4年級-13-雞兔同籠問題-難版

1、第13講雞兔同籠與假設法在我國古代的數(shù)學著作孫子算經(jīng)中，記載著流傳甚廣的數(shù)字歌謠：雞兔同籠不知數(shù)，三十五頭籠中露。數(shù)清腳共九十四雙，各有多少雞和兔。翻譯成現(xiàn)代數(shù)學語言為：今有雞兔共居一籠，已知雞頭與兔頭共有 35個，雞腳與兔腳一共有 94只。問雞和兔一共有多少只？ 這就是我們通常說的“雞兔同籠”問題。這一古老的數(shù)學問題在現(xiàn)實生活中普遍存在，解法多 種多樣，但一般采用假設法。典型例題【例1】今有雞、兔共居一籠，已知雞頭和兔頭共35個，雞腳與兔腳共 94只。問雞、兔各有多少只？【解析】雞兔同籠問題往往用假設法來解答，即假設全是雞或全是兔，腳的總數(shù)必然與條件矛盾，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾適當調整，從而找

2、到正確答案。假設全是雞，那么相應的腳的總數(shù)應是2X 35=70只，與實際相比，減少了 9470=24只。減少的原因是把一只兔當作一只雞時，要減少4- 2=2只腳。所以兔有24 + 2=12只，雞有 35 12=23 只?！拘≡嚺５丁啃∶窋?shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？【解析】假設16只都是雞，那么就應該有 2X16=32 （只）腳，但實際上有 44只腳，比假 設的情況多了 44-32 = 12 （只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了 2只。因此只要算 出12里面有幾個2

3、,就可以求出兔的只數(shù)。 有兔（44-2X16） + （4-2） =6 （只）,有雞16-6 =10 （只）?！纠?】面值是2元、5元的人民幣共27張，全計99元。面值是2元、5元的人民幣各 有多少張？【解析】這道題類似于“雞兔同籠”問題。假設全是面值2元的人民幣，那么 27張人民幣是2X 27=54元，與實際相比減少了 99- 54=45元，減少的原因是每把一張面值 2元的人民 幣當作一張面5元的人民幣，要減少 5 2=3元，所以，面值是 5元的人民幣有45+3=15 張，面值2元的人民幣有 2715=12張?！拘≡嚺５丁啃“子?2分、5分硬幣共40枚，一共是1元7角。兩種硬幣各有多少枚？【解

4、析】2分10枚，5分30枚【例3】一批水泥，用小車裝載，要用 45輛；用大車裝載，只要 36輛。每輛大車比小車 多裝4噸，這批水泥有多少噸？【解析】求出大車每輛各裝多少噸，是解題關鍵。如果用36輛小車來運，則剩 4X36=144噸，需4536=9輛小車來運，這樣可以求出每輛小車的裝載量是144+9=16噸，所以，這批水泥共有16 X 45=720噸。【小試牛刀】一批貨物用大卡車裝要16輛，如果用小卡車裝要 48輛。已知大卡車比小卡車每輛多裝4噸，問這批貨物有多少噸？【解析】96噸【例4】某玻璃杯廠要為商場運送1000個玻璃杯，雙方商定每個運費為1元，如果打碎一個，這個不但不給運費，而且要賠償

5、3元。結果運到目的地后結算時，玻璃杯廠共得運費920元。求打碎了幾個玻璃杯？【解析】假設1000個玻璃杯全部運到并完好無損，應得運費1X 1000=1000元，實際上少得1000 920=80元，這說明運輸過程中打碎了玻璃杯。每打碎一個，不但不給運費還要賠償 3元，這樣玻璃杯廠就少收入1+3=4元。又已求出共少收入 80元，所以打碎的玻璃杯數(shù)為80+ 4=20 個?！拘≡嚺５丁堪徇\ 1000玻璃瓶，規(guī)定安全運到一只可得搬運費3角。但打碎一只，不僅不給搬運費還要賠5角。如果運完后共得運費 260元，那么，搬運中打碎了多少只？【解析】50只【例5】某場乒乓球比賽售出 30元、40元、50元的門票共

6、200張，收入7800元。其 中40元和50元的張數(shù)相等，每種票各售出多少張？【解析】因為“ 40元和50元的張數(shù)相等"，所以可以把40元和50元的門票都看作45元的 門票，假設這200張門票都是45元的，應收入45X 200=9000元，比實際多收入 9000 7800=1200元，這是因為把 30元的門票都當作 45元來計算了。因此 30元的門票有1200 +（45 30） =80張，40元和50元的門票各有（20080） + 2=60張?！拘≡嚺５丁磕硤銮蛸愂鄢?0元、30元、50元的門票共400張，收入15600元。其中40元和50元的張數(shù)相等，每種門票各售出多少張？【解析】

7、30元的160張【例6】一次競賽的搶答題共有 20道題，如果搶答對一道題就加 10分，搶答錯誤要倒扣20分。李剛在比賽中搶答了9道題，一共加了 30分，他搶答對幾道題？【解析】假設李剛答對了9道題，那么他答錯了（10X 930） + （ 10+20）=（9030） + 30=60+30=2 （道）答對了 9-2=7 （道）【例7】 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多 20只。問：雞、兔各多少只？【解析】假設100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多 20只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數(shù)比實際上多20020=180 （只）?，F(xiàn)在以兔換雞，每換

8、一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就 會減少4 + 2=6 （只），而180+6=30,因此有兔子 30只，雞10030 = 70 （只）。解：有兔（2X 100 20） + （ 2 + 4） = 30 （只），有雞10030=70 （只）?！拘≡嚺５丁楷F(xiàn)有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油 4千克，每個小瓶可裝油 2千克，大瓶比小瓶共多裝 20千克。問：大、小瓶各有多少個？【解析】小瓶有（4X 50-20 ） + （ 4+2） = 30 （個），大瓶有50-30 = 20 （個）?！纠? 有蜘蛛、蟬、蜻蜓共 22只，共有腿148條，翅膀22對。（其中蜘蛛有8條腿；蜻蜓有

9、6條腿，兩對翅膀；蟬有 6條腿，一對翅膀）。求蜻蜓有多少只？【解析】這是在雞兔同籠基礎上發(fā)展變化的問題，我們先依據(jù)題意，得到以下幾種數(shù)量:項目蜘蛛蜻蜓蟬合計只數(shù)（只）22腿（條）8X只數(shù)6X只數(shù)6X只數(shù)148翅膀（對）2X只數(shù)1X只數(shù)22注意到蜻蜓和蟬都是有 6條腿，而蜘蛛有 8條腿。所以可以先從腿數(shù)入手求出蜘蛛的 只數(shù)。假設三種昆蟲都是 6條腿，那么總腿數(shù)是 6X 22=132 （條），與已知的148條腿相差 148132=16 （條），這是因為每只蜘蛛少算了8 6=2（條）腿，所以有16+2=8（只）蜘蛛。這樣蜻蜓和蟬一共有 22-8=14 （只），一共有22對翅膀。再從翅月入手，假設14

10、只昆蟲全是蜻蜓，求出蟬有（2X14 22） + （21） =6 （只），這樣蜻蜓有14-6=8 （只）。假設三種昆蟲都是 6條腿，那么蜘蛛有：（1486X22） + （ 86）= （148 132） + 2=16+2=8 （只）蜻蜓和蟬一共有 22- 8=14 （只）假設14只昆蟲全是蜻蜓，那么蟬有：（2X1422） + （21）=（28 22） + 1=6+1=6 （只）蜻蜓有14-6=8 （只）【小試牛刀】蜘蛛有 8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現(xiàn)有三 種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？【解析】9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬。提示：把小蟲

11、分成 8條腿與6條腿兩種，先求出蜘蛛的數(shù)?！纠?】學校買來足球、籃球和排球共 45個，共花費2820元。其中足球每個 80元， 籃球每個60元，排球每個 50元；現(xiàn)已知足球個數(shù)比排球少3個。三種球各買了多少個？【解析】假設排球減少 3個，此時三種球一共有 45-3=42 （個），共花費282050X 3=2670 （元）。由于足球與排球個數(shù)同樣多，就可以把足球與排球和起來看作是一種球，這時足球、排球平均每個是（80+50） + 2=65 （元）。此時就將題目轉化為典型的雞兔同籠問題：兩種球共有42個，共花費2670元，其中籃球每個是 60元，另一種球每個是 65元。 兩種球各有多少個？求出籃球

12、有多少個以后，就可以求出足球和排球有多少個。將排球減少3個，那么有45-3=42 （個）球，共花費 282050X 3=2670 （元），足球、排球 平均每個是（80+ 50） + 2=65 （元）。假設全是另一種球，那么籃球有（65X422670） + （ 6560）=（27302670） + 5=60+5=12 （個）這樣足球與排球一共有 33個，一共花了 2820-60 X 12=2100元。假設全是排球，那么足球有( 2100 50X 33) + ( 8050)=(2100 1650) + 30=450+ 30=15 (個)排球有33-15=18 (個)【小試牛刀】學校買來足球、籃球和

13、排球共34個，共花費2430元。其中足球每個 90元，籃球每個70元，排球每個60元；現(xiàn)已知買足球所花的錢數(shù)與買排球用的同樣多。三種球各買了多少個？【解析】把2個足球、3個排球看作一組，求出平均每個球的價錢是：(90X2+60X 3) + ( 2+3)=360 + 5=72 (元)假設學校買來的全是籃球，那么“新球”有：(243070X 34) + ( 7270)=(2430 2380) + 2=50+ 2=25 (只)籃球有：34-25=9 (只)足球有：25+ ( 2 + 3) X 2=25+5X 2=10 (個)排球有：25-10=15 (個)【例10】師徒二人合作加工趕制一批零件。師傅

14、每小時加工零件 200個，徒弟每小時加工120個，中途師傅由于疲勞先后休息了3小時。工作完成后，徒弟發(fā)現(xiàn)他仍然比師傅少加工了 200個零件。師徒二人共加工了多少個零件？【解析】師徒二人一共加工了2600個零件。A.課后作業(yè)1.100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？【解析】如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設法來解。假設100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300 140= 160(個)?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數(shù)不變，而饃就要減少31 = 2（個），因為160+ 2=80,故小

15、和尚有 80人，大和尚有 10080 = 20 （人）。同樣，也可以假設 100人都是小和尚，同學們不妨自己試試。2 .彩色文化用品每套 19元，普通文化用品每套 11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？【解析】我們設想有一只“怪雞”有 1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們 共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉換成雞兔同籠問題了。假設買了 16套彩色文化用品，則共需 19X16=304 （元），比實際多 304 280=24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用1911 = 8 （元），所以買普通文化用品2

16、4 + 8=3 （套），買彩色文化用品163=13 （套）。3 .一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要 36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？【解析】要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。利用假設法，假設只用 36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下 4X36=144 （噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9 （輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144+9=16 （噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。4X 36+ （ 45-36） X 45=720 （噸）。答：這批鋼材有720噸。4

17、.樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費 0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結果搬運站共得運費 115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？【解析】假設500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費0.24 X 500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5 （元）。搬運站每打破一只花瓶要損失0.24+ 1.26=1.5 （元）。因此共打破花瓶 4.5 +1.5=3 （只）。（0.24 X 500 115.5 ） + （ 0.24 + 1.26 ） = 3 （只）。5 .小樂與小喜一起跳繩，

18、小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了 3分鐘，一共跳了 780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？【解析】利用假設法，假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了12X (2+3) = 60 (下)?？汕蟪鲂访糠昼娞?8060） + （ 2+3+3） = 90 （下），小樂一共跳了 90X 3=270 （下），因此小喜比小樂共多跳780270X 2= 240 （下）。6 .有2角一張的人民幣和 5角一張的人民幣共 33張，共11元1角。兩種人民幣各有多少張？【解析】11元1角=111角假設全是5角一張的人民幣，那么2角一張的人民幣有：（5X33111

19、） + （5 2）=（165 111） + 3=54+3=18 （張）5角一張的人民幣有：33-18=15 （張）7 .在競賽搶答題組比賽中，李剛和王平各自搶答了10道題，已知搶答的規(guī)則是答對一題加20分，答錯一題要倒扣 16分。結果兩人一共得了 256分，其中李剛比王平多得了72分。兩人各答對了幾道題？【解析】假設20道題全答對，那么二人一共答錯：（20X 20 256） + （ 20+ 16）=（400- 256） + 36=144+ 36=4 （道）二人一共答對：20-4=16 （道）李剛比王平多答對：72+ （ 20+ 16） =2 （道）所以李剛答對：（16+2） +2=9 （道）王

20、平答對：92=7（道）8 .紅英小學組織120名教師和學生參加植樹活動。每個老師植樹2棵，每兩個學生種一棵樹。他們一共種了 90棵樹。老師和學生各有多少人？【解析】假設參加植樹的全是學生，那么教師有：（90 120 + 2） + （ 2 0。5）=（90-60） + 1。5=30+1。5=20（人）學生有：120 20=100 （人）9 . 一個年級有四個班，一共有 181名學生。其中一班比二班少 3人，二班比三班少 4人，三班人數(shù)與四班人數(shù)同樣多。四個班各有多少學生？【解析】假設四個班的人數(shù)都與二班人數(shù)同樣多，那么二班有：（181 + 3 4X 2）+4=（184 8） + 4=176+4=44 （人）一班有：443=41 （人）三班、四班分別有： 44 + 4=48 （人）10 .傳說九頭鳥有9個頭和1條尾巴，九尾狐有1個頭和9條尾巴。