高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第七節(jié) 正弦定理和余弦定理課件 文

1、第七節(jié)正弦定理和余弦定理總綱目錄教材研讀1.正弦定理和余弦定理考點突破2.在ABC中,已知a、b和A時,解的情況3.三角形面積考點二充分條件、必要條件的判斷考點一四種命題的相互關(guān)系及真假判斷考點三充要條件的應(yīng)用定理正弦定理余弦定理內(nèi)容=2R(R是ABC外接圓半徑)a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC變形形式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=,sinB=,sinC=;(3)a b c=sinA sinB sinC;(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,cosA=;cosB=;

2、cosC=應(yīng)用類型(1)已知兩角和任一邊,求另一角和其他兩條邊;(2)已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其他兩角(1)已知三邊,求各角;(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩角aAsinbBsincCsina2Rb2Rc2R222bca2bc222acb2ac222abc2ab1.正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理教材研讀教材研讀2.在在ABC中中,已知已知a、b和和A時時,解的情況解的情況上表中,若A為銳角,當(dāng)absinA時無解;若A為鈍角或直角,當(dāng)ab時無解.A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinAab解的個數(shù)一解一解兩解兩解一解一解一解一解3.三角形面積三角形面

3、積設(shè)ABC的角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,其面積為S.(1)S=ah(h為BC邊上的高).(2)S=absinC=acsinB=bcsinA.121212121.在ABC中,a=3,b=5,sinA=,則sinB=()A.B.C.D.113155953B答案答案B根據(jù)=,有=,得sinB=.故選B.sinaAsinbB3135sinB592.在ABC中,若a=2,c=4,B=60,則b等于()A.2B.12C.2D.2837答案答案A由b2=a2+c2-2accosB,得b2=4+16-8=12,所以b=2.3A3.在ABC中,化簡bcosC+ccosB的結(jié)果為()A.aB.bC.cD

4、.b12答案答案AbcosC+ccosB=b+c=+=a.2222abcab2222acbac2222abca2222acba222aaA4.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=,b=3,c=2,則A=()A.B.C.D.76432答案答案C易知cosA=,又A(0,),A=.故選C.2222bcabc22232( 7)2 3 2 123C5.在非鈍角ABC中,2bsinA=a,則B=.33答案答案3解析解析由正弦定理得bsinA=asinB,所以2bsinA=2asinB=a,即sinB=,又B非鈍角,所以B=.33236.在ABC中,a=3,b=2,cosC=,則ABC

5、的面積為.2313答案答案43解析解析cosC=,sinC=.SABC=absinC=32=4.132 231212232 233典例典例1(1)(2017課標(biāo)全國,11,5分)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,則C=()A.B.C.D.(2)(2017課標(biāo)全國,15,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60,b=,c=3,則A=.(3)(2017課標(biāo)全國,16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=.2126436考點一利用正、余弦定

6、理解三角形考點一利用正、余弦定理解三角形考點突破考點突破答案答案(1)B(2)75(3)60解析解析(1)因為sinB+sinA(sinC-cosC)=0,所以sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC=0,所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,整理得sinC(sinA+cosA)=0,因為sinC0,所以sinA+cosA=0,所以tanA=-1,因為A(0,),所以A=,由正弦定理得sinC=,又0Cb,B=45,A=75.(3)解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即sin2B=sin(A+C),即

7、sin2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cosB=,又0B180,所以B=60.3sin606sinB222222acbac2222abcab2222bcabc222acbac12方法技巧方法技巧應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧(1)求邊:利用公式a=,b=,c=或其他相應(yīng)變形公式求解.(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA=,sinB=,sinC=或其他相應(yīng)變形公式求解.(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解.(4)靈活利用式子的特點轉(zhuǎn)化.如出現(xiàn)a2+b2-c2=ab形式用余弦定理,等式兩

8、邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理.sinsinbABsinsinaBAsinsinaCAsinaBbsinbAasincAa1-1(2016課標(biāo)全國,4,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=,c=2,cosA=,則b=()A.B.C.2D.352323答案答案D由余弦定理,得4+b2-22bcosA=5,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去),故選D.13D1-2(2016課標(biāo)全國,15,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,則b=.455132113答案答案2113解析解析由cosC=,0C,得si

9、nC=.由cosA=,0A,得sinA=.所以sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=,根據(jù)正弦定理得b=.513121345356365sinsinaBA2113典例典例2在ABC中,若a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC,試判斷ABC的形狀.考點二判斷三角形的形狀考點二判斷三角形的形狀解析解析解法一:利用邊的關(guān)系來判斷.由正弦定理得=,由2cosAsinB=sinC,有cosA=.又由余弦定理得cosA=,所以=,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又因為a2+b2-c2=ab.所以2b2-c2=b2,所以b2

10、=c2,所以b=c,所以a=b=c.所以ABC為等邊三角形.sinsinCBcbsin2sinCB2cb2222bcabc2cb2222bcabc解法二:利用角的關(guān)系來判斷.因為A+B+C=180,所以sinC=sin(A+B),又因為2cosAsinB=sinC,所以2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sin(A-B)=0.又因為A與B均為ABC的內(nèi)角,所以A=B,因為a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cosC=,又0C180,所以C=60,所以ABC為等邊三角形.2222abcab2abab12易錯警示易錯警示判定三角形形狀的兩種常用途徑提醒“角化邊”后要注意用

11、因式分解、配方等方法得出邊的相應(yīng)關(guān)系;“邊化角”后要注意用三角恒等變換公式、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式推出角的關(guān)系.2-1設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若acosA=bcosB,則ABC的形狀為()A.直角三角形B.銳角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形答案答案D由條件及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B,又A、B均為ABC的內(nèi)角,所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=.所以ABC為等腰三角形或直角三角形.2D典例典例3(2017課標(biāo)全國,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8si

12、n2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.2B考點三與三角形面積有關(guān)的問題考點三與三角形面積有關(guān)的問題解析解析(1)由題設(shè)及A+B+C=得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故SABC=acsinB=ac.又SABC=2,則ac=.2B1517151781712417172由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4.所以b=2.17215117方法技巧方法技

13、巧(1)對于面積公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.(2)與面積有關(guān)的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.121212同類練同類練在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,且(2b-c)cosA=acosC.(1)求角A的大小;(2)若a=3,b=2c,求ABC的面積.解析解析(1)由(2b-c)cosA=acosC,得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA,得2sinBcosA=sin(A+C),所以2sinBcosA=sinB,因為0B,所以sinB0,所以cosA=,因為0A,所以A=.(2)因為

14、a=3,b=2c,由(1)知A=,所以cosA=,解得c=,12332222bcabc222494ccc123所以b=2.所以SABC=bcsinA=2=.3121233323 32由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4.所以b=2.17215117變式練變式練(2018河北石家莊質(zhì)檢)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面積為,求ABC的周長.73 32解析解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.可得cosC=,所以C=.(2)由已知,得absinC=.又C=,所以ab=6.123123 323由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.所以ABC的周長為5+.7深化練深化練在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且c(asinB-bcosA)=a2-b2.(1)求B;(2)若b=3,求ABC面積的最