概率論與數(shù)理統(tǒng)計-概率論4-1ppt課件

1、第四章隨機變量的數(shù)字特征第四章隨機變量的數(shù)字特征1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望2 方差方差3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)4 矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣1、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望2、延續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望、延續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望3、隨機變量函數(shù)的期望公式、隨機變量函數(shù)的期望公式4、兩個隨機變量函數(shù)的期望、兩個隨機變量函數(shù)的期望5、期望的有關(guān)性質(zhì)、期望的有關(guān)性質(zhì) 1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，假設(shè)知道了隨機變量布，假設(shè)知道了隨機變量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了

2、全部概率特征也就知道了. 然而，在實踐問題中，概率分布普通是較難然而，在實踐問題中，概率分布普通是較難確定的確定的. 而在一些實踐運用中，人們并不需求知而在一些實踐運用中，人們并不需求知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只需知道它的某些道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只需知道它的某些數(shù)字特征就夠了數(shù)字特征就夠了. 例如例如, 在評定某一地域的糧食產(chǎn)量的程度時在評定某一地域的糧食產(chǎn)量的程度時, 在許多場所只需知道該地域的平均產(chǎn)量在許多場所只需知道該地域的平均產(chǎn)量; 又如在又如在研討水稻種類優(yōu)劣時研討水稻種類優(yōu)劣時, 時常是關(guān)懷稻穗的平均稻時常是關(guān)懷稻穗的平均稻谷粒數(shù)谷粒數(shù); 再如檢查一批棉花的質(zhì)量時再如檢查一

3、批棉花的質(zhì)量時, 即需求留意即需求留意纖維的平均長度纖維的平均長度, 又需求留意纖維長度與平均長又需求留意纖維長度與平均長度的偏離程度度的偏離程度. 因此因此, 與隨機變量的有關(guān)數(shù)值與隨機變量的有關(guān)數(shù)值, 可可以描畫隨機變量的重要特征以描畫隨機變量的重要特征. 因此，在對隨機變量的研討中，確定某些數(shù)因此，在對隨機變量的研討中，確定某些數(shù)字特征是重要的字特征是重要的 .在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 1、概念的引入：、概念的引入：我們來看一個引例我們來

4、看一個引例. 例例1 某車間對工人的消費情況進展調(diào)查某車間對工人的消費情況進展調(diào)查. 車工車工小張每天消費的廢品數(shù)小張每天消費的廢品數(shù)X是一個隨機變量是一個隨機變量. 如何定如何定義義X的平均值呢？的平均值呢？我們先察看小張我們先察看小張100天的消費情況天的消費情況假設(shè)統(tǒng)計假設(shè)統(tǒng)計100天天, 32天沒有出廢品天沒有出廢品;30天每天出一件廢品天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品天每天出三件廢品;3230172101231.27100100100100 可以得到這可以得到這100天中天中 每天的平均廢品數(shù)為每天的平均廢品數(shù)為這個數(shù)能否作為這個數(shù)能否作為

5、X的平均值呢？的平均值呢？假定小張每天至多出假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品現(xiàn)三件廢品 可以想象，假設(shè)另外統(tǒng)計可以想象，假設(shè)另外統(tǒng)計100天，車工小張不出廢品，天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天普通天普通不會完全一樣，這另外不會完全一樣，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不天每天的平均廢品數(shù)也不一定是一定是1.27.n0天沒有出廢品天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品天每天出三件廢品.03120123nnnnnnnn 可以得到可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為天

6、中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出假定小張每天至多出三件廢品三件廢品) 普通來說普通來說, 假設(shè)統(tǒng)計假設(shè)統(tǒng)計n天天 ,這是這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均以頻率為權(quán)的加權(quán)平均03120123nnnnnnnn 當(dāng)當(dāng)n很大時，頻率接近于概率，很大時，頻率接近于概率，所以我們在求廢品數(shù)所以我們在求廢品數(shù)X的平均值時，用概率替代的平均值時，用概率替代頻率，得平均值為頻率，得平均值為01230123pppp 這是這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個確定的數(shù)這樣得到一個確定的數(shù). 我們就用這個數(shù)作為隨機變我們就用這個數(shù)作為隨機變量量X 的平均值的平均值 .例：例： 一射手進展打靶練習(xí)一射

7、手進展打靶練習(xí), 規(guī)定射入?yún)^(qū)域規(guī)定射入?yún)^(qū)域e2得得2分分, 射入?yún)^(qū)域射入?yún)^(qū)域e1得得1分分, 脫靶脫靶, 即射入?yún)^(qū)域即射入?yún)^(qū)域e0, 得得0分分. 射射手一次射擊得分數(shù)手一次射擊得分數(shù)X是一個隨機變量是一個隨機變量.e0e1e2設(shè)設(shè)X的分布律為的分布律為PX=k=pk, k=0,1,2.如今射擊如今射擊N次次, N是一個很大的數(shù)是一個很大的數(shù), 也能夠是一百也能夠是一百, 也能夠是一萬也能夠是一萬, 等等等等. 其中得其中得0分的有分的有a0次次, 得得1分分的有的有a1次次, 得得2分的有分的有a2次次, a0+a1+a2=N.射擊這射擊這N次得分總和為次得分總和為a00+a11+a22.

8、于是于是平均一次射擊的得分數(shù)為平均一次射擊的得分數(shù)為20120012.kkaaaakNN 這里這里, ak/N是事件是事件X=k的頻率的頻率. 當(dāng)當(dāng)N很大時很大時, ak/N將將近似為事件近似為事件X=k的概率的概率pk. 就是說就是說,220020,/.kkkkkkXkaNkpkpX在試驗次數(shù)很大時 隨機變量 的觀察值的算術(shù)平均近似等于我們稱為隨機變量 的數(shù)學(xué)期望或均值20120012.kkaaaakNN 定義定義 設(shè)設(shè)X是離散型隨機變量，它的分布率是是離散型隨機變量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,請留意請留意 :離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期

9、望是一個絕對收斂的級數(shù)的和斂的級數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱為均值。數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱為均值。1()kkkE Xx p假設(shè)級數(shù)假設(shè)級數(shù)1kkkx p絕對收斂，絕對收斂，那么稱級數(shù)那么稱級數(shù)1kkkx p()E X即為隨機變量為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為的數(shù)學(xué)期望，記為 ,例例12,XX甲、乙二人進行打靶，所得分數(shù)分別記為它們的分布率分別為 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.6 0.3 0.11Xkp2Xkp12XX解：我們先來算和的數(shù)學(xué)期望，12()0 0 1 0.22 0.81.8()0 0.6 1 0.32 0.10.5(E XE X 分）分）到站時刻到站時刻 8:10 8

10、:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到車站到車站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望求他候車時間的數(shù)學(xué)期望. 例 按規(guī)定,某車站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一輛客車到站,但到站時辰是隨機的,且兩者到站的時間相互獨立。其規(guī)律為： 重要分布的數(shù)學(xué)期望：重要分布的數(shù)學(xué)期望：1、兩點分布：設(shè)隨機變量、兩點分布：設(shè)隨機變量X取值于取值于0,1，其分布律，其分布律為為PX=1=p，PX=0=1-p=q，那么它的期望為，那么它的期望為 E(X)=p;2、二項分布：設(shè)、二項分布：設(shè)XB(n,p)，那么，那么E(X)=np;3、泊松分布：設(shè)、

11、泊松分布：設(shè)X()，那么，那么E(X)= 。例：設(shè)例：設(shè)X的取值為的取值為 ，對應(yīng)，對應(yīng)12( 1)(1,2,.)kkkxkk 12kkp 那么它的期望為？那么它的期望為？概率分布為概率分布為 ，例例 在一群體中普查某種疾病在一群體中普查某種疾病, 為此要抽檢為此要抽檢N個人的血個人的血, 可以用兩種方法進展可以用兩種方法進展. (1)將每個人的血分別去驗將每個人的血分別去驗, 這就需求驗這就需求驗N次次. (2)按按k個人一組進展分組個人一組進展分組, 把從把從k個人抽來的血混合個人抽來的血混合在一同進展檢驗在一同進展檢驗, 假設(shè)這混合血液呈陰性反響假設(shè)這混合血液呈陰性反響, 就闡就闡明明k

12、個人的血都呈陰性反響個人的血都呈陰性反響, 這樣這樣k個人的血就只需求個人的血就只需求驗一次驗一次. 假設(shè)呈陽性假設(shè)呈陽性, 那么再對這那么再對這k個人的血液分別進個人的血液分別進展化驗展化驗. 這樣這樣, k個人的血總共要化驗個人的血總共要化驗k+1次次. 假設(shè)每個假設(shè)每個人化驗呈陽性的概率為人化驗呈陽性的概率為p, 且這些人的實驗的反響是且這些人的實驗的反響是相互獨立的相互獨立的. 試闡明當(dāng)試闡明當(dāng)p較小時較小時, 取適當(dāng)?shù)娜∵m當(dāng)?shù)膋按第二種按第二種方法可減少化驗的次數(shù)方法可減少化驗的次數(shù), 并闡明并闡明k取什么值時最適宜取什么值時最適宜.解解 各人的血呈陰性反響的概率為各人的血呈陰性反響

13、的概率為q=1-p. 因此因此k個個人的混合血呈陰性反響的概率為人的混合血呈陰性反響的概率為qk及呈陽性反及呈陽性反響的概率為響的概率為1-qk.設(shè)以設(shè)以k個人為一組時個人為一組時, 組內(nèi)每人平均化驗次數(shù)為組內(nèi)每人平均化驗次數(shù)為X, 那么那么X是一隨機變量是一隨機變量, 其分布律為其分布律為111kkkkXkkpqqX的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為111()1(1)1kkkE Xqqqkkk 11.kNqkN個人平均需化驗的次數(shù)為個人平均需化驗的次數(shù)為由此可知由此可知, 只需選擇只需選擇k使使111kqk那么那么N個人平均需化驗的次數(shù)個人平均需化驗的次數(shù)0, 常數(shù)常數(shù)), 求求W的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望

14、.四、兩個隨機變量函數(shù)的期望四、兩個隨機變量函數(shù)的期望 ,(, )()ZX YZg X Yg設(shè) 是隨機變量的函數(shù)是連續(xù)函數(shù)Z則 也是隨機變量且(1)(, ),( , ),X Yf x y若是二維連續(xù)型 概率密度為則有()( )( , )( )( )( , )( ) (, )( , ) ( , )XYE Xxfx dxxf x y dxdyE Yyfy dyyf x y dxdyE ZE g X Yg x y f x y dxdy .這里假定上兩式右邊的積分或級數(shù)都絕對收斂(2)(, ),( ,1,2)ijijX YP Xx Yyp i j若是二維離散型 概率分布為則有11( ) (, )( ,

15、)ijijjiE ZE g X Yg x yp例例9 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度的概率密度3231,1.2( , )0,.1( ),.yx xx yxf x yE YEXY其它求數(shù)學(xué)期望例例 知二維隨機變量知二維隨機變量X，Y的分布律為的分布律為 XY01210.10.20.120.30.10.2求求E(X),E(2X+3Y),E(XY). 五、數(shù)學(xué)期望的有關(guān)性質(zhì)五、數(shù)學(xué)期望的有關(guān)性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，那么是常數(shù)，那么E(C)=C; 4. 設(shè)設(shè)X、Y 相互獨立，那么相互獨立，那么 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 假設(shè)假設(shè)C是常數(shù)，那么是常數(shù)，那么E(CX)=CE(X);

16、 3. 11:()nniiiiEXE X推廣11:()nniiiiEXE X推廣諸諸Xi相互獨立時相互獨立時請留意請留意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 獨立獨立()()( );E XYE XE Y例例 設(shè)設(shè)X和和Y均為隨機變量，且均為隨機變量，且E(X2)和和E(Y2)都存在，都存在，證明柯西證明柯西-斯瓦茲不等式：斯瓦茲不等式：E(XY)2E(X2)E(Y2)例例 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨立且服從正態(tài)分布相互獨立且服從正態(tài)分布N(,2)，求，求1Emax(X,Y); (2)Emin(X,Y).例例11 一民航送客車載有一民航送客車載有20位旅客自機場開出位旅客自機場開出, 旅客旅客有有10個車站可以下車個車站可以下車