時頻分析與連續(xù)小波變換學習教案

1、會計學1時頻分析時頻分析(fnx)與連續(xù)小波變換與連續(xù)小波變換第一頁，共137頁。n傅里葉分析回顧傅里葉分析回顧n聯合聯合(linh)(linh)時頻分析的基本原理時頻分析的基本原理n短時傅里葉分析短時傅里葉分析:STFT:STFTn連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換:CWT :CWT n時頻分析的應用時頻分析的應用n 瞬時頻率瞬時頻率n 基于短時傅里葉脊和小波脊的瞬時頻率檢測基于短時傅里葉脊和小波脊的瞬時頻率檢測n本章小結本章小結第1頁/共137頁第二頁，共137頁。第2頁/共137頁第三頁，共137頁。傅里葉分析傅里葉分析(fnx)(fnx)概述概述第3頁/共137頁第四頁，共137頁。傅里葉變換傅

2、里葉變換(binhun)(分析分析)的定義的定義根據信號的不同，傅里葉變換有四種定義：根據信號的不同，傅里葉變換有四種定義：CTFT: CTFT: 連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)時間傅里葉變換時間傅里葉變換CFS: CFS: 連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)時間傅里葉級數時間傅里葉級數DTFTDTFT： 離散時間傅里葉變換離散時間傅里葉變換DFSDFS： 離散時間傅里葉級數離散時間傅里葉級數第4頁/共137頁第五頁，共137頁。1( )()2jtx tXjed()( )jtXjx t edt第5頁/共137頁第六頁，共137頁。TtTjkTtjkkktTjkkktjkkdtetxTdtetx

3、Taeaeatx)/2(0)/2(0)(1)(1)(第6頁/共137頁第七頁，共137頁。deeXnxnjj2)(21)(nnjjenxeX)()(第7頁/共137頁第八頁，共137頁。NnnNjkNnnjkkNknNjkkNknjkkenxNenxNaeaeanx)/2(0)/2(011第8頁/共137頁第九頁，共137頁。CFS連續(xù)時間傅立葉級數( )kx tA離散、非周期連續(xù)、周期DFS離散時間傅立葉級數( )kx nA 離 散 、 周 期 離 散 、 周 期連續(xù)、非周期連續(xù)、非周期CTFT連續(xù)時間傅立葉變換( )()()2()x tXjXjtxDTFT離散時間傅立葉變換)()(jeXn

4、x連續(xù)、周期離散、非周期12()kAX jkTT21()jkNkAX eN)()(jDTFTeXnx )()(kxeXCFSjt1()nAxkN第9頁/共137頁第十頁，共137頁。第10頁/共137頁第十一頁，共137頁。deftfdtetfftiti)(21)()()(第11頁/共137頁第十二頁，共137頁。001212121200()( )*( )1( )( )*()2()( )( )( )()FFFjtFjtFFFppf tffftfff t ftfff ttfeef tftfs fssftjf 第12頁/共137頁第十三頁，共137頁。傅里葉變換的重要缺陷傅里葉變換的重要缺陷:難于

5、獲得難于獲得(hud)信號的信號的“局部變化局部變化”規(guī)規(guī)律律第13頁/共137頁第十四頁，共137頁。1( )( )( )(1)( )( )0( )1( )ppf tffdf tf tpKKff tp 定理：如果信號的傅里葉變換滿足： ， 則:是有界的，并且具有 階導數。推論:如果存在常數 及使得：， 則:具有 階導數。傅里葉變換的衰減性與信號的全局傅里葉變換的衰減性與信號的全局(qunj)正則性之間的關系：正則性之間的關系：第14頁/共137頁第十五頁，共137頁。傅里葉變換傅里葉變換(binhun)的快速算法：的快速算法：FFT第15頁/共137頁第十六頁，共137頁。第16頁/共137

6、頁第十七頁，共137頁。n1946年年,Dennis Gabor(1971年年Nobel獎獲得者獎獲得者) :n“迄今為止，通信理論的基礎一直是信號分析的兩種方法組成的：一種將信號號描述成時間的函數，另一種將信號描述成頻率迄今為止，通信理論的基礎一直是信號分析的兩種方法組成的：一種將信號號描述成時間的函數，另一種將信號描述成頻率(pnl)的函數（的函數（Fourier分析）。這兩種方法都是理想化的分析）。這兩種方法都是理想化的。然而，我們每一天的經歷特別是我們的聽覺卻一直是用時間和頻率。然而，我們每一天的經歷特別是我們的聽覺卻一直是用時間和頻率(pnl)來描述的。來描述的?！钡?7頁/共137

7、頁第十八頁，共137頁。第18頁/共137頁第十九頁，共137頁。第19頁/共137頁第二十頁，共137頁。特點：都是由一個基本的單元(dnyun)信號經過變換得到； 短時傅里葉原子是通過平移和調制形成的； 小波原子是通過平移和伸縮得到的。,( )( )()i tutgtg tu e,1( )( )u stuttss第20頁/共137頁第二十一頁，共137頁。*( ),( )( ).(1)1( )( ).(2)2Tfff tt dtfd ：參數：參數(cnsh)集集第21頁/共137頁第二十二頁，共137頁。)(Tf)(Tf第22頁/共137頁第二十三頁，共137頁?！白罡叩臅r頻分辨率最高的時

8、頻分辨率 ”第23頁/共137頁第二十四頁，共137頁。第24頁/共137頁第二十五頁，共137頁。)(t頻寬的頻域能量分布范圍時寬的時域能量分布范圍均值頻率的頻域能量分布中心均值時間的時域能量分布中心個時頻參數為：的，.)(:)()()(.)(:)()()(.)(:)(.)(:)(4)()()(, 1)(22222222tdttdttuttdtdtttuttttF的時頻分辨率。定量表示的時頻盒：頻寬為為中心，時寬為可以用)()(),(),(tboxheisenbergut時頻原子時頻原子 的時頻結構：時頻局部的時頻結構：時頻局部(jb)(jb)化的定量描述化的定量描述第25頁/共137頁第二

9、十六頁，共137頁。第26頁/共137頁第二十七頁，共137頁。時等號成立當且僅當tiutbteaetf2)(22)(41第27頁/共137頁第二十八頁，共137頁。 （得證）使得進一步推出存在使得：成立的條件，有：存在再考慮到許瓦茲不等式再由分部積分考慮到不等式，有：再根據質）定理及傅里葉變換的性（時成立。定理對不失一般性，只證明該）：假定證明（)exp()(,)(2)(fb,), 0)(lim4(/1)(41)()()()(21)()(1.)()(1)(210, 0)(limWeyl22242*42*42222422422btatfCtbtfttftdttftfdttftftftftfdt

10、tfttffSchwarzParsevaldttfdtttffdfdtttffutfttttt第28頁/共137頁第二十九頁，共137頁。第29頁/共137頁第三十頁，共137頁。 0( )00(t)00( )0( )1, ,( )exp().2 , ( )0,()/21( )exp()0.2( )bbbnnbffff tfb bf tfi t dtc df ttcdnftfii tdf t如果是緊支撐的，則不能在某區(qū)間上為 ；類似地，如果是緊支撐的，則也不能在某區(qū)間上為零。證明（前半部分）：設 的支集為則：如果時則在點處將上式兩邊微分 次得到：因為： 0000001expexp(),2exp

11、() ()1( )exp()0.2!0bbnbnbnfitti tditti ttf tfi tdnf 將展開成無窮級數有：這與矛盾。第30頁/共137頁第三十一頁，共137頁。22*,( , ),( )( )( )uuP f uftf tt dt 它度量了信號(xnho)的能量在以 為中心的時頻鄰域內的分布。),(u第31頁/共137頁第三十二頁，共137頁。三、短時傅里葉變換三、短時傅里葉變換(binhun)STFT(Short Time Fourier (binhun)STFT(Short Time Fourier Transform)Transform)第32頁/共137頁第三十三頁，

12、共137頁。,( , )( ),( )( ) ()fui tSTFT uf t gtf t g tu edt第33頁/共137頁第三十四頁，共137頁。,*,1( )(),( )2( ),( )( )( )( )( )( )( )3( , )( )i tuuuuufgtg tu eg tf t gtf t gt dtf tgtf tgtParsevalSTFT uf t g注意：、為短時傅里葉原子它是由一個原始的窗函數經過時間平移和頻率調制而得到。、表示信號和短時傅里葉原子之間的內積。物理意義上它可用來衡量信號和短時傅里葉原子之間的“相似性”。、根據定理有：()1()( )()21( )( )

13、( )( )2i tiutu edtfgedParsevalf t g t dtfgd 定理：第34頁/共137頁第三十五頁，共137頁。22)()(),(),(dteutgtfuSTFTufPtifs第35頁/共137頁第三十六頁，共137頁。,(),22222,22,1( )( )( )()( )()( )().2()( )( )31()( )2ui tuFi tiuuutuugtug tgtg tu eugtg tu eggeutugtdttg tdtgd 、的時頻能量中心為（ ， ）：為實偶函數，關于原點對稱，則以 為中心。、時間寬度與 無關、頻率寬度與 無關21( )2gd第36頁/

14、共137頁第三十七頁，共137頁。短時傅里葉原子的時頻結構短時傅里葉原子的時頻結構在整個在整個(zhngg)時頻平面時頻平面上上保持不變！保持不變！第37頁/共137頁第三十八頁，共137頁。00000()0222000( )2():( )( , )():( , )( , )( ) ()()22i tFi tiuSTFTfi tsff tef teSTFT ugeP f uSTFT uf t g t u edtg 能量在頻域集中在上。短時譜：特點： 能量在頻域上主要集中在，范圍內，有擴散。 能量在整個時間軸上都有分布。第38頁/共137頁第三十九頁，共137頁。0( )(0,)STFTsf t

15、P f u 對應的時頻區(qū)域：u020202t2t第39頁/共137頁第四十頁，共137頁。0000f022f0000( )()( )()STFT ug()( , )STFT ( , )(),22(i tFi tSTFTsttf tttef ttttu eP f uug tuuttutg t （ ， ）短時譜：變換特點：能量在時域有擴散，原先集中在某一特定點上。 能量在時域集中在范圍內。 在時取得最大值 （假定)0t 是在處取得最大值的偶函數）。 能量在整個頻率范圍內都有分布。單位單位(dnwi)沖激信號沖激信號0t20tt20ttu00(,0)sP f ut對應的時頻區(qū)域第40頁/共137頁第

16、四十一頁，共137頁。線性調頻信號線性調頻信號 2)(iatetf推導推導(tudo) (tudo) 在高斯窗在高斯窗 下短時傅里下短時傅里葉變換。葉變換。 2)(iatetf222421)(tetg第41頁/共137頁第四十二頁，共137頁。1( )( , ) ()2i tff tSTFT ug tu e d du 第42頁/共137頁第四十三頁，共137頁。dudeutguSTFTtfduutgdeuSTFTduutgtfdeuSTFTutgtfutgtfdteutgtfuSTFTtifduutgdttgtifuutgtiftif )(),(21)()(),(21)()(),(21)()(

17、)()(,)()(),(1)(, 1)(2)(22則：不失一般性，如果選擇積分后對兩邊同乘以有：根據傅里葉反變換公式的傅里葉變換，成短時傅里葉變換可以看定義：根據短時傅里葉變換的證明：第43頁/共137頁第四十四頁，共137頁。duduSTFTdttff22),(21)( duduSTFTduduSTFTuSTFTduddteutgtfuSTFTdttfdudeutguSTFTdttftfdttfffftiftif2*2),(21),(),(21)()( ),(21)()(),(21)()()( 證明：時頻能量密度時頻能量密度(md)的體現的體現第44頁/共137頁第四十五頁，共137頁。稱為

18、重建核其中：重建核方程的充分必要條件是：使得存在令 00,000000222,),(.),(),(21),(),(),()(),(uufgguuKduduuKuuuSTFTuRLfRL能量能量(nngling)有限信號有限信號 能量能量(nngling)有限二維信號有限二維信號STFT第45頁/共137頁第四十六頁，共137頁。( , )() ()221() ()222jjAgg tg tedtgged 第46頁/共137頁第四十七頁，共137頁。00()()20000( , ,)(,)iu uK u uAg uue 重建重建(zhn jin)核和模糊函數核和模糊函數的關系的關系第47頁/共1

19、37頁第四十八頁，共137頁。,1f,01100 1 2n exp()2nSTFT , , exp()12n , exp()m lNm lnNNfmlg nNf nNilgng nmNilm lf gf n g nmNilf nSTFT m l g nmNN窗口：周期為 ，能量為 的對稱信號。信號：周期為 的周期信號。離散短時傅里葉原子：離散短時傅里葉變換：離散短時傅里葉反變換：第48頁/共137頁第四十九頁，共137頁。第49頁/共137頁第五十頁，共137頁。dtsutstfttfsuCWTsuf)(1)()(),(),(*, Notes:平移因子）后得到的。和平移（尺度因子做伸縮也稱為母

20、小波是對基本小波原子小波時頻原子:):()()(1)() 1 (,ustsutstsu第50頁/共137頁第五十一頁，共137頁。第51頁/共137頁第五十二頁，共137頁。. 0)(:2.0)(:1)()3(dttttt“波動”特性的鄰域內的能量在時間上集中在“小”特性：滿足兩個特性：母小波第52頁/共137頁第五十三頁，共137頁。2222412exp132)(ttt第53頁/共137頁第五十四頁，共137頁。第54頁/共137頁第五十五頁，共137頁。第55頁/共137頁第五十六頁，共137頁。 22212241Gabor wavelet: exp()exp(),12ttj t 第56頁

21、/共137頁第五十七頁，共137頁。)(1)()(*)()(1)(),(*ststuttfdtsutstfsuCWTssf其中，)(tf)(1)(*ststs)(),(ufsuCWTsfS變化時可以看成變化時可以看成(kn chn)是帶寬不斷變化的一組帶通濾波是帶寬不斷變化的一組帶通濾波器。器。第57頁/共137頁第五十八頁，共137頁。的函數。卷積積分后是所代表的變量，注：卷積的積分變量是）（注：udtsutstfstsdtstustfdttutfdttutfufsuCWTsssf)(1)()(1t()(1)()()()()()()(),(*s*第58頁/共137頁第五十九頁，共137頁。(

22、7)連續(xù)的含義（三重連續(xù)的含義（三重(sn zhn)連續(xù)）：連續(xù)）： 信號是連續(xù)的；信號是連續(xù)的； 尺度因子是連續(xù)的；尺度因子是連續(xù)的； 位移因子位移因子 是連續(xù)的。是連續(xù)的。(8)計算機實現連續(xù)小波變換時運算量很大計算機實現連續(xù)小波變換時運算量很大 用計算機處理時較慢用計算機處理時較慢,這往往限制了其在實時信號處理中的應用。這往往限制了其在實時信號處理中的應用。第59頁/共137頁第六十頁，共137頁。1、選取一個小波，然后將其和待分析信號從起點(qdin)開始 的一部分進行相乘積分。 2、計算相關系數c。第60頁/共137頁第六十一頁，共137頁。第61頁/共137頁第六十二頁，共137頁

23、。dtsuttfssuCWTf)()(1),(*n位移位移(wiy)(wiy)的離散化：的離散化：n在上式中令在上式中令: ,: ,則有則有: :()(, )() ()ssfssmTmn TCWTnT sf mTss,sstnT ukT第62頁/共137頁第六十三頁，共137頁。NoImagemjssjjfvjaTnmmTfaanCWTaas1),(2,1可以(ky)用FFT來計算。第63頁/共137頁第六十四頁，共137頁。 0202)(1),(1)()(,)( )(sdsdusutssuCWTCtftfdCtf有：則對任意能量有限信號且滿足：是能量有限的實信號并設第64頁/共137頁第六十

24、五頁，共137頁。*()*2020*1( )( )()( , )( (.)*)( )( )()1( )( )(),11( )( , )()1(., )*)( )1( )( )(FsFufsFsffsttssssCWT u sfufssttsssstudsb tCWT u sduCsssdsCWTstCsbfssC 關于證明：令再令：則有：20202220)()f( )( )()( )()( ),( )f( )( )f( )dssssdsbsCstsbdC 考慮到是實信號，必然有。做變量替換后有：（從而命題得證。）第65頁/共137頁第六十六頁，共137頁。02)(dC第66頁/共137頁第六十

25、七頁，共137頁。02)( dC如果如果 ，則容許，則容許(rngx)條件成立。條件成立。 dttt1, 0第67頁/共137頁第六十八頁，共137頁。 t 0lim,202122Cthendsdss第68頁/共137頁第六十九頁，共137頁。第69頁/共137頁第七十頁，共137頁。)()(.,1)(*)(.,1)(000020tsLfsCsdstsCWTCtfthensssf)(*1),(),(),()(,1)(:*ufsutstfsuLfandttststSupposessss 第70頁/共137頁第七十一頁，共137頁。),()(),()(suCWTtxsuCWTtxxCWTxCWT

26、則：若注意：注意：(1)該性質在小波用于模式識別中的特征提取過程中該性質在小波用于模式識別中的特征提取過程中 十分重要十分重要(2)并不是所有并不是所有(suyu)小波變換都具有時移不變小波變換都具有時移不變性性 DWT(離散小波變換離散小波變換)不具有時移不變性。不具有時移不變性。 第71頁/共137頁第七十二頁，共137頁。DWT(DWT(離散小波變換離散小波變換) )不具有不具有(jyu)(jyu)平移不變性平移不變性( (示例示例) )：第72頁/共137頁第七十三頁，共137頁。),(1)()(11)()(1),(,)()(1),(),(1),()()(),()(*suCWTdtsu

27、ttxsdtsuttxssuCWTttdtsuttxssuCWTsuCWTsuCWTtxtysuCWTtxxyyxyCWTxCWT 則：令證明：則：如果該性質指出：當信號在時間軸作伸該性質指出：當信號在時間軸作伸縮時，其小波變換在時間軸和尺度縮時，其小波變換在時間軸和尺度軸上要作相同比例的伸縮，但小波軸上要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形變換的波形(b xn(b xn) )不變不變- -小波小波被稱為被稱為“數學顯微鏡數學顯微鏡”得名的由來。得名的由來。第73頁/共137頁第七十四頁，共137頁。*0*0( )( )( , ),( ),( , )( , )( , )1( )()1()( )l

28、im()111lim()()( )()liCWTxyxyttdx tx tCWT u sy tCWT u sCWT u sdtuCWT u sdx ttudtdtssx ttx ttudttsstutux ttdtx tdttssss 如果令則：0(, )( , )m( , )()xxtxCWT ut sCWT u stCWT u su 得證第74頁/共137頁第七十五頁，共137頁。稱為重建核。其中：重建核方程)(),(1)()(1),(),(),()s ,u(0, 000s ,u*,u,00000200ttcdtttcsusuKdususuKsuCWTsdsCWTsussuff說明：說明：

29、(1)重建核方程表明連續(xù)小波變換具有冗余性重建核方程表明連續(xù)小波變換具有冗余性-某一點的小波變某一點的小波變換值可以通過換值可以通過 平面其余點上的小波變換值按重建核方程恢復。平面其余點上的小波變換值按重建核方程恢復。su第75頁/共137頁第七十六頁，共137頁。(3)(3)重建核方程表明：并不是任意的二維函數重建核方程表明：并不是任意的二維函數 都可以作為一個信號的連續(xù)小波變換。都可以作為一個信號的連續(xù)小波變換。),( suFK)()(00,ttsusu和反映的是反映的是 的相關性。的相關性。00ssuuK當 時，此時u-s平面內各點的小波系數才互不相關，此時的小波變換沒有冗余。此條件實際

30、上表明不同尺度和位移處的小波是正交的。第76頁/共137頁第七十七頁，共137頁。 0222),(1)(sdsdusuCWTCdttff第77頁/共137頁第七十八頁，共137頁。ssuCWTsuCWTramScaff22),(),(: )log(歸一化的尺度譜：尺度譜尺度譜和歸一化尺度譜：描述信號能量在時間-尺度平面(pngmin)的分布。第78頁/共137頁第七十九頁，共137頁。假定頻率和尺度間滿足如下假定頻率和尺度間滿足如下(rxi)(rxi)關系：關系：s，其中，其中(qzhng) (qzhng) 是母小波的中心是母小波的中心頻率頻率則：則：2( , )( ,)wfP f uCWT

31、u第79頁/共137頁第八十頁，共137頁。小波時頻原子小波時頻原子(yunz)的時頻結構的時頻結構頻率方差：時間方差：均值頻率：均值時間：的四個時頻參數：母小波ttt*)(頻率方差：時間方差：均值頻率：均值時間：的四個時頻參數：小波時頻原子tttsu*,)(,( )( )u stt通過研究小波原子和母小波的時頻參數間的關系來揭示小波原子的時頻結構。第80頁/共137頁第八十一頁，共137頁。2222,2,)()()(1)()(tsutdsutdtsutsdtttRRRsusu 小波原子小波原子(yunz)(yunz)的時頻結構的時頻結構( (續(xù)續(xù)) )第81頁/共137頁第八十二頁，共137

32、頁。usttudttsttdttusttdtsutstttdttttRRRsuRsu*22222222,2,*)()()(1)()()(11)(1)()(tsdtttttsdttustusttdtsutsustttdttttttRRsuRsuRaa22*22*,22*,2,2*,)()()()()()(1)(1)()(1)()()(1小波原子小波原子(yunz)(yunz)的時頻結構的時頻結構( (續(xù)續(xù)) )22222,1( )( )()()( )u su sRRRtutututtdtdtdtssss注：第82頁/共137頁第八十三頁，共137頁。222,)()()(dessRuisussds

33、ssdssdRRRsusu*22222,2,*)()( )( 11)( )( 1)()(1sdssdsssdsssdRRRRsusu*22*22*222*2,2*,)( )()( 1.1)()( )(1)( 1)( )()( 1)()()(1小波原子小波原子(yunz)(yunz)的時頻結構的時頻結構( (續(xù)續(xù)) )第83頁/共137頁第八十四頁，共137頁。)(,tsutss*對應(duyng)的時頻窗(Heisenberg-box)的特點：(1)用于確定時頻窗的四個參數都與尺度參數s有關。(2)當s大于1且增大時，時頻窗的時間長度增加 ， 而時頻窗的頻率(pnl)長度減少 (3)時頻窗的面

34、積為： tstst41422時頻窗面積與尺度和位移(wiy)參數無關，但與選定的母小波有關。小波原子的時頻結構小波原子的時頻結構( (續(xù)續(xù)) )第84頁/共137頁第八十五頁，共137頁。第85頁/共137頁第八十六頁，共137頁。解析信號解析信號(xnho)： Analytic Signal解析小波解析小波: Analytic Wavelets解析小波變換解析小波變換: Analytic Wavelet Transforms第86頁/共137頁第八十七頁，共137頁。)(tfa)()();()(0, 00),(2)(aFaFaftfftfff其中，)(exp()(cos)(00tjatfta

35、tfa第87頁/共137頁第八十八頁，共137頁。1.:),ti (exp)2t(exp)(1/)exp()()(22224/12其中小波：例如MorletGabortitgt第88頁/共137頁第八十九頁，共137頁。.)(1)(,),(*,dtsutstffsuCWTsuf第89頁/共137頁第九十頁，共137頁。),(21),(suCWTsuCWTaff第90頁/共137頁第九十一頁，共137頁。02)( dC 02)(),(Re2)(sdsduutsuCWTalCtfsf 0202)(),(21)(),(1)(?sdsduutsuCWTCsdsduutsuCWTCtfsfsfaa第91

36、頁/共137頁第九十二頁，共137頁。000222022222000( )exp()( , )()exp()1( , )()1()( ,),1( , )( , )()( (1)( , )ffWfsWf taitCWT u sa sg sitCWT u sa g sstuusssP f uCWT u sa g sa gsP f u 解析小波變換歸一化尺度譜為：考慮到的時頻能量中心為則有：由上式可見在處取得最大值。第92頁/共137頁第九十三頁，共137頁。注意時頻中心位置為處。的最大值位置出現在頻平面上度譜在時的條件下，歸一化的尺在的歸一化尺度譜為：線性調頻信號),(2)(14)2(41exp(

37、414),()exp()(4422442221422222suauusaasusaasssuCWTiattff第93頁/共137頁第九十四頁，共137頁。 瞬時頻率解析信號可以分解成模和復相位的形式(xngsh): 瞬時頻率定義為復相位的導數: )()()(tiaetatf)()(ttn常用信號及其瞬時頻率常用信號及其瞬時頻率(pnl)n單頻正弦信號單頻正弦信號0)(00)()()()()cos()()(00ttfetatfttatfatia的瞬時頻率為：解析信號第94頁/共137頁第九十五頁，共137頁。常用信號常用信號(xnho)(xnho)及其瞬時頻率及其瞬時頻率( (續(xù)續(xù)) )多分量多

38、分量(fn ling)信號信號: 有兩個頻率成分。不能揭示出原信號中含瞬時頻率為：解析信號:2)()2cos()(coscos)(212212121tetatftatatftia可見可見: :含有多個頻率分量含有多個頻率分量(fn ling)(fn ling)的信號的信號( (多分量多分量(fn ling)(fn ling)信號信號) )的瞬時頻率的瞬時頻率 不能客觀反映原始信號中的頻率分布情況。不能客觀反映原始信號中的頻率分布情況。解決辦法解決辦法: :可以先通過短時傅里葉變換和小波變換分離不同頻率成分可以先通過短時傅里葉變換和小波變換分離不同頻率成分, ,然后再求瞬時頻率。然后再求瞬時頻率

39、。第95頁/共137頁第九十六頁，共137頁。n瞬時頻率檢測的兩個應用瞬時頻率檢測的兩個應用: :n 通信中的頻率調制通信中的頻率調制: :n 音頻音頻(ynpn)(ynpn)處理中的加性聲音模型處理中的加性聲音模型: :);()(),(cos)(0tkmttatfKkKkkkkttatftf11)(cos)()()(?)(),(ttakk變化(binhu)緩慢第96頁/共137頁第九十七頁，共137頁。第97頁/共137頁第九十八頁，共137頁。1/2, , ,1 1( )2 2( )( / )( )()exp()( )( )cos ( ),( )exp( ( )( ( ( )( , )2(

40、 , )ss uss ug tg tsg t sgtg tui tf ta ttsf ga uiuug suuu設為單位能量的定義在， 區(qū)間上的實偶函數。構造如下的三參數時頻原子：則信號的短時傅里葉變換為：其中稱為校正項。第98頁/共137頁第九十九頁，共137頁。.)(2()()(:),(:. )(sup:, 1)()(:,)()(sup,)()(:. )( sup),(1 , 22/2, 22/2,1 ,)(2,2,1 ,usguauasthenuiftsthenuauasifuatasuauaswhereguasutsutaausaa?第99頁/共137頁第一百頁，共137頁。dtuti

41、tgeutadttiutgtitaIIIdttiutgtititadttiutgttagfsutisssus)(exp)()(21)exp()()(exp)(21)()()()exp()()(exp)()(exp(21)exp()()(cos)(,)(,其中：:)()(1的形式分別討論）將內積結果展成 II第100頁/共137頁第一百零一頁，共137頁。)(sup)(),(2)()()(sup)(),(2)()()( ,2 ,2htttutuuthtttutauautaTaylorutuhutuh其中）（其中級數展開有：根據dtututitgttdtttiuitttguadtttiuittgu

42、aIuusss)()(exp()()(21)(2exp()(exp()()()(2exp()(exp()()()()( i2exp222）（從而：級數展開表示：附近用）在（和將Taylorutututa)()2第101頁/共137頁第一百零二頁，共137頁。)(4)()( )(exp)(2)()()(exp)(:1)(),()(21)(2exp(2,2,1 ,-22aasuasuguuiuasIusgsdtuittgttttttiTaylor從而有：再考慮到其中級數展開有：根據級數進一步估算誤差：展開成）將Taylortti)(2exp(32第102頁/共137頁第一百零三頁，共137頁。,1

43、2,223,22( )1( )exp( )( )1( )( )( )11( )( )( )( ).( )asasssa utg titudta usttg t dtsa uttg t dtttg t dta uss其中：第103頁/共137頁第一百零四頁，共137頁。 ,1,2,2,1( )(),s( )()( )242( )1( )exp( )( )( ( )sup(00)I( )()( )exp ( ( )( )2aaassuIa us a uIgua utg titudta usg sugusIa uiuug su有：（ ）其中，又由于：假定且 （ ）故有： ,1,1,2,2( )( ,

44、 )( , )sup2aaasuuug其中：第104頁/共137頁第一百零五頁，共137頁。)()(2122)()(10),(1)(1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,22/12/1uauasnsgsdttgtsdttgstnstgstgaaaaannnnnnsns的表達式有：和，再結合取有：易得對任意的再考慮到的上界：估算1 ,a第105頁/共137頁第一百零六頁，共137頁。的上界：和估算， 22,a整個命題得證。，則有：并假定再考慮到有：考慮到，. )(sup)(sup)()(1211)()()(sup)(sup)()(sup, )(sup)(sup 22/ 22/2 2/2/ 22/2 2/

45、2/tstsuauasuauasttuatasttsutsutsutstsutasutst第106頁/共137頁第一百零七頁，共137頁。 (1) ( )( )( )(1,)a ttstgs 和在大小為 的區(qū)間上有較小的變化，(2)其中對則校正誤差可以忽略，并有：22f, ,STFT u,( )( ), ( )( )s uuf guuuuu 對每個 短時譜（ ， ）在處取得最大。相應的時頻平面上的點（）稱為脊點。第107頁/共137頁第一百零八頁，共137頁。 ( , )( )exp ( ( )( (0)( , )2( )u2( ,)( )(0)ffsSTFT ua uiuuguuSTFT u

46、ua us g在脊點處有：通過短時傅里葉脊可以測瞬時頻率和瞬時振幅：脊點位置處的時間 頻率關系可以給出瞬時頻率：（ ）進而有瞬時振幅：第108頁/共137頁第一百零九頁，共137頁。suuuusguuuiusguasuuiusguasuSTFTttattatff)()(1)()(,)(exp()()(2)(exp()()(2),()()(cos)()(cos)()(21212221112211有：任意的要能區(qū)分，必然要求對為：忽略校正項其短時傅里葉變換設有如下多分量信號：第109頁/共137頁第一百一十頁，共137頁。22/2/212( )(1) sup1sup( )1( )(2)( )( )

47、kkt ust usks a tsta uuus 校正項小需滿足的條件：且顯然，窗需要越短越好。多分量信號要能區(qū)分開需滿足的條件：顯然，窗需要越長越好。解決辦法：折衷(Tradeoff)第110頁/共137頁第一百一十一頁，共137頁。22121222212( )cos()cos()s( )( )22( )( )21f tabtctabtttbtcbtcssusubscsb 窗長 的選擇問題：由上要求可見，當時可以找到合適的窗長 。窗長選擇窗長選擇(xunz)示示例：例：第111頁/共137頁第一百一十二頁，共137頁。短時傅里葉脊：短時傅里葉脊：STFT RidgesSTFT Ridges1

48、2( )( )uus此時才能用短時傅里葉變換把原始的兩信號分離。第112頁/共137頁第一百一十三頁，共137頁。, , ,( )( )exp(),( )1( )()( )exp()( )()exp()u ss us utg ti tg ttutgti usstugtsgi tss 其中為的帶寬將此小波進行平移和伸縮后有如下的時頻原子：其中：（）第113頁/共137頁第一百一十四頁，共137頁。)exp(,),(,uigffsuCWTussuf第114頁/共137頁第一百一十五頁，共137頁。,( )( )cos ( )( , )( )exp( )( ( ( )( , )2( , ).( ,

49、)( )( )( )/ .fu sf ta ttsCWT u sa uiug suuuua ttus 信號的連續(xù)解析小波變換為：其中是誤差項可以忽略的條件是：(1)和在的時間支撐區(qū)間上變化較小；(2)第115頁/共137頁第一百一十六頁，共137頁。2222( , )1( )( )( 1)( , ) (/ )4( , )( )0( , )( )( ,( )ffsCWTu ssuau gusugCWTu susuu注：歸一化尺度譜的極大值點：如果忽略，且假定在處取得最大值，則：在處取得最大值。稱此時對應的點為小波脊。第116頁/共137頁第一百一十七頁，共137頁。21( , )( , ):2(

50、 , )( )(0)( )( , )( , )fWswwwCWT u sP f usP f ua uguuuCWT 由于，故有幅度：相位：其中為的復相位第117頁/共137頁第一百一十八頁，共137頁。)()()()()()(),(cos)()(cos)()(2211212211uuuuuuttattatf和下兩個條件：則必然需要同時滿足如兩個信號的瞬時頻率，如果要用小波脊來檢測對多分量信號第118頁/共137頁第一百一十九頁，共137頁。2212( )cos()cos()/f tabtctabt的短時譜 尺度譜和短時脊 小波脊 (a)尺度(chd)譜 (b)小波脊 ( (c)c)短時譜短時譜

51、 ( (d)d)短時脊短時脊原因原因(yunyn):高頻時高頻時CWT的頻的頻率分辨率率分辨率過低過低第119頁/共137頁第一百二十頁，共137頁。121212( )cos()cos()/f tatt雙曲調頻信號:的短時譜 尺度譜以及短時脊 小波脊 (a)尺度(chd)譜 (b)小波脊 ( (c)c)短時譜短時譜 ( (d)d)短時脊短時脊原因原因:高頻高頻(o pn)時時STFT的時間分的時間分辨率過低辨率過低第120頁/共137頁第一百二十一頁，共137頁。第121頁/共137頁第一百二十二頁，共137頁。第122頁/共137頁第一百二十三頁，共137頁。2. Infinitely re

52、gular wavelets(無限無限(wxin)正則的正則的小波小波)第123頁/共137頁第一百二十四頁，共137頁。第124頁/共137頁第一百二十五頁，共137頁。第125頁/共137頁第一百二十六頁，共137頁。5. Complex wavelets(復小波復小波)第126頁/共137頁第一百二十七頁，共137頁。MatLab介紹的有關介紹的有關(yugun)小波信息小波信息第127頁/共137頁第一百二十八頁，共137頁。General characteristics: Compactly supported wavelet, the oldest and the simplest wavelet. scaling function phi = 1 on 0 1 and 0 otherwise. wavelet function psi = 1 on 0 0.5, = -1 on 0.5 1 and 0 otherwise. Family Haar Short name haar Examples haar is the sa