人教版高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)必修1知識點第一章集合與函數(shù)概念【1.1.1】集合的含義與表示(1)集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2)常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集,N *或N +表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集(3)集合與元素間的關(guān)系對象a與集合M的關(guān)系是a w M，或者a更M ,兩者必居其一. (4)集合的表示法自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合描述法： X| X具有的性質(zhì),其中X為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.(5)集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做無限

2、集.不含有任何元素的集合叫做空集(._ ).【1.1.2】集合間的基本關(guān)系(6)子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集AG B(或B三A)A中的任一元素都屬于B(1)A EA0 J A若A三B且BC ,則A三C若A三B且BJ A,則A = B或真子集A UB 豐(或 B =)A) 豐A 2 B ,且B中至少有一元素不屬于 A(1) 0qA(A為非空子集)(2)若 A二 B且 BCC，則 A二 C©集合 相等A = BA中的任一元素都屬 于B ,B中的任一元素 都屬于A(1)A 三 B(2)B J A(7)已知集合A有n(n >1)個元素，則它有2n個子集，它有2n1個

3、真子集，它有2n1個非空子集,它有2n 2非空真子集(8)交集、并集、補(bǔ)集【1.1.3】集合的基本運算名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集AQBx |x W A,且xw B(1) AA = A(2)aP|0 =0(3) AQB AApB B并集aUbx |x w A,或xw B(1) aUa = a(2) A|j0 =A(3) AlJ B Aa!JB3 BGD補(bǔ)集eu Ax | x w U ,且x 皂 A1 An®A)=02aU(qA)=U癡(AB) =( uA)U(?j B)娜(AUB)=( uA)n(? B)% 6【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法(1)含絕對值的不等式的解

4、法不等式解集| x|<a(a >0)x | -a < x < a| x|>a(a >0)x | x < 一a 或 x a a|ax +b |<c,| ax +b |>c(c>0)把a(bǔ)x +b看成一個整體，化成| x |< a ,|x»a(a a0)型不等式來求解(2) 一元二次不等式的解法判別式K.2/一 =b -4ac >0 =0 <0二次函數(shù)2_L,_L，y =ax +bx +c(a >0)的圖象_1 S.0JVO一元二次方程2 一，一.ax +bx+c=0(a>0)的根-b ±

5、Jb2 -4ac x1,2 =2a(其中 Xi <x2)bx1 = x2 =2a無實根2 .一ax +bx+c>0(a>0)的解集 x | x c x1 或 x > x2r ibix| x# 2aR2,_一，ax +bx+c<0(a>0)的解集x | x1 < x < x200R 1.2 1函數(shù)及其表示 121 函數(shù)的概念 (1)函數(shù)的概念設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則 f，對于集合 A中任何一個數(shù)x,在集合B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合 A, B以及A到B的對應(yīng)法則f ) 叫做集合 A到B的一

6、個函數(shù)，記作 f : At B .函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則.只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).(2)區(qū)間的概念及表示法設(shè)a,b是兩個實數(shù)，且a <b,滿足a Mx Mb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做a,b；滿足a <x <b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做 (a,b)；滿足aWx<b,或acxWb的實數(shù)x的 集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做 a, b), (a,b；滿足x圭a, x a a, x E b, x < b的實數(shù)x的集 合分別記做a,y),(a,收),(-,b,( -,b).注意：對于集合xa<x<b與區(qū)間(a,

7、b),前者a可以大于或等于b ,而后者必須a <b.(3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù).f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合.對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1.ny=tanx中，x#kn+(kZ).2零(負(fù))指數(shù)嘉的底數(shù)不能為零.若f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為a,b,其復(fù)合函數(shù)fg(x)的

8、定義域應(yīng)由不等式a <g(x) <b解出.對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.(4)求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的 值

9、域或最值.判別式法：若函數(shù) y = f (x)可以化成一個系數(shù)含有 y的關(guān)于x的二次方程.2a(y)x +b(y)x+c(y) =0 ,則在a(y) #0時，由于x, y為實數(shù)，故必須有一 2 一 =b (y) -4a(y) c( y) >0 ,從而確定函數(shù)的值域或最值.不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為 三角函數(shù)的最值問題.反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.函數(shù)的單調(diào)性法.122 函數(shù)的表示法

10、(5)函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.(6)映射的概念設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則 f ,對于集合 A中任何一個元素，在集合 B中都有唯一的元素和它對應(yīng)， 那么這樣的對應(yīng)(包括集合 A, B以及A到B的對應(yīng)法則f )叫做集合 A到B的映射，記作f : At B .給定一個集合 A到集合B的映射，且aw A,bw B .如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.R1.

11、3函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大(小)值(1)函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的 性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的 單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值x1、x2,當(dāng)xi< x2時，者B 有f(x 1) <f(x 2),那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).yy=f(x)f(x )/f(x )(1)利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖象上升為增)(4)利用復(fù)合函數(shù)oX1X2x如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值xx2,當(dāng)x1< x2時，者B 有f(x 1) > f(x 2),那么就說 f(x)在

12、這個區(qū)間上是減函數(shù).yf(x 1)y=f(X)(1)利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖象下降為減)(4)利用復(fù)合函數(shù)ox 1x 2x在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).對于復(fù)合函數(shù) y = fg(x), 令u = g(x),若y = f (u)為增，u = g(x)為增，則y = f g(x)為增；若 y = f (u)為減，u = g(x)為減，則 y = fg(x)為增；若 y = f (u)為增，u=g(x)為減，則y = fg(x)為減；若y=f(u)為減，u = g

13、(x)為增，則yy = fg(x)為減.a .(2)打函數(shù)f (x) =x+-(a >0)的圖象與性質(zhì)xf (x) 分別在(-00, 一Ja、 J0 ")上為增函數(shù)，分別在ja,。)、(0,ja】上為減函數(shù).(3)最大(小)值定義一般地，設(shè)函數(shù) y = f (x)的定義域為I ,如果存在實數(shù) M滿足:對于任意的x亡I ,都有f (x) W M ；的最大值，記作(2)存在x°w | ,使得f(xo)=M .那么，我們稱 M是函數(shù)f (x)fmax(X)=M一般地，設(shè)函數(shù) y= f(x)的定義域為I ,如果存在實數(shù) m滿足：(1)對于任意的xw I ,都有f (x) &g

14、t; m ;存在x0 w I ,使得f (x0) = m .那么，我們稱 m是函數(shù)f (x)的最小值，記作fmax(x) = m .【1.3.2 奇偶性(4)函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的 性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi) 任意'*個x,都有f( x)= f(x).,那么函數(shù)f(x)叫做奇理 數(shù).-a1XT(1)利用定義(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱)(2)利用圖象(圖象 關(guān)于原點對稱)(工 f -a)o ax如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi) 任意一個x,都有f-x)=f(x), 那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).(-a. f(3, f (a)5(1)利用定義

15、(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱)(2)利用圖象(圖象 關(guān)于y軸對稱)-3 Qax若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在 x=0處有定義，則f(0)=0.奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù)) ，兩個偶函數(shù)(或 奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).R補(bǔ)充知識1函數(shù)的圖象(1)作圖利用描點法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；畫出函數(shù)的圖象.利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)

16、函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.平移變換y = f(x)y = f(x)y = f(x h)y = f(x) kh 、O,左移h個單位h ：0力移| h|個單位 _k：ig_k±MBk ：0，下移| k|個單位伸縮變換y = f(x)/；¥申,y = f( x)o :入i,y = f(x) A 1,伸 y = Af(x)對稱變換y= f(x)-L y = -f (x)y= f(x) - -二 y = -f(-x)y = f (x)- y ； y = f (-x)直線y3$/ 、y = f (x)y = f (x)去掉y軸左邊圖象-1、f(x)保對輔

17、右邊®象;可祚其關(guān)于ywm硒象t y - f(| x|),人、保留x軸上方圖象 一人、1T(X) 將詢下方S象翻折工丟 T y -I f (x) |(2)識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義 域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.(3)用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了 “形”的直觀性，它是探求解題途徑, 獲得問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.第二章基本初等函數(shù)(I )R2.1 1指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)哥的運算如果xn(1)根式的概念=a, a w R,

18、x w R,n >1,且n w N +，那么x叫做a的n次方根.當(dāng)n是奇數(shù)時,a的n次方根用符號n/a表示；當(dāng)n是偶數(shù)時,正數(shù)a的正的n次方根用符號ya表示，負(fù)的n次方根用符號一n/a表示；0的n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有n次方根.式子ua叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).當(dāng)n為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時，a之0 .根式的性質(zhì)：(nfa )n=a；當(dāng)n為奇數(shù)時，Van = a ;當(dāng)n為偶數(shù)時，a (a-0)a |二 4-a (a ：0)(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的概念m 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的意義是：an = n/am(a > 0, m, n亡N+且n>1). 0的正分?jǐn)?shù)指

19、數(shù)嘉等于0.一 -m1 m F正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的息乂是：a=(一) =n(一)(a >0, m, nN +且n > 1). 0a , a的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).(ar)s =ars(a . 0,r,s R)(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的運算性質(zhì)ar as =ar*(a>0,r,sw R)(ab)r =arbr(a 0,b 0, r R)【2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(4)指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y =ax(a >0且a /1)叫做指數(shù)函數(shù)圖象a >10 < a < 1y = i1x fy=a /(0,1) y =ax

20、'y = 1y(o,i)OxOx定義域R值域(0,)過定點圖象過定點(0,1),即當(dāng)x = 0時，y = 1 .奇偶性非奇非偶單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)函數(shù)值的 變化情況ax >1 (x >0) ax=1 (x=0) x一a <1 (x <0)ax <1 (x>0) ax=1 (x=0) x一a >1 (x < 0)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.R2.2 1對數(shù)函數(shù) 【221】對數(shù)與對數(shù)運算(1)對數(shù)的定義若ax = N (a >0,且a =1),則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作

21、x = loga N ,其中a叫做底數(shù),N叫做真數(shù).負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=logaNu ax = N(aA0,a#1,NA0).(2)幾個重要的對數(shù)恒等式loga1=0, loga a =1 , loga ab =b .(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：lg N ,即iogi0N ;自然對數(shù)：lnN,即logeN (其中e = 2.71828).(4)對數(shù)的運算性質(zhì) 如果a>0,a=1,M >0, N>0,那么加法：loga M loga N = loga(MN )數(shù)乘：n log a M =logaMn(n R)減法:logaloga M-loga N

22、 = logaloga N J0gb N (b >0,且b-1) logb a log b M n =nloga M (b #0,n w R)換底公式: ab【2.2.2 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(5)對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y = logax(a >0且a 01)叫做對數(shù)函數(shù)圖象a >10 < a<1i y1 x = 1¥ = lOga Xi yiX = 1；y = loga XI弋(1.0)O/(1，。)XOK;定義域(0, F值域R過定點圖象過定點(1,0)，即當(dāng)x = 1時，y = 0 .奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0, 十望)上是增函數(shù)在(o, 十

23、至)上是減函數(shù)函數(shù)值的 變化情況logax >0 (x >1)lOgax =0 (x =1)logax <0 (0 <x <1)lOga x<0 (x>1)lOga x = 0 (x=1)loga x>0 (0<x<1)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.(6)反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域為 A，值域為C ,從式子y = f (x)中解出x ,得式子x =邛(y) .如果對于y在C中的任何一個值，通過式子 x = 邛(y), x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x =

24、 (y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù) x = (y)叫做函數(shù)y = f (x)的反函數(shù)，記作 x=f,(y),習(xí)慣上改寫成y = f -(x).(7)反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式 y = f (x)中反解出x = f(y);1 一一一一一將x = f (y)改寫成y = f (x),并注明反函數(shù)的定義域.(8)反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)y = f (x)與反函數(shù)y = f,(x)的圖象關(guān)于直線y = x對稱.函數(shù)y = f (x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y = f,(x)的值域、定義域.1若P(a,b)在原函數(shù)y = f (x)的圖象上，則P(b,a)在反函數(shù)y = f (

25、x)的圖象上.一般地，函數(shù) y = f(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).R2.3 1募函數(shù)(D募函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y =x"叫做幕函數(shù)，其中 x為自變量，u是常數(shù).(2)募函數(shù)的圖象(3)募函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：嘉函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.募函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限 (圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶 函數(shù)時，圖象只分布在第一象限 .過定點：所有的募函數(shù)在 (0, +*)都有定義，并且圖象都通過點 (1,1).單調(diào)性：如果 a >0,則募函數(shù)的圖象過原點，并且在 0, 七無)上為增函數(shù)

26、.如果 a <0,則嘉函數(shù)的圖象在(0, +*)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時，募函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時，募函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)值=9 (其中p,q互 P '_q_q質(zhì)，p和qwZ),若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則y = xp是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則y = xpq是偶函數(shù)，若 p為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則y = xp是非奇非偶函數(shù).圖象特征：募函數(shù)y =x%x w (0, -He),當(dāng)口 >1時，若0Mx<1,其圖象在直線y = x下方，若x >1 ,其圖象在直線y =x上方，當(dāng)3 <1時，若0<x<1,其

27、圖象在直線y = x上方，若x>1 , 其圖象在直線y=x下方.R補(bǔ)充知識1二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式2 一一一 一_ 2_ - 一一般式：f(x) =ax +bx+c(a =0)頂點式：f(x)=a(x h) +k(a#0)兩根式：f (x) =a(xx1)(xx2)(a #0) (2)求二次函數(shù)解析式的方法已知三個點坐標(biāo)時，宜用一般式.已知拋物線的頂點坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時，常使用頂點式.若已知拋物線與 x軸有兩個交點，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式求f(x)更方便.(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)2b一次函數(shù)f (x) = ax2 + bx + c(a = 0)

28、的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x =-,頂點坐標(biāo)是2a/ b 4ac-b2、(-,-)2 a 4a當(dāng)a >0時，拋物線開口向上，函數(shù)在(*,國-b上遞減，在，+無)上遞增，當(dāng)* =2afmin (x)=4ac -b2-；當(dāng)a <0時，拋物線開口向下,4ab _.函數(shù)在 (g,上遞增，在 2a,2a+=c)上遞減，當(dāng)x4ac-b2f max ( x) 一4a二次函數(shù)f (x)= ax24ac > 0時，圖象與x軸有兩個交點2aMi(xi,0),M2(x2,0)，MM2Hxi-&|=色 |a|2一一(4)一兀一次萬程ax +bx+c =0(a # 0)根的分布一元二次方

29、程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容, 這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運用, 下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.2設(shè)一兀二次萬程ax +bx+c = 0(a #0)的兩實根為x1,x2，且x1 Wx2 .令2 .一bf(x)=ax+bx+c ,從以下四個萬面來分析此類問題： 開口萬向：a對稱軸位置：x = 2a判別式：端點函數(shù)值符號. k<xi0x2=Xi < k< X2yaf( k) < 0 ki<Xi0X2<k2y有且僅有一個根xi(或X

30、2)滿足ki<xi(或X2)< k2uf(ki)f(k2)<0,并同時考慮f(ki)=0或f( k2)=0這兩種情況是否也符合ki< Xi< kzW p <發(fā)< p2u此結(jié)論可直接由推出.(5)二次函數(shù)f (x) =aX2+bX +c(a #0)在閉區(qū)間p,q上的最值1設(shè)f (x)在區(qū)間p, q上的最大值為M ,最小值為 m ,令x0 = ( p + q)2(i)當(dāng)a >0時(開口向上)bb一 bb右<p,則m = f(p) 若p WWq,則m=f()若Aq,則2a2a2a2am = f (q)、方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于

31、函數(shù)y = f(x)(xw D), 把使f (x) = 0成立的實數(shù) x叫做函數(shù)y = f (x)(x w D)的零點。2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y = f (x)的零點就是方程f (x) = 0實數(shù)根，亦即函數(shù)y = f (x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。即:方程f (x) =0有實數(shù)根u 函數(shù)y = f (x)的圖象與x軸有交點u 函數(shù)y=f(x)有零點.3、函數(shù)零點的求法：求函數(shù)y = f(x)的零點：(代數(shù)法)求方程 f (x) = 0的實數(shù)根；(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) y = f (x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.4、二次函數(shù)的零點：二次函數(shù) y

32、= ax2 + bx + c(a 0 0) .i) > o,方程ax2+bx + c = 0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點.2)=。，方程ax2+bx + c = 0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交 點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.3)< o,方程ax2+bx +c = 0無實根，二次函數(shù)的圖象與 x軸無交點，二次函數(shù)無零點.高中數(shù)學(xué)必修2知識點第一章空間幾何體1.1 柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖：俯視圖：從上往下正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右2畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等

33、3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：(1) .平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；(2) .平行于y軸的線長度變半，平行于 x, z軸的線長度不變;(3) .畫法要寫好。畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：(1)畫軸(2)1.3空間幾何體的表面積與體積)空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和22圓柱的表面積S =2取1 +2n223圓錐的表面積S = 7Trl 7rr_2 _ 24圓臺的表面積S = "rl"r"Rl"R5球的表面積S =4nR2(二)空間幾何體的體積1柱體的體積V =S底 h2錐體的體積V3臺體

34、的體積1 / _V （S上.S上S下 S下）h4球體的體積1=-S底h343V = R332.1空間點、第二章直線與平面的位置關(guān)系 直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1 1平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示45°,且橫邊畫(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成成鄰邊的2倍長(如圖)(2)平面通常用希臘字母 a、0、丫等表示，如平面a、平面0等，也可以用表示平面的平行四邊形的四 個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC平面ABC詹。3 三個公理：(1)公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為公理1作用：判斷

35、直線是否在平面內(nèi)(2)公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A B、C三點不共線=> 有且只有一個平面a , 使 AG a、BGa、CGa。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：PG a A 0 => a A 0 =L，且PG L公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：任目交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點2公理4:平

36、行于同一條直線的兩條直線互相平行。 符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a/ bc/ b =>a II c強(qiáng)調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用 公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ) 4注意點: a'與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與 O的選擇無關(guān)，為簡便，點 O 一般取在兩直線中的一條上；兩條異面直線所成的角 9 (0 , ) ； £當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 a±b; 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂

37、直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角2.1.3 2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi) 一一 有無數(shù)個公共點(2)直線與平面相交 一一 有且只有一個公共點(3)直線在平面平行 一一 沒有公共點 指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用2.2. 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：0l=> aa / b2.2.2 平面與

38、平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。/1 j符號表小:an b = Pa/ ab / a2、判斷兩平面平行的方法有二種：(1)用定義；(2)判定定理；(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 簡記為：線面平行則線線平行。符號表不：a/ aa C 0 = b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。 符號表示：a /0 C T = b作用

39、：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1、定義如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面a互相垂直，記作L，a ,直線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點 P叫做垂足。2、判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b）定理體現(xiàn)了 “直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形0 或 a -AB- 03、兩個

40、平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.32.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章知識結(jié)構(gòu)框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系第三章直線與方程3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線 l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成 的角a叫做直線l的傾斜角.特別地，當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定a = 0 °

41、 .2、傾斜角a的取值范圍：0 ° & a < 180° .當(dāng)直線l與x軸垂直時，a = 90 ° .3、直線的斜率：一條直線的傾斜角a ( a，90° )的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母 k表示，也就是k=tan a當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，a =0° , k = tan0 0 =0;當(dāng)直線l與x軸垂直時，a = 90 ° , k不存在.由此可知，一條直線l的傾斜角a 一定存在，但是斜率k不一定存在.4、直線的斜率公式：給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1，x2,用兩點的坐標(biāo)來表示直線P1

42、P2的斜率：斜率公式：k=y2-y1/x2-x13.1.2兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即-.： T 1- j注意：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不成立.即如果k1=k2,那么一定有 L1/L22、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3.2.1 直線的點斜式方程1、 直線的點斜式方程：直線l經(jīng)過點P0(x°, y°),且斜率為k y - y0 = k(x x

43、0)2、直線的斜截式方程：已知直線l的斜率為k ,且與y軸的交點為(0,b) y = kx + b3.2.2 直線的兩點式方程1、直線的兩點式方程：已知兩點P1(x1,x2), P2(x2, y2)其中(x1 # x2, y1 * y2)y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直線的截距式方A(a,0)，與 y 軸, 111 _L 12 k -, k.jlc2 = -1程：已知直線l與x軸的交點為的交點為 b (0,b),其中a ”b = 03.2.3 直線的一般式方程1、直線的一般式方程：關(guān)于 x,y的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (a, b不同時為0) 2、各種直線方程之

44、間的互化。3.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式3.3.1 兩直線的交點坐標(biāo)1、給出例題：兩直線交點坐標(biāo)L1 : 3x+4y-2=0 L1: 2x+y +2=03x 4y - 2= 0解：解萬程組 W得x=-2, y=22x 2y 2= 0所以L1與L2的交點坐標(biāo)為 M (-2, 2)3.3.2 兩點間距離兩點間的距 離公式3.3.3 點P1P21 = J(x2 x2 ) +(y2 yi )到直線的距離公式1 .點到直線距離公式：Ax。+ By。+C點P(x0, y0)到直線l : Ax +By +C = 0的距離為：d = -,A2B22、兩平行線間的距離公式：已知兩條平行線直線11和|2的一般式方

45、程為11 ： Ax + By + C1 = 0 ,Ci -'C2l2： Ax + By+C2 =0,則 11 與 12 的距離為 d = t I.A2 B2第四章圓與方程4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，22. 、221、圓的標(biāo)準(zhǔn)萬程：(x-a) ，(y-b) =r圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程2222、點M (x0,y°)與圓(xa) +(yb) =r的關(guān)系的判斷萬法：222222(1) (x0-a) +(y0-b) >r，點在圓外(x0 -a) +(y0-b) = r，點在圓上222(3)(x0 -a) +(y0b) <r2,點在圓內(nèi)4.1.2 圓的一般方程2

46、21、圓的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 02、圓的一般方程的特點：(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于 0.沒有xy這樣的二次項.(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了.(3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指 出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1圓與圓的位置關(guān)系1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.22一 DE設(shè)直線 l : ax +by +c =0 ,圓 C ： x + y + Dx + Ey + F =0 ,圓的半徑為 r ,圓心(一一_)2 2到直線的距離為d,

47、則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：(1)當(dāng)d >r時，直線l與圓C相離；(2)當(dāng)d = r時，直線1與圓C相切；(3)當(dāng)d <r時，直線1與圓C相交；4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長為1 ,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：(1)當(dāng)1 >ri十2時，圓Ci與圓C2相離； 當(dāng)1 =ri +2時，圓Ci與圓C2外切； 當(dāng)|r1 一 r2 |< 1 <r1 +r2時,圓C1與圓C2相交;(4)當(dāng)14rl r2 |時，圓C1與圓C2內(nèi)切；(5)當(dāng)1 Wr1 -r2 |時，圓C1與圓C2內(nèi)含;4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用1、利用

48、平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；2、過程與方法用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；x第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.4.3.1 空間直角坐標(biāo)系1、點M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x, y, z) , x、z軸上的坐標(biāo)2、有序?qū)崝?shù)組(x, y, z),對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點3、空間中任意點 M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組(x, y, z)來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記m (x, y,z) , x叫做點M的橫坐標(biāo)，y叫做點M的縱坐標(biāo)，

49、z叫做點M的豎坐標(biāo)。4.3.2 空間兩點間的距離公式1、空間中任意一點 P1(x1, y1, z1)到點P2(x2, y2, z2)之間的距離公式r r 2、2 , /、2 , /72RP2=，(xi-X2)+(yi-y2)+(zi-Z2)高中數(shù)學(xué)必修3知識點第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成2.算法的特點：有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的 (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到

50、確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟, 前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設(shè) 計好的步驟加以解決.1.1.2 程序框圖1、程序框圖基本概念：(一)程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分：表示

51、相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。(二)構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的?？谳斎搿⑤敵隹虮硎疽粋€算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明“是”判斷框或“Y”；不成立時標(biāo)明“否”或“ N”。學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號

52、只有一個進(jìn)入點和一個退出點。 判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。 4、判斷框分兩大類，一類判 斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、 在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。(三)、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而1r下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和BA框是依次執(zhí)行的，

53、只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí).行B框所指定的操作。B2、條件結(jié)構(gòu)：蕈條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。條件P是否成立而選擇執(zhí)行 A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行 A框或B框之一，不可能同 時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可以有多個判斷框。3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：(1)、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定

54、的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行 A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件 P不成 立為止，此時不再執(zhí)行 A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。(2)、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行 A框，直到某一次給定的條件 P成立為止，此時不再執(zhí)行 A框，離開循環(huán) 結(jié)構(gòu)。當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)” 。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次 數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果