第六章多元數(shù)量值函數(shù)積分學(xué)改

1、二、三重積分在二、三重積分在柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系中的計(jì)算中的計(jì)算一、三重積分在一、三重積分在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系中的計(jì)算中的計(jì)算三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算 三、三重積分在球三、三重積分在球坐標(biāo)系坐標(biāo)系中的計(jì)算中的計(jì)算一、在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算一、在直角坐標(biāo)系中的計(jì)算與二重積分類似，三重積分與二重積分類似，三重積分 , ,Vfx y z dxdydz也可以化為也可以化為三次積分三次積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算。來(lái)進(jìn)行計(jì)算。下面我們通過(guò)計(jì)算物體的質(zhì)量來(lái)得到三重積分下面我們通過(guò)計(jì)算物體的質(zhì)量來(lái)得到三重積分的計(jì)算公式的計(jì)算公式.1. 投影法投影法設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域V的邊界曲面的邊界曲面的直線交點(diǎn)不多于兩個(gè)，的直線

2、交點(diǎn)不多于兩個(gè)，將將V 投影到投影到xoy面上，得投面上，得投影閉影閉Dxy，以以Dxy的邊界曲線的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于為準(zhǔn)線，作母線平行于z 軸軸的柱面，該柱面與區(qū)域的柱面，該柱面與區(qū)域V的的邊界曲面的交線把邊界曲面的交線把V的邊界的邊界曲面分成上、下兩部分，其方程分別是曲面分成上、下兩部分，其方程分別是與平行于與平行于z 軸穿過(guò)軸穿過(guò)V的內(nèi)部的內(nèi)部1122:( , ),:( , ),Szzx ySzzx y 1( , ),zx y2( , )zx y在在Dxy上上連續(xù)，連續(xù)，12( , )( , )zx yzx y 且且假設(shè)假設(shè)V中分布有體密度為中分布有體密度為f (x,y,z)的

3、某種物質(zhì)，在的某種物質(zhì)，在Dxy上點(diǎn)上點(diǎn)(x, y)處取面積元素處取面積元素ddxdy 以以d 的邊界的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于z 軸的細(xì)長(zhǎng)柱體，軸的細(xì)長(zhǎng)柱體，該細(xì)長(zhǎng)柱體可以看成以該細(xì)長(zhǎng)柱體可以看成以z為變量的細(xì)桿，它通過(guò)曲面為變量的細(xì)桿，它通過(guò)曲面S1:1( , )zzx y 進(jìn)入?yún)^(qū)域進(jìn)入?yún)^(qū)域V，22:( , )Szzx y 然后，通過(guò)曲面然后，通過(guò)曲面穿出區(qū)域穿出區(qū)域V外，其進(jìn)入點(diǎn)與外，其進(jìn)入點(diǎn)與穿出點(diǎn)的豎坐標(biāo)分別是穿出點(diǎn)的豎坐標(biāo)分別是1( , )zzx y 與與2( , )zzx y 因此，該細(xì)長(zhǎng)柱體的質(zhì)量為：因此，該細(xì)長(zhǎng)柱體的質(zhì)量為： 21,., ,zx y

4、zx yfx y z dz dxdy f (x,y,z)只看作只看作 z 的函數(shù)的函數(shù). 21, ,.xyzx yzx yDmfx y z dz dxdy xyD如果表示為如果表示為 12,xyaxbDyxyyx 2211, ,.byxzx yayxzx ymdxdyfx y z dz 則有則有這里對(duì)這里對(duì) z 積分積分 時(shí)，先將時(shí)，先將 x , y 看成常數(shù)，此時(shí)看成常數(shù)，此時(shí)于是總質(zhì)量為：于是總質(zhì)量為：(X型型) , , ,VVfx y z dVfx y z dxdydz 21, ,xyzx yzx yDdxdyfx y z dz 2211, ,.byxzx yayxzx ydxdyfx

5、y z dz 類似地，可以將區(qū)域類似地，可以將區(qū)域V投影到投影到y(tǒng)oz、zox 平面上平面上,可得三重積分可得三重積分按其它順序的三次積分。按其它順序的三次積分。由此得到將三重積分化為三次積分的計(jì)算方法由此得到將三重積分化為三次積分的計(jì)算方法DxyDxyy=1-x11 解解 在在Dxy內(nèi)任取一點(diǎn)，作內(nèi)任取一點(diǎn)，作 平平的點(diǎn)在平面的點(diǎn)在平面z=0, 離開(kāi)區(qū)域離開(kāi)區(qū)域V的點(diǎn)在平面的點(diǎn)在平面z=1-x-y上上.例例1 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 ，其中，其中V為三個(gè)為三個(gè)Vydxdydz1xyz坐標(biāo)面及平面坐標(biāo)面及平面 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. .01zxyV 行于行于z 軸的直線，軸的直線，

6、進(jìn)入?yún)^(qū)域進(jìn)入?yún)^(qū)域V01yx01xVydv 11001xdxyxy dy 111000 xxydxdyydz 1330111123xxdx 1.24 z=y22Vx zdvVyx 例2 計(jì)算其中 是由拋物柱面例2 計(jì)算其中 是由拋物柱面0,1,zyzy與平面圍成的閉區(qū)域.與平面圍成的閉區(qū)域.解解 2Vx zdv211210yxdxdyx zdz 21122112xx dxy dy 1261116xxdx 2.27 2yx 11解解221xy,例例3 化三重積分化三重積分 為三次為三次()If x,y,z dxdydz 222zxy積分，其中積分區(qū)域積分，其中積分區(qū)域 為由曲面為由曲面22zx 及

7、及 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. .22222zxyzx 由由得交線投得交線投影區(qū)域影區(qū)域 Dxy故故V： 22222221111xyzxxyxx 22222112112()xxxxyIdxdyf x,y,z dz.以上將三重積分化為三次積分是先計(jì)算一個(gè)定積分以上將三重積分化為三次積分是先計(jì)算一個(gè)定積分再計(jì)算一個(gè)二重積分，稱之為再計(jì)算一個(gè)二重積分，稱之為 “先一后二先一后二”。事實(shí)上，我們也可以先計(jì)算一個(gè)二重積分，再作一事實(shí)上，我們也可以先計(jì)算一個(gè)二重積分，再作一下面進(jìn)行討論：下面進(jìn)行討論：個(gè)定積分，我們稱之為個(gè)定積分，我們稱之為“先二后一先二后一”的的截面法截面法。zVD面的平面去截 ，得

8、截面；面的平面去截 ，得截面；其結(jié)果為其結(jié)果為z 的函數(shù)的函數(shù)； 214xyccDfx,y,z dxdy dz.最后計(jì)算定積分最后計(jì)算定積分 122zc ,czxoy 用過(guò) 點(diǎn)且平行于用過(guò) 點(diǎn)且平行于 1Vz把積分區(qū)域 向某軸 例如 軸 投影，得投把積分區(qū)域 向某軸 例如 軸 投影，得投 12c ,c影區(qū)間：影區(qū)間： 3zDfx,y,z dxdy 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分2.截面法截面法Vzdxdydz10zDzdzdxdy, 1(1)(1)2zDdxdyzz 1VzdxdydzVxyz.例3 計(jì)算三重積分，其中 為三個(gè)例3 計(jì)算三重積分，其中 為三個(gè)坐標(biāo)面及平面所圍成的閉區(qū)域坐標(biāo)面及平面所圍

9、成的閉區(qū)域解解 1201(1)2zz dz 原式原式124 1xyz截面面積截面面積4例例5 5222:1.zVe dv Vxyz 計(jì)算，計(jì)算， 解解zzD 被積函數(shù)僅為 的函數(shù)，截面為圓域被積函數(shù)僅為 的函數(shù)，截面為圓域2zzVVe dve dv 上上102zzDe dzdxdy 1202(1)zze dz 2 . 2221xyz， 故采用“先二后一”法故采用“先二后一”法注注: 以上兩例中被積函數(shù)只顯含變量以上兩例中被積函數(shù)只顯含變量Z，故用，故用“先二后一先二后一”法更簡(jiǎn)法更簡(jiǎn)。截面面積截面面積,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz

10、解解:zyxxIddd2利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220二、三重積分在柱坐標(biāo)系中的計(jì)算二、三重積分在柱坐標(biāo)系中的計(jì)算0r, 02 , .z ( , , )M x y zMxoy設(shè)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)在面設(shè)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)在面規(guī)定規(guī)定：,Pr 上的投影 的極坐標(biāo)為，則這樣的三個(gè)數(shù)上的投影 的極坐標(biāo)為，則這樣的三個(gè)數(shù) , ,rzM 就叫點(diǎn)的就叫點(diǎn)的柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)cossinxr,yr,zz 柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為r為常數(shù)為常

11、數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù)圓柱面圓柱面；半平面半平面；平平 面面 用柱坐標(biāo)系中的三組坐標(biāo)面來(lái)分割閉區(qū)域用柱坐標(biāo)系中的三組坐標(biāo)面來(lái)分割閉區(qū)域V，, ,rzdr ddz對(duì)分別取得增量時(shí)所形成的對(duì)分別取得增量時(shí)所形成的小柱體的體積為極坐標(biāo)小柱體的體積為極坐標(biāo)rdrd 系中的面積元素系中的面積元素dz與乘積,于是柱坐標(biāo)與乘積,于是柱坐標(biāo)系中的體積元素為系中的體積元素為.dvrdrd dz ( , , )Vf x y z dv( cos , sin , ).Vf rrz rdrd dz 所以，柱坐標(biāo)系中所以，柱坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算公式為：三重積分的計(jì)算公式為：與直角坐標(biāo)系中一樣，在柱坐標(biāo)系中三重積

12、分同與直角坐標(biāo)系中一樣，在柱坐標(biāo)系中三重積分同樣可化為對(duì)樣可化為對(duì), ,rz 的三次積分，一般總是先對(duì)的三次積分，一般總是先對(duì)z 積分，余下的二重積分就是極坐標(biāo)系中的二重積分，余下的二重積分就是極坐標(biāo)系中的二重積分，有時(shí)也可以先計(jì)算極坐標(biāo)系中的二重積分，積分，有時(shí)也可以先計(jì)算極坐標(biāo)系中的二重積分，再對(duì)再對(duì)z積分。積分。適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單方程簡(jiǎn)單 ;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離變量互相分離.解解22243rzrz 13z, r,知交線為知交線為22222134VIzdxdydz,Vxyzxyz

13、例計(jì)算其中 是拋物面例計(jì)算其中 是拋物面與球面所圍的立體.與球面所圍的立體.cossinxryrzz 由由24zr 23rz 3r 2243rzr22323400rrIddrr zdz 134. 03,02 .xyrD 例例2 計(jì)算計(jì)算22，Vxy dvV 其中 是由旋轉(zhuǎn)拋物面其中 是由旋轉(zhuǎn)拋物面221.zxyz與所圍成的閉區(qū)域與所圍成的閉區(qū)域221xyz01,02 .xyrD 解解21rz22Vxy dvVr rdrd dz 4.15 2211200rdr drdz 221zxy21zrz=0VVzdxdydzzrdrd dz 2211000rdrdrzdz 21200112drrdr 4

14、例例3 計(jì)算計(jì)算222,:1,0.Vzdxdydz Vxyzz解解zz=rz=aaD解解222xyzzr, rza0,02 .xyraD 224VIxydxdydz,V例計(jì)算其中 是錐面例計(jì)算其中 是錐面I 2200aardrdrr dz 302()arar dr 510a . 2220 xyzza a.與平面所圍的立體與平面所圍的立體三、三重積分在球面坐標(biāo)系中的計(jì)算三、三重積分在球面坐標(biāo)系中的計(jì)算Pxyzo()M x, y,z zyxA M x,y,zM設(shè)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)可用三個(gè)有次設(shè)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)可用三個(gè)有次,OM 序的數(shù)來(lái)確定，其中 為原點(diǎn) 與點(diǎn)間的序的數(shù)來(lái)確定，其中 為原點(diǎn) 與點(diǎn)

15、間的OMz距離， 為有向線段與 軸正向所夾的角， 為距離， 為有向線段與 軸正向所夾的角， 為zx從正 軸來(lái)看自 軸按逆時(shí)針從正 軸來(lái)看自 軸按逆時(shí)針OP方向轉(zhuǎn)到有向線段的角，方向轉(zhuǎn)到有向線段的角，PMxoy這里 為點(diǎn)在面上的投這里 為點(diǎn)在面上的投 影，這樣的三個(gè)數(shù), ,影，這樣的三個(gè)數(shù), ,M稱為點(diǎn)的稱為點(diǎn)的球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)0, 02 . 0, 規(guī)定規(guī)定： 為常數(shù)為常數(shù)球面球面； 為常數(shù)為常數(shù)圓錐面圓錐面； 為常數(shù)為常數(shù)半平面半平面 , , sincos ,sinsin ,cos .xyz 記住此公式記住此公式直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為MxoyP,設(shè)點(diǎn)在面上的投影為

16、設(shè)點(diǎn)在面上的投影為PxA,點(diǎn) 在 軸上的投影為點(diǎn) 在 軸上的投影為OAx, APy, PMz.則則Pxyzo()M x, y,z zyxA用球面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)面來(lái)用球面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)面來(lái)別取得增量別取得增量,ddd所形所形成的六面體，去掉高階無(wú)成的六面體，去掉高階無(wú)當(dāng)作長(zhǎng)方體，其當(dāng)作長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)為長(zhǎng)為,d 寬為寬為sin,d 高為高為,d 于是體積元素于是體積元素dv 在球坐標(biāo)系中為：在球坐標(biāo)系中為：分割閉區(qū)域分割閉區(qū)域V，窮小后，可將這個(gè)六面體窮小后，可將這個(gè)六面體2sindvd d d 記住此體積元素記住此體積元素, , 由由 分分因此，得到球坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算公式因此，得到球坐標(biāo)系中

17、三重積分的計(jì)算公式( , , )Vf x y z dxdydz ( , , )Vf x y z dv 2(sincos ,sinsin ,cos )sin.Vfd d d 記住此計(jì)記住此計(jì)算公式算公式適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單方程簡(jiǎn)單;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離變量互相分離.2R 4 R例例1 計(jì)算計(jì)算222,Vxyz dVV其中 是由半球面其中 是由半球面 2220zRRxyR與錐面與錐面22zxy所圍成的閉區(qū)域.所圍成的閉區(qū)域.解解 在球坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中222zRRxy02cos ,0,4

18、02 .RV 2cos ,R22zxytan1 4 故故222Vxyz dV2sinVd d d 22cos34000sinRddd 44402sin4cosRd 482 .5R 2R 4 Rzz=rz=aaDcosa 222xyz4, : 0,cosaV 2222220VIxydxdydz,Vxyzza a.例計(jì)算其中 是錐面例計(jì)算其中 是錐面與平面所圍的立體與平面所圍的立體0, 02 ,4 za ,cosa 采用球面坐標(biāo)采用球面坐標(biāo)解解22()VIxydxdydz2434cos000sinaddd 5345012sin05 cosa()d 510a . R2xzR1y 32223cos,Vxyzdxdydz例計(jì)算例計(jì)算222221212:,0.VRxyzRRR其中其中12,0,02 .RRV 解 解 32cossinVId d d 2123200sincosRRddd 33214sinsin.3RR 解解4, 02 ,0,402 .aV 4 2a 22222242xyzazxy例求曲面與例求曲面與所圍成的立體體積.所圍成的立體體積.V由錐面與球面圍成，采用球面坐標(biāo).由錐面與球面圍成，采用球面坐標(biāo).22zxy 2 , a 22222xyza由由340( 2 )2si