第二十章曲線積分-ppt課件

1、實(shí)例實(shí)例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取極限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘積作乘積點(diǎn)點(diǎn)個(gè)小段上任意取定的一個(gè)小段上任意取定的一為第為第又又個(gè)小段的長度為個(gè)小段的長度為設(shè)第設(shè)第個(gè)小段

2、個(gè)小段分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧為為設(shè)設(shè)1.定義定義oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即記作記作線積分線積分第一類曲第一類曲上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)這和的極限存在這和的極限存在時(shí)時(shí)長度的最大值長度的最大值如果當(dāng)各小弧段的如果當(dāng)各小弧段的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),( LdsyxM 2.存在條件：存在條件

3、：.),(,),(存在存在對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng) LdsyxfLyxf3.推行推行曲線積分為曲線積分為上對弧長的上對弧長的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 留意：留意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲線積分記為曲線積分記為上對弧長的上對弧長的在閉曲線在閉曲線函數(shù)函數(shù)4.性質(zhì)性質(zhì) .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsy

4、xfdsyxgyxf).(),(),()2(為為常常數(shù)數(shù)kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL ( ,)g( ,)LLf x y dsx y ds與都存在，(4)5( ,y) s( , )LLf xdf x y ds若存在，則也存在，6( ,y) sLf xd ( )若存在，L的弧長為s,則存在常數(shù)c,使得( ,y) s=csLf xd定理定理且且上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在其中其中參數(shù)方程為參數(shù)方程為的的上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè), , )( ),()( ),(),( ,),( ttt

5、tytxLLyxf dtttttfdsyxfL )()()( ),(),(22)( 證略。證略。 ).(),( :tytxL 這里，這里，. t. )()(22dtttds 曲線積分定積分(1) L：y=y(x), axb假設(shè) y(x)C1(a, b). 有xxyxyxfsyxfbaLd)(1) )(,(d ),(2( a b )xxysd)(1d2 計(jì)算：計(jì)算：(2) L：x=x(y), cyd假設(shè) x(y)C1(c, d). 有yyxyyxfsyxfdcLd)(1),(d ),(2( c d )yyxsd)(1d2例例1. 1. 計(jì)算計(jì)算.dsyL其中 L 為y2=2x自點(diǎn)(0, 0)到點(diǎn)

6、(2, 2)的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31(3) L：x=(t), y=(t), ttttsd)()(d22tttttfsyxfLd)()()(),(d ),(22( )留意留意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的不不彼彼此此獨(dú)獨(dú)立立中中yxyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc . .),(:dycyyyxL . )(12dyyds 特殊

7、情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL . ).(,:bxaxyxxL . )(12dxxds .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba ).(),( :tytxL 1. 曲線曲線. t對弧長曲線積分的計(jì)算公式對弧長曲線積分的計(jì)算公式dtttttfdsyxfL )()()( ),(),(22那那么么2. 曲線曲線.)(:bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL .)(:dycyxL 3. 曲線曲線.)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL 那那么么那那么么推行推行: :)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),()

8、,(222 dtttttttfdszyxf例例1. 1. 計(jì)算計(jì)算.dsyL其中 L 為y2=2x自點(diǎn)(0, 0)到點(diǎn)(2, 2)的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31解解2 2：0y2,2 :2yxLyyysyLd1d 202yyxsddd1d2yy d12) 155(31022yx22yx 例例2. 2. 計(jì)算計(jì)算Lsyxd)(L: 銜接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的閉折線OABO.解：解：L分段光滑分段光滑BOABOAL ds=dx21d)0(d)(

9、10 xxsyxOAOA: y=0, 0 x1O2AByx110d5)22(d)(xxxsyxABAB: y=22x, 0 x1xysd1d2xd552320dd)(yysyxBOBO: x=0, 0y2 ds=dy=2252321d)( Lsyx)535(21O2AByx1例例3. 3. 計(jì)算計(jì)算Lsyxd)(22其中L: x2+y2=a2.L: x=acos t, y=asin t, 0t2Lsyxd)(22ttatatatad)cos()sin()sincos(22222022taad20232 a(4) 空間R3中的曲線：x=(t), y=(t), z=(t), tszyxfd),(

10、xyzOtttttttfd)()()()(),(),(222( )例例4. 4. 計(jì)算計(jì)算.d)(23szyx其中：從點(diǎn)A(3, 2, 1)到點(diǎn)O(0, 0, 0)的直線段.解：直線段解：直線段 AO 方程：方程：123zyx化成參數(shù)方程：x=3t, y=2t, z=t, 0t1.ttttszyxd123)2()3(d)(222210323tt d143110314431例例52,:,(0,0)(1,1).LIydsL yx求其中從到一段解解dxxxI)(12102 . 10:2 xxyLdxxx21041 )155(121 例例6)20(.,sin,cos:,)(222 的的一一段段其其中中

11、求求kzayaxdszyxI解解).43(3222222kaka dkaakaa222222222)cos()sin(sincos 20I 2022222)(dkaka例例7 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解解 由對稱性由對稱性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長球面大圓周長 dsa例例8).(,sin,cos: ,象象限限第第橢橢圓圓其其中中求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossinc

12、ossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab ,cos)(tatx .sin)(tbty xyoab,sin)(tat .cos)(tbt .20 t Lxyds.)(3)(22bababaab sin)( sin)()( 2222220222222btbadbtbabaab 2023222222sin)(32)(2 btbabaabdttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab Lxyds例例9其其中中計(jì)計(jì)算算 . )( Ldsyx解解. 0)

13、( x 的的直直線線；到到點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn) )0 , 2( )0 , 0( : )1(AoL的的直直線線；到到點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn) )3 , 2( )0 , 2( : )2(BALAxyo23B(1) L：. 20 , 0)( xxy Ldsyx)(dxx 20201 )0(dxx 20 . 2 . 0)( x (2) L：. 30 , 2)( yyx Ldsyx)(dyy 30201 )2(dyy 30 )2(.221 例例10.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到從從其其中中求求 xyLydsIL解解dyyy222)2(1 . 0 xy42 xyo12 2. 22 ,4)( :2 yyyxL .2

14、)(yy LydsIdyyy41222 例例11解解直直其中曲線其中曲線計(jì)算計(jì)算 , . 222 22ayxdseLyx 形形邊邊界界。在在第第一一象象限限中中所所圍圍的的圖圖線線 , 0 xyx dseLyx 22xyo2 2 aAB.0 , 0 :ayxoA . 0 xdseoAyx 22dyeay 0120022 dyeay 0. 1 aedsedsedseoByxAByxoAyx 222222 xyo2 2 aAB.0 , 0 :ayxoA . 0 xdseoAyx 22dyeay 0120022 dyeay 0. 1 aedttataetata )sin()cos(2224)sin(

15、)cos(22 .24 ,sin ,cos : ttaytaxABdseAByx 22.cos ,sintaytax dttataetata )sin()cos(2224)sin()cos(22 dtaea 24 .6aea .24 ,sin ,cos : ttaytaxABdseAByx 22.cos ,sintaytax .2 20 , :axxyoB . 1 ydseoByx 22dxeaxx 11222022 xyo2 2 aAB于是，于是，dseLyx 22dsedsedseoByxAByxoAyx 222222 )1(4)1( aaaeeae . 2)42( aea . 1 aed

16、xeax 2220 2 .2 20 , :axxyoB . 1 ydseoByx 22dxeaxx 11222022 ,),()1(的的線線密密度度時(shí)時(shí)表表示示當(dāng)當(dāng)Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長長時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),),( ),()3(處的高時(shí)處的高時(shí)柱面在點(diǎn)柱面在點(diǎn)上的上的表示立于表示立于當(dāng)當(dāng)yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面積積sL),(yxfz ,)1(曲曲線線弧弧的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量.,22 LyLxdsyIdsxI 曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo))2(., LLLLdsdsyydsdsxx ,)(220 LdsyxI 例例9 ).(,sin,cos: ttRytRxL解解: 如圖設(shè)置坐標(biāo)系如圖設(shè)置坐標(biāo)系dttRtRtR2222cos)sin(sin .1(2,）設(shè)設(shè)線線密密度度為為它它的的對對稱稱軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量對對于于的的圓圓弧弧中中心心角角為為計(jì)計(jì)算算半半徑徑為為LR xy LxdsyI2tdtR 23sin).cossin(3 R1 1、對弧長曲線積分的概念、對弧長曲線積分的概念2 2、對