積分重要知識點總結(jié)ppt課件

1、習題課一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法二、幾種特殊類型的積分二、幾種特殊類型的積分不定積分的計算方法一、一、 求不定積分的基本方法求不定積分的基本方法1. 直接積分法直接積分法通過簡單變形通過簡單變形, 利用基本積分公式和運算法則利用基本積分公式和運算法則求不定積分的方法求不定積分的方法 .2. 換元積分法換元積分法xxfd)( 第一類換元法第一類換元法tttfd)()( 第二類換元法第二類換元法(注意常見的換元積分類型注意常見的換元積分類型) (代換代換: )(tx3. 分部積分法分部積分法vuxvud使用原則使用原則:1) 由由v易求出易求出 v ;2) xvud比比xv

2、ud好求好求 .一般經(jīng)驗一般經(jīng)驗: 按按“反反, 對對, 冪冪, 指指 , 三三” 的順的順序序,排前者取為排前者取為 u , 排后者取為排后者取為.v計算格式計算格式: 列表計算列表計算xvu dxvund) 1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvu xvund) 1( )2() 1()(nnnvuvuvuxvunnd) 1() 1(1多次分部積分的多次分部積分的 規(guī)規(guī) 律律)2()1()( nnnvuvuvuxvund)2( 快速計算表格快速計算表格:)(ku)1(knvuuu )(nu)1( nv)(nv)1( nvvn) 1()1( nuv1) 1(n特別特別: 當當 u 為

3、為 n 次多項式時次多項式時,0)1(nu計算大為簡便計算大為簡便 . xxaxaexPxknd dcoscossinsin) )( ( 此法特別適用于如下類型的積分此法特別適用于如下類型的積分: 例例1. 求求xbxaeIxkd)cos(提示提示:)cos(bxa )sin(bxaa)cos(2bxaaxkek21xkexkek1CbaxabaxkkaeIxk ) ) s si in n( () )c co os s( ( 22uexexuudd,例例2. 求求.d)(ln43xxx解解: 令令那么那么原式原式,lnxu ue34uueudueuud444uue434u212uu24240u

4、e441ue4412ue4413ue4414ue4415原式原式 =ue4414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln412344例例3. 求求.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32例例4. 求求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1 (212221dxx325)1ln(2xxC23分析分析: 5)1ln(d2xx例例5. 求求.dcos1sinxxxx解解 :

5、原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部積分例例6. 求求.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1 (222xxeearctanxCex)1 (ln221例例7. 求求.d)2(23xexxx解解: 取取,23xxuxev2)4(23 xx132xx660)(ku)4(kvxe2xe221xe241xe281xe2161xe2 原式)2(321 xx) 13(241xx681Cxxxex)7264(232816161C例例8. 求求.d1xx解

6、解: 設(shè)設(shè)1)(xxF1x,1x1x,1x那么那么)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx因因)(xF連續(xù)連續(xù) , , ) 1 ()1 ()1 (FFF得得21211121CC221121CC記作記作C得得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,) 1(221Cx,) 1(221Cx利用利用 例例9.設(shè)設(shè) 解解:)(xF為為)(xf的原函數(shù)的原函數(shù),時時當當0 x,2sin)()(2xxFxf有有且且,1)0(F,0)(xF求求. )(xf由題設(shè)由題設(shè), )()(xfxF那那么么,2sin)()(2xxFxF故故xxFxFd)()(xxd2sin2xxd24cos

7、1即即CxxxF4sin)(412,1)0(F, 1)0(2FC0)(xF, 因而因而14sin)(41xxxF故故)()(xFxf14sin2sin412xxx又又二、幾種特殊類型的積分二、幾種特殊類型的積分1. 一般積分方法一般積分方法有理函數(shù)有理函數(shù)分解分解多項式及多項式及部分分式之和部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換指數(shù)代換三角函數(shù)有理式三角函數(shù)有理式萬能代換萬能代換簡單無理函數(shù)簡單無理函數(shù)三角代換三角代換根式代換根式代換2. 需要注意的問題需要注意的問題(1) 一般方法不一定是最簡便的方法一般方法不一定是最簡便的方法 ,(2) 初等函數(shù)的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)初等函數(shù)的

8、原函數(shù)不一定是初等函數(shù) ,要注意綜合要注意綜合使用各種基本積分法使用各種基本積分法, 簡便計算簡便計算 . 因此不一因此不一定都能積出定都能積出.例如例如 , ,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx, ) 10(dsin122kxxk例例10. 求求.1d632xxxeeex解解: 令令,6xet 那么,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1 (d623tttt) 1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t) 1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3) 1ln() 1ln(323例例11.

9、 求求.dsincossincos3xxxxx解解: 令令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比較同類項系數(shù)3 BA1BA, 故2, 1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln2說明說明: 此技巧適用于形為此技巧適用于形為xxdxcxbxadsincossincos的積分.) )s si in n( (c co os s) )s si in n( (c co os sxxBxxA xbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA例例12.解：解：xxbxaxIdsincossin1求因為.dsincoscos2xxb

10、xaxI及12IbIaxxbxaxbxadsincossincos1Cx12IaIbxxbxaxaxbdsincossincos)sincosd(xbxa2sincoslnCxbxaCxbxaabxbaI)sincosln(1221CxbxabaxbaI)sincosln(1222例例13.求不定積分求不定積分.dsin)cos2(1xxx解解: )cos(xu 令令原式原式 uuud) 1)(2(12) 1)(2(12uuuA21uB1uC31A61B21C2ln31u1ln61uCu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xCx) 1ln(cos21xxxxdsin)cos2(

11、sin2例例14.)()sin()sin(dkbabxaxxI求xbxaxd)sin()sin()()sin(bxax)sin(1ba xbxaxbad)sin()sin()sin(1)sin(ax )cos(bx)cos(ax )sin(bx)sin(1ba xbxbxd)sin()cos(xaxaxd)sin()cos(Caxbxba)sin(ln)sin(ln)sin(1Caxbxba)sin()sin(ln)sin(1解解:I =例例15 15 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx. .sinsincotcotCxx 1例例1616解解. . dxxxx1122求求, ,tx1 令令dttttt) )( () )( (222111111 原式原式dttt 211 22212111ttddtt) )( (Ctt 21a