkka a同理推出同理推出012= = = = kkkL例例3例例2設向量設向量 可由線性無關的向量組可由線性無關的向量組 na aa aa a,21L線性表示線性表示,證明表法是唯一的證明表法是唯一的.(p99定理定理3.2.2)nnnna a a a a a a a a a a a + + + += =+ + + += =LL221122110)()()(222111= = + + +

7、 + + nnna a a a a a L由由 線性無關線性無關na aa aa a,21Lnn = = = =,2211L 3113a a= = 所以方程組有非零解。所以方程組有非零解。21= =x12 = =x13 = =x得方程組得方程組 123123123030530 xxxxxxxxx+=+= +=+= +=+= 由于由于 1111310153A = = = = 解:設1122330 xxxaaaaaa+=+= 使使1122330 xxxaaaaaa+=+= 所以所以 線性相關。線性相關。 123,aa aaa a 1111a a = = 即存在一組不全為零即存在一組不全為零0的數(shù)的

8、數(shù) 2135a a = = 21= =x12 = =x13 = =x易見易見 向量組向量組a1a1，a2a2， ，amam線性相關的充分必要條件是：線性相關的充分必要條件是： 以以x1x1，x2x2，xmxm為未知量的齊次線性方程組為未知量的齊次線性方程組 x1a1x1a1 x2a2 x2a2 xm am xm am o o有非零解。有非零解。12()ma aa aa aLL即即， ， 12.mxxox = = 有有非非零零解解 而上述方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩小于未知量而上述方程組有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩小于未知量的個數(shù)的個數(shù)m m，即，即12(,)mAma a a aa

9、 a= = LL的的秩秩 由此即得：由此即得：02211= =+ + + +nnkkka aa aa aL存在不全為零的數(shù)存在不全為零的數(shù) 使使nkkk,21L即即 ,021nAAxa aa aa aL= = =有非零解有非零解.nAr )(nAa aa aa a,:21L向量組向量組線性相關線性相關(按定義按定義)(轉化為方程組轉化為方程組) 齊次方程組齊次方程組(用矩陣的秩用矩陣的秩)02211= =+ + + +nnxxxa aa aa aL把向量組排成矩陣，如果矩陣的秩等于向量的個數(shù)就線性把向量組排成矩陣，如果矩陣的秩等于向量的個數(shù)就線性無關，否則如果矩陣的秩小于向量的個數(shù)就線性相關。

10、無關，否則如果矩陣的秩小于向量的個數(shù)就線性相關。證明向量組線性相關性的基本方法證明向量組線性相關性的基本方法（向量方程）（向量方程）思考題：如向量個數(shù)思考題：如向量個數(shù)= =向量維數(shù)，向量組線性相關向量維數(shù)，向量組線性相關及線性無關的條件是什么？及線性無關的條件是什么？答案：線性相關當且僅當其構造的矩陣對應行列式的值為答案：線性相關當且僅當其構造的矩陣對應行列式的值為0 0； 線性無關當且僅當其構造的矩陣對應行列式的值不為線性無關當且僅當其構造的矩陣對應行列式的值不為0 0。1=（3，2，0），），2=（5，4，-13=（3，1，t）解解 由于由于 當當 2t-302t-30，即，即t3/2t

11、3/2時，時，11，22，3 3 線性無關線性無關35311211224124102323010101tttt= 當當 2 t-3 = 0，即，即t=3/2時，時，1，2，3 線性相關線性相關例例2、知、知討論向量組討論向量組a1a1，a2a2，a3a3及向量組及向量組a1a1，a2a2的線性相關性的線性相關性1231021 ,2 ,4 ,157aaaaaa = 解：解：A=A=（a1a1，a2a2，a3a3）= =102124157 102022000r RA）=2n, 由表示不等式由表示不等式mnArBrnlml )()(從而從而 B 必相關必相關.P.107 引理引理1 練習題 一填空題

12、在一向量組， ，n中，如果有 部分向量組線性相關，則向量組必（ ）二、多選題：下列命題中正確的有（二、多選題：下列命題中正確的有（ ） 非零向量組成的向量組一定線性無關非零向量組成的向量組一定線性無關 含零向量的向量組一定線性相關含零向量的向量組一定線性相關 由一個零向量組成的向量組一定線性無關由一個零向量組成的向量組一定線性無關 由零向量組成的向量組一定線性相關由零向量組成的向量組一定線性相關 線性相關的向量組一定含有零向量。線性相關的向量組一定含有零向量。三、分析判斷題三、分析判斷題 ：若：若不能被不能被，r線性表出，線性表出，則向量則向量，r線性無關。（線性無關。（ ）四、證明題：設四、

13、證明題：設可由可由， ，r線性表示，線性表示，但不能由但不能由， ，r線性表示，證明線性表示，證明r可可由由， ，r，線性表示線性表示1 12 23 32 23 34 41 12 23 34 41 12 23 3五五、設設向向量量組組，線線性性相相關關，向向量量組組，線線性性無無關關，問問：（1 1）能能否否由由，線線性性表表出出？證證明明你你的的結結論論（2 2）能能否否由由，線線性性表表出出？證證明明你你的的結結論論a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa a1231110221 ,0035796810a aa aa a = = = = 例例題題判判斷斷向

14、向量量組組的的線線性性相相關關性性123123 1,0,0 1,2,01,2,3,a aa aa aa a a a a a= = = = 解解 因因為為的的線線性性無無關關 故故也也線線性性無無關關1122123121232 2, ,3,aaaaaaaaaaaa =+= +=+= +例題設例題設判斷的線性相關性判斷的線性相關性1122233344141122233344413 , (2) =,=,=,= a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a= =+ += =+ += =+ += =+ + 例例題題判判斷斷( (1 1)

15、)的的線線性性相相關關性性13241324 +-0 +0= = =解 容易觀察解 容易觀察 從從 這這兩兩向向量量組組均均線線性性相相關關12r4t ,t .t,rn, 例例題題設設是是互互不不相相同同的的數(shù)數(shù)證證明明下下列列向向量量組組線線性性無無關關211, , (1,2,)niiiit ttira a = = =LLLL12 A=(,)nr = na aaa aaLL解 當時解 當時 記記1 ij n0jiA(t -t ) = = 故故所所給給向向量量組組線線性性無無關關21121, , (1,2,) ,riiiint ttir a a a aa a = = =LLLLLL線線性性無無關

16、關故故向向量量組組也也線線性性無無關關12r A=(,)r na aaa aaLL解 當時解 當時 記記12s112223111126 ,ssssssa aaa aaaaaaaaaaaaaaaaaa =+=+=+=+=+=+=+=+LLLLLL例題 已知向量組(s2)線性無關例題 已知向量組(s2)線性無關設設討論向量組的線性相關性討論向量組的線性相關性12121210011100 (,)(,)(,)011000001sssKa aaa aaa aaa aa= LLLLLL 解解11( 1)SK+ += =+ + 1212,),ssSK0R(K)= S Rs = =LLLL當當 為為奇奇數(shù)數(shù)時時從從而而 ( (故故線線性性無無關關1212,),ssSK0R(K)S Rs = = LLLL當當 為為偶偶數(shù)數(shù)時時從從而而 ( (故故線線性性相相關關例題例題71231223311223123122331123123123,(A) ,( ) ,2( ) 2,23,3() +,2322,355 BCDa a a a a aa aa a a aa a a aa aa aa a a aa a a aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa