2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）（帶解析）

1、2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1（5分）設(shè)集合Mx|0x4，Nx|x5，則MN（）Ax|0xBx|x4Cx|4x5Dx|0x52（5分）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%B該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%C估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元D估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)

2、，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間3（5分）已知（1i）2z3+2i，則z（）A1iB1+iC+iDi4（5分）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿(mǎn)足L5+lgV已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（1.259）A1.5B1.2C0.8D0.65（5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且F1PF260°，|PF1|3|PF2|，則C的離心率為（）ABCD6（5分）在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G

3、該正方體截去三棱錐AEFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）ABCD7（5分）等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn設(shè)甲：q0，乙：Sn是遞增數(shù)列，則（）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8（5分）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'滿(mǎn)足A'C'B&#

4、39;45°，A'B'C'60°由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，BB'與CC'的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'CC'約為（）（1.732）A346B373C446D4739（5分）若（0，），tan2，則tan（）ABCD10（5分）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）ABCD11（5分）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且ACBC，ACBC1，則三棱錐OABC的體積為（）ABCD12（

5、5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x1，2時(shí)，f（x）ax2+b若f（0）+f（3）6，則f（）（）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）曲線(xiàn)y在點(diǎn)（1，3）處的切線(xiàn)方程為 14（5分）已知向量（3，1），（1，0），+k若，則k 15（5分）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：+1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|PQ|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為 16（5分）已知函數(shù)f（x）2cos（x+）的部分圖像如圖所示，則滿(mǎn)足條件（f（x）f（）（f（x）f（）0的最小正整數(shù)x為 三、解答題：共70分。解答

6、應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：K2P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82

7、818（12分）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為an的前n項(xiàng)和，從下面中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立數(shù)列an是等差數(shù)列；數(shù)列是等差數(shù)列；a23a1注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分19（12分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，ABBC2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BFA1B1（1）證明：BFDE；（2）當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最?。?0（12分）拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線(xiàn)l：x1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ已知點(diǎn)M（2，0），且M與l相切（1）求C，M的方程

8、；（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)A1A2，A1A3均與M相切判斷直線(xiàn)A2A3與M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由21（12分）已知a0且a1，函數(shù)f（x） （x0）（1）當(dāng)a2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線(xiàn)yf（x）與直線(xiàn)y1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）22（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為2cos（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（1，0），M為C上的

9、動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足，寫(xiě)出P的軌跡C1的參數(shù)方程，并判斷C與C1是否有公共點(diǎn)選修4-5：不等式選講（10分）23已知函數(shù)f（x）|x2|，g（x）|2x+3|2x1|（1）畫(huà)出yf（x）和yg（x）的圖像；（2）若f（x+a）g（x），求a的取值范圍2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1（5分）設(shè)集合Mx|0x4，Nx|x5，則MN（）Ax|0xBx|x4Cx|4x5Dx|0x5【分析】直接利用交集運(yùn)算求解【解答】解：集合Mx|0x4，Nx|x5，則MNx|x4，故選：B

10、2（5分）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%B該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%C估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元D估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間【分析】利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過(guò)求解頻率即可判斷選項(xiàng)A，B，D，利用平均值的計(jì)算方法，即可判斷選項(xiàng)C【解答】解：對(duì)于A(yíng)，該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率為（0.02+0.04

11、）×10.066%，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率為（0.04+0.02×3）×10.110%，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值為3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.027.686.5萬(wàn)元，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的頻率為（0.

12、1+0.14+0.2+0.2）×10.640.5，故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間，故選項(xiàng)D正確故選：C3（5分）已知（1i）2z3+2i，則z（）A1iB1+iC+iDi【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則以及除法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可【解答】解：因?yàn)椋?i）2z3+2i，所以故選：B4（5分）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿(mǎn)足L5+lgV已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（1.259）A1.5B1.2C

13、0.8D0.6【分析】把L4.9代入L5+lgV中，直接求解即可【解答】解：在L5+lgV中，L4.9，所以4.95+lgV，即lgV0.1，解得V100.10.8，所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8故選：C5（5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且F1PF260°，|PF1|3|PF2|，則C的離心率為（）ABCD【分析】設(shè)出|PF1|3m，|PF2|m，由雙曲線(xiàn)的定義可得ma，再通過(guò)F1PF260°，由余弦定理列出方程，即可求解雙曲線(xiàn)的離心率【解答】解：F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，|PF1|3|PF2|，設(shè)|PF1|3m，|P

14、F2|m，由雙曲線(xiàn)的定義可得|PF1|PF2|2m2a，即ma，所以|PF1|3a，|PF2|a，因?yàn)镕1PF260°，|F1F2|2c，所以4c29a2+a22×3a×a×cos60°，整理得4c27a2，所以e故選：A6（5分）在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G該正方體截去三棱錐AEFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）ABCD【分析】作出正方體，截去三棱錐AEFG，根據(jù)正視圖，擺放好正方體，即可求解側(cè)視圖【解答】解：由題意，作出正方體，截去三棱錐AEFG，根據(jù)正視圖，可得AEFG在正方體左側(cè)

15、面，如圖，根據(jù)三視圖的投影，可得相應(yīng)的側(cè)視圖是D圖形，故選：D7（5分）等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn設(shè)甲：q0，乙：Sn是遞增數(shù)列，則（）A甲是乙的充分條件但不是必要條件B甲是乙的必要條件但不是充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和充分條件和必要條件的定義即可求出【解答】解：若a11，q1，則Snna1n，則Sn是遞減數(shù)列，不滿(mǎn)足充分性；Sn（1qn），則Sn+1（1qn+1），Sn+1Sn（qnqn+1）a1qn，若Sn是遞增數(shù)列，Sn+1Sna1qn0，則a10，q0，滿(mǎn)足必要性，故甲是乙的必要條件但不是充分條件，故選：

16、B8（5分）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'滿(mǎn)足A'C'B'45°，A'B'C'60°由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，BB'與CC'的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'CC'約為（）（

17、1.732）A346B373C446D473【分析】本題要注意各個(gè)三角形不共面，在每個(gè)三角形中利用正弦定理求邊長(zhǎng)，進(jìn)而找到高度差【解答】解：過(guò)C作CHBB于H，過(guò)B作BMAA于M，則BCH15°，BH100，ABM45°，CHCB，ABBMAM，BBMA，CAB75°tanBCHtan15°tan（45°30°），sin75°sin（45°+30°）則在RtBCH中，CH100（2+），CB100（2+）在A(yíng)BC中，由正弦定理知，AB100（+1），AM100（+1），AACCAM+BH100（+1）+1

18、00373，故選：B9（5分）若（0，），tan2，則tan（）ABCD【分析】把等式左邊化切為弦，再展開(kāi)倍角公式，求解sin，進(jìn)一步求得cos，再由商的關(guān)系可得tan的值【解答】解：由tan2，得，即，（0，），cos0，則2sin（2sin）12sin2，解得sin，則cos，tan故選：A10（5分）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）ABCD【分析】分別計(jì)算出4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行的種數(shù)以及2個(gè)0不相鄰的種數(shù)，然后由古典概型的概率公式求解即可【解答】解：總的排放方法有種，利用插空法，4個(gè)1有5個(gè)位置可以放0，故排放方法有種，所以所求概率為故選：C11（5分）已知

19、A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且ACBC，ACBC1，則三棱錐OABC的體積為（）ABCD【分析】先確定ABC所在的截面圓的圓心O1為斜邊AB的中點(diǎn)，然后在RtABC和RtAOO1中，利用勾股定理求出OO1，再利用錐體的體積公式求解即可【解答】解：因?yàn)锳CBC，ACBC1，所以底面ABC為等腰直角三角形，所以ABC所在的截面圓的圓心O1為斜邊AB的中點(diǎn)，所以O(shè)O1平面ABC，在RtABC中，AB，則，在RtAOO1中，故三棱錐OABC的體積為故選：A12（5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x1，2時(shí)，f（x）ax2+b若f（0）+f（

20、3）6，則f（）（）ABCD【分析】由f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，可求得f（x）的周期為4，由f（x+1）為奇函數(shù)，可得f（1）0，結(jié)合f（0）+f（3）6，可求得a，b的值，從而得到x1，2時(shí)，f（x）的解析式，再利用周期性可得f（）f（）f（），進(jìn)一步求出的值【解答】解：f（x+1）為奇函數(shù)，f（1）0，且f（x+1）f（x+1），f（x+2）偶函數(shù)，f（x+2）f（x+2），f（x+1）+1f（x+1）+1f（x），即f（x+2）f（x），f（x+2）f（x+2）f（x）令tx，則f（t+2）f（t），f（t+4）f（t+2）f（t），f（x+4）f（x）當(dāng)x1，2時(shí)，f

21、（x）ax2+bf（0）f（1+1）f（2）4ab，f（3）f（1+2）f（1+2）f（1）a+b，又f（0）+f（3）6，3a6，解得a2，f（1）a+b0，ba2，當(dāng)x1，2時(shí)，f（x）2x2+2，f（）f（）f（）（2×+2）故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）曲線(xiàn)y在點(diǎn)（1，3）處的切線(xiàn)方程為5xy+20【分析】先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線(xiàn)的斜率，再由點(diǎn)斜式即可求得切線(xiàn)方程【解答】解：因?yàn)閥，（1，3）在曲線(xiàn)上，所以y，所以y|x15，則曲線(xiàn)y在點(diǎn)（1，3）處的切線(xiàn)方程為：y（3）5x（1），即5xy+20故答案為：5xy+2014（5

22、分）已知向量（3，1），（1，0），+k若，則k【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于k的方程，求解即可【解答】解：因?yàn)橄蛄浚?，1），（1，0），+k，由，則32+12+k（3×1+1×0）10+3k0，解得k故答案為：15（5分）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：+1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|PQ|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為 8【分析】判斷四邊形PF1QF2為矩形，利用橢圓的定義及勾股定理求解即可【解答】解：因?yàn)镻，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|PQ|F1F2|，所以四邊形PF1QF2為矩形，設(shè)|PF1|m，

23、|PF2|n，由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|m+n2a8，所以m2+2mn+n264，因?yàn)閨PF1|2+|PF2|2|F1F2|24c24（a2b2）48，即m2+n248，所以mn8，所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1|PF2|mn8故答案為：816（5分）已知函數(shù)f（x）2cos（x+）的部分圖像如圖所示，則滿(mǎn)足條件（f（x）f（）（f（x）f（）0的最小正整數(shù)x為 2【分析】觀(guān)察圖像，即周期為，將需要求解的式子進(jìn)行周期變換，變換到附近，觀(guān)察圖像可知x，即最小正整數(shù)為2【解答】解：由圖像可得，即周期為，T，觀(guān)察圖像可知當(dāng)，2（），且，x2時(shí)最小，且滿(mǎn)足題意，故答案為：2三、解答

24、題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：K2P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416

25、.63510.828【分析】（1）根據(jù)表格中統(tǒng)計(jì)可知甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)總數(shù)和頻數(shù)，再求出頻率值即可；（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表，求出K2，再將K2的值與6.635比較，即可得出結(jié)論；【解答】解：（1）由題意可得，甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)總數(shù)均為200件，因?yàn)榧椎囊患?jí)品的頻數(shù)為150，所以甲的一級(jí)品的頻率為；因?yàn)橐业囊患?jí)品的頻數(shù)為120，所以乙的一級(jí)品的頻率為；（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表，可得K210.2566.635所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異18（12分）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為an的前n項(xiàng)和，從下面中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立數(shù)列

26、an是等差數(shù)列；數(shù)列是等差數(shù)列；a23a1注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分【分析】首先確定條件和結(jié)論，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式證明結(jié)論即可【解答】解：選擇為條件，結(jié)論證明過(guò)程如下：由題意可得：a2a1+d3a1，d2a1，數(shù)列的前n項(xiàng)和：，故（n2），據(jù)此可得數(shù)列 是等差數(shù)列選擇為條件，結(jié)論：設(shè)數(shù)列an的公差為d，則：，數(shù)列 為等差數(shù)列，則：，即：，整理可得：d2a1，a2a1+d3a1選擇為條件，結(jié)論：由題意可得：S2a1+a24a1，則數(shù)列 的公差為，通項(xiàng)公式為：，據(jù)此可得，當(dāng)n2時(shí)，當(dāng)n1時(shí)上式也成立，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an（2n1）a1，由an+1an

27、2（n+1）1a1（2n1）a12a1，可知數(shù)列an是等差數(shù)列19（12分）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，ABBC2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BFA1B1（1）證明：BFDE；（2）當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最??？【分析】（1）連接AF，易知CF1，BF，由BFA1B1，BFAB，再利用勾股定理求得AF和AC的長(zhǎng)，從而證明BABC，然后以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證得0，即可；（2）易知平面BB1C1C的一個(gè)法向量為（1，0，0），求得平面DEF的法向量，再由空間向量的數(shù)量積可得cos，從而知當(dāng)m

28、時(shí)，得解【解答】（1）證明：連接AF，E，F(xiàn)分別為直三棱柱ABCA1B1C1的棱AC和CC1的中點(diǎn)，且ABBC2，CF1，BF，BFA1B1，ABA1B1，BFABAF3，AC，AC2AB2+BC2，即BABC，故以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F(xiàn)（0，2，1），設(shè)B1Dm，則D（m，0，2），（0，2，1），（1m，1，2），0，即BFDE（2）解：AB平面BB1C1C，平面BB1C1C的一個(gè)法向量為（1，0，0），由（1）知，（1m，1，2），（1，1，1），設(shè)平

29、面DEF的法向量為（x，y，z），則，即，令x3，則ym+1，z2m，（3，m+1，2m），cos，當(dāng)m時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的余弦值最大，此時(shí)正弦值最小，故當(dāng)B1D時(shí)，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小20（12分）拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線(xiàn)l：x1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ已知點(diǎn)M（2，0），且M與l相切（1）求C，M的方程；（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)A1A2，A1A3均與M相切判斷直線(xiàn)A2A3與M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由【分析】（1）由題意結(jié)合直線(xiàn)垂直得到關(guān)于p的方程，解方程即可確定拋物線(xiàn)方程，然后利用直線(xiàn)與圓的關(guān)系確

30、定圓的圓心和半徑即可求得圓的方程；（2）分類(lèi)討論三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，當(dāng)有兩個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)相等時(shí)明顯相切，否則，求得直線(xiàn)方程，利用直線(xiàn)與圓相切的充分必要條件和題目中的對(duì)稱(chēng)性可證得直線(xiàn)與圓相切【解答】解：（1）因?yàn)閤1與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故可設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為：y22px（p0），令x1，則，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)P在x軸上方，Q在X軸下方，故，因?yàn)镺POQ，故，拋物線(xiàn)C的方程為：y2x，因?yàn)镸與l相切，故其半徑為1，故M：（x2）2+y21另解：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，由題意可得POxQOx45°，因此點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)為（1，±1），由題意可設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為：y2

31、2px（p0），可得p，因此拋物線(xiàn)C的方程為y2x而圓M的半徑為圓心M到直線(xiàn)l的距離為1，可得M的方程為（x2）2+y21（2）很明顯，對(duì)于A(yíng)1A2或者A1A3斜率不存在的情況以及A2A3斜率為0的情況滿(mǎn)足題意否則：設(shè)A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）當(dāng)A1，A2，A3其中某一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)（假設(shè)A1為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)），設(shè)直線(xiàn)A1A2方程為kxy0，根據(jù)點(diǎn)M（2，0）到直線(xiàn)距離為1可得1，解得k，聯(lián)立直線(xiàn)A1A2與拋物線(xiàn)方程可得x3，此時(shí)直線(xiàn)A2A3與M的位置關(guān)系為相切，當(dāng)A1，A2，A3都不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，即x1x2x3，直線(xiàn)A1A2的方程為x（y1+y2）y+y1y20，

32、此時(shí)有，即，同理，由對(duì)稱(chēng)性可得，所以y2，y3是方程 的兩根，則，依題意有，直線(xiàn)A2A3的方程為x（y2+y3）y+y2y30，令M到直線(xiàn)A2A3的距離為d，則有，此時(shí)直線(xiàn)A2A3與M的位置關(guān)系也為相切，綜上，直線(xiàn)A2A3與M相切（2）另解：設(shè)Ai（，yi），i1，2，3，由直線(xiàn)的兩點(diǎn)式可知，直線(xiàn)A1A2的方程為（）（yy2）（y1y2）（x），化簡(jiǎn)可得x（y1+y2）y+y1y20，因?yàn)橹本€(xiàn)A1A2與圓M相切，所以（2+y1y2）21+（y1+y2）2，整理得，同理有，所以y2，y3是關(guān)于y的方程 的兩個(gè)根，則，依題意有，直線(xiàn)A2A3的方程為x（y2+y3）y+y2y30，令M到直線(xiàn)A2A3

33、的距離為d，則有，此時(shí)直線(xiàn)A2A3與M的位置關(guān)系也為相切，綜上，直線(xiàn)A2A3與M相切21（12分）已知a0且a1，函數(shù)f（x） （x0）（1）當(dāng)a2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線(xiàn)yf（x）與直線(xiàn)y1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍【分析】（1）求出a2時(shí)f（x）的解析式，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；（2）將已知轉(zhuǎn)化為f（x）1在（0，+）有兩個(gè)不等實(shí)根，變形可得，令g（x），利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的單調(diào)性及g（x）的大致圖象，即可求解a的取值范圍【解答】解：（1）a2時(shí)，f（x），f（x），當(dāng)x（0，）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（，+）時(shí)，f（x）0，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+）（2）由題知f（x）1在（0，+）有兩個(gè)不等實(shí)根，f（x）1xaaxalnxxlna，令g（x），g（x），g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+）上單調(diào)遞減，又當(dāng)x1時(shí)，g（x）0，g（1）0，g（e），當(dāng)