中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圓與相似的綜合題及答案解析

1、(1)求證：DF是。的切線;中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圓與相似的綜合題及答案解析一、相似1.如圖，在。0中，直徑AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)E,點(diǎn)M在OD上，AM的延長線交。于點(diǎn)G,交過D的直線于F,且/BDF=/CDB,BD與CG交于點(diǎn)N.直徑AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)E,(2)連結(jié)MN,猜想MN與AB的位置有關(guān)系，并給出證明.【答案】(1)證明：二.直彳至AB經(jīng)過弦CD的中點(diǎn)E,，.出工a窗=圓,二NROB=：*上過星=/T的，二ZBOD=ZCDF.VZBOD+/觸=90"fNODE+ZCDF=901即:必是£的切線(2)解：猜想：MN/AB.證明：連結(jié)CB.應(yīng)=前庇=庾,CBA=ZDBA,C

2、B=BD.UB03,/DBA=/硼.=ZDBA，Zm=2ZDBAZCBD,.BCG=BAG,:.|ACBNs/理，+AOOM“萬一而.第OD.(BBD,DOOM£ff航DODM【解析】【分析】(1)要證DF是。O的切線，由切線的判定知，只須證/ODF="即可。由垂徑定理可得AB±CD,貝U/BOD+/ODE=',而/ODF=/CDF+ZODE,由已知易得/BOD=/CDF,則結(jié)論可得證；(2)猜想：MN/AB.理由：連結(jié)CB,由已知易證CBNM4AOM,可得比例式AOOMDODMHBA,于是由已知條件可轉(zhuǎn)化為加辦,/ODB是公共角，所以可得MDNAODB,

3、貝U/DMN=/DOB,根據(jù)平行線白判定可得MN/AB。2.已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于點(diǎn)的負(fù)半軸上，且AC=AB,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,A(1,0)和點(diǎn)B(5,0),頂點(diǎn)為M.點(diǎn)C在x軸3),直線l經(jīng)過點(diǎn)C、D.21w臂ZTW節(jié).-1(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是直線l在第三象限上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP,且線段CP是線段CA、CB的比例中項(xiàng),求tan/CPA的值；使得/AEM=/AMB.D,B(5,0),（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)AM、BM,在直線PM上是否存在點(diǎn)E,若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）解：拋物線了=孑b，J與x軸交于點(diǎn)A（1,ra*b本5=a

4、:.'15追，必50,rd=I?解得%=&拋物線的解析式為丫二T沃(2)解：A(1,0),B(5,0),OA=1,AB=4.AC=AB且點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，AC=4.CB=CA+AB=8.線段CP是線段CA、CB的比例中項(xiàng),CACP.CP=.又/PCB是公共角，CPACBP.ZCPA=/CBP過P作PH,x軸于H.(3)解：拋物線的頂點(diǎn)是M(3,-4),又P(-7,-4),PM/x軸.當(dāng)點(diǎn)E在M左側(cè)，貝U/BAM=/AME./AEM=/AMB,AAEMABMA.ME=5,E(-2,-4).過點(diǎn)A作AN,PM于點(diǎn)N,則N(1,-4).當(dāng)點(diǎn)E在M右側(cè)時(shí)，記為點(diǎn)E'I,/AE&

5、#39;N=ZAEN,點(diǎn)E'與E關(guān)于直線AN對稱，則E'(4,-4).綜上所述，E的坐標(biāo)為(-2,-4)或(4,-4).【解析】【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解。即；由題意把A(1,0),B(5,0),代入解析式可得關(guān)于a、b的方程組，a+b+5=0,25a+5b+5=0解彳#a=1、b=-6,所以拋物線的解析式為y=-6x+5;(2)過P作PH,x軸于H.由題意可得OA=1,AB=4.而AC=AB且點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)，所以CACPAC=4,貝UCB=CA+AB=8已知線段CP是線段CA、CB的比例中項(xiàng)，所以即),解得CP=4%工因?yàn)?PCB是公共角，所以根據(jù)相似三角形的判定可

6、得CPACBP,所以ZCPA=/CBR因?yàn)镺C=OD=3,/DOC=90；/DCO=45.所以/PCH=45；在直角三角形PCH中，PH=CH=CPsin45°=4,所以H(-7,0),BH=12,貝UP(-7,-4),在直角三角形PBH中，tan/CBP=火，=tan/CPA;(3)將(1)中的解析式配成頂點(diǎn)式得y=G力-4,所以拋物線的頂點(diǎn)是M(3,-4),而P點(diǎn)的縱坐標(biāo)也為-4,所以PM/x軸.分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在M左側(cè)，則/BAM=/AME,而/AEM=/AMB,根據(jù)相似三角形的判定可得AEMsBMA,所以可MEAk"得比例式乩甘田,即為拓J,解得ME=5,所以

7、E(-2,-4);當(dāng)點(diǎn)E在M右側(cè)時(shí)，記為點(diǎn)E過點(diǎn)A作ANLPM于點(diǎn)N,則N(1,-4),因?yàn)?AE'N=AEN,所以根據(jù)軸對稱的意義可得點(diǎn)E'與E關(guān)于直線AN對稱，則E'(4,-4).3.在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動，4ABC是邊長為2的等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，小亮以BE為邊向BE的右側(cè)作等邊三角形BEF,連接CF.ABAB圖1®2(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，EF、BC相交于點(diǎn)D,小亮發(fā)現(xiàn)有兩個三角形全等，請你找出來，并證明；(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)F也隨著運(yùn)動，若四邊形ABFC的面積為X求AE的長；(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在A

8、C的延長線上運(yùn)動時(shí)，CFBE相交于點(diǎn)D,請你探求4ECD的面積Si與4DBF的面積S2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；國(4)如圖2,當(dāng)4ECD的面積S=方時(shí)，求AE的長.【答案】(1)解：現(xiàn)點(diǎn)E沿邊AC從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動過程中，始終有ABE74CBF.由圖1知，4ABC與AEBF都是等邊三角形，AB=CBBE=BF/ABC=/EBF=60,/CBF土ABE=60-ZCBEABE?ACBF.(2)解：由(1)知點(diǎn)E在運(yùn)動過程中始終有ABE?CBF,因四邊形BECF的面積等于三角形BCF的面積與三角形BCE的面積之和,四邊形BECF的面積等于4ABC的面積，因4ABC的邊長為四邊形BECF的面積為又四

9、邊形ABFC的面積是隊(duì)/3SA二.J,在三角形ABE中，因ZA=60；.,邊AB上的高為AEsin60,11|jS®二-AB抬in"=-X2XAE=P.2J/1,則AE=-.解：$27”.由圖2知，4ABC與4EBF都是等邊三角形，AB=CRBE=BF/ABC=/EBF=60,又/CBF土ABE=60+/CBE,.1.ABE?ACBF§般=5d島，S3=5皿十5做，則5/酩-山,則反51=5(4)解：由(3)知-.AE=CF/BAE=ZBCF=60,=V'J,即5凡-$加-/,/755的-S郎-由方得心,AABE?ACBF,又/BAE=/ABC=60,得/

10、ABC=/BCF,CF/AB,貝U4BDF的邊CF上的高與ABC的高相等，即為瓜CD=x-,則DF=5,設(shè)CE=x則2+x=CD+DF=CD+在ABE中，由CD/AB得，AB是,即2化簡得34工-“二心，x=1或x=-J(舍)，即CE=1,AE=3.【解析】【分析】(1)不難發(fā)現(xiàn)ABE74CBF,由等邊三角形的性質(zhì)得到相應(yīng)的條件，根據(jù)“SA洌定三角形全等；(2)由(1)可得ABE74CBF,則S/儂二儲血，則四邊形ABFC=5枚'5四懸鹿ECF二5d破，.S距*5=SZ膜"3&，由四邊形ABFC的Ir行工口上"工必人”。面積為/和等邊三角形ABC的邊長為2,

11、可求得4ABE的面積，由底ABXAEsin60；構(gòu)造方程可解出AE.(3)當(dāng)E在AC的延長線上時(shí)，ABE74CBF依然成立，則5d救5說，即Ssc+即'-$由的十闋由等量關(guān)系即可得答案.(4)由(3)可求出4FBD的面積，由ABE74CBF,則AE=CF,/BAE=/BCF=60=ZABC,則CF/AB,則對于BDF的邊CF上的高等于ABC的高，則可求CDCB出DF的長度；由AE=CF可設(shè)CE=x且CD/AB可得泌.在，代入相關(guān)值解出x即可.4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(5,0),以O(shè)A為半徑作半圓，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)圓周上一動點(diǎn)，連結(jié)ACBC,并延長BC至點(diǎn)D,使CD=BC,過點(diǎn)

12、D作x軸垂線，分別交x軸、直線AC于點(diǎn)E、F,點(diǎn)E為垂足，連結(jié)OF.D(1)當(dāng)/BAC=30o時(shí)，求ABC的面積；(2)當(dāng)DE=8時(shí)，求線段EF的長；(3)在點(diǎn)C運(yùn)動過程中，是否存在以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與4ABC相似，若存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】(1)解：.AB是。的直徑，/ACB=90,°在RtABC中，AB=10,/BAC=30,/BC=AB=5,.AC=J.廬人里12而 .Saabc=上AC?BC=? .DEXAB,.,AE=J"-區(qū)=6,BE=AB-AE=4, .DE=2BE,3 /AFE+/FAE=90；DDBE+ZFAE=90,

13、/AFE=ZDBE,4 /AEF=ZDEB=90；5 .AEFADEB,.EF=JAE=義6=3(3)解：連接EC,設(shè)E(x,0),囹當(dāng)班的度數(shù)為60°時(shí)，點(diǎn)E恰好與原點(diǎn)O重合；百0。和；的度數(shù)60°時(shí)，點(diǎn)E在O、B之間，/EOF/BAC=ZD,又/OEF=ZACB=90,由相似知/EOF=/EBD,此時(shí)有EODEBD,OF小BE的EC是RtABDE斜邊的中線,，CE=CB6 /CEB玄CBE,7 /EOF玄CEB8 .OF/CE,9 .AOFAAECAO20E|52x：.AE的，即5r5x,-15土可可解得x=/,因?yàn)閤>0,60°<的度數(shù)<9

14、0°時(shí)，點(diǎn)E在O點(diǎn)的左側(cè)，若/EOF=ZB,貝UOF/BD,111上X?解得x=.OF=BC=BD,OFOE1加BEJ即若/EOF玄BAC,貝Ux=-U,-15-f-Jp|H-a|b綜上點(diǎn)E的坐標(biāo)為（/,0）;（J,0）;（-巳，0）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求得/ACB=90,根據(jù)30。的直角三角形的性質(zhì)求得BC,進(jìn)而根據(jù)勾月定理求得AC,然后根據(jù)三角形面積公式即可求得；（2）連接AD,由垂直平分線的性質(zhì)得AD=AB=10,又DE=8,在RtAODE中，由勾股定理求AE,依題意證明AED4DEB,利用相似比求EF;（3）當(dāng)以點(diǎn)E、O、F為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似時(shí)，分為

15、兩種情況：當(dāng)交點(diǎn)E在O,B之間時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E在O點(diǎn)的左側(cè)時(shí)；分別求E點(diǎn)坐標(biāo).5.已知：如圖，BC為。O的弦，點(diǎn)A為。O上一個動點(diǎn)，OBC的周長為16.過C作CD/AB交。于D,BD與AC相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ/AB交于Q,設(shè)/A的度數(shù)為(1)如圖1,求/COB的度數(shù)(用含a的式子表示)；(2)如圖2,若/ABC=90°時(shí)，AB=8,求陰影部分面積AB'CD(3)如圖1,當(dāng)PQ=2,求制+修的值.a的式子表不)；【答案】(1)解：.一/A的度數(shù)為飛CCCOB=2AA=2a(2)解：當(dāng)ZABC=90°時(shí)，AC為。的直徑，1. CD/AB,/DCB=180-90=90, .

16、BD為。O的直徑， .P與圓心O重合， .PQ/AB交于Q, OQXBC,.CQ=BQ, .AB=8,1OQ=AB=4,設(shè)。O的半徑為r,.OBC的周長為16,.CQ=8-r,(8-r)2+42=r2,解得r=5,CB=6,2HnX15Ra-X6X4=，陰影部分面積=的2宓(3)解：CD/AB/PQ,.PQ=2,【解析】【分析】3)由CD/AB/PQ,兩式子相加可得PQCQPQABCDCB6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形針旋轉(zhuǎn)90。得到平行四邊形ABOC'.拋物線1)根據(jù)圓周角定理可得/COB=2/A=2a；(2)當(dāng)/ABC=90°時(shí),可得點(diǎn)P與圓心O重合，根據(jù)OBC

17、的周長為16以及AB=8,可求得。的半徑為5,可得出扇形COB的面積以及OBC的面積，進(jìn)而得出陰影部分面積；(可得ABPCABDC,CPQCAB,即，|£2IAB'CD西一，即可得出，修口的值.ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)y=-x2+2x+3經(jīng)過點(diǎn)A、C、A'三點(diǎn).(1)求A、A'、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求平行四邊形ABOC和平行四邊形ABOC重疊部分ACOD的面積；(3)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，問點(diǎn)M在何處時(shí)，AAMA'的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時(shí)M的坐標(biāo).【答案】(1)解：當(dāng)y=0時(shí)，-x2+2x+3=0,解得x1=

18、3,x2=-1,貝UC(1,0),A'(3,0),當(dāng)x=0時(shí)，y=3,則A(0,3)(2)解：二四邊形ABOC為平行四邊形，.AB/OC,AB=OC,而C(T,0),A(0,3),B(1,3),/但OB=十于=，Saaob=X3柒1-，又.平行四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)90°得平行四邊形A'B'OC', ./ACO=/OCD,OC=OC=1,又ZACO=ZABO,/ABO=/OCD.又/C'OD=/AOB, .CODsBOA,(3)解：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,-m2+2m+3),0vmv3,作MN|y軸交直線AA于N,易得直線AA'的解析式為y=-

19、m+3),MN=-m2+2m+3(m+3)=m2+3m,Saama=Sanm+Samna'mMN?3x+3,則N(mmg上2+m.J-)7+215a21- 當(dāng)m=:時(shí)，Saama'的值最大，最大值為8,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(上，?)【解析】【分析】(1)利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題可求出C(-1,0),A'(3,0);計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值可得到A(0,3);(2)先由平行四邊形的性質(zhì)得AB/OC,AB=OC,易得B(1,3),根據(jù)勾股定理和三角形面積公式得到OB=J,&aob=Id-,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/ACO=/OC'D,OC'=OC=1,接著證明

20、CODsBOA,利|s£.q0Cf用相似三角形的性質(zhì)得5d&y=(而F,則可計(jì)算出&COD；(3)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,-m2+2m+3),0<m<3,作MN夕y軸交直線AA于N,求出直線AA'的解析式為y=-x+3,則N(m,-m+3),于是可計(jì)算出S胃MN=-m2+3m,再利用SaamaSaanm+Smna和三角形面積公式得到Sama=-二，m2+_m,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出AMA'的面積最大值，同日即可確定此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo).7.如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm,AD=4cm,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線

21、AD移動，以CE為直徑作圓O,點(diǎn)F為圓O與射線BD的公共點(diǎn)，連接ERCF,過點(diǎn)E作EGJ±EF,EG與圓O相交于點(diǎn)G,連接CG.(1)求證：四邊形EFCG是矩形;(2)當(dāng)圓O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動，在點(diǎn)E移動的過程中，矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個最大值或最小值；若不存在，說明理由;.CE為。O的直徑,/CFE=/CGE=90.EG±EF,/FEG=90.°/CFE4CGE4FEG=90.四邊形EFCG矩形(2)存在.連接OD,如圖2，圖2 四邊形ABCD是矩形，/A=ZADC=90: 點(diǎn)O是CE的中點(diǎn)，OD=OC.點(diǎn)D在。O上

22、. /FCE4FDE,ZA=ZCFE=90,° .CFEADAB.£的CbS叢。垢=(物)2. .AD=4,AB=3,.BD=5,CFSacfe=(/)2?SadabCP=旭XX3X43C=8S矩形abcd=2Scfe3C= .四邊形EFCG矩形， .FC/EG/FCE=/CEG /GDC=/CEG/FCE4FDE,/GDC=/FDE /FDE+ZCDB=90,° /GDC+ZCDB=90,°/GDB=90°I.當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A(E)處時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)B(F)處，點(diǎn)G在點(diǎn)D(G'處，如圖2所示.此時(shí)，CF=CB=4n,當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D(F"

23、;)處時(shí)，直徑FGL'BD,如圖2所示,此時(shí)OO與射線BD相切，CF=CD=3m.當(dāng)CF±BD時(shí)，CF最小，此時(shí)點(diǎn)F到達(dá)F，'如圖2所示.SabcaBC?CD=BD?CF'.4X3=5X.CF"'12，CF'J=5VCFW43CF-.S矩形abcD=",X(5)2<S矩形abcdW乂4.竺w幽形abcdW1.210b.矩形EFCG的面積最大值為12,最小值為.【解析】【分析】(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得出/CFE4CGE=90,根據(jù)垂直的定義可證得/FEG=90,再根據(jù)四個角是直角的四邊形是矩形，即可得證。(

24、2)易證點(diǎn)D在。O上，根據(jù)圓周角定理可得ZFCE=ZFDE,從而證到CFa4DAB,根3CP據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得出S矩形abcd=2Scfe=(，,分情況討論：I.當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A(E')處時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)B(F)處，點(diǎn)G在點(diǎn)D(G'處)；n.當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D(F)處時(shí)，直徑F"G上BD;m.當(dāng)CF±BD時(shí)，CF最小，此時(shí)點(diǎn)F到達(dá)F；求出CF的范圍，就可求出S矩形EFCG的范圍。8.如圖，4ABC內(nèi)接于。O,/CBGNA,CD為直徑，OC與AB相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF，BC,垂足為F,延長CD交GB的延長線于點(diǎn)巳連接BD.(1)求證：PG與。O相切；呼5班(2)若五

25、=6,求應(yīng)的值；(3)在(2)的條件下，若。的半徑為8,PD=OD,>?OE的長.【答案】(1)解：如圖，連接OB,則OB=OD,G/BDC=ZDBO, /BAC=ZBDG/BAC=ZGBC,/GBC=ZBDO,.CD是。O的直徑， /DBO+ZOBC=90； /GBC+/OBC=90；/GBO=90；PG與。O相切。(2)解：過點(diǎn)O作OMLAC于點(diǎn)M,連接OA,I則/AOM=/COM=/AOC,帆心角/ABC和田周440C所對瓠相同、，/ABC=/AOC=/COM,又/EFB土OMC=90,.BEFAOCM,EF班.CM=AC,EFBE,那一EF3又K8,BEEF5V-2X=2X-=B

26、EA(3)解：由(2)可知另=,貝UBE=10.PD=OD,/PBO=90；BD=OD=8,在RtADBC中,BC=F-盼=8"5,又OD=OB,.DOB是等邊三角形，/DOB=60；/DOB=ZOBC+ZOCB,OB=OC,/OCB=30；可設(shè)EF=x貝UEC=2xFC=、萬x,.BF=8.x,在RtBEF中，B=E*+B戶,.100=x2+(8/-x)解得：x=6±/3,6+'上；8,舍去，.x=6-.EC=12-2.OE=8-(122'石）=2【解析】【分析】（1）連接OB,則需要證明/GBO=/GBC+ZOBC=90;由CD是。的直徑，則/DBO+/

27、OBC=90,即需要證明/GBC=ZBDO,由同弧所對的圓周角相等，可知/BAC=ZBDC,而/BAC=ZGBC,/BDC=ZDBO,貝U可證得/GBC=ZBDO。（2）因?yàn)橐阎龆?、，求儀淇中EF,BE是4BEF的兩條邊，而AC,OC是4AOC的兩條邊，但4BEF和4AOC不相似，則可構(gòu)造兩三角形相似，因?yàn)?BEF是直角三角形，則可過點(diǎn)O作OMLAC于點(diǎn)M,連接OA,即構(gòu)造BED4OCM,從而可求得比。班(3)由(2)得五的值及OC=8求出BE;由PD=OD,且/PBO=90,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半”可得BD=OD=8,由勾股定理可求得BC的長，則ADOB是等邊三角形，

28、則在直角三角形ECF中存在特殊角30度，不妨設(shè)EF=x則CE=2xCF=Gx。在RtABEF中，由勾股定理可得BEEP+BF2,構(gòu)造方程解答即可。二、圓的綜合9.如圖，AB是半圓的直徑，過圓心O作AB的垂線，與弦AC的延長線交于點(diǎn)D,點(diǎn)E在OD上DCEB.(1)求證：CE是半圓的切線；2(2)若CD=10,tanB求半圓的半徑.3【答案】(1)見解析；4M【解析】分析：(1)連接CO,由DCEB且OC=OB彳導(dǎo)DCEOCB,利用同角的余角相等判斷出/BCO+ZBCE=90,即可得出結(jié)論；(2)設(shè)AC=2x,由根據(jù)題目條件用x分別表示出OA、AD、AB,通過證明AODACB,列出等式即可./DC

29、B=180-°ZACB=90:dDDCE+ZBCE=90.°.OC=OB,/OCB=ZB.DCE=B,/OCB=ZDCE/OCE=ZDCB=90: OCXCE .OC是半徑, .CE是半圓的切線.(2)解：設(shè)AC=2x,_AC21 .在RHACB中，tanB-,BC3BC=3x.AB2x23x213x.2 .ODXAB,/AOD=ZACB=90.°/A=ZA,3 .AODAACBlACAO.ABAD113“rc”O(jiān)A-ABx,AD=2x+10,229v113x2x2.13x2x10解得x=8._13-OA84.13.2則半圓的半徑為4,13.點(diǎn)睛：本題考查了切線的

30、判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形10.已知AB,CD都是eO的直徑，連接DB,過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)E.1 如圖1,求證：AOD2E1800；2如圖2,過點(diǎn)A作AFEC交EC的延長線于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DGAB,垂足為點(diǎn)G,求證：DGCF;-DG3-3如圖3,在2的條件下，當(dāng)一時(shí)，在eO外取一點(diǎn)H,連接CH、DH分別交CE4eO于點(diǎn)M、N,且HDEHCE，點(diǎn)P在HD的延長線上，連接PO并延長交CM于點(diǎn)Q,若PD11,DN14,MQOB,求線段HM的長.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)8J37【解析】【分析】(1)由/D+/E=90°,可得2/D+2/E=180&#

31、176;,只要證明/AOD=2/D即可；(2)如圖2中，作OR，AF于R.只要證明4AO宅ODG即可；(3)如圖3中，連接BGOM、ON、CN,彳BT,CL于T,作NK±CH于K,設(shè)CH交DE于W.解直角三角形分別求出KM,KH即可；【詳解】1證明：如圖1中，QeO與CE相切于點(diǎn)C,OCCE,OCE900,DE900,2D2E180°,QAODCOB,BOC2D,AOD2D,AOD2E18002證明：如圖2中，作ORAF于R.QOCFFORF90°,四邊形OCFR是矩形，AF/CD,CFOR,AAOD,在VAOR和VODG中，QAAOD,AROOGD90°

32、;，OADO，VAORVODG,ORDG,DGCF,3解：如圖3中，連接BCOM、ON、CN,彳BTCL于T,作NKCH于K,設(shè)CH交DE于W.設(shè)DG3m,則CF3m,CE4m,QOCFFBTE90°,AF/OC/BT,QOAOB,CTCF3m,ETm,QCD為直徑，CBDCND90°CBE，E90°EBTCBT,tanEtanCBT,BTCT,ETBTBT3m,mBTBTJ3m（負(fù)根已經(jīng)舍棄），tanE60°，QCWDHDEH,HDEHCE,HE60°，MON2HCN600,QOMON,VOMN是等邊三角形，MNON,QQMOBOM,MOQM

33、QO,QMOQPON1800MON120°,MQOP1800H120°,PONP,ONNP141125,CD2ON50,MNON25,在RtVCDN中，CNJCD2DN2750214248，在RtVCHN中，tanH空出-73,HNHNHN16/3,在RtVKNH中，KH1HN8於,NKHN24,22在RtVNMK中，mKJMN2NK2，2522427，HMHKMK8顯7.【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或直角三角形解題的關(guān)鍵.11 .已知eO的半徑為5,弦A

34、B的長度為m,點(diǎn)C是弦AB所對優(yōu)弧上的一動點(diǎn).1如圖，若m5,則C的度數(shù)為2如圖，若m6.求C的正切值；【答案】130；2C的正切值為3；8VABC27或色.425【解析】【分析】1連接OA,OB,判斷出VAOB是等邊三角形，即可得出結(jié)論；2先求出AD10,再用勾股定理求出BD8,進(jìn)而求出tanADB,即可得出結(jié)論；分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理以及勾股定理即可得出結(jié)論.【詳解】1如圖1,連接OB,OA,圖】OBOC5,QABm5,OBOCAB,VAOB是等邊三角形,AOB60o，1oACBAOB30,2故答案為30；2如圖2,連接AO并延長交3。于口，連接BD,QAD為eO的直徑

35、，AD10,ABD90°，8,在RtVABD中，ABm6,根據(jù)勾股定理得，BDtanADBAB3BD4QCADB,，、，3C的正切值為一；4I、當(dāng)ACBC時(shí)，如圖3,連接CO并延長交AB于E,QACBC,AOBO,CE為AB的垂直平分線,AEBE3,在RtVAEO中，OA5,根據(jù)勾股定理得,OE4,CEOEOC9,11Svabc-ABCE-622927;4,n、當(dāng)ACAB6時(shí)，如圖圖4連接OA交BC于F,QACAB,OCOB,AO是BC的垂直平分線，過點(diǎn)O作OGAB于G,1_-AOG-AOB,AG2QAOB2ACB,ACFAOG,在RtVAOG中，sinAOG-AB3,2AG3AC5

36、sinACF3在RtVACF中，sinACF,5AF3AC5185CF24SvABC1-AFBC21182443225525出、當(dāng)BABC6時(shí)，如圖5,由對稱性知,SVABC43225【點(diǎn)睛】圓的綜合題，主要圓的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.12 .四邊形ABCD內(nèi)接于。0,點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接AC,CB,/B=/AEC(1)如圖1,求證：CE=CD(2)如圖2,若/B+/CAE=120,/ACD=2/BAC,求/BAD的度數(shù);(3)如圖3,在(2)的條件下，延長CE交。O于點(diǎn)G,若tan/BAC=53,EG=2求11

37、AE的長.圖3【答案】(1)見解析；(2)600;(3)7.【解析】試題分析：(1)利用圓的內(nèi)接四邊形定理得到ZCED=ZCDE.(2)作CH，DE于H,設(shè)/ECH=%由(1)CE=CD用a表示/CAE/BAC,而/BAD=/BAC+/CAE.(3)連接AG,作GNXAC,AM，EG,先證明/CAG=/BAC,設(shè)NG=5石m,可得AN=11m,利用直角nAGM,nAEM,勾股定理可以算出m的值并求出AE長.試題解析：(1)解：證明：二.四邊形ABCD內(nèi)接于OO./B+/D=180,° /B=/AEC, /AEG/D=180； /AEG/CED=180；/D=ZCED .CE=CD /

38、ECD=2a, /B=ZAEC,/B+ZCAE=120； /CAEnZAEC=120；/ACE=180-ZAEC-/ACE=60°, /CAE=90-/ACH=90-(60+a)=30-a,/ACD=/ACI+/HCD=60+2a,/ACD=2/BAC,/BAO30+a,/BAD=ZBAG/CAE=30+a+30-a=60:(3)解：連接AG,彳GN±AC,AM±EG,./CED=/AEG,/CD-AGE,/CED=/CDE/AEG=ZAGE,.AE=AG,1.EM=MG=-EG=12，/EAG=ZECD=2%/CAG=ZCAD+ZDAG=30-a+2a=ZBAC

39、,53.tan/BAC=5_3,11=14m,.設(shè)NG=53Zm,可得AN=11m,AG=JaG2_AM2/ACG=60；1- CN=5m,AM=8而m,MG=JaG2AM2=2m=1,1一m二，2.CE=CD：CGEG=10m-2=3,AE=Jam2em2=#+(4拘2=7.13.如圖，OO是ABC的外接圓，AB是直徑，過點(diǎn)O作ODLCB,垂足為點(diǎn)D,延長DO交。O于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作PEIAB,垂足為點(diǎn)P,作射線DP交CA的延長線于F點(diǎn)，連接EF,1）證明見解析；（2）證明見解析.FE是。的切線.【解析】試題分析：（3）連接試題解析：(2)證明POEADO可得DO=EQAE,BE,證出APEA

40、FE即可得出結(jié)論.(1)ZEPO=ZBDO=90/EOP=ZBODOE=OB.-.OPEAODB .OD="OP"(2)連接EA,EB.1./1=/EBC,AB是直徑/AEB=ZC=90°/2+/3=90° /3=/DEB /BDE=90° /EBC叱DEB=90.1./2=/EBC41 /C=90°ZBDE=90 .CF/OE/ODP=ZAFP .OD=OP/ODP=ZOPD /OPD=ZAPF/AFP=ZAPF.AF=AP又AE=AE.APEAAFE/AFE=ZAPE=90/FED=90°.FE是。O的切線考點(diǎn)：切線的判

41、定.14.如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上,/AEF=90,AE=EF過點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為H,連接AC.(1)試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：/ACF=90°連接AF,過A,E,F三點(diǎn)作圓，如圖2.若EC=4,ZCEF=15°,求|建的長.圖1圖2【答案】(1)BE="FH"；理由見解析(2)證明見解析(3)/=2?！窘馕觥吭囶}分析：(1)由ABEEHF(SAS即可得到BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB從而可知FHC是等腰直角三角形，/FCH為45°

42、,而/ACB也為45°,從而可證明(3)由已知可知/EAC=30,AF是直徑，設(shè)圓心為O,連接EO,過點(diǎn)E作ENLAC于點(diǎn)N,則可得4ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長，進(jìn)而可得AE的長，得到半徑，得到尼所對圓心角的度數(shù)，從而求得弧長試題解析：(1)BE=FH理由如下： 四邊形ABCD是正方形/B=90； .FHXBC/FHE=90°又,：LAEF=90/AEB+/HEF="90"且/BAE+/AEB=90/HEF=ZBAE/AEB=ZEFH又AE=EF .ABEAEHF(SAS.BE=FH(2)AABEAEHFBC=EH,BE=FH又BE+EC=EC+CH.BE="CH".CH=FH/FCH=45,°/FCM=45°.AC是正方形對角線，ZACD=45°/ACF=ZFCM+/ACD=90°(3) AE=EF，4AEF是等腰直角三角形AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點(diǎn)上.設(shè)該中點(diǎn)為O.連結(jié)EO得/AOE=90°BH過E作EN±AC于點(diǎn)NRtAENC中，EC=4,/ECA=45。，.EN=NC=0RtAENA中，EN=2®