現(xiàn)代控制理論基礎總復習

1、第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學描述數(shù)學模型可以有許多不同的形式，較常見的有三種：第一種是：把系統(tǒng)的輸入量和輸出量之間的關系用數(shù)學方式表達出來，稱之為輸入輸出描述，或外部描述；第二種是：不僅可以描述系統(tǒng)輸入、輸出之間的關系，而且還可以描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性，稱之為狀態(tài)空間描述或內(nèi)部描述；第三種是：用比較直觀的方塊圖（結構圖）和信號流圖模型進行描述。2.1線性系統(tǒng)的時域數(shù)學模型對于單輸入、單輸出|線性定常系統(tǒng)，采用下列微分方程來描述：c(n)(t)aiC(n')(t)a2c2(t)川an_iC(t)anC(t)(2.1)t的(2.1)t的二b°r(m)(t)b/m')(t)IIIbU(

2、t)bmr(t)式中，r(t)和c(t)分別是系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號，c(n)(t)為c(t)對時間n階導數(shù)；ai(i=1,2J|In)和bj(j=0,1lm)是由系統(tǒng)的結構參數(shù)決定的系數(shù)。2.2傳遞函數(shù)C(s)b0sm+bsm*+HI+bm_s+bmM(s)R(s)a°snapZHIa_iSanN(s)式中M(s)二bosm溝'IIIbmsbmN(s)二a°snaiSnlliaiSa“M(s)和N(s)分別稱為傳遞函數(shù)G(s)的分子多項式和分母多項式(2.3)(2.3)2.5線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間表達式與傳遞函數(shù)的關系(2.4)(2.4)G(s)二C(s

3、l-A)BD狀態(tài)空間表達式的建立情形一：線性微分方程中不含輸入的導數(shù)項，傳遞函數(shù)沒有零點(2.5)(2.5)y(n)'ayza.，a.y二u情形二線性微分方程含有輸入的導數(shù)(不超過3階)，傳遞函數(shù)有零點y(n)ay"|1|a.a.y=b°u(n)卅)川b.u(2.6)Y(s)_gsnDsn川bn®bnU(s)snaV川an=sa.(2.7)Chp.9狀態(tài)空間系統(tǒng)響應、可控性與可觀性9.1線性定常系統(tǒng)的響應已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的一般形式為(2.8)X(t)二Ax(t)Bu(t),x(0)=xo狀態(tài)變量的初始值為x0，控制作用為U(t)。狀態(tài)方程是一階

4、微分方程組其解為x(t)=eatx(0)其中，指數(shù)函數(shù)eat可以展成如下無窮級數(shù)形式1i00ieat=1at丄a2t2丄aktkXaktk2!k!S!一階向量微分方程的齊次方程t=Ax的解也具有如下形式Atx(t)二ex(0)其中，eAt=lAt丄A2t21Aktk1Aktk(2.9)2!k!zk!式(2.9)無窮矩陣級數(shù)的收斂式eAt叫做矩陣指數(shù)，I為單位矩陣。非齊次狀態(tài)方程(2.8)的求解。x(t)二eAtx(0)“一乜u()d(2.10)從式(2.10)可以看出，系統(tǒng)的動態(tài)響應由兩部分組成：一部分由狀態(tài)初始值x(0)引起，叫做零輸入響應；另一部分由輸入信號u(t)引起，叫做零狀態(tài)響應。9

5、.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(的計算)一般情況下，線性系統(tǒng)(包括定常和時變)的狀態(tài)響應方程可以寫為tx(t)二(t)x(0)0(t-)Bu()d(2.11)式(2.11)又稱狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，并稱(t)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，它表征系統(tǒng)從t=0的初始狀態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到t0的任意狀態(tài)x(t)的轉(zhuǎn)移特性。顯然，狀態(tài)的轉(zhuǎn)移性能完全取決于系統(tǒng)的A陣。對于線性定常系統(tǒng)有二eAt。矩陣指數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算一、拉氏變換法(t)=eAt=L(sl-A)*(2.12)這種方法實際上是用拉氏變換在頻域中求解狀態(tài)方程。矩陣(si-A)1稱為預解矩陣。、化矩陣A為對角線矩陣和約當矩陣法如果狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣A為對角線矩陣，即00a?21

6、110；:0IIIann可以證明，相應于矩陣A的矩陣指數(shù)eAt為ea100At|0ea22tIII0effrt.00IIIeanntj9.4可控性和可觀性i=A(t)xBu(t)定理9-1(可控性的代數(shù)判據(jù))設n階線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=AxBu(2.13)式中，x、u分別為n維、p維向量，A、B分別為nn維和np維實數(shù)矩陣。則系統(tǒng)完全可控的充要條件是系統(tǒng)的|可控性矩陣Qk二BABA2B川AnB的秩為n。即ranQ=rankBABA2BIIIAn=n(2.14)此時稱(A,B)為可控矩陣對定理9-3（特征值規(guī)范型判據(jù)）設線性定常連續(xù)系統(tǒng)*=AxBu具有互異的特征值人,一川人，則系統(tǒng)狀態(tài)

7、完全可控的充要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角規(guī)范形式人01X=x+Bu0J中B不包含元素全為0的行。定理9-4（特征值規(guī)范型判據(jù)）設線性定常連續(xù)系統(tǒng)X二AxBu具有重特征值k,1（m1重），2（m2重）,-,'k（mk重），'mn,打=打0），則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控i=±的充要條件是，經(jīng)非奇異變換后的約當規(guī)范形式00中B與每一個約當塊A(i=1,2,II,k)0艾+BuAk的最后一行相應的那些行的所有元素不完全為0線性定常系統(tǒng)的可觀性定理9-5(可觀性代數(shù)判據(jù))設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為=AxBu構造系統(tǒng)的可觀性矩陣CA.CAn-1y=Cx則線性定常連續(xù)狀態(tài)完全

8、可觀的充分必要條件是其可觀性矩陣滿秩，即rankQgn定理9-6（特征值規(guī)范型判據(jù)）設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣分別為A和C，如果系統(tǒng)具有兩兩互異的特征值，則其為狀態(tài)完全可觀的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對角線規(guī)范型0x+Bu0x+Bu的輸出矩陣C中不包含元素全為0n定理9-7（特征值規(guī)范型判據(jù)）設線性定常連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣k分別為A和C,如果系統(tǒng)具有重特征值'（m重），-2（m?重）,一，k（mk重），amij=n,=1打一j（i=j）,則系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀的充要條件是，系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當規(guī)范形式人01=交+Bu0A；jy=Cx中C與每一個約當塊A（

9、i=1,2,川,k）的首列相應的那些列的所有元素不全為0。第十章線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合10.1輸出反饋與狀態(tài)反饋考慮n維線性定常系統(tǒng)(沒有引入反饋)x=AxBu狀態(tài)方程廠Cx觀測方程X,u,y分別為n維、p維和q維向量，A，B，C分別為nn、np和q矩陣。下面給出系統(tǒng)的兩種反饋形式：輸出反饋和狀態(tài)反饋。輸出反饋輸出反饋的目的:首先是使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，然后在此基礎上進(10.1)n維的實數(shù)改善閉環(huán)系統(tǒng)的性能輸出反饋系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為i=(A-BFC)x+Buy=Cx(2.15)方便起見，用(A-BFC,B,C)表示輸出反饋系統(tǒng)，該系統(tǒng)對應的傳遞函數(shù)為Gf(s)二C(sl-ABFC)，B(2.

10、16)二、狀態(tài)反饋若將系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)變量的線性函數(shù)u=r-Kx(2.17)式中，r為與u同維的參考輸入向量，K為pn的反饋增益矩陣。引入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為x=(A-BK)xBry二Cx(2.18)系統(tǒng)(A-BK,B,C)對應的傳遞函數(shù)(矩陣為)Gk(s)二C(sl-ABK)BGk(s)二C(sl-ABK)B(2.19)10.2極點配置問題定理10-1(極點配置定理)對于單輸入、單輸出系統(tǒng)(A,B,C)，給定任意的n個極點$(in)，s為實數(shù)或共軛復數(shù)。以這n個給定極點為根的多項式為nf*(s)=n(s-ssJalsZ+lli+azs+an那么存在1n矩陣K，使閉環(huán)系統(tǒng)

11、(A-BK,B,C)以s(i=1,2|丨n)為極點，即ndetsl(ABK)=(ss)=sn+aisn，+川+an二s+ani=1的充分必要條件為受控系統(tǒng)(A,B,C)是狀態(tài)完全可控的。極點配置的設計步驟(掌握下面例子的求解步驟)例10-1給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G°(s)G°(s)s(s1)(s2)10要求利用狀態(tài)反饋把系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置在-2,-仁j處解由給定的傳遞函數(shù)可-'010III01I01001III00A=4r1-44,B=1,C=bnbnb2bj000III10anan4an_2III_ai_Lk其傳遞函數(shù)為G°(s)bsnnX+n二,ii,一

12、bnS+bnsasansanGo(s)=s(s1)(s2)s32s23s0以寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程011=000-2Pl0uJJ由于系統(tǒng)具有可控標準型的形式，所以系統(tǒng)可控，可以任意配置閉環(huán)極點。令狀態(tài)反饋增益矩陣為則經(jīng)K引入狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)矩陣為010A-BK=001-k3-k2-2七-3_j其特征多項式為si(ABK)=s3+(k+3)s2+(k2+2)s+k3由期望的閉環(huán)極點給出的特征多項式為(s2)(s1-j)(s1j)=s34s26s4比較上述兩個特征方程式可得狀態(tài)反饋矩陣為K-1441110.3狀態(tài)重構與狀態(tài)觀測器設計利用狀態(tài)反饋能夠任意配置系統(tǒng)的閉環(huán)極點，有效地改善控制系統(tǒng)的性能。定理

13、10-2(觀測器的存在條件)線性定常系統(tǒng)i=AxBuy二Cx(2.20)具有形式X=(A-GC)x+Bu+Gy(2.21)的狀態(tài)觀測器的充分必要條件是系統(tǒng)不可觀部分是漸近穩(wěn)定的。定理10-3(狀態(tài)觀測器極點任意配置定理)線性定常系統(tǒng)(10.11)，如果其狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為如二(A-GC)XBuGy(2.22)則狀態(tài)觀測器可以任意配置極點，即具有任意逼近速度的充分必要條件是系統(tǒng)X=AxBuy=Cx(2.23)狀態(tài)完全可觀。當實際系統(tǒng)不是可觀標準型時，其狀態(tài)觀測器的設計可由下例說明。例10-2(了解過程)設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為X=AxBuy=Cx其中100TA=021,B=0,C

14、=k10】002JJ試設計一個狀態(tài)觀測器，要求將其極點配置在4,乜上解 檢測系統(tǒng)的狀態(tài)可觀性系統(tǒng)的可觀性矩陣Qg及其秩為C1Qg=CA=12CjC1Qg=CA=12Cj1021,rankQg=3=n44所以系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀，但不具有規(guī)范形式。對于階數(shù)較高的系統(tǒng)，設計其狀態(tài)觀測器需要將其轉(zhuǎn)化為可觀標準型 確定變換矩陣T根據(jù)第九章化可觀標準型的方法，變換矩陣T可確定如下011=Q,0=TJJJJ1111-42-11T=*1AtiAtiI_1_10,T，=-4_31124一,110 化系統(tǒng)為可觀標準型引入線性非奇異變換戈二Tx，則原系統(tǒng)的可觀標準型為X=AxBuy二Cx其中004131A=TAT=1

15、0_8，翼TB=-3,C=cto1衛(wèi)15一1J一 確定可觀標準型所對應的反饋矩陣G設在可觀標準型表示下，系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋矩陣為G=也g；gl則可觀標準型下，狀態(tài)觀測器的特征方程為sl-(A-GC)卜s3+©-5)S2+心2+8)s+(g3-4)再根據(jù)極點配置要求、-3,，2-4,_-5建立對應的特征多項式為f*(s)=(s3)(s4)(s5)=s312s247s60比較上述兩個特征多項式，令其對應系數(shù)相等，則有亂-4=60,©28=47,&-5=12所以可觀標準型所對應的反饋矩陣G為G=03©2g=6439171T此外，還可以利用式錯誤！未找到引用源

16、。確定反饋矩陣G，求出的結果與上述結果相同。 確定給定系統(tǒng)狀態(tài)方程的狀態(tài)觀測器反饋矩陣G4L174L17120-103',210j1G=tG=-1J所以原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為=(A-GC)xBuGy120-103y210一120-103y210一-119-12001A1031051X+0u+-210-2102一一因為狀態(tài)觀測器的輸出為重構狀態(tài)，所以狀態(tài)觀測器的輸出方程為X例10-3（掌握）控制對象的狀態(tài)空間表達式為0_00_0X二+01x+Iu-5一1一0lx試設計帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，使反饋系統(tǒng)的極點配置在倬二T-j解設計帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)可以按照以下步驟進行。

17、 檢查控制對象的可控性和可觀性由于系統(tǒng)可控矩陣和可觀矩陣的秩分別為rankBrankBABEnk。J115=2=nrankFLank1CA一0所以系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控、可觀的，從而存在矩陣K、G使得系統(tǒng)及觀測器的極點可以任意配置 設計狀態(tài)反饋矩陣K設K二屹k!1，引入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的特征多項式為si_(A_BK)=s2+(5+kJs+k2由系統(tǒng)希望配置的極點確定的特征多項式為2(s1-j)(s1j)二s2s2令上述兩個特征多項式對應系數(shù)相等，可得&-3,k2=2即狀態(tài)反饋矩陣為K-k2kJ-2-3 設計狀態(tài)觀測器的反饋矩陣G取狀態(tài)觀測器的極點為s,飛2=-5，則希望的狀態(tài)觀測器具有的特征

18、多項式為22(s5)-s10s25設反饋矩陣G為則狀態(tài)觀測器子系統(tǒng)的特征多項式為si-(A-GC)|=s2+(5+g2)s+5g2+gi令兩個多項式相等，解得gi=o,g2=5即G=蚯gj'501T10.4最優(yōu)控制問題概論（了解）最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的核心。最優(yōu)控制研究的主要問題是：根據(jù)已經(jīng)建立的被控對象的數(shù)學模型，選擇一個容許的控制規(guī)律，使得被控對象按預定的要求運行，并使給定的某一性能指標達到最優(yōu)值（極大值或極小值）。如果設計的控制系統(tǒng)可以使某個性能指標達到最佳值，則這個控制系統(tǒng)就稱為最優(yōu)控制系統(tǒng)。在最優(yōu)控制中，性能指標的確定是一個比較復雜的實際問題。最常用的性能指標：是由狀態(tài)變量

19、和控制變量的二次型函數(shù)的積分表示，這也是一種常見的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為AxBu(2.24)二次型性能指標為J=0xTQxuTRudt(2.25)式中，Q為正定(或半正定)實對稱矩陣，R為正定實對稱矩陣。式(2.25)中的xTQx表示狀態(tài)變量與平衡位置x0的偏差，uTRu與控制功率成正比。因此，使J最小就是使系統(tǒng)的偏差最小，并使控制過程消耗的能量最小。第十一章李亞普諾夫穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性是對控制系統(tǒng)最基本，同時也是最重要的要求。本章介紹的李亞普諾夫（Lyapunov）穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定性判定定理，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，并且還是一些先

20、進的控制系統(tǒng)設計方法的基礎。11.1李亞普諾夫關于穩(wěn)定性的定義設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(2.26)式中，X=%X2XnT是系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量；f(x,t)是以狀態(tài)Xi(i=1,2l(n)和時間t為變量的n維函數(shù)向量11.2李亞普諾夫第一方法李亞普諾夫第一方法又稱為間接法。它適用于線性定常系統(tǒng)和非線性不很嚴重的實際系統(tǒng)。李亞普諾夫第一方法的主要結論如下：(1) 線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負實部。(2) 若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負實部，則實際系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。線性化過程中忽略的高階導數(shù)項對系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒有影響。(3) 如果系統(tǒng)矩陣A的特征值中，

21、只要有一個實部為正的特征值，則實際系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的，并且與被忽略的高階導數(shù)項無關。(4) 如果系統(tǒng)矩陣A的特征值中，即使只有一個實部為零，其余的都具有負實部，那么實際系統(tǒng)的穩(wěn)定性就不能由線性化模型的穩(wěn)定性判定。這時系統(tǒng)的穩(wěn)定性將與線性化過程中被忽略的高階導數(shù)項有關。為了判定原系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須分析原始的非線性模型。可見，李亞普諾夫第一方法是通過判定系統(tǒng)矩陣的特征值實部的符號來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此又稱為特征值判據(jù)。11.3李亞普諾夫第二方法李亞普諾夫第二法是基于：若系統(tǒng)的內(nèi)部能量隨時間推移而衰減，則系統(tǒng)最終將達到靜止狀態(tài)這個思想而建立起來的穩(wěn)定判據(jù)。設V(x)為一個二次型函數(shù)，則其可表示為P12IHPlnXi02I"p2n|X2I*i-r¥rPn2丨HPnn_Xn_PjXiXj_