習(xí)習(xí)題解答(第5章)

1、5三、解答題1. 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，Xn獨(dú)立同分布，且XP(l)，試?yán)闷醣戎x夫不等式估計(jì)的下界。解：因?yàn)閄P(l)，由契比謝夫不等式可得2. 設(shè)E(X) = 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，r XY = ，試根據(jù)契比謝夫不等式估計(jì)P|X + Y | ³ 3的上界。解：由題知 =0Cov= 所以3. 據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率解：設(shè)i個(gè)元件壽命為Xi小時(shí)，i = 1 ,2 , . , 16 ，則X1 ，X2 ，. ，X16獨(dú)立同分布

2、，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , . , 16 ，由獨(dú)立同分布的中心極限定理可知：近似服從N ( 1600 , ，所以=1- = 4. 某商店負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)1000人商品，某種商品在一段時(shí)間內(nèi)每人需要用一件的概率為，假定在這一時(shí)間段各人購(gòu)買與否彼此無關(guān)，問商店應(yīng)預(yù)備多少件這種商品，才能以%的概率保證不會(huì)脫銷（假定該商品在某一時(shí)間段內(nèi)每人最多可以買一件）解：設(shè)商店應(yīng)預(yù)備n件這種商品，這一時(shí)間段內(nèi)同時(shí)間購(gòu)買此商品的人數(shù)為X ，則X B（1000，），則E(X) = 600，D (X ) = 240，根據(jù)題意應(yīng)確定最小的n，使PX n = %成立.則PX

3、 n 所以，取n=643。即商店應(yīng)預(yù)備643件這種商品，才能以%的概率保證不會(huì)脫銷。5. 某種難度很大的手術(shù)成功率為，先對(duì)100個(gè)病人進(jìn)行這種手術(shù)，用X記手術(shù)成功的人數(shù)，求P84 < X < 95解：依題意, X B（100，），則E(X) = 90，D (X ) = 9， 6. 在一零售商店中，其結(jié)帳柜臺(tái)替顧客服務(wù)的時(shí)間（以分鐘計(jì)）是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為，方差為1求對(duì)100位顧客的總服務(wù)時(shí)間不多于2小時(shí)的概率解：設(shè)柜臺(tái)替第i位顧客服務(wù)的時(shí)間為X i ，i = 1,2,3.100.則X i ，i = 1,2,3.100獨(dú)立同分布，且E（X i）=，D(X i )=1，所以 即

4、對(duì)100位顧客的服務(wù)時(shí)間不多于兩個(gè)小時(shí)的概率為.7. 已知筆記本電腦中某種配件的合格率僅為80%，某大型電腦廠商月生產(chǎn)筆記本電腦10000臺(tái)，為了以%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件，問：此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購(gòu)買該種配件多少件解：設(shè)此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購(gòu)買n件該種配件，其中合格品數(shù)為X，則X B(n，, =PX³10000= ，解得 n=12655即此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購(gòu)買12655件改種配件才能滿足以%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件。8. 已知一本300頁(yè)的書中，每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，試求整書中的印刷錯(cuò)誤總數(shù)不多于70個(gè)的概率解：記每頁(yè)印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)

5、為，i=1，2，3，300，則它們獨(dú)立同服從參數(shù)為的泊松分布，所以E（X i）=，D(X i )=所以 9. 設(shè)車間有100臺(tái)機(jī)床，假定每臺(tái)機(jī)床是否開工是獨(dú)立的，每臺(tái)機(jī)器平均開工率為，開工時(shí)需消耗電能a千瓦，問發(fā)電機(jī)只需供給該車間多少千瓦的電能就能以概率保證車間正常生產(chǎn)解：設(shè)發(fā)電機(jī)只需供給該車間m千瓦的電能就能以概率保證車間正常生產(chǎn)，記X為100臺(tái)機(jī)床中需開工的機(jī)床數(shù)，則X B(100，,E（aX）=64a ，D(aX ) =100××，所以10. 某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬人參加,每人每年交200元若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給家屬1萬元設(shè)老年人死亡率為，試求保險(xiǎn)公司在

6、一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率解：設(shè)當(dāng)年內(nèi)投保老人的死亡數(shù)為X，則X B (10000,。保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的保險(xiǎn)虧本的概率為 所以保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率是四、應(yīng)用題1. 某餐廳每天接待400名顧客，設(shè)每位顧客的消費(fèi)額（單位：元）服從區(qū)間(20，100)上的均勻分布，且顧客的消費(fèi)額是相互獨(dú)立的，求該餐廳的日營(yíng)業(yè)額在其平均營(yíng)業(yè)額760元內(nèi)的概率解：設(shè)每位顧客的消費(fèi)額為Xi ，i =1,2,400, 且 X i U (20，100)，則，由獨(dú)立同分布的中心極限定理 , 所以2. 設(shè)某型號(hào)電子元件的壽命（單位：小時(shí)）服從指數(shù)分布，其平均壽命為20小時(shí)，具體使用時(shí)當(dāng)一元件損壞后立即更換另一

7、新元件，已知每個(gè)元件進(jìn)價(jià)為110元，試問在年計(jì)劃中應(yīng)為此元件作多少元的預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供應(yīng)（假定一年工作時(shí)間為2000小時(shí)）解：設(shè)應(yīng)為這種元件作m元的預(yù)算，即需進(jìn)m/110個(gè)元件，記第件的壽命為Xi小時(shí)，i =1，2，3···, m/110，且X i E (20)，所以E（X i）= 20 ，D(X i ) = 400，=，所以所以m=12980即在年計(jì)劃中應(yīng)為此元件作12980元的預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年的供應(yīng).3. 據(jù)調(diào)查某村莊中一對(duì)夫妻無孩子、有1個(gè)孩子、有2個(gè)孩子的概率分別為，若該村共有400對(duì)夫妻，試求：(1) 400對(duì)夫妻的孩子總數(shù)超過450的概率；(2) 只有1個(gè)孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率解：(1) 設(shè)第k對(duì)夫妻 孩子數(shù)為X k ，則X k的分布律為X k012p則， 故即400對(duì)夫妻的孩子總數(shù)超過450的概率為(2) 設(shè)Y為只有一個(gè)孩子的夫妻對(duì)數(shù)，則Y B (400,， 即只有1個(gè)孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率為（B）1. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，m為正整數(shù)，證明：（提示：利用Chebyshev不等式）證明：E（X）=f(x)d=，由切比雪夫不等式 = 2. 設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同的分布如下表所示，證明服從Chebyshev大數(shù)定律Xn0pk1/41/21/