理學(xué)山東建筑大學(xué)高等數(shù)學(xué)下冊(cè)新學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1理學(xué)山東理學(xué)山東(shn dn)建筑大學(xué)高等數(shù)學(xué)建筑大學(xué)高等數(shù)學(xué)下冊(cè)新下冊(cè)新第一頁(yè)，共59頁(yè)。2四、二次曲面四、二次曲面第三節(jié)第三節(jié)一、曲面一、曲面(qmin)(qmin)方程方程的概念的概念二、旋轉(zhuǎn)二、旋轉(zhuǎn)(xunzhun)(xunzhun)曲面曲面 三、柱面三、柱面曲面曲面(qmin)(qmin)及其方程及其方程 第八八章 第1頁(yè)/共59頁(yè)第二頁(yè)，共59頁(yè)。3定義定義(dngy)1. 0),( zyxF如果曲面如果曲面 S 與方程與方程(fngchng) F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系有下述關(guān)系:(1) 曲面曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足(mn

2、z)此方程此方程;則則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的圖形圖形.兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程時(shí)已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀研究它所表示的幾何形狀( 必要時(shí)需作圖必要時(shí)需作圖 ). 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面）（討論柱面）Szyxo第2頁(yè)/

3、共59頁(yè)第三頁(yè)，共59頁(yè)。4R解解 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 2222Rzyx xyz 0000z ,y,xM o(2)(2)RMM 0若球心在原點(diǎn)，若球心在原點(diǎn)，則則,zyx0000 球面球面(qimin)(qimin)的的方程為方程為半徑半徑(bnjng)(bnjng)為為R R的球面的球面方程方程. .就是以就是以 0000z ,y,xM球心球心 , , z ,y,xM (3)(3)例例1 1求到點(diǎn)求到點(diǎn)M0(x0, y0, z0)M0(x0, y0, z0)的距離等于的距離等于(dngy)R(dngy)R的點(diǎn)的的點(diǎn)的軌跡方程軌跡方程. .設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)

4、為設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為M( (x, ,y, ,z) )即即則則第3頁(yè)/共59頁(yè)第四頁(yè)，共59頁(yè)。5解解MBMA 07262 zyx 222321 zyx 222412 zyx例例2 2 求到求到A(1,2,3),B(2,-1,4)A(1,2,3),B(2,-1,4)兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的 軌跡軌跡(guj)(guj)方程方程. .設(shè)軌跡設(shè)軌跡(guj)(guj)上的動(dòng)點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z)M(x,y,z)即即整理整理(zhngl)(zhngl)得得即為所求點(diǎn)的軌跡方程即為所求點(diǎn)的軌跡方程. .線段線段 的垂直平分面的垂直平分面. .ABM ABM 則則第4頁(yè)/共59頁(yè)第五頁(yè)，

5、共59頁(yè)。6例例3 3 研究研究(ynji)(ynji)方程方程042222 yxzyx解解 配方配方(pi (pi fng)fng)得得5, )0, 2, 1(0 M可見可見(kjin)此方程表示一此方程表示一個(gè)球面?zhèn)€球面說(shuō)明說(shuō)明: :如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過(guò)配方研究它的圖形都可通過(guò)配方研究它的圖形. .其圖形可能是其圖形可能是表示表示怎樣怎樣的曲面的曲面. 半徑為半徑為0)(222 GFzEyDxzyxA球心為球心為 一個(gè)一個(gè)球面球面, , 或或點(diǎn)點(diǎn), , 或或虛軌跡虛軌跡. .5)2()1(222 zyx目錄第5頁(yè)/共59頁(yè)第六頁(yè)，共59頁(yè)。7

6、一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)(xunzhun)(xunzhun)一周所一周所形成的形成的曲面曲面(qmin)(qmin)叫做叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(qmin).(qmin).定直線定直線(zhxin)(zhxin)稱為旋轉(zhuǎn)軸稱為旋轉(zhuǎn)軸. .二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面觀察觀察旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)曲面曲面的形的形成過(guò)成過(guò)程程: :旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸母線母線旋轉(zhuǎn)曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲線稱為母線母線. .第6頁(yè)/共59頁(yè)第七頁(yè)，共59頁(yè)。8例如例如(lr) :(lr) :第7頁(yè)/共59頁(yè)第八頁(yè)，共59頁(yè)。9ozyxC以下以下(yxi)(yxi)建立建立yOz yOz 面上曲線面上曲線 C

7、 C 繞繞 z z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程方程: :), 0(111zyM ),(zyxM (4) 0,11 zyf.1zz 0, zyfCyOz：面面的的曲曲線線設(shè)設(shè) ,SzyxM 111, 0zyM22yxd M點(diǎn)到點(diǎn)到z軸的距離軸的距離 0,22 zyxf2211,yxyzz 將將代入代入(4)(4)得得就是就是(jish)(jish)所求旋轉(zhuǎn)曲所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程面的方程. .(5)(5)，點(diǎn)，點(diǎn)M1(0,y1,z1)M1(0,y1,z1)在曲線在曲線(qxin)C,(qxin)C,則則1y 第8頁(yè)/共59頁(yè)第九頁(yè)，共59頁(yè)。100),(: zyfCoyxz0),(22 z

8、xyf當(dāng)曲線當(dāng)曲線(qxin) C (qxin) C 繞繞 y y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？思考思考(sk(sko)o)： 1MM o第9頁(yè)/共59頁(yè)第十頁(yè)，共59頁(yè)。11同理，同理， 0, yxf繞繞y y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面(qmin)(qmin)的方程為的方程為繞繞x x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)(xunzhun)(xunzhun)所成的旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)(xunzhun)(xunzhun)曲面的方程為曲面的方程為0) ,(22 yzxf0) ,(22 zyxf 0, zxf繞繞x x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面(qmin)(qmin)的方程為的方程為繞繞z

9、軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為0) ,(22 zyxf0) ,(22 zyxfxOy面上曲線面上曲線C: :zOx面上曲線面上曲線C: :第10頁(yè)/共59頁(yè)第十一頁(yè)，共59頁(yè)。12解解1 22222 czyax1 22222 czayx這兩種曲面都叫做這兩種曲面都叫做(jiozu)(jiozu)旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面. .旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周, ,求所形成求所形成(xngchng)(xngchng)的旋轉(zhuǎn)曲面的方程的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. .將將zOxzOx平面平面(pngmin)(pngmin)上的雙曲線上的雙曲線 12222 czax例例4 4 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)得軸旋轉(zhuǎn)得繞繞

10、 z 軸旋轉(zhuǎn)得軸旋轉(zhuǎn)得xyz分別繞分別繞x 軸和軸和z 軸軸單葉雙曲面單葉雙曲面雙葉雙曲面雙葉雙曲面第11頁(yè)/共59頁(yè)第十二頁(yè)，共59頁(yè)。13 cotyz cot22yxz )(2222yxaz cot a令令xyz 兩邊兩邊(lingbi(lingbin)n)平方平方L), 0(zyM例例5 5 建立頂點(diǎn)建立頂點(diǎn)(dngdin)(dngdin)在原點(diǎn)在原點(diǎn), ,旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z z 軸軸, ,半頂角為半頂角為的圓錐的圓錐(yunzhu)(yunzhu)面方程面方程. .解解在在yOz面上的直線面上的直線 L的方程為的方程為: :L繞繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí), ,圓錐面的方程為圓錐面的方程為

11、的大小與圓錐面的張口大小有何關(guān)系？的大小與圓錐面的張口大小有何關(guān)系？思考：思考：第12頁(yè)/共59頁(yè)第十三頁(yè)，共59頁(yè)。14例例6 6 試判斷試判斷(pndun)(pndun)方程方程122 zyx表示表示(biosh)(biosh)何種曲面何種曲面? ?并作圖并作圖. . yOz yOz 面上面上(min (min shnshn) )的拋物線的拋物線12 zy繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面. .或或zOx面上的拋物線面上的拋物線12 zx繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面. .xyzo1 1解解?22表示什么圖形表示什么圖形zxy 思考：思考：目錄第13頁(yè)/共59頁(yè)第十四頁(yè)

12、，共59頁(yè)。15xyz三、柱面三、柱面222Ryx 引例引例 分析方程分析方程表示怎樣的曲面表示怎樣的曲面. .解解在在xoyxoy面上面上(min shn(min shn) )，222Ryx 表示表示(biosh)(biosh)圓圓C,C,oClM222Ryx 此曲面此曲面(qmin)(qmin)可以看作是由平行于可以看作是由平行于z z 軸的直線軸的直線 l l沿沿xoy面上的圓面上的圓移動(dòng)而成移動(dòng)而成. .1M 0 , yx zyx,此曲面此曲面 l過(guò)此點(diǎn)作過(guò)此點(diǎn)作平行平行z在圓在圓C上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) ,1M軸的直線軸的直線l , ,準(zhǔn)線準(zhǔn)線母母線線圓柱面圓柱面由于方程少由于方程少z

13、, ,故故第14頁(yè)/共59頁(yè)第十五頁(yè)，共59頁(yè)。16平行平行(pngxng)(pngxng)于定直線并沿定曲線于定直線并沿定曲線C C 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線l l形成形成的軌跡叫做的軌跡叫做定曲線定曲線C C叫做叫做(jiozu)(jiozu)柱柱面的準(zhǔn)線面的準(zhǔn)線, ,柱面柱面, ,動(dòng)直線動(dòng)直線l l叫做叫做(jiozu)(jiozu)柱面的母線柱面的母線. .觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: : 柱面的概念柱面的概念 第15頁(yè)/共59頁(yè)第十六頁(yè)，共59頁(yè)。17xyzo o12222 byaxxyzo拋物柱面拋物柱面橢圓柱面橢圓柱面0 yx過(guò)過(guò) z z 軸的平面軸的平面(pngmin)(

14、pngmin)oxyz2yx 柱面舉例柱面舉例(j l)(j l)母線母線(mxin)平行于平行于 z 軸軸;準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為xOy 面上的面上的拋物線拋物線. z 軸的軸的橢圓柱面橢圓柱面.表示母線平行于表示母線平行于z 軸的軸的平面平面.表示母線平行于表示母線平行于 (且且 z 軸在平面上軸在平面上)第16頁(yè)/共59頁(yè)第十七頁(yè)，共59頁(yè)。18xzy2l一般一般(ybn)(ybn)地地, ,在三維空在三維空間間柱面柱面, ,柱面柱面, ,平行平行(pngxng)(pngxng)于于 x x 軸軸; ;平行平行(pngxng)于于 y 軸軸;平行于平行于 z 軸軸; ;準(zhǔn)線準(zhǔn)線 xOz 面上的曲線

15、面上的曲線 l3.母線母線柱面柱面, ,準(zhǔn)線準(zhǔn)線 xOy 面上的曲線面上的曲線 l1.母線母線準(zhǔn)線準(zhǔn)線 yOz 面上的曲線面上的曲線 l2. 母線母線表示表示方程方程0),( yxF表示表示方程方程0),( zyG表示表示方程方程0),( xzHxyz3lOxyz1lOO目錄第17頁(yè)/共59頁(yè)第十八頁(yè)，共59頁(yè)。19三元三元(sn yun)二次方程二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)適當(dāng)選取直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面下面(xi mian)僅僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特

16、性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形統(tǒng)稱為的圖形統(tǒng)稱為二次曲面二次曲面. 222AxByCzDxyEyzFzx0 JIzHyGx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )第18頁(yè)/共59頁(yè)第十九頁(yè)，共59頁(yè)。20(2)(2)截痕法截痕法用用z = hz = h截曲面截曲面(qmin)(hc)(qmin)(hc)用用y = my = m截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用x = nx = n截曲面截曲面(qmin)(qmin)abcyx zo1.1.橢球面橢球面(1)(1)范圍范圍czbyax ,hz 1)(

17、)(2222222222 hccbyhccax),(1222222為正數(shù)為正數(shù)cbaczbyax 第19頁(yè)/共59頁(yè)第二十頁(yè)，共59頁(yè)。21abcyx zo只需做出與坐標(biāo)只需做出與坐標(biāo)(zubio)面的交線面的交線：橢圓：橢圓,012222 zbyax,012222 xczby 012222yczax當(dāng)當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)時(shí)為旋轉(zhuǎn)(xunzhun)橢球面橢球面;當(dāng)當(dāng)a ab bc c 時(shí)為球面時(shí)為球面(qimin).(qimin).第20頁(yè)/共59頁(yè)第二十一頁(yè)，共59頁(yè)。22zqypx 2222(1) 橢圓橢圓(tuyun)拋物拋物面面( p , q 同號(hào)同號(hào)) )(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面雙

18、曲拋物面（鞍形曲面(qmin)）zqypx 2222( p , q 同號(hào)同號(hào)) )zyxOzyxO特別特別(tbi),(tbi),當(dāng)當(dāng) p = q p = q 時(shí)為繞時(shí)為繞 z z 軸的旋軸的旋轉(zhuǎn)拋物面轉(zhuǎn)拋物面. .第21頁(yè)/共59頁(yè)第二十二頁(yè)，共59頁(yè)。23xzy0截痕法截痕法用用z = az = a截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用y = by = b截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用x = cx = c截曲面截曲面(qmin)(qmin)(1)(1)橢圓拋物面橢圓拋物面zqypx22222 第22頁(yè)/共59頁(yè)第二十三頁(yè)，共59頁(yè)。24hbyax222222axz 0y22by

19、z 0 x畫出畫出2222byaxz的圖形只需做出的圖形只需做出三個(gè)坐標(biāo)面上三個(gè)坐標(biāo)面上的截痕：的截痕：（1） 用用0z截截得點(diǎn)（得點(diǎn)（0，0，0）hz 用用截截hz （2）用）用 截截0y（3）用）用截截0 xxyzO實(shí)際上，實(shí)際上，第23頁(yè)/共59頁(yè)第二十四頁(yè)，共59頁(yè)。25用用z = az = a截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用y = 0y = 0截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用x = bx = b截曲面截曲面(qmin)(qmin)xzy0zqypx 2222截痕法截痕法 （馬鞍面）（馬鞍面）(2)(2)雙曲拋物面雙曲拋物面 第24頁(yè)/共59頁(yè)第二十五頁(yè)，共59頁(yè)。26

20、xzy0第25頁(yè)/共59頁(yè)第二十六頁(yè)，共59頁(yè)。27(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1)1上的截痕為上的截痕為平面平面1zz 橢圓橢圓(tuyun).時(shí)時(shí), 截痕為截痕為22122221byczax ( (實(shí)軸平行實(shí)軸平行(pngxng)(pngxng)于于x x 軸；軸；虛軸平行虛軸平行(pngxng)(pngxng)于于z z 軸）軸）1yy ),(1222222為正數(shù)為正數(shù)cbaczbyax 1yy 平面平面 上的截痕情況上的截痕情況:雙曲線雙曲線: zxyO第26頁(yè)/共59頁(yè)第二十七頁(yè)，共59頁(yè)。28虛軸平行虛軸平行(pngxng)(pngxng)于于x x 軸）軸）by 1)2

21、時(shí)時(shí), 截痕為截痕為0 czax)(bby 或或by 1)3時(shí)時(shí), 截痕為截痕為22122221byczax ( (實(shí)軸平行實(shí)軸平行(pngxng)(pngxng)于于z z 軸軸; ;1yy 相交相交(xingjio)直線直線: 雙曲線雙曲線: 0 zxyOzxyO第27頁(yè)/共59頁(yè)第二十八頁(yè)，共59頁(yè)。29),(1222222為正數(shù)為正數(shù)cbaczbyax 上的截痕為上的截痕為平面平面1yy 雙曲線雙曲線上的截痕為上的截痕為平面平面1xx 上的截痕為上的截痕為平面平面)(11czzz 橢橢圓圓(tuyun)注意注意(zh y)單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲

22、線雙曲線 222222czbyax單葉雙曲面單葉雙曲面11 雙葉雙曲面雙葉雙曲面圖形圖形(txng)Ozxy第28頁(yè)/共59頁(yè)第二十九頁(yè)，共59頁(yè)。30zxy),(22222為正數(shù)為正數(shù)bazbyax 上的截痕為上的截痕為在平面在平面tz 橢圓橢圓(tuyun)在平面在平面(pngmin) x0 或或 y0 上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線 .1)()(2222 tbytaxtz ,可以證明可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)橢圓上任一點(diǎn)(y din)與原點(diǎn)的連線均在與原點(diǎn)的連線均在曲面上曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或或 y 方向的伸縮變換方向的伸縮變換得到

23、得到, 見見 P28 )xyzO第29頁(yè)/共59頁(yè)第三十頁(yè)，共59頁(yè)。31yx zo1222222 czbyax1222222 czbyax0222222 czbyax單葉雙曲面：?jiǎn)稳~雙曲面：雙葉雙曲面：雙葉雙曲面：橢圓錐面：橢圓錐面：雙雙曲曲面面的的漸漸進(jìn)進(jìn)錐錐面面第30頁(yè)/共59頁(yè)第三十一頁(yè)，共59頁(yè)。321. 空間空間(kngjin)曲面曲面三元三元(sn yun)方方程程0),( zyxF 球面球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面曲線曲線 00),(xzyf繞繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22 zyxf 柱面柱面曲面曲面0),( yxF表示母線平行

24、表示母線平行 z 軸的柱面軸的柱面.如橢圓柱面如橢圓柱面, 雙曲柱面雙曲柱面, 拋物柱面等拋物柱面等 .如旋轉(zhuǎn)雙曲面如旋轉(zhuǎn)雙曲面,旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)拋物面等拋物面等 .第31頁(yè)/共59頁(yè)第三十二頁(yè)，共59頁(yè)。33三元三元(sn yun)二次方程二次方程),(同號(hào)同號(hào)qp 橢球面橢球面1222222 czbyax 拋物面拋物面:橢圓橢圓(tuyun)拋拋物面物面雙曲拋物面雙曲拋物面zqypx 2222zqypx 2222 雙曲面雙曲面:單葉雙曲面單葉雙曲面2222byax 22cz 1 雙葉雙曲面雙葉雙曲面2222byax 22cz 1 橢圓錐面橢圓錐面: 22222zbyax 作業(yè)作業(yè)(zuy)：1214結(jié)束目錄第32頁(yè)/共59頁(yè)第三十三頁(yè)，共59頁(yè)。345 x922 yx1 xy斜率斜率(xil)為為1的直線的直線平面平面(pngmin)解析幾何中解析幾何中空間空間(kngjin)解析幾何中解析幾何中方方 程程平行于平行于 y 軸的直線軸的直線 平行于平行于 yoz 面的平面面的平面 圓心在圓心在(0,0)半徑為半徑為 3 的圓的圓以以 z 軸為中心軸的軸為中心軸的圓柱面圓柱面平行于平行于 z