北理工賈云德《計(jì)算機(jī)視覺》chapter13三維場景表示

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十三章三維場景表示 三維場景表示是機(jī)器視覺的又一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)為了理解場景并與場景中的物體交互作用，必須將場景的三維數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的表示三維場景表示包含有兩個(gè)基本問題：場景重建和場景分割場景重建(reconstruction)是指使用插值或擬合方法從采樣點(diǎn)(稠密深度測量值或稀疏深度測量值)計(jì)算曲面的連續(xù)函數(shù)，實(shí)際中通常使用許多三角片或小平面片構(gòu)成的網(wǎng)面來近似表示場景深度測量值；場景分割是將表示場景的網(wǎng)面分割成若干部分，每一部分表示一個(gè)物體或一個(gè)特定的區(qū)域，這樣有利于物體識(shí)別、曲面精確估計(jì)等后處理算法的實(shí)現(xiàn)本章從曲面的幾何特征開始，討論場景曲面重建和分割的一些基本方法這些方

2、法可以將雙目立體測距、主動(dòng)三角測距、激光雷達(dá)測距等成像系統(tǒng)的輸出值轉(zhuǎn)換成簡單的曲面表示這些基本方法包括把測量點(diǎn)轉(zhuǎn)變成三角片網(wǎng)面、把距離測量值分割成簡單的曲面片、把測量點(diǎn)擬合成一個(gè)光滑曲面以及用測量點(diǎn)匹配一個(gè)曲面模型等131 三維空間曲線討論三維空間曲線的原因主要有兩個(gè)，一是一些物體或物體特征可以直接用三維空間曲線表示，二是三維空間曲線表示可以推廣到三維空間曲面表示。曲線表示有三種形式：隱式、顯式和參數(shù)式。在機(jī)器視覺領(lǐng)域中，曲線的參數(shù)表示比隱式和顯式表示更為常用。三維曲線的參數(shù)形式為： (131)上式說明曲線上的一點(diǎn)可由參數(shù)表示的三個(gè)函數(shù)來定義，曲線的起點(diǎn)為，終點(diǎn)為。比如，從到的直線段的參數(shù)方程

3、為： （132）空間曲線的最通常的表示形式是三次多項(xiàng)式，下面我們將詳細(xì)討論1311 三次樣條曲線 物體表面上的線條可以是直線、弧線或是任意的曲線曲線上的每一點(diǎn)位置可以表示成參數(shù)形式一般的三維曲線都可以方便地用樣條函數(shù)來表示，這和前面討論的平面曲線表示類似三次樣條函數(shù)是一系列首尾相連的表示復(fù)雜曲線的三次多項(xiàng)式曲線，每一段三次樣條函數(shù)的參數(shù)表示形式為： (133)其中三次多項(xiàng)式允許曲線通過確定的相切點(diǎn)，三次多項(xiàng)式是對(duì)于非平面曲線的最低階的多項(xiàng)式將上式的系數(shù)表示成如下系數(shù)矢量： (134)而且，則三次多項(xiàng)式曲線可以重寫為如下形式： (135) 更復(fù)雜的曲線可以表示為一系列首尾相連的三次多項(xiàng)式： (1

4、36)其中如果定義第個(gè)三次多項(xiàng)式段在單位區(qū)間上，那么整個(gè)區(qū)間則為可以認(rèn)為，這個(gè)三次多項(xiàng)式序列是起點(diǎn)為，終點(diǎn)為的單一參數(shù)曲線這個(gè)三次多項(xiàng)式序列叫做一個(gè)三次樣條函數(shù)，它是機(jī)器視覺和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中表示任意曲線的常用方式1312 三維B樣條曲線三維B樣條曲線很適合表示由點(diǎn)序列構(gòu)成的曲線，因此可以將二維B樣條的定義擴(kuò)展到控制點(diǎn)位于三維空間的三維B樣條。例如對(duì)已知三維點(diǎn)序列，由等式（7.28）給出第階三次多項(xiàng)式，而由等式（7.31）給出三維B樣條曲線也不通過控制點(diǎn)132 三維空間曲面的表示本節(jié)將討論機(jī)器視覺中常用的幾種曲面表示1321多邊形網(wǎng)面平面多邊形，也叫平面片(planar patch)，可以組成復(fù)

5、雜的網(wǎng)面（polygon mesh），以表示各種物體的形狀圖13.1三角形網(wǎng)面和四邊形網(wǎng)面示意圖。本節(jié)將介紹如何用平面片進(jìn)行物體多邊形網(wǎng)面表示圖13.1 物體表面的網(wǎng)面表示，(a) 三角形網(wǎng)面表示，(b)四邊形網(wǎng)面表示 第七章討論了如何用若干個(gè)直線段端點(diǎn)（頂點(diǎn)）坐標(biāo)表來表示一個(gè)多直線段，這一方法也可推廣到平面多邊形，即平面多邊形網(wǎng)面也可以用一系列平面多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)表來表示一個(gè)頂點(diǎn)常常是三個(gè)或三個(gè)以上多邊形的公共頂點(diǎn)，因此，一個(gè)頂點(diǎn)在表中重復(fù)出現(xiàn)多次為了使多邊形網(wǎng)面的每一個(gè)頂點(diǎn)在表中僅出現(xiàn)一次，可以使用一種間接的頂點(diǎn)坐標(biāo)表示方法，即對(duì)這些頂點(diǎn)從1到進(jìn)行編號(hào)，并按這一順序?qū)⒚恳粋€(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)存入表中

6、每一個(gè)多邊形可用其頂點(diǎn)編號(hào)表表示不過這種頂點(diǎn)表不能明顯地表示相鄰表面的邊界，對(duì)于一給定頂點(diǎn)，也不能有效地發(fā)現(xiàn)所有包含此頂點(diǎn)的表面這些問題可以用翼邊緣數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(Winged Edge Data Structure)來解決翼邊緣數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是一種網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它具有三種類型數(shù)據(jù)記錄：頂點(diǎn)、邊和面沿著數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)包含的數(shù)據(jù)指針可以找到所有元素的鄰接關(guān)系，而無須搜索整個(gè)網(wǎng)面，也無須將每一元素的所有鄰接元素都存儲(chǔ)起來在多邊形網(wǎng)面中，每一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的一個(gè)頂點(diǎn)記錄，每一個(gè)面對(duì)應(yīng)一個(gè)面記錄、每一條邊對(duì)應(yīng)一個(gè)邊記錄。這樣，可以直接查詢一條邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)多邊形面，也可以直接查詢一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有多邊形面

7、（或邊），查詢時(shí)間正比于該頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的多邊形面（或邊）的數(shù)量翼邊緣數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以有效地表示三角面網(wǎng)面及其它具有多條邊的多邊形網(wǎng)面，并且不要求各個(gè)多邊形面的邊數(shù)相等由于各頂點(diǎn)坐標(biāo)包含在頂點(diǎn)記錄中，因此，多邊形面（或邊）的位置可以由頂點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出來每一個(gè)面記錄指向該面的某一個(gè)邊記錄，每一個(gè)頂點(diǎn)記錄指向該頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊記錄。因此，邊記錄包含將多邊形面及其頂點(diǎn)連結(jié)成多邊形網(wǎng)面的指針，并且允許對(duì)多邊形網(wǎng)面頂點(diǎn)進(jìn)行快速的掃描具體地說，每一個(gè)邊記錄包含有兩個(gè)端點(diǎn)指針，其兩側(cè)的兩個(gè)多邊形面指針和4個(gè)鄰接翼指針，如圖132所示。其中的面、頂點(diǎn)和邊是用指南針的方向表示的，這樣做只是為了方便，實(shí)際上，多邊形網(wǎng)面上的方向

8、與地球方位沒有任何關(guān)系每一條翼邊允許對(duì)其對(duì)應(yīng)的多邊形頂點(diǎn)進(jìn)行掃描，例如，可沿著東北翼邊按順時(shí)針方向掃描東多邊形面各頂點(diǎn)圖132 多邊形網(wǎng)面翼邊示意圖確定多邊形面是在東面還是西面取決于進(jìn)入翼邊緣數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中多邊形面的順序當(dāng)掃描一個(gè)多邊形面時(shí)，必須首先檢查此面是在邊緣的東面還是西面如果此面在這條邊的東面，則沿著東北翼順時(shí)針掃描或沿著東南翼逆時(shí)針掃描；如果此面在此邊的西面，則沿著西南翼順時(shí)針掃描或沿著西北翼逆時(shí)針掃描順時(shí)針、逆時(shí)針方向是以觀察者為中心的順時(shí)針方向是這樣確定的：左手大拇指指向此平面的法線方向，左手的其它手指方向就是沿此面的順時(shí)針方向；右手大拇指指向此面的法線方向，右手的其它手指方向就是沿

9、此面的逆時(shí)針方向如果多邊形網(wǎng)面表示一個(gè)物體完整表面，則所有面的法線都向外如果此多邊形網(wǎng)面表示一個(gè)曲面，則所有法線都指向此曲面的同一邊如果此曲面是圖形曲面，則法線指向圖形空間坐標(biāo)的正坐標(biāo)軸方向，例如，如果多邊形網(wǎng)面為圖形表面，則此表面法線指向正軸 在多邊形網(wǎng)面上增加一個(gè)多邊形面的方法見算法131，沿某一方向掃描多邊形面各頂點(diǎn)（或邊）的方法見算法132在算法131中，假定頂點(diǎn)是沿著平面順時(shí)針方向排列的適當(dāng)改進(jìn)算法132，可用于搜索一個(gè)給定頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有邊(或面) 算法131 翼邊緣數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上增加一個(gè)多邊形面的算法 輸入是一個(gè)按順時(shí)針方向排列的多邊形面的頂點(diǎn)表，包括頂點(diǎn)個(gè)數(shù)和頂點(diǎn)坐標(biāo)1對(duì)于頂點(diǎn)表中的

10、每一個(gè)頂點(diǎn)，如果沒有出現(xiàn)在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，則可增加該頂點(diǎn)記錄2對(duì)于每一對(duì)相鄰的頂點(diǎn)(包括起點(diǎn)和終點(diǎn))，如果其對(duì)應(yīng)的邊沒有出現(xiàn)在此數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，則可增加該邊記錄3對(duì)于多邊形的每一個(gè)邊記錄，增加翼邊，以便順時(shí)針或逆時(shí)針掃描該多邊形面4產(chǎn)生一個(gè)多邊形面記錄，并增加指針指向其中一個(gè)邊緣算法132沿著多邊形面順時(shí)針跟蹤邊緣輸入是一個(gè)指向面記錄的指針和一個(gè)調(diào)用待訪問邊的進(jìn)程1從面記錄中取出第一條邊，使之成為當(dāng)前邊2處理當(dāng)前邊，即對(duì)被訪問的每一條邊完成所有的操作，如，沿著多邊形面順時(shí)針方向編輯頂點(diǎn)表，沿掃描方向記錄邊緣端點(diǎn)（頂點(diǎn)）3如果正在掃描當(dāng)前邊的西側(cè)面，則下一條邊將是西南翼4如果正在掃描當(dāng)前邊的東側(cè)面，則下

11、一條邊將是東南翼5如果當(dāng)前邊是第一條邊，則掃描結(jié)束6否則，回到第2步1322 曲面片 曲面上的各部分可以用一個(gè)雙多項(xiàng)式表示例如，平面可以表示為： (137)曲面片可以用更高階的多項(xiàng)式來表示 雙線性曲面片（線性是指任何平行于坐標(biāo)軸的截面的截線是一直線）： (138) 雙二次曲面片： (139) 雙三次曲面片： (1310) 雙四次曲面片 (1311) 在機(jī)器視覺中，上述雙多項(xiàng)式經(jīng)常被用來表示曲面片 多項(xiàng)式曲面片非常適合于局部表面的表示，例如一個(gè)點(diǎn)的鄰域，但整個(gè)表面的表示不是很方便，而且不能表示非圖形曲面更復(fù)雜的曲面可以用三次樣條函數(shù)來表示，這將在下一節(jié)討論1323張量積曲面1311節(jié)介紹了如何用

12、參數(shù)形式將一個(gè)復(fù)雜曲線表示成一個(gè)三次多項(xiàng)式，此方法可以推廣到復(fù)雜曲面的參數(shù)表示 一個(gè)三次多項(xiàng)式參數(shù)方程的矩陣形式為： (1312)其中，每一個(gè)系數(shù)都是一個(gè)三元矢量 張量積曲面是由兩條曲線合成的，其參數(shù)形式如下： (1313)其中，是三元行矢量，是三元列矢量，的積是每一個(gè)坐標(biāo)系數(shù)的雙積此系數(shù)曲面可以寫為： (1314)其中， 是矩陣，其元素是參數(shù)曲面的每一個(gè)坐標(biāo)系數(shù)的矢量在這種表示中，我們可以看到張量積曲面確實(shí)是兩曲線的積：一條曲線以為坐標(biāo)，另一條以為坐標(biāo)任何平行于坐標(biāo)軸的平面和張量積三次多項(xiàng)式曲面的交線都是三次多項(xiàng)式曲線換句話說，如果其中一坐標(biāo)是常數(shù)，那么結(jié)果就是一條以其它兩個(gè)坐標(biāo)為參數(shù)的三次

13、多項(xiàng)式曲線1324 超二次曲面超二次曲面（superquadrics）由二次方程添加參數(shù)生成，這樣可以通過調(diào)整參數(shù)很方便地改變物體的形狀。增加的參數(shù)數(shù)目等同于物體的維數(shù)，比如，曲線是一個(gè)參數(shù)，曲面是兩個(gè)參數(shù)。（1）超橢圓在超橢圓相應(yīng)的方程中，允許和項(xiàng)的指數(shù)是變量，這樣可以得到橢圓的笛卡兒表示式。笛卡兒超橢圓方程的表示形式之一是： (12.15)其中參數(shù)是任何實(shí)數(shù)。當(dāng)時(shí)，可以得到一般橢圓表示式。相對(duì)于方程(12.15)，超橢圓參數(shù)參數(shù)方程可以表示成： (12.16)圖13.3表示了運(yùn)用不同的參數(shù)值產(chǎn)生的超橢圓面形狀。圖13.3 不同參數(shù)值對(duì)應(yīng)的超橢圓圖形 （2）超橢圓球超橢圓球面的笛卡兒表達(dá)式是

14、由橢圓球面方程增加二個(gè)指數(shù)參數(shù)而得： (12.17)當(dāng)時(shí)，得到一般的橢球面。對(duì)超橢球面的方程（12.17），我們可以得到相應(yīng)的參數(shù)表示式： （12.18）圖13.4表示了由不同參數(shù)和值生成的超圓球形狀。這些及其它超二次曲面形狀的 可以生成很復(fù)雜的形狀，如家具、閃電和其它金屬構(gòu)成。圖 13.4 不同參數(shù)和值生成的超圓球形狀133曲面插值 本節(jié)將討論如何將上述曲面表示用于實(shí)際采樣值的曲面插值計(jì)算，比如，用均勻分布網(wǎng)面表示雙目立體測距或主動(dòng)三角測距系統(tǒng)獲得的深度圖。但是，如果原始深度圖不是均勻分布的，則無法用均勻分布的網(wǎng)面表示，此時(shí)就需要曲面插值一般來說，在對(duì)原始圖像進(jìn)行處理（如邊界檢測和分割）之前

15、，首先需要將深度圖通過插值運(yùn)算將其表示成一個(gè)均勻變化的網(wǎng)面模式1331三角形面插值假定通過雙目立體視覺系統(tǒng)或主動(dòng)三角測量系統(tǒng)得到一個(gè)曲面在離散點(diǎn)()處的采樣值，下面討論如何在圖像陣列點(diǎn)上通過三角面進(jìn)行深度值插值計(jì)算我們知道，不共線的空間三點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)平面，平面方程為： (1319)所以，已知非共線的空間三點(diǎn)，則可以確定上述方程的三個(gè)系數(shù) 我們知道，在的圖像陣列上，每一點(diǎn)的坐標(biāo)()由下式計(jì)算： 對(duì)于圖像陣列的每一點(diǎn)()，在深度圖中找出在平面上包含該點(diǎn)的三個(gè)非共面的點(diǎn)，根據(jù)(13.19) 求出三角面方程，然后計(jì)算該點(diǎn)的深度值： (1320)1332二元線性插值 二元線性函數(shù)可以表示為： (132

16、1)如果把上式的一個(gè)變量設(shè)定為常數(shù)，則函數(shù)對(duì)于另一個(gè)變量就是線性變化的換句話說，任何一個(gè)平行于坐標(biāo)軸的平面和此二元線性表面片的交線都是一個(gè)直線段對(duì)于四條邊皆平行于坐標(biāo)軸的任何矩形平面，有唯一的用于矩形頂點(diǎn)插值的二元線性多項(xiàng)式假定我們要在一個(gè)矩形網(wǎng)格的四個(gè)頂點(diǎn)中間的一點(diǎn)進(jìn)行插值，并設(shè)點(diǎn)由四條邊都平行于坐標(biāo)軸的矩形包圍此矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)是， ，其函數(shù)值為，見圖135 二元線性插值的系數(shù)是由矩形的4個(gè)頂點(diǎn)確定的，把每一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程1320，則系數(shù)滿足如下方程： (1322)聯(lián)立上述四個(gè)方程，得到系數(shù)求解出： (1323) 當(dāng)矩形網(wǎng)格是一個(gè)行距和列距都是單位值的方格時(shí)，二元線性插值有一個(gè)非常簡單

17、的表示設(shè)要插值的點(diǎn)(x，y)離方格的左上頂點(diǎn)的偏移量為，則雙線性插值公式為： (1324)此公式可用于插入像元之間的圖像點(diǎn)的像素值圖 135 二元線性插值示意圖1333 魯棒插值 在743節(jié)中，我們介紹了用直線擬合含有局外點(diǎn)的邊緣集的最小中值二乘法(least-median-squares, LMS)最小中值二乘法也可用于曲面片擬合具有局外點(diǎn)的深度測量值集合 最小中值二乘法是一種魯棒回歸算法，其潰點(diǎn)值為50，正好對(duì)應(yīng)于待擬合點(diǎn)集的中值的地方局部最小中值二乘估計(jì)器使用最小中值二乘法求出擬合一個(gè)局部區(qū)域來的模型參數(shù)，即通過極小化殘差平方求解模型參數(shù)： (1325)是估計(jì)的參數(shù)矢量，是在測量點(diǎn)處圖形

18、曲面實(shí)際值的估計(jì) 最小中值二乘法可以用于含有局外點(diǎn)的曲面采樣擬合模型的參數(shù)求解例如，雙目立體視覺的錯(cuò)誤匹配，會(huì)造成錯(cuò)誤的深度測量值，即局外點(diǎn)，測距雷達(dá)也可能在曲面不連續(xù)點(diǎn)處產(chǎn)生局外點(diǎn)如果在用曲面片擬合深度測量值時(shí)使用最小中值二乘法，則這種曲面擬合對(duì)局外點(diǎn)不是十分敏感特別需要指出，最小中值二乘法對(duì)曲面片擬合含有局外點(diǎn)的稀疏深度測量值是非常有用的將最小中值二乘法簡明地表示出來不是一件易事，但對(duì)此算法的實(shí)現(xiàn)卻很容易解釋假設(shè)在每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)附近的局部區(qū)域使用曲面片來擬合深度測量值本算法可以很容易地推廣到使用更高階的曲片塊擬合對(duì)于每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，選擇離此點(diǎn)最近的個(gè)深度測量值，從個(gè)測量值中任取數(shù)據(jù)作為一個(gè)待擬

19、合子集，則所有可能的數(shù)據(jù)子集為個(gè)。用曲面片擬合第個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)子集，表示相關(guān)參數(shù)矢量，計(jì)算殘差平方中值： (1326)用曲面片擬合所有的子集后，取最小的殘差平方中值對(duì)應(yīng)的參數(shù)矢量 本方法計(jì)算成本較高，因?yàn)閷?duì)每一局部區(qū)域擬合都要進(jìn)行次然而每一個(gè)曲面擬合是獨(dú)立的，程序可以實(shí)現(xiàn)高度并行計(jì)算在實(shí)際中，可以嘗試幾種可能的組合，使得無局外點(diǎn)子集的概率接近于1，這樣可以大大地減少許多不必要的擬合134 曲面逼近 由于深度測量值存在誤差，因此找一個(gè)曲面來逼近深度數(shù)據(jù)比曲面插值更重要如果深度測量值是一個(gè)連續(xù)曲面上的采樣點(diǎn)，那么完全可以由這些采樣點(diǎn)重建這個(gè)曲面設(shè)重建曲面的模型為： (1327)該模型共包含個(gè)參數(shù)該曲面重

20、建問題實(shí)際上成為確定最適合數(shù)據(jù)的曲面模型參數(shù)的回歸問題，回歸函數(shù)為： (1328) 如果我們沒有曲面的參數(shù)模型，則只能使用一個(gè)普通(或非參數(shù)化曲面模型來擬合此數(shù)據(jù)，即求解這些數(shù)據(jù)的一個(gè)最佳擬合曲面： (1329)這是一個(gè)不適定(ill-posed)問題，因?yàn)樵S多函數(shù)多可以對(duì)該數(shù)據(jù)集實(shí)現(xiàn)最佳擬合（實(shí)際上，這樣的函數(shù)有無窮多個(gè)）不適定這一術(shù)語的意思是問題的求解不唯一，反過來，適定問題(well-posed)會(huì)有唯一的最優(yōu)解為了能使方程1329變?yōu)檫m定，可以增加一個(gè)逼近約束函數(shù)，使得所選擇的曲面擬合函數(shù)有唯一解選擇約束函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)有許多，一種比較常用的標(biāo)準(zhǔn)是選擇既能擬合數(shù)據(jù)又是光滑表面的函數(shù) 已知數(shù)據(jù)

21、點(diǎn)集()，則使下式達(dá)到極小化的是該數(shù)據(jù)點(diǎn)集的最佳擬合， (1330)其中。該方程與1329式不同之處是增加了一項(xiàng)加權(quán)光滑約束項(xiàng)光滑約束項(xiàng)叫做正則項(xiàng)或穩(wěn)定函數(shù)權(quán)重系數(shù)稱為正則化參數(shù)，較小時(shí)，可以使得逼近函數(shù)十分靠近數(shù)據(jù)點(diǎn)集，而較大時(shí)，則強(qiáng)迫逼近函數(shù)更平滑上面方程的第一個(gè)項(xiàng)稱為問題約束，在該約束上通過增加穩(wěn)定函數(shù)將不適定問題變?yōu)檫m定問題的過程叫正則化（regularization） 適定這一的概念遠(yuǎn)比求唯一解嚴(yán)格的多，比如，方程1329的擬合問題可能有唯一解，但是解空間中還有其它許多完全不同的解可能也是好的解，而一個(gè)適定問題只有一個(gè)解空間，該解對(duì)應(yīng)的范數(shù)的最小值不僅是唯一的，而且肯定比其它解更好

22、1341回歸樣條 回歸樣條法是另一種曲面擬合方法。用曲面模型（如張量積樣條函數(shù)）代替方程1329的擬合函數(shù)，該方程就變?yōu)橐粋€(gè)回歸問題，求解這一問題，就得到了該曲面模型的參數(shù)當(dāng)然，如果知道曲面模型，那么就可以直接列出回歸問題的方程，而不必經(jīng)過方程1329。 許多曲面函數(shù)，包括張量積樣條函數(shù)，可以表示為基本函數(shù)的線性組合： (1331)為函數(shù)系數(shù)，為基本函數(shù)使用張量積樣條可以將基本函數(shù)組合成為一個(gè)網(wǎng)格： (1332)將方程13.31或13.32的曲面模型代入方程1328，得到一組求解回歸參數(shù)的線性方程組因?yàn)榉匠探M是稀疏的，因此，用稀疏矩陣方法求解比用奇異值求解要好 下面將從一維情況開始，詳細(xì)介紹回

23、歸樣條計(jì)算方法一維樣條函數(shù)是基本函數(shù)的線性組合： (1333) 假設(shè)樣條基本函數(shù)均勻分布整數(shù)位置，樣條基本函數(shù)在區(qū)間是非零的，基本函數(shù)位于從0到，所以決定樣條基本曲線的形狀的有個(gè)系數(shù)(見圖136)。有一個(gè)樣條曲線是定義在區(qū)間從 x=3 到x=m+1， 在x=0點(diǎn)的基本函數(shù)跨越3個(gè)區(qū)間到此曲線的左端，在x=m+1點(diǎn)的基本函數(shù)跨越3個(gè)區(qū)間到達(dá)此曲線的右端曲線端點(diǎn)以外的額外區(qū)間建立了曲線端點(diǎn)的邊界條件，而且必須要包括進(jìn)來，那樣才能正確地定義第一個(gè)曲線段0，1) 和最后一個(gè)曲線段m，m+1)圖13.6位于整數(shù)位置的基函數(shù)線性組合構(gòu)成一維樣條曲線示意圖 每一個(gè)樣條函數(shù)在4個(gè)整數(shù)區(qū)間上都是非零的，因?yàn)榛?/p>

24、函數(shù)重疊，每一區(qū)間都被4個(gè)基本函數(shù)覆蓋基本函數(shù)的每一段是僅定義它的單位區(qū)間上的三次多項(xiàng)式，如圖137所示，樣條函數(shù)的每一段的三次多項(xiàng)式如下： (1334)如果簡單地把這些三次多項(xiàng)式相加以得到樣條基本函數(shù)是不正確的，因?yàn)槊恳欢味枷拗朴谒膮^(qū)間，這就是，每一段在它適用的區(qū)間之外必須被視為非零的為了在特殊點(diǎn)x估計(jì)特殊樣條基本函數(shù)，有必要確定x位于哪一段和估計(jì)相對(duì)應(yīng)的三次多項(xiàng)式圖13.7 四個(gè)三次多項(xiàng)式構(gòu)成的樣條基函數(shù) 假設(shè)x位于區(qū)間，樣條曲線是每m+1個(gè)樣條基本函數(shù)的線性組合如式1333因?yàn)槊恳粋€(gè)樣條基本函數(shù)占四個(gè)區(qū)間(單位)，上是，左邊順次是，所以為了估計(jì)當(dāng)x在區(qū)間上的樣條曲線，只需估計(jì)此區(qū)間上的

25、四個(gè)樣條基本函數(shù)的線性組合： (1335) 因?yàn)槊恳粋€(gè)樣條基本函數(shù)包含4個(gè)三次多項(xiàng)式，其中每一段都定義在其各自的區(qū)間上，只需估計(jì)在三次樣條曲線被估計(jì)的區(qū)間上的三次多項(xiàng)式段即可在區(qū)間上的x點(diǎn)樣條曲線的值為： (1336) 為了在任何位置估計(jì)樣條曲線，有必要確定x所在的區(qū)間，并代入方程1336，下標(biāo)表示區(qū)間的起點(diǎn)，那么4個(gè)樣條基本函數(shù)的系數(shù)才是正確的 方程1336中的估計(jì)樣條曲線的公式可以用于線性回歸，因?yàn)槟Ｐ驮谙禂?shù)上是線性的方程包含術(shù)語x的冪，這并沒有什么影響此模型可以用于下面的回歸算法，此算法用于從一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)()中確定樣條的系數(shù)每一數(shù)據(jù)點(diǎn)可得到一個(gè)約束4個(gè)樣條系數(shù)的方程： (1337)這些方

26、程組成一個(gè)線性方程組： (1338)其中，a是B樣條系數(shù)的列矢量，方程右側(cè)的列矢量是的矢量，除了在相對(duì)應(yīng)在包含x的區(qū)間上的B樣條基本函數(shù)的系數(shù)的4個(gè)元素外，矩陣的其它元素都為0此線性方程組可用單值求解法來求但因?yàn)榇朔匠探M是稀疏的，最好用稀疏矩陣方法 對(duì)于三維曲面擬合，模型是一張量積樣條曲面： (1339)曲面擬合問題可以通過使下式最小化來求解 (1340)數(shù)據(jù)值之涉及一個(gè)下標(biāo)，因?yàn)榇藬?shù)據(jù)只在此平面的離散點(diǎn)上，每一個(gè)數(shù)據(jù)值位于x-y平面的點(diǎn)() 確定張量積樣條曲面系數(shù)的回歸問題的公式化是和以前介紹的一維情況有點(diǎn)相似每一個(gè)基本函數(shù)占16個(gè)網(wǎng)面矩形因?yàn)榛竞瘮?shù)重疊，所以每一個(gè)網(wǎng)面矩形上有16個(gè)基本函

27、數(shù)每一個(gè)基本函數(shù)包括16個(gè)二元三次多項(xiàng)式塊每一塊定義在一個(gè)網(wǎng)面矩形上，在此網(wǎng)面矩形外是非零的 假設(shè)此網(wǎng)面是均勻的，所以所有網(wǎng)面矩形都是大小相同的方格此樣條基本函數(shù)中的二元三次多項(xiàng)式塊的公式對(duì)每一方格都是相同的每一張量積基本函數(shù)可分寫成一維基本函數(shù)的積： (1341)每一個(gè)一維基本函數(shù)包括4個(gè)三次多項(xiàng)式，定義在小網(wǎng)面矩形上的16個(gè)多項(xiàng)式塊中的每一個(gè)都是兩個(gè)三次多項(xiàng)式的積，其中一個(gè)以x為變量，另一個(gè)以y為變量，以x為變量的4個(gè)三次多項(xiàng)式見式1334，同樣有以y為變量的4個(gè)三次多項(xiàng)式為： (1342) 樣條基本函數(shù)的16個(gè)多項(xiàng)式塊是由前面給的多項(xiàng)式兩兩相乘得到的，在網(wǎng)面的點(diǎn)，估計(jì)樣條前面的公式如下：

28、 (1343)用此公式代替一維三次多項(xiàng)式就得到估計(jì)樣條曲面的公式，16個(gè)系數(shù)的每一項(xiàng)為：這些表示是在點(diǎn)處估計(jì)的，乘以對(duì)應(yīng)的系數(shù)，求和得到在(x，y)處的樣條曲面 估計(jì)樣條曲面的公式也就是用于確定樣條曲面的回歸問題的模型在樣條曲面中有(n+1)(m+1)個(gè)系數(shù)每一數(shù)據(jù)點(diǎn)()得到一個(gè)包括16個(gè)系數(shù)的方程如同在一維情況下，回歸問題可得到一個(gè)線性方程組： (1344)其中a是樣條系數(shù)的矢量，右側(cè)的列矢量b是數(shù)據(jù)值，N 的矢量除了對(duì)應(yīng)在包含()的方格上的基本函數(shù)的16個(gè)元素矩陣M的每一行為0 此方法可通過擬合樣條曲面到均勻像元和采樣樣條曲面來使圖像平滑對(duì)樣條網(wǎng)面來說沒有必要和圖像網(wǎng)面相對(duì)應(yīng)；實(shí)際上，如果

29、樣條網(wǎng)面有更大的空間，也就更光滑樣條基本函數(shù)象高斯光滑濾波器(第四章介紹過)，而且，樣條基本函數(shù)的寬度是由樣條網(wǎng)面的空間決定的當(dāng)使用以前介紹的用于樣條網(wǎng)面回歸問題的公式時(shí)，在圖像上像元值為的位置()被映射到樣條曲面的網(wǎng)面坐標(biāo)系中樣條曲面可按需采樣，在原始圖像的網(wǎng)面點(diǎn)坐標(biāo)處，為了計(jì)算光滑圖像的像元 樣條曲面方程的優(yōu)化表明樣條只是一系列1352節(jié)中介紹的二元三次曲面塊二元三次曲面塊和樣條曲面之間的區(qū)別只是樣條曲面的二元三次塊在塊所在區(qū)域是二階連續(xù)的，而任意二元三次塊根本不需要連續(xù)張量積樣條曲面是光滑的，而且還是二階連續(xù)的，可以用于如身體器官、車體、飛機(jī)機(jī)身的建模在許多實(shí)際應(yīng)用中，張量積樣條曲面必須

30、是參數(shù)形式，如1343節(jié)介紹過的一樣，在回歸問題中反應(yīng)曲面的系數(shù)是三元矢量，每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)，中的一個(gè)坐標(biāo)，空間是平面直角坐標(biāo)系，被分為均勻的網(wǎng)面最困難的是構(gòu)造把點(diǎn)映射到，空間的公式，那樣此測量點(diǎn)就能正確地和組成樣條曲面的二元三次曲面塊聯(lián)系起來1342加權(quán)樣條逼近目前介紹的曲面逼近方法的問題是：甚至在曲面邊界的數(shù)據(jù)不連續(xù)，解還是光滑曲面在1361節(jié)介紹的回歸樣條的光滑的無參數(shù)函數(shù)是隱含的如果擬合曲面可以公式化為一系列分段光滑函數(shù)，深度測量值為： (1345)以分成數(shù)個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)一個(gè)分段光滑函數(shù)，那樣解能更準(zhǔn)確地反應(yīng)此處曲面的形狀然而這會(huì)得到一些用于計(jì)算某些曲面的算法，這些超出了本書的范圍

31、137節(jié)中將討論曲面分割的問題我們可以避開曲面表示中的一些比較難的課題，而且通過改變方程1352的光滑性函數(shù)以降低深度數(shù)據(jù)不連續(xù)處的光滑性，仍然獲得了符合不連續(xù)性的非常好的曲面擬合此方法就是加權(quán)正則化方法 一維的加權(quán)正則化式子為： (1346)如果權(quán)函數(shù)在數(shù)據(jù)不連續(xù)點(diǎn)取值非常小，在其它地方大，那么權(quán)函數(shù)就消去了不連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)標(biāo)準(zhǔn) 在二維情況下，加權(quán)樣條曲面擬合的公式如下： (1347)權(quán)函數(shù)為： (1348)其中是采樣曲面的梯度應(yīng)指出的是來自方程1329的正則化參數(shù)a已溶入權(quán)函數(shù) 可以用變分法把方程1347變?yōu)槠⒎址匠?，或者用回歸樣條方法取代具有線性回歸問題的方程1347假定在張量積基本函數(shù)

32、定義的網(wǎng)面的區(qū)域上的權(quán)是常數(shù)，就可以從梯度擬合中計(jì)算出方程1347中的權(quán)函數(shù)135曲面分割 一幅距離圖像可以看作是如下分段光滑曲面均勻采樣的網(wǎng)格： (1349) 本節(jié)將討論如何將定義在均勻網(wǎng)格上的一組距離采樣值分割成具有相似曲率的區(qū)域，并用低階的雙變量多項(xiàng)式來逼近每一個(gè)區(qū)域表面曲率特性可用來選取核區(qū)域，然后增長核區(qū)域以覆蓋鄰近距離采樣值，核區(qū)域的增長準(zhǔn)則是鄰近距離采樣值與逼近核區(qū)域的雙變量多項(xiàng)式之間的偏差小于某一預(yù)先給定的閾值。 曲面分割問題通常表述如下，將分段光滑的曲面分割成光滑曲面基元 (1350)其中為特征函數(shù)，表示將曲面劃分成表面片的一種分割，表示第個(gè)區(qū)域，它對(duì)應(yīng)一個(gè)曲面基元，每一個(gè)區(qū)

33、域可以用如下多項(xiàng)式逼近： (1251)此模型包括平面、雙線性、雙三次、雙四次多項(xiàng)式曲面片 特征函數(shù)可以通過每一區(qū)域像素位置的列表來實(shí)現(xiàn)，也可以使用其它表示如模板、四叉樹等來實(shí)現(xiàn)1351初始分割 通過計(jì)算曲面的平均曲率H和高斯曲率K，并使用H和K的正負(fù)號(hào)，可以估計(jì)用于分割的初始核區(qū)域，以形成初始區(qū)域分割。對(duì)應(yīng)于平均曲率和高斯曲率正負(fù)號(hào)的曲面有8種類型，表131所示，這些曲面類型可以用于構(gòu)造核區(qū)域+0峰脊鞍脊0平面最小曲面+谷谷鞍谷假設(shè)距離函數(shù)分布在均勻網(wǎng)格上，因此可以按照一般圖象進(jìn)行處理。用可分離濾波器與距離圖象進(jìn)行卷積來估計(jì)距離圖象的一階和二階導(dǎo)數(shù)使用距離圖像的一階和二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算平均曲率和高斯

34、曲率 (1352) （1353)使用下面公式計(jì)算整數(shù)標(biāo)記以實(shí)現(xiàn)平均曲率和高斯曲率正負(fù)號(hào)編碼 (1354)然后使用序貫連通成份算法（見第三章），將具有相同符號(hào)標(biāo)記組成一個(gè)連通區(qū)域，并使用收縮或腐蝕算法把每一個(gè)連通區(qū)域減少到可作為核區(qū)域的最大尺寸區(qū)域，使用濾波器將那些無法對(duì)應(yīng)場景曲面片的太小的區(qū)域?yàn)V掉。最后剩下的區(qū)域構(gòu)成區(qū)域增長的種子1352 曲面片增長 距離圖象中的每一個(gè)核區(qū)域可以用雙變量多項(xiàng)式有效地?cái)M合。擬合多項(xiàng)式一般從一階（平面）開始，然后逐漸增加多項(xiàng)式（曲面）的階數(shù)，直到曲面能夠很好地?cái)M合核區(qū)域?yàn)橹?。如果多?xiàng)式階數(shù)已經(jīng)很高，但仍然無法得到滿意的擬合結(jié)果，則該區(qū)域不能作為核區(qū)域。接下來的工作

35、是核區(qū)域擴(kuò)展，以便覆蓋核區(qū)域更多相似的鄰近點(diǎn)，即把那些沒有標(biāo)記的距離像素通過增長過程添加到相應(yīng)的核區(qū)域中去。決定鄰近點(diǎn)是否添加到核區(qū)域中的相似性準(zhǔn)則是鄰近點(diǎn)與雙變量多項(xiàng)式之間的偏差均方根，也稱為擬合殘差。如果該殘差小于預(yù)定的閾值，則該鄰近點(diǎn)為區(qū)域侯選點(diǎn)。在找到所有的侯選點(diǎn)以后，再使用雙變量多項(xiàng)式對(duì)核區(qū)域和侯選點(diǎn)一起重新進(jìn)行擬合，如果需要的話，可以考慮增加雙變量多項(xiàng)式的階數(shù)，使得所有點(diǎn)都滿足相似性準(zhǔn)則。如果擬合殘差小于預(yù)定的閾值，則所有侯選點(diǎn)與核區(qū)域共同組成一個(gè)大區(qū)域；否則，放棄所有的侯選點(diǎn)。當(dāng)沒有區(qū)域能夠再擴(kuò)大時(shí)，區(qū)域增長過程終止。用于曲面分割的區(qū)域增長算法見算法133 算法133 曲面分割算

36、法1 使用可分離濾波器，計(jì)算距離圖象的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，2 計(jì)算圖象每一個(gè)像素位置的平均曲率和高斯曲率，3 對(duì)每一像素標(biāo)記曲面類型，4 收縮區(qū)域以消除靠近區(qū)域邊界的錯(cuò)誤標(biāo)記，5 使用序貫連通成份算法識(shí)別核區(qū)域，6 去掉太小的核區(qū)域，7 用雙變量多項(xiàng)式擬合每一個(gè)核區(qū)域，8 從某一核區(qū)域開始，將滿足相似性準(zhǔn)則的核區(qū)域鄰近點(diǎn)標(biāo)記為該區(qū)域侯選點(diǎn)，9 重新用雙變量多項(xiàng)式同時(shí)擬合核區(qū)域和區(qū)域侯選點(diǎn)，如果擬合結(jié)果滿足相似性準(zhǔn)則，則核區(qū)域和侯選點(diǎn)共同構(gòu)成新區(qū)域，否則，放棄區(qū)域侯選點(diǎn)，10選擇未進(jìn)行過增長的核區(qū)域，重復(fù)步驟8和9，直到?jīng)]有核區(qū)域能夠再增長。136曲面配準(zhǔn) 通過解絕對(duì)方位問題(122節(jié))，可以確定

37、共軛對(duì)集合中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的變換，也有不需要對(duì)應(yīng)點(diǎn)就能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)表面對(duì)準(zhǔn)，例如，無需事先知道采樣點(diǎn)與物體表面點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，就能將一組距離采樣值與物體模型對(duì)準(zhǔn)。本節(jié)將介紹迭代最近點(diǎn)算法（iterative closest point, ICP），此算法不用點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，卻可以確定一個(gè)物體的兩種視圖之間的剛體轉(zhuǎn)換 迭代最近點(diǎn)算法可以應(yīng)用在許多物體模型上，包括：點(diǎn)集，二維或三維的以及各種不同的曲面表示曲線可以表示為：多直線段線、隱式曲線或參數(shù)曲線曲面可以表示為：多邊形曲面片、隱式或參數(shù)曲面、或張量積樣條一個(gè)物體的兩個(gè)視圖沒有必要具有同樣的表示例如，一個(gè)視圖可以是由主動(dòng)三角測距獲取的一系列空間曲線，而另一個(gè)視圖可能是張量積三次樣條曲面關(guān)鍵的問題是視圖