第二十章曲線積分-ppt課件

1、實(shí)例實(shí)例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取極限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值準(zhǔn)確值準(zhǔn)確值二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘積作乘積點(diǎn)點(diǎn)個(gè)小段上任意取定的一個(gè)小段上任意取定的一為第為第又又個(gè)小段的長(zhǎng)度為個(gè)小段的長(zhǎng)度為設(shè)第設(shè)第個(gè)小段

2、個(gè)小段分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧為為設(shè)設(shè)1.定義定義oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即記作記作線積分線積分第一類曲第一類曲上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)這和的極限存在這和的極限存在時(shí)時(shí)長(zhǎng)度的最大值長(zhǎng)度的最大值如果當(dāng)各小弧段的如果當(dāng)各小弧段的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),( LdsyxM 2.存在條件：存在條件

3、：.),(,),(存在存在對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng) LdsyxfLyxf3.推行推行曲線積分為曲線積分為上對(duì)弧長(zhǎng)的上對(duì)弧長(zhǎng)的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 留意：留意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲線積分記為曲線積分記為上對(duì)弧長(zhǎng)的上對(duì)弧長(zhǎng)的在閉曲線在閉曲線函數(shù)函數(shù)4.性質(zhì)性質(zhì) .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsy

4、xfdsyxgyxf).(),(),()2(為為常常數(shù)數(shù)kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL ( ,)g( ,)LLf x y dsx y ds與都存在，(4)5( ,y) s( , )LLf xdf x y ds若存在，則也存在，6( ,y) sLf xd ( )若存在，L的弧長(zhǎng)為s,則存在常數(shù)c,使得( ,y) s=csLf xd定理定理且且上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在其中其中參數(shù)方程為參數(shù)方程為的的上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè), , )( ),()( ),(),( ,),( ttt

5、tytxLLyxf dtttttfdsyxfL )()()( ),(),(22)( 證略。證略。 ).(),( :tytxL 這里，這里，. t. )()(22dtttds 曲線積分定積分(1) L：y=y(x), axb假設(shè) y(x)C1(a, b). 有xxyxyxfsyxfbaLd)(1) )(,(d ),(2( a b )xxysd)(1d2 計(jì)算：計(jì)算：(2) L：x=x(y), cyd假設(shè) x(y)C1(c, d). 有yyxyyxfsyxfdcLd)(1),(d ),(2( c d )yyxsd)(1d2例例1. 1. 計(jì)算計(jì)算.dsyL其中 L 為y2=2x自點(diǎn)(0, 0)到點(diǎn)

6、(2, 2)的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31(3) L：x=(t), y=(t), ttttsd)()(d22tttttfsyxfLd)()()(),(d ),(22( )留意留意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的不不彼彼此此獨(dú)獨(dú)立立中中yxyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc . .),(:dycyyyxL . )(12dyyds 特殊

7、情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL . ).(,:bxaxyxxL . )(12dxxds .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba ).(),( :tytxL 1. 曲線曲線. t對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算公式對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算公式dtttttfdsyxfL )()()( ),(),(22那那么么2. 曲線曲線.)(:bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL .)(:dycyxL 3. 曲線曲線.)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL 那那么么那那么么推行推行: :)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),()

8、,(222 dtttttttfdszyxf例例1. 1. 計(jì)算計(jì)算.dsyL其中 L 為y2=2x自點(diǎn)(0, 0)到點(diǎn)(2, 2)的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31解解2 2：0y2,2 :2yxLyyysyLd1d 202yyxsddd1d2yy d12) 155(31022yx22yx 例例2. 2. 計(jì)算計(jì)算Lsyxd)(L: 銜接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的閉折線OABO.解：解：L分段光滑分段光滑BOABOAL ds=dx21d)0(d)(

9、10 xxsyxOAOA: y=0, 0 x1O2AByx110d5)22(d)(xxxsyxABAB: y=22x, 0 x1xysd1d2xd552320dd)(yysyxBOBO: x=0, 0y2 ds=dy=2252321d)( Lsyx)535(21O2AByx1例例3. 3. 計(jì)算計(jì)算Lsyxd)(22其中L: x2+y2=a2.L: x=acos t, y=asin t, 0t2Lsyxd)(22ttatatatad)cos()sin()sincos(22222022taad20232 a(4) 空間R3中的曲線：x=(t), y=(t), z=(t), tszyxfd),(

10、xyzOtttttttfd)()()()(),(),(222( )例例4. 4. 計(jì)算計(jì)算.d)(23szyx其中：從點(diǎn)A(3, 2, 1)到點(diǎn)O(0, 0, 0)的直線段.解：直線段解：直線段 AO 方程：方程：123zyx化成參數(shù)方程：x=3t, y=2t, z=t, 0t1.ttttszyxd123)2()3(d)(222210323tt d143110314431例例52,:,(0,0)(1,1).LIydsL yx求其中從到一段解解dxxxI)(12102 . 10:2 xxyLdxxx21041 )155(121 例例6)20(.,sin,cos:,)(222 的的一一段段其其中中

11、求求kzayaxdszyxI解解).43(3222222kaka dkaakaa222222222)cos()sin(sincos 20I 2022222)(dkaka例例7 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解解 由對(duì)稱性由對(duì)稱性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長(zhǎng)球面大圓周長(zhǎng) dsa例例8).(,sin,cos: ,象象限限第第橢橢圓圓其其中中求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossinc

12、ossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab ,cos)(tatx .sin)(tbty xyoab,sin)(tat .cos)(tbt .20 t Lxyds.)(3)(22bababaab sin)( sin)()( 2222220222222btbadbtbabaab 2023222222sin)(32)(2 btbabaabdttbtatbta2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin )(sin sin)(22202222tdbtbaab Lxyds例例9其其中中計(jì)計(jì)算算 . )( Ldsyx解解. 0)

13、( x 的的直直線線；到到點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn) )0 , 2( )0 , 0( : )1(AoL的的直直線線；到到點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn) )3 , 2( )0 , 2( : )2(BALAxyo23B(1) L：. 20 , 0)( xxy Ldsyx)(dxx 20201 )0(dxx 20 . 2 . 0)( x (2) L：. 30 , 2)( yyx Ldsyx)(dyy 30201 )2(dyy 30 )2(.221 例例10.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到從從其其中中求求 xyLydsIL解解dyyy222)2(1 . 0 xy42 xyo12 2. 22 ,4)( :2 yyyxL .2

14、)(yy LydsIdyyy41222 例例11解解直直其中曲線其中曲線計(jì)算計(jì)算 , . 222 22ayxdseLyx 形形邊邊界界。在在第第一一象象限限中中所所圍圍的的圖圖線線 , 0 xyx dseLyx 22xyo2 2 aAB.0 , 0 :ayxoA . 0 xdseoAyx 22dyeay 0120022 dyeay 0. 1 aedsedsedseoByxAByxoAyx 222222 xyo2 2 aAB.0 , 0 :ayxoA . 0 xdseoAyx 22dyeay 0120022 dyeay 0. 1 aedttataetata )sin()cos(2224)sin(

15、)cos(22 .24 ,sin ,cos : ttaytaxABdseAByx 22.cos ,sintaytax dttataetata )sin()cos(2224)sin()cos(22 dtaea 24 .6aea .24 ,sin ,cos : ttaytaxABdseAByx 22.cos ,sintaytax .2 20 , :axxyoB . 1 ydseoByx 22dxeaxx 11222022 xyo2 2 aAB于是，于是，dseLyx 22dsedsedseoByxAByxoAyx 222222 )1(4)1( aaaeeae . 2)42( aea . 1 aed

16、xeax 2220 2 .2 20 , :axxyoB . 1 ydseoByx 22dxeaxx 11222022 ,),()1(的的線線密密度度時(shí)時(shí)表表示示當(dāng)當(dāng)Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),),( ),()3(處的高時(shí)處的高時(shí)柱面在點(diǎn)柱面在點(diǎn)上的上的表示立于表示立于當(dāng)當(dāng)yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面積積sL),(yxfz ,)1(曲曲線線弧弧的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量.,22 LyLxdsyIdsxI 曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo))2(., LLLLdsdsyydsdsxx ,)(220 LdsyxI 例例9 ).(,sin,cos: ttRytRxL解解: 如圖設(shè)置坐標(biāo)系如圖設(shè)置坐標(biāo)系dttRtRtR2222cos)sin(sin .1(2,）設(shè)設(shè)線線密密度度為為它它的的對(duì)對(duì)稱稱軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量對(duì)對(duì)于于的的圓圓弧弧中中心心角角為為計(jì)計(jì)算算半半徑徑為為L(zhǎng)R xy LxdsyI2tdtR 23sin).cossin(3 R1 1、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念2 2、對(duì)