《算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)》

1、算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)一、復習舊知，以舊悟新：一、復習舊知，以舊悟新：一、復習舊知，以舊悟新：一、復習舊知，以舊悟新：1. 對稱性對稱性:abba 2. 傳遞性傳遞性: ,ab bcac 3. 加法性質及其推論加法性質及其推論:a ba c b c ,a bc da c c d 4. 乘法性質乘法性質:,0,0ab ca cb cab ca cb c0,0aba bc ddc 5. 除法性質除法性質:6. 乘方性質乘方性質:0nnabab7. 開方開方性質性質:0nnabab二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若二、

2、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若. 0 時取等號時取等號當且僅當當且僅當 a二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若. 0 時取等號時取等號當且僅當當且僅當 a. 0)(2 baRbRa，若若二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若. 0 時取等號時取等號當且僅當當且僅當 a. 0)(2 baRbRa，若若. 222abba 展開整理得：展開整理得：二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若. 0 時取等號時取等號當且僅當當且僅當 a. 0)(2 baRbRa，若若. 222abb

3、a 展開整理得：展開整理得：( ( 何何 時時 取取 等等 號號 ？ ) )二、提出問題，探究定理：二、提出問題，探究定理：. 02 aRa若若. 0 時取等號時取等號當且僅當當且僅當 a. 0)(2 baRbRa，若若. 時取等號時取等號當且僅當當且僅當ba . 222abba 展開整理得：展開整理得：( ( 何何 時時 取取 等等 號號 ？ ) )定定 理：理：) ( . 2 , 22”時取“時取“當且僅當當且僅當那么那么如果如果 baabbaRba定定 理：理：1. 定理適用范圍：定理適用范圍：a, bR.2. 取取 “=” 的條件的條件 a = b.) ( . 2 , 22”時取“時取

4、“當且僅當當且僅當那么那么如果如果 baabbaRba定定 理：理：注意注意: :思思 考：考： 由定理猜測：若由定理猜測：若a, bR+, a + b會具備什么性質呢？會具備什么性質呢？思思 考：考： 由定理猜測：若由定理猜測：若a, bR+, a + b會具備什么性質呢？會具備什么性質呢？. 2, abbaRba 猜測：若猜測：若思思 考：考：定定 理：理：) ( . 2 , ”時取“時取“當且僅當當且僅當那么那么是正數(shù)是正數(shù)如果如果 baabbaba定定 理：理：1. 這個定理適用的范圍：這個定理適用的范圍：a , bR+ .) ( . 2 , ”時取“時取“當且僅當當且僅當那么那么是正

5、數(shù)是正數(shù)如果如果 baabbaba定定 理：理：注意注意: :. ., ,2 . 2們的幾何平均數(shù)們的幾何平均數(shù)小于它小于它個正數(shù)的算術平均數(shù)不個正數(shù)的算術平均數(shù)不兩兩這個定理可以表述為：這個定理可以表述為：的幾何平均數(shù)的幾何平均數(shù)為為的算術平均數(shù)，的算術平均數(shù)，為為稱稱baabbaba 的幾何解釋：的幾何解釋： 2abba . 2,2abCDbaabCDabCBCACDABDDCCABba 而半徑而半徑從而從而則則作弦作弦，過，過取一點取一點上上為直徑作圓，在直徑為直徑作圓，在直徑以以的幾何解釋：的幾何解釋： 2abba DBDACba三、理解定理，初步應用：三、理解定理，初步應用：2221. , , .a b cabcabbcca例已 知為 兩 兩不 相 等 的 實 數(shù) ， 求 證 ：222abab證 明 ：222bcbc222acac222abcabbcac將以上三個同向不等式相加得：22222abab例2：求證：222abab證明：22222()2ababab2222()()abab兩邊同時除以兩邊同時除以4得：得：22222abab作業(yè)：作業(yè)：1已知a、b