物理競(jìng)賽光學(xué)試題

1、1例1、證明：入射到光纖一端的光線(xiàn)錐的最大夾角為2221arcsinnn 2n1n2證明：i1i2 兩次折射關(guān)系：11cossinin2211sinsininin 角越大，i1 越小，i1 必須大于臨界角121arcsinnniic結(jié)果得證2例2、設(shè)曲面 S 是有曲線(xiàn) CC 繞 X 軸旋轉(zhuǎn)而成的。曲面兩側(cè)的折射率分別為 n 和 n，如果所有平行于X 軸的平行光線(xiàn)經(jīng)曲面折射后都相交于X 軸上一點(diǎn) F，則曲面成為無(wú)像差曲面，已知OF = f，求曲線(xiàn)所滿(mǎn)足的方程。如果 n = - n，結(jié)果如何？CCOXY解：FfAB 分析解本題可用折射定律求曲面法線(xiàn)方程的方法，再結(jié)合已知條件，可求得CC曲線(xiàn)方程。

2、用等光程原理求解本題更簡(jiǎn)單nn3CCOXYFfAB (x, y) 選取一條入射光線(xiàn)AB 和一條沿 X 軸入射 的光線(xiàn);nn 等光程：OFnBFnABn 幾何關(guān)系：xAB 22yxfBF CC曲線(xiàn)方程：fOF 0222222fxnnnynxnn n = - n 時(shí)：fxy42橢圓方程拋物型反射鏡4例1 有一半導(dǎo)體發(fā)光管，發(fā)光區(qū)為半徑為 r 的圓盤(pán)，發(fā)光面上覆蓋一折射率為 n、半徑為 R 的半球型介質(zhì)，如圖所示。問(wèn)：要使發(fā)光區(qū)發(fā)出的全部光線(xiàn)在球面上不發(fā)生全反射，介質(zhì)半球的半徑 R 至少應(yīng)多大？（第11屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽題）R發(fā)光區(qū)Onrnic1arcsin解： 第一步：全反射條件5OAPB 第二

3、步：反射光的幾何性質(zhì) 考察任意一點(diǎn) A 發(fā)出的光線(xiàn)在球面上任意一點(diǎn)P 反射后的光線(xiàn) 因此反射光線(xiàn)一定在 APO 平面內(nèi)，與發(fā)光面交點(diǎn) B 在 AO 延長(zhǎng)線(xiàn)上，即AO所在的直徑上PRBR P 點(diǎn)的法線(xiàn)沿 PO 方向反射線(xiàn)、折射線(xiàn)、法線(xiàn)三者共面 A點(diǎn)發(fā)出的其它光線(xiàn)反射后都與 AO所在的直徑相交6 第二步：數(shù)學(xué)推導(dǎo)EFROnrP EO區(qū)內(nèi)E點(diǎn)光線(xiàn)的入射角iE最大，同樣FO區(qū)內(nèi)F點(diǎn)的光線(xiàn)的入射角iF最大;iEiF 求 F點(diǎn)光線(xiàn)的最大入射角niicF1arcsinmax 不發(fā)生全反射:RriFarcsinmax 如果 P 點(diǎn)在右半邊，則有 iF iE , P 點(diǎn)在左邊,則反之;EPEOPriEsinsi

4、nFPEOPFPFOPriFsinsinsinFPEP nrR rROFPiFsinsin7例2 圖示一個(gè)盛有折射率為 n 的一體的槽，槽中的中部扣著一個(gè)對(duì)稱(chēng)屋脊形的薄璧透明罩ADB,頂角為2q，罩內(nèi)為空氣，整個(gè)罩子浸沒(méi)在液體中，槽底 AB 的中點(diǎn)有一亮點(diǎn) C。 試求出：位于液體上方圖示平面內(nèi)的眼睛從側(cè)面觀察可看到亮點(diǎn)的條件（液槽有足夠的寬度；罩璧極薄，可不計(jì)它對(duì)光線(xiàn)產(chǎn)生折射的影響）（第13屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽予賽題）解：ABDn = 1nCq 在液面上折射時(shí)，所有光線(xiàn)都發(fā)生全反射時(shí)，則光線(xiàn)出不來(lái)。8ABDn = 1nCqbg 全反射條件：nC1arcsingEF 三角幾何關(guān)系E點(diǎn)和F點(diǎn)法線(xiàn)的

5、夾角DB和水平方向的夾角：只要 g 的最小值小于臨界角，則總會(huì)有光線(xiàn)出來(lái)bsinsinng 最小 b 最大 C點(diǎn)發(fā)出光線(xiàn) CD的 最大q2max11tan2nqqbg29例3： 一塊平行平板，其厚度為 d，光線(xiàn) 從O點(diǎn)垂直入射，若平板折射率按 變化，q 為常數(shù)，并在 A 點(diǎn)以 角出射，求 光線(xiàn)軌跡、A 點(diǎn)的位置和平板的厚度。qxn410AOXYd解： 折射定律決定光線(xiàn)在每一點(diǎn)的方向，從而確定光線(xiàn)的軌跡； 介質(zhì)折射率連續(xù)變化，可將平板沿 X 方向切成一系列薄片，對(duì)每層薄片應(yīng)用折射定律。 折射定律的級(jí)聯(lián)形式：AAxxnnnnbbbsinsinsin110bxqxnnx41010AOXYdAAxxn

6、nnnbbbsinsinsin110bxqxnnx410P(x, y) P點(diǎn)光線(xiàn)的方向由bx 決定:qxnnxx411sin0b P點(diǎn)光線(xiàn)的切線(xiàn)斜率 kp :qxkxp41tanb 曲線(xiàn) y = f(x)與斜率 kp：dxdykp A點(diǎn)的條件：bsin90sinAoAnAAnn0sinb和qxy 2 光線(xiàn)軌跡方程：220sinnnA 結(jié)論：qnxA2024sinqnydA02sin和11例4、 一個(gè)透明光學(xué)材料，折射率在 y 方向向兩側(cè)對(duì)稱(chēng)地降低： ，在xoy 平面內(nèi)有一光線(xiàn)以入射角qo=30o 射向O點(diǎn)，求此光線(xiàn)能到達(dá)離 X 軸最遠(yuǎn)的距離。 qynyn0OXY解:q0 從上題可知，光線(xiàn)進(jìn)入折

7、射率非均勻介質(zhì)后彎曲，而且是傾向于向折射率大的方向偏折。 從圖可知：光線(xiàn) X 軸最遠(yuǎn)點(diǎn) 為切線(xiàn)在水平方向時(shí)的切點(diǎn)處。 qynyn0 沿Y 方向分割成一系列薄層，應(yīng)用折射定律。sinsin00nn 由初始條件 求出0:0090sin30sinoonqnny41200max012例5、圖示三棱鏡的頂角 60o，在三棱鏡兩側(cè)對(duì)稱(chēng)位置放置焦距均為 f = 30cm的兩個(gè)完全相同的凸透鏡 L1和 L2，若在 L1 的前焦面上距主光軸下方 y =14.3cm 處放一單色點(diǎn)光源 S，已知其像 S 與 S 對(duì)該光學(xué)系統(tǒng)時(shí)左右對(duì)稱(chēng)的，試求該三棱鏡的折射率。(第19屆全國(guó)中學(xué)生物理預(yù)賽題）FfySSL1L2解：

8、分析：光路系統(tǒng)及物像左右對(duì)稱(chēng)，考慮到光線(xiàn)的可逆性原理， 因此在棱鏡內(nèi)部分的光線(xiàn)一定是平行于棱鏡底邊n = ?13FfySSL1L2 選取一條特征光線(xiàn)通過(guò)透鏡光心的光線(xiàn)i1i4i3i2 幾何關(guān)系：b41ii 32ii b21ii32iifybtann = ? 計(jì)算得：65. 1sinsin21iin14例7、兩透鏡組合系統(tǒng)如圖，已知一個(gè)物經(jīng)整個(gè)系統(tǒng)成像位置和大小如圖中所示。試用作圖法求物經(jīng) L1 成像位置與大小，作出 L1 及透鏡組合系統(tǒng)的焦點(diǎn)位置（畫(huà)出物方或像方中的一個(gè)即可），說(shuō)明 L1 和 L2 的凹凸性。L1L2解：物P像P 物點(diǎn)P發(fā)出的光線(xiàn)1通過(guò) L1 光心； 通過(guò)像點(diǎn)P并經(jīng)過(guò) L2光心

9、的光線(xiàn)2 ；12光線(xiàn)1經(jīng)過(guò) L2 后的光線(xiàn)1 的延長(zhǎng)線(xiàn)通過(guò)像點(diǎn)P；12 在 L2 上對(duì)應(yīng)于2 的入射光線(xiàn)為2 ； 1 和 2 交點(diǎn)是物點(diǎn) P 經(jīng) L1 所成的中間像點(diǎn)；P”15L1L2物像1212 物點(diǎn) P 發(fā)出的水平光線(xiàn)經(jīng) L1 后與 P” 相交確定 L1 的焦點(diǎn) F1F313F 出射光線(xiàn) 3 通過(guò) P 與光軸相交于 F L1為負(fù)透鏡，L2 為正透鏡16例8、有一半徑為R=0.128m的玻璃半球，過(guò)球心O并與其平面部分相垂直的直線(xiàn)為其主軸，在主軸上沿主軸方向放置一細(xì)條形發(fā)光體A1A2（如圖示），其長(zhǎng)度為l=0.020m。若人眼在主軸附近對(duì)著平面部分向半球望去，可以看到條形發(fā)光體的兩個(gè)不很亮的

10、像（此外可能還有亮度更暗的像不必考慮），當(dāng)條形發(fā)光體在主軸上前后移動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)像也在主軸上跟著移動(dòng)?，F(xiàn)在調(diào)整條形發(fā)光體的位置，使得它的兩個(gè)像恰好頭尾相接，連在一起，此時(shí)條形發(fā)光體的近端A2距球心O的距離為a2=0.020m，試?yán)靡陨蠑?shù)據(jù)求出此玻璃球的折射率 n（計(jì)算時(shí)只考慮近軸光線(xiàn)）。OA1A2a2解： 分析 兩個(gè)像一為平面反射的像； 另一個(gè)為經(jīng)過(guò)平面折射 球面反射 平面折射nR17OA1A2a2 求光軸上一點(diǎn)A（在O左方a處）的A經(jīng)過(guò)三次所成的像，Ru 注意點(diǎn)：半球的 r = -Rnrnnsnsn計(jì)算可得，最后的像A在O右邊sA處：RnaaRsA2顯然 sA sA2 A1A2A”2A”1

11、A 經(jīng)平面反射的像 A” 在O右邊 a 處，兩條形像頭尾相接， A1 與A2” 重合l6 . 12laalRn18例9、一塊玻璃臺(tái)板厚度為 d，折射率為 n，看到壓在臺(tái)板下的報(bào)紙上的字相對(duì)于真實(shí)位置要上移一個(gè)距離 l，試求 l。SSndlO1O2解：S” S相對(duì)于O1的物距 為 s其像S”相對(duì)于O1的像距nss 1例如 n=1.5，l= d/3 分析利用公式 求解兩次成像過(guò)程snsn 中間像S”相對(duì)于O2的物距為dnss2S相對(duì)于O2的像距:ndnss2S相對(duì)于O1的像距:dndnss1dnnssl1119例10、長(zhǎng)度為 h=4mm 的物體由圖示的光學(xué)系統(tǒng)成像。光學(xué)系統(tǒng)由一個(gè)直角棱鏡、一個(gè)會(huì)聚

12、透鏡和一個(gè)發(fā)散透鏡組成，各有關(guān)參數(shù)和幾何尺寸均標(biāo)于圖中。求：1）像的位置；2）像的大小，并作圖說(shuō)明是實(shí)像還是虛像，是正立還是倒立的。（第13屆全國(guó)物理競(jìng)賽復(fù)賽題）AB6cm10cm5cmL1L245o6cmn=1.5f1=20cm f2=10cm解： 分析 棱鏡不僅起反射作用，兩個(gè)直角面上的折射也必須考慮； AB經(jīng)過(guò)棱境全反射后，再分別經(jīng)L1和L2成像； 棱鏡反射相當(dāng)于反射鏡，兩次折射等效于平板玻璃的作用。206cmAB平板折射像ABAB6cm10cm5cmL1L245o6cmn=1.5f1=20cmf2=10cm 全反射條件 ：o421arcsinniC近軸成像 棱鏡的等效成像:AB與AB等

13、高，在AB右側(cè)cmdnnl21lAB反射像6cm 最后的像成在L2的焦點(diǎn)上，即L2左側(cè)10cm處，像高2mm21ABL1L2 作圖F1F2A”B”22例11、在圖示的費(fèi)涅爾雙棱鏡實(shí)驗(yàn)中，已知狹縫光源S的波長(zhǎng)為l、棱鏡折射率為n、棱角很小，設(shè)光源S到棱鏡的距離為L(zhǎng)1，（1）求距棱鏡L1處的屏上條紋的間距。（2）若用折射率為n的肥皂膜遮住棱鏡的一半，發(fā)現(xiàn)條紋上下移動(dòng)了a，求肥皂膜的厚度。SS2S1解：SS2S1L1L2屏n 分析采用等效的虛光源后，有類(lèi)似于揚(yáng)氏干涉的干涉條紋；DxX23t（2）肥皂膜厚度t ： 求等效光源S1和S2的間距d ：SS2S1L1L2屏nOd棱鏡角 很小q偏向角q1 nq

14、12211nLLdX（1）條紋間距 Dx ：l1212121DnLLLdLLxDxa光程差的變化tn 1xatnDl1l112211nLLanLt24例12、一塊玻璃平板放置在邊長(zhǎng)為2cm的玻璃立方體上，兩者之間有一層平行的空氣隙。波長(zhǎng)在0.4mm到1.15um之間的電磁波初值垂直入射到平板上，經(jīng)空氣隙兩邊表面反射而發(fā)生干涉。在此波段只有兩種波長(zhǎng)獲得極大增強(qiáng)，其一是l1=0.4mm。求空氣隙的厚度。(第3屆國(guó)際奧林匹克題）解： 下表面反射的光要比上表面反射的光多走2d的光程d 在玻璃表面反射時(shí)，有180o的相位改變（半波損失） 干涉增強(qiáng)條件：11122llkd21222llkd和2121121

15、2llkk 可篩選出k1和k2的可能值：k1=2 和 k2=1l2=0.667mm25例13、沿著肥皂膜法線(xiàn)成45o角的方向觀察時(shí)，膜顯綠色(l1=500nm)。設(shè)肥皂膜折射率為1.33，求：(1)肥皂膜的最薄厚度。(2)如改為垂直觀察，膜是何種顏色？解：2cos2lq ndrdn=1.33i=45oq112cos2llqknd(1) 干涉極大條件inkd221sin221l膜最薄nmind111sin221221l(2) 垂直入射：i = 0o, q = 0o1242122kndkndl122 .585k可見(jiàn)光范圍k只能取0nm2 .5852l26例14、兩平板玻璃間構(gòu)成劈形空氣膜，波長(zhǎng)為5

16、00nm的單色光正入射時(shí)，觀測(cè)到膜上的干涉條紋間距為1mm，求劈角。解：2cos2lq ndr 分析XDx 光程差主要決定于厚度，形成等厚條紋； 正入射時(shí)，q0，2222llxdr 光程差86. 0105 . 24弧度 光程差改變一個(gè)波長(zhǎng)，條紋變化一個(gè)周期lDx227？條紋條紋圖示：平板平整度的檢測(cè) 條紋llqkxr2cos2亮條紋位置例14的討論：28例15、一個(gè)由暗盒組成的針孔照相機(jī)，其小孔直徑小孔直徑為d，暗盒中像成在小孔厚距離為D 的感光膠片上，物體位于小孔前L處，所用照明波長(zhǎng)為 l 。（1）估計(jì)成像清清晰時(shí)小孔半徑的大??； （提示：函數(shù) ，對(duì)于 x 0， 時(shí)， y 最小）（2）若使用（1）中算出的小孔，試問(wèn)物體上兩點(diǎn)間的 最小距離多少時(shí)，兩點(diǎn)的像是可分辨的？針孔成像xbaxyabx AdDL解：分析29 分析 小孔成像利用光的直線(xiàn)傳播 小孔越小越好；AdDLa 幾何投影像的直徑dLDLa 小孔衍射使得像點(diǎn)成為像斑 小孔越小越好；a”/2 衍射效應(yīng)增加的直徑Ddal22. 12A 的像的總直徑 a = a + a”30