第六章-扭轉(zhuǎn).

1、1第第 8 章章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)8-1 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)變薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)變8-2 圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形 8-3 強度條件及剛度條件強度條件及剛度條件8-4 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能8-5 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)2 我們在第我們在第6章講扭矩與扭矩圖的時候，涉及到章講扭矩與扭矩圖的時候，涉及到這樣的問題：這樣的問題： 桿件在橫向平面桿件在橫向平面內(nèi)的外力偶的作用下，內(nèi)的外力偶的作用下，要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，產(chǎn)要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角生相對扭轉(zhuǎn)角 bO b (B截面相對于截面相對于A截面），截面），受扭桿之內(nèi)力如右圖。受扭桿之

2、內(nèi)力如右圖。用分離體分析扭矩用分離體分析扭矩T 。3本章主要研究以下內(nèi)容：本章主要研究以下內(nèi)容：(1) 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和應(yīng)變；薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和應(yīng)變； (2) 等直圓截面桿受扭時的應(yīng)力和變形；（等直圓等直圓截面桿受扭時的應(yīng)力和變形；（等直圓桿受扭時其橫截面仍為平面，求解較簡單。）桿受扭時其橫截面仍為平面，求解較簡單。）(3) 簡要介紹非圓截面桿受扭時的一些彈性力學(xué)簡要介紹非圓截面桿受扭時的一些彈性力學(xué)中的分析結(jié)果。（非圓截面桿受扭時，橫截中的分析結(jié)果。（非圓截面桿受扭時，橫截面不再保持平面，要發(fā)生翹曲求解復(fù)雜。）面不再保持平面，要發(fā)生翹曲求解復(fù)雜。）4 受扭桿件橫截面上與扭矩對應(yīng)的應(yīng)

3、力是正應(yīng)力受扭桿件橫截面上與扭矩對應(yīng)的應(yīng)力是正應(yīng)力還是切應(yīng)力？為什么？還是切應(yīng)力？為什么？思考題思考題 8-1 答：切應(yīng)力，因為與正應(yīng)力相應(yīng)的分布內(nèi)力答：切應(yīng)力，因為與正應(yīng)力相應(yīng)的分布內(nèi)力之合力不可能是個作用在橫截面上的力偶。之合力不可能是個作用在橫截面上的力偶。5 受扭后，圓周線與縱向直線之間原來的直角受扭后，圓周線與縱向直線之間原來的直角改變了一數(shù)量。物體受力變形時，直角的這種改改變了一數(shù)量。物體受力變形時，直角的這種改變量（以弧度計）稱之為變量（以弧度計）稱之為切應(yīng)變切應(yīng)變。8-1 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)變薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與應(yīng)變平均半徑為平均半徑為 R0、厚度為、厚度為，且且 R0

4、 。MeADB CMef fg g6 根據(jù)圓筒橫截面本身以及施加的力偶的極對稱根據(jù)圓筒橫截面本身以及施加的力偶的極對稱性容易判明，圓筒表面同一圓周線上各處的切應(yīng)變性容易判明，圓筒表面同一圓周線上各處的切應(yīng)變均相同。因此，在材料為均勻連續(xù)這個假設(shè)條件下，均相同。因此，在材料為均勻連續(xù)這個假設(shè)條件下，圓筒橫截面上與此切應(yīng)變相應(yīng)的切應(yīng)力其大小在外圓筒橫截面上與此切應(yīng)變相應(yīng)的切應(yīng)力其大小在外圓周上各點處必相等；至于此切應(yīng)力的方向，從相圓周上各點處必相等；至于此切應(yīng)力的方向，從相應(yīng)的切應(yīng)變發(fā)生在圓筒的切向平面可知，是沿外圓應(yīng)的切應(yīng)變發(fā)生在圓筒的切向平面可知，是沿外圓周的切向。周的切向。MeADB CMe

5、f fg g7上述內(nèi)容主要說明：上述內(nèi)容主要說明：(1) 薄壁圓筒圓周上各點處的切應(yīng)變相同；薄壁圓筒圓周上各點處的切應(yīng)變相同；(2) 薄壁圓筒圓周上各點處的切應(yīng)力相等；薄壁圓筒圓周上各點處的切應(yīng)力相等；(3) 薄壁圓筒圓周上各點處切應(yīng)力的方向沿外周線的薄壁圓筒圓周上各點處切應(yīng)力的方向沿外周線的切線。切線。8 對于薄壁圓筒（對于薄壁圓筒（d d 很?。?，橫截面上其它各點很?。瑱M截面上其它各點處的切應(yīng)力可以認為與外圓周處相同，即不沿徑向處的切應(yīng)力可以認為與外圓周處相同，即不沿徑向變化。于是可以認為薄壁圓筒受扭時，橫截面上的變化。于是可以認為薄壁圓筒受扭時，橫截面上的切應(yīng)力大小處處相等，方向則垂直

6、于相應(yīng)的半徑。切應(yīng)力大小處處相等，方向則垂直于相應(yīng)的半徑。 即如圖中所示。即如圖中所示。9 這樣，知道了切應(yīng)力這樣，知道了切應(yīng)力t t 的分布規(guī)律后的分布規(guī)律后 ，便可以利，便可以利用靜力學(xué)關(guān)系用靜力學(xué)關(guān)系r r 切向力相對圓心的力臂切向力相對圓心的力臂, ,可可用平均半徑用平均半徑R0代替代替 上述薄壁圓筒橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的這一計算上述薄壁圓筒橫截面上扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的這一計算公式是在假設(shè)它們的大小沿徑向（壁厚）不變的情公式是在假設(shè)它們的大小沿徑向（壁厚）不變的情況下導(dǎo)出的。當況下導(dǎo)出的。當d d /R0=10 ，其誤差為，其誤差為4.5。AATrtd則則AARART00dtt從而有從而有)2/

7、()2/()/(20000ddtRTRRTART10由上圖得由上圖得 式中式中 R 為圓筒的外半徑。為圓筒的外半徑。 則則RlfglR/fgMeADB CMef fg gl11 通過對薄壁圓筒所作的扭轉(zhuǎn)實驗可以發(fā)現(xiàn)，當外通過對薄壁圓筒所作的扭轉(zhuǎn)實驗可以發(fā)現(xiàn)，當外加力偶矩在某一范圍內(nèi)時，扭轉(zhuǎn)角加力偶矩在某一范圍內(nèi)時，扭轉(zhuǎn)角f f 與外力偶矩與外力偶矩M(此此時時 T=M )之間成正比。之間成正比。TfOtgOlRRT/)2/(20fgdt剪切比例剪切比例極限極限t t t tp12圖中的線性關(guān)系為圖中的線性關(guān)系為 t t = Gg g 上式稱之為材料的剪切胡克定律。上式稱之為材料的剪切胡克定律。

8、式中式中 G切變模量，單位為切變模量，單位為MPa。各種鋼的切變模量。各種鋼的切變模量約為約為8.0104 MPa，至于剪切比例極限，則隨鋼種而，至于剪切比例極限，則隨鋼種而異；異；Q235鋼，鋼，t tp 120 MPa。tgO剪切比例剪切比例極限極限t t t tp 理論分析和實驗都表明，對于各向同性材料，切變理論分析和實驗都表明，對于各向同性材料，切變模量與其它兩個彈性參數(shù)模量與其它兩個彈性參數(shù)E和和n n 之間存在下列關(guān)系：之間存在下列關(guān)系：泊松比泊松比 )1(2n n EG13 實心圓截面桿和非薄壁空心圓截面桿受扭時，實心圓截面桿和非薄壁空心圓截面桿受扭時，我們沒有理由認為它們橫截面

9、上的切應(yīng)力如同在我們沒有理由認為它們橫截面上的切應(yīng)力如同在受扭的薄壁圓筒中那樣是均勻的分布的。受扭的薄壁圓筒中那樣是均勻的分布的。8-2 圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與變形8.2.1 橫截面上的切應(yīng)力橫截面上的切應(yīng)力 現(xiàn)在的關(guān)鍵在于：現(xiàn)在的關(guān)鍵在于： 確定切應(yīng)力在橫截面上的變化規(guī)律，即橫截確定切應(yīng)力在橫截面上的變化規(guī)律，即橫截面上距圓心為任意半徑面上距圓心為任意半徑r r 的一點處切應(yīng)力的一點處切應(yīng)力t tr r與與r r的關(guān)系。的關(guān)系。14首先觀察受扭時，表面的變首先觀察受扭時，表面的變形情況，據(jù)此作出涉及桿件形情況，據(jù)此作出涉及桿件內(nèi)部變形情況的假設(shè)，最后內(nèi)部變形情況的假設(shè)，最后

10、還要利用應(yīng)力和應(yīng)變之間的還要利用應(yīng)力和應(yīng)變之間的物理關(guān)系。物理關(guān)系。 (1) 幾何方面幾何方面 (2) 物理方面物理方面 (3) 靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面 15扭轉(zhuǎn)變形演示扭轉(zhuǎn)變形演示161. 幾何方面幾何方面(1) 等直圓桿受扭時，畫在表面上的圓周線只是繞桿等直圓桿受扭時，畫在表面上的圓周線只是繞桿的軸線轉(zhuǎn)動，其大小和形狀都不改變；且在變形較小的軸線轉(zhuǎn)動，其大小和形狀都不改變；且在變形較小的情況時，圓周線間的相對縱向距離也不變。的情況時，圓周線間的相對縱向距離也不變。 如下圖，實驗表明：如下圖，實驗表明：17(2) 平截面假設(shè)平截面假設(shè) 等直圓桿受扭時，它的橫截面如同剛性的圓盤等直圓桿受扭時，它

11、的橫截面如同剛性的圓盤那樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動。同樣，等直圓桿受扭時，其那樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動。同樣，等直圓桿受扭時，其橫截面上任一根半徑其直線形狀仍然保持為直線，橫截面上任一根半徑其直線形狀仍然保持為直線，只是繞圓心旋轉(zhuǎn)了一個角度。只是繞圓心旋轉(zhuǎn)了一個角度。 18取微段取微段dx分析：得半徑為分析：得半徑為r r的任意圓桿面上的切的任意圓桿面上的切應(yīng)變。應(yīng)變。式中：式中：d f f/dx 是長度方向的變化率，按平面假設(shè)是常是長度方向的變化率，按平面假設(shè)是常量。這樣，等直圓桿受扭時，量。這樣，等直圓桿受扭時， g gr r 與與r r 成線性關(guān)系。成線性關(guān)系。(1)dd(ddtanxxf fr rf f

12、r rg gg gr rr r 192. 物理方面物理方面由剪切胡克定律：由剪切胡克定律：t tr r=Gg gr r ，在，在 t tt tp 時，可把時，可把(1)式代入，得：式代入，得： 上式表明：受扭的等直桿在上式表明：受扭的等直桿在線性彈性范圍內(nèi)工作時，橫截線性彈性范圍內(nèi)工作時，橫截面上的切應(yīng)力在同一半徑面上的切應(yīng)力在同一半徑r r 的圓的圓周上各點處大小相同，但它們周上各點處大小相同，但它們隨隨r r 作線性變化，同一橫截面上作線性變化，同一橫截面上的最大切應(yīng)力在圓周邊緣上，的最大切應(yīng)力在圓周邊緣上，方向垂直于各自的半徑。方向垂直于各自的半徑。 (2)dd(xGGf fr rg g

13、t tr rr r 203. 靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面ATAd r rt tr r AAxGTddd2r rf f式中的積分是整個橫截面面積式中的積分是整個橫截面面積A范圍內(nèi)每個微面積范圍內(nèi)每個微面積dA乘以它到圓心的距離平方之總和，因此它是橫截乘以它到圓心的距離平方之總和，因此它是橫截面的幾何性質(zhì)，稱之為橫截面的極慣性矩，常用面的幾何性質(zhì)，稱之為橫截面的極慣性矩，常用Ip來表示，即：來表示，即：（單位：（單位：mm4或或m4） AAId2pr r)dd(xGGf fr rg gt tr rr r pddGITx f f故故pITr rt tr r 21 等直圓桿受扭時橫截面上任等直圓桿受扭時橫截

14、面上任一點處切應(yīng)力的計算公式：一點處切應(yīng)力的計算公式：若求若求t tmax，則令，則令r r =R，有，有pITr rt tr r pmaxITRt上述公式只適用于實心或空心圓截面等直桿在線上述公式只適用于實心或空心圓截面等直桿在線性彈性范圍內(nèi)受扭的情況。性彈性范圍內(nèi)受扭的情況。改寫成改寫成PmaxWT t t其中抗扭截面系數(shù)其中抗扭截面系數(shù) ， 常用單位：常用單位：mm3或或m3 。RIWpP22.OABT思考題思考題8-2 下圖所示為一由均質(zhì)材料制成的空心圓軸之下圖所示為一由均質(zhì)材料制成的空心圓軸之橫截面，該截面上的扭矩橫截面，該截面上的扭矩T 亦如圖所示，試繪出亦如圖所示，試繪出水平直經(jīng)

15、水平直經(jīng)AB上各點處切應(yīng)力的變化圖。上各點處切應(yīng)力的變化圖。23TABO思考題思考題8-2參考答案參考答案:24 一受扭圓軸一受扭圓軸,由實心桿由實心桿1和空心桿和空心桿2緊配合而成。緊配合而成。整個桿受扭時兩部分無相對滑動整個桿受扭時兩部分無相對滑動,試繪出切應(yīng)力沿試繪出切應(yīng)力沿水平直徑的變化圖，若水平直徑的變化圖，若(1) 兩桿材料相同，即兩桿材料相同，即G1=G2=G；(2) 兩材料不同，兩材料不同，G1=2G2。T12思考題思考題8-325思考題思考題8-3(1)答案：答案：TG1=G2=G2126思考題思考題8-3(2)答案：答案：TG1=2G22127主要計算實心圓截面和空心圓截面

16、。主要計算實心圓截面和空心圓截面。如圖有如圖有8.2.2 極慣性矩和抗扭截面系數(shù)極慣性矩和抗扭截面系數(shù)Ip和和Wp 對于實心圓截面對于實心圓截面 AAId2pr rr rr rd2d A32/d2d422/02pdAIdA r rr rr rr r28對于空心圓截面（外徑對于空心圓截面（外徑D，內(nèi)，內(nèi)徑徑d） 式中：式中：a a =d / D16/2/3ppddIW )1(32)(32d2d444422/2/2pa ar rr rr rr r DdDAIDdA29千萬不要出錯！千萬不要出錯！應(yīng)當注意：應(yīng)當注意：)1(162/43ppa a DDIW)1(32)(324444pa a DdDI3

17、08.2.3 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角)dd(xGf fr rt tr r ATAd r rt tr rpddGITx f fxGITddp f fxGITlldd0p f ff f31若若 l 范圍內(nèi)，范圍內(nèi)，T是常量，是常量，GIp也為常量，則上式為也為常量，則上式為GIp越大，扭轉(zhuǎn)角越小，故稱為抗扭剛度。越大，扭轉(zhuǎn)角越小，故稱為抗扭剛度。（弧度）（弧度）pGITl f f比較：比較：EAlFlN xGITlldd0p f ff f32 一水輪機的功率為一水輪機的功率為P=7350 kW，其，其豎軸是直徑為豎軸是直徑為d =650 mm，而長度為，而長度為l =6000 mm的的等截面實心鋼軸，材料的

18、剪切彈性模量為等截面實心鋼軸，材料的剪切彈性模量為G =0.8105 MPa。求當水輪機以轉(zhuǎn)速。求當水輪機以轉(zhuǎn)速n = 57.7 r/min勻勻速旋轉(zhuǎn)時，軸內(nèi)的最大切應(yīng)力及軸的兩個端面間的速旋轉(zhuǎn)時，軸內(nèi)的最大切應(yīng)力及軸的兩個端面間的相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角f f。例題例題 8-133解：軸傳遞功率解：軸傳遞功率P (kW) ， 相當于每分鐘傳遞功相當于每分鐘傳遞功 W=1000P60(Nm) (1)令令(1)、(2)相等，得相等，得外力偶作功外力偶作功 (2)nMMW2 nPM2100060 即即m)(kN/55. 9 nPM例題例題 8-134因此作用在軸上的外力偶矩因此作用在軸上的外力偶矩M為

19、為m)(kN12177 .57/735055. 9 MmN1022. 1100012176 MT3333Pm0539. 016/)10650(16/ dWMPa6 .22/Pmax WTt t極慣性矩極慣性矩44pm0175. 032/ dIrad00523. 0/p GITlf f例題例題 8-135 圖示傳動軸系鋼制實心圓截面軸。圖示傳動軸系鋼制實心圓截面軸。已知：已知： M1=1592Nm，M2=955Nm，M3=637Nm截面截面A與截面與截面B 、C之間的距離分別為之間的距離分別為lAB=300mm 和和lAC=500mm。軸的直徑。軸的直徑d =70mm, 鋼的剪切彈性鋼的剪切彈性

20、模量模量G=8104 MPa 。試求截面。試求截面C對對B的扭轉(zhuǎn)角的扭轉(zhuǎn)角例題例題 8-2M3M1 dABlABCAClM236解：由截面法得解：由截面法得，兩段內(nèi)扭矩分別為兩段內(nèi)扭矩分別為T = 955 Nm, T = 637 Nm 。先分別計算。先分別計算B ，C截面截面對對A之扭轉(zhuǎn)角之扭轉(zhuǎn)角f fAB， f fAC , 則可以假想此時則可以假想此時A不動。不動。ppGIlTGIlTACACABAB f ff f，例題例題 8-2M3M1 dABlABCAClM237由于假想截面由于假想截面A固定不動，故固定不動，故截面截面B、C相對于截面相對于截面A的相對的相對轉(zhuǎn)動應(yīng)分別與扭轉(zhuǎn)力偶矩轉(zhuǎn)動

21、應(yīng)分別與扭轉(zhuǎn)力偶矩M2、M3的轉(zhuǎn)向相同，從而的轉(zhuǎn)向相同，從而f fAB和和f fAC的轉(zhuǎn)向相同。由此可見，截面的轉(zhuǎn)向相同。由此可見，截面C對對B的扭轉(zhuǎn)角的扭轉(zhuǎn)角f fBC應(yīng)是：應(yīng)是：上兩式中的上兩式中的Ip可以利用可以利用32/4pdI rad1052. 1107)32/(10803 . 09553849 ABf frad1069. 13 ACf f同理：同理：例題例題 8-2M3M1 dABlABCAClM2rad107 . 14 ABACBCf ff ff f其轉(zhuǎn)向與扭轉(zhuǎn)力偶矩其轉(zhuǎn)向與扭轉(zhuǎn)力偶矩M3相同。相同。38 直徑直徑50mm的鋼圓軸，其橫截面上的扭矩的鋼圓軸，其橫截面上的扭矩T=1

22、.5 kNm，求橫截面上的最大切應(yīng)力。，求橫截面上的最大切應(yīng)力。思考題思考題8-439思考題思考題 8-5 實心圓軸的直徑實心圓軸的直徑d =100 mm，長，長l =1m，作用，作用在兩個端面上的外力偶之矩均為在兩個端面上的外力偶之矩均為Me=14 kNm，轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)向相反。材料的切變模量向相反。材料的切變模量G=8104 MPa。求：。求：(1) 橫截面上的切應(yīng)力，以及兩個端面的相對扭橫截面上的切應(yīng)力，以及兩個端面的相對扭轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。(2) 圖示橫截面上圖示橫截面上ABC三點處切應(yīng)力的大小及方向。三點處切應(yīng)力的大小及方向。40(1) t tmax=71.3 MPa f f = 0.01784

23、rad(2) t tA=t tB=t tmax= 71.3 MPa t tC=35.7 MPa思考題思考題8-5答案：答案：41 下圖所示的扭轉(zhuǎn)超靜定問題，若假想地解除下圖所示的扭轉(zhuǎn)超靜定問題，若假想地解除B端的約束，而利用端的約束，而利用B截面的扭轉(zhuǎn)角為零作為位移條截面的扭轉(zhuǎn)角為零作為位移條件求解件求解, 試列出其求解過程。試列出其求解過程。AablCBM思考題思考題8-642AMBMB思考題思考題8-6答案：答案：先考慮先考慮 M作用，則作用，則只考慮只考慮MB的作用，則的作用，則0 Bf fpp1/GIMaGIACMBA f fppp2)(GIlMGIbaMGIABMBBBBA f f4

24、3相容條件：相容條件：則則MA=M b/l上述結(jié)果可與書例題上述結(jié)果可與書例題8-3進行比較。進行比較。21BABABf ff ff f 0/pp GIlMGIMaB得得)/(laMMB AMBMB448.2.4 斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力通過扭轉(zhuǎn)實驗發(fā)現(xiàn)：通過扭轉(zhuǎn)實驗發(fā)現(xiàn)：(1) 低碳鋼試件系橫截面剪斷；低碳鋼試件系橫截面剪斷；(2) 鑄鐵試件則沿著與軸線成鑄鐵試件則沿著與軸線成45的螺旋線剪斷；的螺旋線剪斷；(3) 木材試件沿與軸線平行的方向劈裂。木材試件沿與軸線平行的方向劈裂。研究類似鑄鐵試件破壞原因研究類似鑄鐵試件破壞原因考慮斜截面上的應(yīng)力?？紤]斜截面上的應(yīng)力。45方法：扭桿假想切開

25、斜截面方法：扭桿假想切開斜截面扭桿，應(yīng)力分布不均勻，不能切開斜截面扭桿，應(yīng)力分布不均勻，不能切開斜截面圍繞需研究的點上切一個單元體圍繞需研究的點上切一個單元體46(1) 左、右橫截面左、右橫截面(2) 頂、底面，徑向截面頂、底面，徑向截面(3) 前、后面，切向截面前、后面，切向截面xxadcb47思考題思考題 8-7 如圖所示為從受扭實心圓截面桿中，以徑向截如圖所示為從受扭實心圓截面桿中，以徑向截面面ABEF取出的分離體（半個圓柱體）。試繪出取出的分離體（半個圓柱體）。試繪出（1）橫截面）橫截面AGB上應(yīng)力沿直徑上應(yīng)力沿直徑AB的分布；的分布；（2）徑截面）徑截面ABEF上應(yīng)力分別沿直徑上應(yīng)力

26、分別沿直徑AB、CD、EF的分布。的分布。ECFDBAGMeMe48思考題思考題8-7答案答案:ECFDBAGMeMe49 現(xiàn)從受扭圓桿件的表面現(xiàn)從受扭圓桿件的表面A取出一單元體取出一單元體, 它處于它處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài),現(xiàn)改其為平面圖表示：現(xiàn)改其為平面圖表示：yabcdenxata50yabcdenxata(a) 研究垂直于前后兩個面的任意斜截面研究垂直于前后兩個面的任意斜截面de上的上的應(yīng)力應(yīng)力,如圖如圖(a)、(b)。de 斜面作用著未知的正應(yīng)力斜面作用著未知的正應(yīng)力s sa a和切應(yīng)力和切應(yīng)力t ta a。ttdetaanxc(b)asat設(shè)設(shè)de的面積為的面積為dA，則

27、，則a aa asindd,cosdd AAAAcedc51ttdetaanxcasat0dcos)sind(sin)cosd(, 0 AAAFna as sa aa at ta aa at t簡化后：簡化后：a at ts sa a2sin 同理同理 0tF得：得：a at tt ta a2cos 52ttdetaanxcasat當當a a0o與與a a90o時：時： t ta a有最大值，即為有最大值，即為t ta a=45o的情況下：的情況下：s sa a有極值，即為有極值，即為t t。a a=+45o，s sa a=s smin=-t ta a=-45o，s sa a=s smax=+

28、t tt12344545tttabcd53 由此看來，鑄鐵圓桿的所謂扭轉(zhuǎn)破壞，其實由此看來，鑄鐵圓桿的所謂扭轉(zhuǎn)破壞，其實質(zhì)上是沿質(zhì)上是沿45方向拉伸引起的斷裂。方向拉伸引起的斷裂。也因此，在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下直接引起斷裂也因此，在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下直接引起斷裂的最大拉應(yīng)力的最大拉應(yīng)力s smax總是等于橫截面上相應(yīng)的切應(yīng)總是等于橫截面上相應(yīng)的切應(yīng)力，所以在鑄鐵圓桿的抗扭強度的計算中也就以力，所以在鑄鐵圓桿的抗扭強度的計算中也就以橫截面上的橫截面上的t t 作為依據(jù)。如下圖所示。作為依據(jù)。如下圖所示。MMmaxs斷裂線斷裂線smin541. 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形。薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形。小

29、結(jié)：小結(jié)：2. 圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形。圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和變形。(1) 橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力d dt t 202)1(rT材料的剪切胡克定律材料的剪切胡克定律g gt tG )2(、n n三者之間的關(guān)系三者之間的關(guān)系)1 (2)3(nEG55 (a) 幾何方面幾何方面 (b) 物理方面物理方面(c) 靜力學(xué)方面靜力學(xué)方面)dd(xf fr rg gr r r rr rg gt t GxGddf fr rt tr r AATdr rt tr r AAxGTddd2r rf f代入代入Ip得得pddGITx f fPmaxp,WTIT t tr rt tr r56(d) 極慣性矩和抗扭截面

30、模量極慣性矩和抗扭截面模量實心圓截面實心圓截面32/4pdI 16/3PdW 空心圓截面空心圓截面)(3244pdDI )(1644PdDDW 57扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力xGITlldd0p f ff fpGITl f fa at ts s2sin a at tt t2cos 58思考題思考題 8-8 直徑直徑d =25 mm的鋼圓桿，受軸向拉力的鋼圓桿，受軸向拉力60 kN作用時，在標距為作用時，在標距為200 mm的長度內(nèi)伸長了的長度內(nèi)伸長了 0.113 mm；當它受一對矩為；當它受一對矩為0.2 kNm的外力偶作的外力偶作用而扭轉(zhuǎn)時，相距用而扭轉(zhuǎn)時，相距200 mm的兩

31、個橫截面相對轉(zhuǎn)的兩個橫截面相對轉(zhuǎn)動了動了0.732的角度。試求此圓桿所用鋼材的彈性的角度。試求此圓桿所用鋼材的彈性常數(shù)常數(shù)E、G和和n n。59思考題思考題8-8答案答案48p24m10833. 3,m10906. 4 IAEAFll alAFlEMP1016. 25 pGITl f fMPa1017. 84p ITlGf f)1 (2nEG322. 012GEn60 實心或空心圓截面桿受扭時實心或空心圓截面桿受扭時,桿內(nèi)所有的點均桿內(nèi)所有的點均處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài),而整個桿的危險點在橫截面而整個桿的危險點在橫截面的邊緣處。的邊緣處。8-3 強度條件及剛度條件強度條件及剛度條件

32、1. 強度條件強度條件受扭圓桿的強度條件：受扭圓桿的強度條件：maxt tt t 對于等截面桿：危險點必在對于等截面桿：危險點必在Tmax 所在截面邊所在截面邊緣處緣處, 即即Pmaxmax/WT t t由以上兩式得到由以上兩式得到/Pmaxt t WT61 根據(jù)上述公式，可對空心或?qū)嵭膱A截面受扭桿根據(jù)上述公式，可對空心或?qū)嵭膱A截面受扭桿件進行件進行 (1) 校核強度校核強度(2) 選擇截面尺寸選擇截面尺寸(3) 計算容許荷載計算容許荷載2. 剛度條件剛度條件 滿足了強度條件，但若變形過大，必將對滿足了強度條件，但若變形過大，必將對正常工作產(chǎn)生影響。剛度條件通常是以扭轉(zhuǎn)角正常工作產(chǎn)生影響。剛度

33、條件通常是以扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率沿桿長的變化率q q (=df f/dx ), 其最大值其最大值q qmax不超不超過某一規(guī)定的容許值過某一規(guī)定的容許值q q 來表達，即來表達，即maxq qq q 62式中式中q q 為單位長度桿的容許扭轉(zhuǎn)角，單位為單位長度桿的容許扭轉(zhuǎn)角，單位 ( /m)來計算?；癁榻嵌让棵讋t為來計算?；癁榻嵌让棵讋t為maxq qq q 對于等直的圓桿，其對于等直的圓桿，其q qmax按式：按式：pddGITx f f180pmaxq q GIT式中，式中，Tmax Nm，G Pa，Ip m463 容許扭轉(zhuǎn)角容許扭轉(zhuǎn)角q q ，對于精密儀器的軸，對于精密儀器的軸 ，常常取，

34、常常取 0.150.30 /m。至于一般的軸則取。至于一般的軸則取 2 /m。書例書例8-4校核強度和剛度校核強度和剛度書例書例8-5選擇截面尺寸選擇截面尺寸 書例書例8-6 建立強度條件建立強度條件64 階梯形圓柱直徑分別為階梯形圓柱直徑分別為d1= 4 cm , d2=7 cm,軸上裝有軸上裝有3個皮帶輪如圖所示。已知由輪個皮帶輪如圖所示。已知由輪3輸入的功率為輸入的功率為P3=30 kW,輪輪1輸出的功率為輸出的功率為 P1=13 kW , 軸作勻速轉(zhuǎn)動軸作勻速轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n = 200轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分分,材料材料的剪切許用應(yīng)力的剪切許用應(yīng)力t t =60 MPa,G = 80 109 Pa,

35、許用扭許用扭轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角q q = 2 /m。試校核軸的強度和剛度。試校核軸的強度和剛度。0.5 m0.3 m1 mACDB1231M2M3Md1d2例題例題 8-765解解:計算扭矩的絕對值：計算扭矩的絕對值：強度校核：強度校核：mkN621. 0200/1355. 9/55. 9111 nPMTmkN432. 1200/3055. 9/55. 9333 nPMTmkN811. 0132 TTTMPa4 .4910410621. 01616633311maxt t t t dTAC段：段：例題例題 8-70.5 m0.3 m1 mACDB1231M2M3Md1d266故強度滿足。故強度滿足。剛度

36、校核：剛度校核：AC段：段：MPa3 .2110710432. 11616633321maxt tt t dTDB段：段：/m77. 1104108018062132180322849411maxq qq q dGT例題例題 8-70.5 m0.3 m1 mACDB1231M2M3Md1d267故剛度滿足。故剛度滿足。DB段：段：/m44. 01071080180143232180322849423maxq qq q dGT例題例題 8-70.5 m0.3 m1 mACDB1231M2M3Md1d268 實心軸和空心軸通過牙嵌式離合器連接在一起。實心軸和空心軸通過牙嵌式離合器連接在一起。已知軸

37、的轉(zhuǎn)速已知軸的轉(zhuǎn)速n=100 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分，傳輸功率分，傳輸功率P =7.5 kW,材料材料的容許切應(yīng)力的容許切應(yīng)力t t =40MPa , 試選擇實心軸直徑試選擇實心軸直徑d1和內(nèi)和內(nèi)外徑比值為外徑比值為0.5的空心軸的外徑。的空心軸的外徑。例題例題 8-82d1d3d69解解:計算扭矩：計算扭矩：計算實心軸直徑計算實心軸直徑,由強度條件由強度條件2d1d3dmN716mNk1005 . 755. 955. 9 nPT1631maxt tt t dTmm45m1040/71616361 d例題例題 8-870計算空心軸直徑計算空心軸直徑,由強度條件由強度條件:2d1d3d)1(16432maxt

38、 ta at t dTmm46m)5 . 01(1040/716163462 d例題例題 8-871 如同拉伸和壓縮時一樣，桿件在受扭時桿內(nèi)也如同拉伸和壓縮時一樣，桿件在受扭時桿內(nèi)也積蓄有應(yīng)變能。桿在彈性范圍內(nèi)工作，積蓄有應(yīng)變能。桿在彈性范圍內(nèi)工作，f f 與與Me成線成線性關(guān)系。性關(guān)系。8-4 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能ffoMeeMMe72ffoMeeMMe2eMW f f2ef fMU 又又 pe/GIlM f f則則p2e2GIlMU 或或2p2f flGIU 73 對于桿的各橫截面上扭矩不相等的情況，取微對于桿的各橫截面上扭矩不相等的情況，取微段分析入手。段分析

39、入手。例如：例如：1l1eM2l2eM3eM1eMxd1eM從而知：左段桿內(nèi)的應(yīng)變能：從而知：左段桿內(nèi)的應(yīng)變能：pe1e112d2/ddGIxMMU f fp121e112d1GIlMuUl 74整個桿內(nèi)積蓄的應(yīng)變能為：整個桿內(nèi)積蓄的應(yīng)變能為：右段桿內(nèi)：右段桿內(nèi)： 2p223e222dlGIlMuUp223ep121e2122GIlMGIlMUUU 1l1eM2l2eM3eM1eMxd1eM75思考題思考題 8-9(1) 求圖示同一桿件在三種受力情況下的應(yīng)變能。求圖示同一桿件在三種受力情況下的應(yīng)變能。此桿在線彈性范圍內(nèi)工作，且變形微小。此桿在線彈性范圍內(nèi)工作，且變形微小。l = 1 md=80

40、 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)0.6 m0.4 mMe2=10 kNmMe1= 4 kNm(c)76(2) 桿在第三種受力情況下的應(yīng)力和變形是否分別桿在第三種受力情況下的應(yīng)力和變形是否分別等于前兩種情況下的疊加？應(yīng)變能呢？等于前兩種情況下的疊加？應(yīng)變能呢？l = 1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)0.6 m0.4 mMe2=10 kNmMe1= 4 kNm(c)77思考題思考題8-9答案：答案：(1)p6p6p2/1082/10162/1)4000(GIGIGIUa p6p6p23/10302

41、/106 . 01002/6 . 0)1010(GIGIGIUb l = 1 md=80 mmMe1=4 kNm(a)0.6 m0.4 mMe2=10 kNm(b)78p6p6p6p23p231014108 .10102 . 326 . 0)106(24 . 0)104(GIGIGIGIGIUc (2)bacUUU 0.6 m0.4 mMe2=10 kNmMe1= 4 kNm(c)79思考題思考題8-10求下列各圖桿的應(yīng)變能。求下列各圖桿的應(yīng)變能。Fp=F/ll(a)(b)CBCBAAlM(c)dABlt(d)dAB80思考題思考題8-10答案：答案：Fl(a)CBAp=F/llCBAxdxF

42、N(x)px(b)(b) 取微段分析取微段分析(a)EAlFU22 EAxxFxFxxFUd)()(21d)(21dNNN EAlpEAxxpUl6d212220 81思考題思考題8-10答案：答案：lM(c)dABltdABdxtxT(x)(d)(c)p22GIlMU 其中其中324pdI (d) 取微段分析取微段分析p22d21dGIxxtU 82ltdABdxtxT(x)(d)思考題思考題8-10答案：答案：432p32p2203166d21GdltGIltGIxxtUl 83思考題思考題 8-11 有一壁厚有一壁厚25 mm、內(nèi)直徑為、內(nèi)直徑為250 mm的空心圓管的空心圓管,其其長度

43、為長度為1 m；作用在兩個端面上的反向外力偶之矩均為；作用在兩個端面上的反向外力偶之矩均為180 kNm。試確定管壁中的最大切應(yīng)力，并求管內(nèi)的。試確定管壁中的最大切應(yīng)力，并求管內(nèi)的應(yīng)變能。已知材料的切變彈性模量應(yīng)變能。已知材料的切變彈性模量 G=8104 MPa。84D =250+225=300 mmMe= T = 180 kNm思考題思考題8-11參考答案參考答案444tm10115. 432/ )1( a aDI33ttm10743. 2)2/( DIWMPa6 .65tmax WTt tJ492)2/(t2 GIlTU85 圖示圖示AC桿為等截面圓軸，在桿為等截面圓軸，在B截面處受外扭截

44、面處受外扭矩矩M=7 kNm作用。該圓軸作用。該圓軸A端固定，端固定，C端在上、端在上、下兩點處分別與直徑均為下兩點處分別與直徑均為d2的兩圓桿相連。已知的兩圓桿相連。已知圓軸和圓桿的材料相同，且材料的兩個彈性常數(shù)圓軸和圓桿的材料相同，且材料的兩個彈性常數(shù)E與與G之間有如下關(guān)系：之間有如下關(guān)系：G=0.4E。試求圓軸。試求圓軸AC中中的最大切應(yīng)力。的最大切應(yīng)力。思考題思考題 8 -122 m2 md1=0.6 mM =7 kN.m1 m1 md2ABC86則協(xié)調(diào)關(guān)系為：則協(xié)調(diào)關(guān)系為：思考題思考題8 - 12參考答案參考答案: l = FNl / EA(1)TC=FN d1(2)(/2/1P1N

45、PMTGIdFGIT f f(3)2/)/2/1(21P1NP1dGIdFGITdl f f(4)87由由(1)、(4)式得式得FN= 64.1 N則則TC=38.46 NmAC中的最大切應(yīng)力在中的最大切應(yīng)力在AB段內(nèi)的橫截面上段內(nèi)的橫截面上MPa164. 0Pmax WTt t思考題思考題8 - 12參考答案參考答案:2 m2 md1=0.6 mM =7 kN.m1 m1 md2ABC888-5 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)1. 幾個概念幾個概念 非圓截面桿受扭時非圓截面桿受扭時,橫截面會發(fā)生翹曲。因橫截面會發(fā)生翹曲。因此其變形、應(yīng)力不能用由平面假設(shè)所得的圓桿此其變形、應(yīng)力不能用由平面假

46、設(shè)所得的圓桿扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力變形的計算公式。扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力變形的計算公式。(1) 約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn) 非圓截面桿受扭時非圓截面桿受扭時,既然橫截面要發(fā)生翹曲既然橫截面要發(fā)生翹曲,因因此，如果翹曲受到牽制此，如果翹曲受到牽制, 例如桿件是變截面的，或例如桿件是變截面的，或者外力偶不是加在桿的兩端，或者桿的端面受到外者外力偶不是加在桿的兩端，或者桿的端面受到外部約束而不能自由翹曲，那么桿的橫截面上除了有部約束而不能自由翹曲，那么桿的橫截面上除了有切應(yīng)力，還有正應(yīng)力。這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。切應(yīng)力，還有正應(yīng)力。這種扭轉(zhuǎn)稱為約束扭轉(zhuǎn)。89(2) 自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)橫截面翹曲不受牽制的扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)。橫截面翹曲不

47、受牽制的扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)。 要使非圓截面桿受扭時橫截面上只有切應(yīng)力要使非圓截面桿受扭時橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力，那么桿件必須是等截面的，而且只而無正應(yīng)力，那么桿件必須是等截面的，而且只在兩端受外力偶作用，同時端面還能自由翹曲。在兩端受外力偶作用，同時端面還能自由翹曲。本節(jié)主要介紹矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)的情況。本節(jié)主要介紹矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)的情況。902. 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn) 主要對矩形截面桿進行強度和剛度計算。主要對矩形截面桿進行強度和剛度計算。根據(jù)彈性力學(xué)的分析結(jié)果，矩形截面桿受扭時橫根據(jù)彈性力學(xué)的分析結(jié)果，矩形截面桿受扭時橫截面上最大的切應(yīng)力在長邊的中點，其計算式為截面上最大的切應(yīng)力在長邊的中點，其計算式為單位長度桿的扭轉(zhuǎn)角：單位長度桿的扭轉(zhuǎn)角：其中：其中：WT 抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)IT 相當極慣性矩相當極慣性矩Tmax/WT t tT/GIT q qGIT 桿的抗扭剛度桿的抗扭剛度91 IT 和和 WT除了在量綱上與圓截面的除了在量綱上與圓截