數(shù)學(xué)：131《二項式定理》課件

1、1.3 1.3 二項式定理二項式定理1.3.1 1.3.1 二項式定理二項式定理問題提出問題提出t57301p2 1.(1.(ab) )2 2和和( (ab) )3 3展開后分別等于展開后分別等于什么？什么？ (ab)2 2a2 22 2abb2 2，(ab)3 3a3 33 3a2 2b3 3ab2 2b3 3. 2. 2.對于對于ab，( (ab b) )2 2，( (ab b) )3 3，( (ab b) )4 4，( (ab b) )5 5等代數(shù)式，數(shù)學(xué)上統(tǒng)等代數(shù)式，數(shù)學(xué)上統(tǒng)稱為稱為二項式二項式，其一般形式為，其一般形式為( (ab b) )n n（nNnN*）. .由于在許多代數(shù)問題

2、中需要由于在許多代數(shù)問題中需要將它展開，因此，研究將它展開，因此，研究( (ab b) )n n展開后的展開后的表達式的一般結(jié)構(gòu)，就是一個具有重要表達式的一般結(jié)構(gòu)，就是一個具有重要意義的課題意義的課題. .探究（一）：探究（一）：二項式定理二項式定理 思考思考1 1：將將( (ab b) )2 2( (ab b)()(ab b) )按多按多項式乘法法則展開，每個括號內(nèi)各取一項式乘法法則展開，每個括號內(nèi)各取一個數(shù)相乘得到展開式中的一項，根據(jù)分個數(shù)相乘得到展開式中的一項，根據(jù)分步計數(shù)原理，在合并同類項之前共有多步計數(shù)原理，在合并同類項之前共有多少項？其中不取少項？其中不取b b，取一個，取一個b

3、b和一個和一個a，取，取二個二個b b的項數(shù)用組合數(shù)分別怎樣表示？由的項數(shù)用組合數(shù)分別怎樣表示？由此可得此可得( (ab b) )2 2的展開式是什么？的展開式是什么？20212 2222()abC aC abC b+=+思考思考2 2：類似地，將類似地，將( (ab b) )3 3( (ab b) ) ( (ab b)()(ab b) )按多項式乘法法則按多項式乘法法則展開，在合并同類項之前共有多少項？展開，在合并同類項之前共有多少項？其中不取其中不取b b，取一個，取一個b b和二個和二個a，取二個，取二個b b和一個和一個a，取三個，取三個b b的項數(shù)用組合數(shù)分別的項數(shù)用組合數(shù)分別怎樣表

4、示？由此可得怎樣表示？由此可得( (ab b) )3 3的展開式是的展開式是什么？什么？3031222333333()abC aC a bC abC b+=+思考思考3 3：在在( (ab b) )4 4( (ab b)()(ab b)()(ab b)()(ab b) )的展開式中，有哪幾種形式的的展開式中，有哪幾種形式的項？合并同類項之后各項的系數(shù)分別是項？合并同類項之后各項的系數(shù)分別是什么組合數(shù)？由此可得什么組合數(shù)？由此可得( (ab b) )4 4的展開式的展開式是什么？是什么？40 41 32 2 2334 444444()abC aC ab C abC abC b+=+思考思考4 4

5、：根據(jù)歸納推理，你能猜測出根據(jù)歸納推理，你能猜測出 ( (ab b) )n n(nN(nN*) )的展開式是什么嗎？的展開式是什么嗎？ 01122 211()nnnnnnnnnnnnnabC aC abC abCabC b-+=+L思考思考5 5：如何證明這個猜想？如何證明這個猜想？ 思考思考6 6：公式公式叫做叫做二項式定理二項式定理，等式右邊叫做二項展，等式右邊叫做二項展開式，其中各項的系數(shù)開式，其中各項的系數(shù) (k(k0 0，1 1，2 2，n)n)叫做叫做二項式系數(shù)二項式系數(shù)，那么二項展，那么二項展開式在結(jié)構(gòu)上有哪些基本特征？開式在結(jié)構(gòu)上有哪些基本特征？011()nnnk n k kn

6、 nnnnnabC aC a bC a bC b-+=+LLknC 共有共有n n1 1項；字母項；字母a的最高次數(shù)為的最高次數(shù)為n n且按降冪且按降冪排列；字母排列；字母b b的最高次數(shù)為的最高次數(shù)為n n且按升冪排列；且按升冪排列；各項中各項中a與與b b的指數(shù)冪之和都是的指數(shù)冪之和都是n n；各項的二項；各項的二項式系數(shù)依次為式系數(shù)依次為 ，且與，且與a，b b無關(guān)無關(guān). .012,nnnnnCCCCL思考思考7 7：根據(jù)二項式定理，根據(jù)二項式定理，(1(1x)x)n n (nN(nN*) )等于什么？等于什么？0122( 1)nkknnnnnnnxCC xC xC xC x+=+LL思

7、考思考8 8：( (ab b) )n n(nN(nN*) )的展開式是什么？的展開式是什么？01122 2()( 1)nnnnnn nnnnnabC aC abC abC b-=-+-+ -L探究（二）：探究（二）：二項展開式的通項二項展開式的通項思考思考1 1：在二項展開式中，用在二項展開式中，用T Tk k表示從左表示從左到右第到右第k k項，那么項，那么T Tk k和和T Tk k1 1分別等于什么？分別等于什么？ 111knkkknTCab- +-=1knkkknTC ab-+=思考思考2 2：在在( (ab b) )n n的二項展開式中，的二項展開式中， 叫做叫做二項展開式的通二項展

8、開式的通項項，那么，那么( (ab b) )n n的二項展開式的通項是的二項展開式的通項是什么？什么？1knkkknTC ab-+=1( 1)kknkkknTC ab-+=-思考思考3 3：(2(2x x3 3y y) )2020的二項展開式的通項的二項展開式的通項是什么？是什么？20120(2 )(3 )kkkkTCxy-+=思考思考4 4：(1(12x)2x)7 7的展開式中第的展開式中第4 4項的二項的二項式系數(shù)和系數(shù)分別是什么？項式系數(shù)和系數(shù)分別是什么？ 二項式系數(shù)：二項式系數(shù)： ，系數(shù)：系數(shù)： . . 3735C=378280C=理論遷移理論遷移 例例1 1 求求 的展開式的展開式.

9、 .61(2)xx-32236012164192240160 xxxxxx-+-+-+ 例例2 2 求求 的展開式中的展開式中x x3 3的的系數(shù)系數(shù). .91()xx-84 84 例例3 3 已知已知 的展開式中的展開式中第第5 5項與第項與第3 3項的二項式系數(shù)之比為項的二項式系數(shù)之比為14143 3，求展開式中所有的有理項求展開式中所有的有理項. .331()2nxx-245.4x63,8-245,64x小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè) 1. 1.二項式定理是以公式的形式給出的二項式定理是以公式的形式給出的一個恒等式，其中一個恒等式，其中n n是正整數(shù)，是正整數(shù)，a，b b可以可以任意取值，也可以是代數(shù)

10、式任意取值，也可以是代數(shù)式. . 2.(2.(ab b) )n n的展開式統(tǒng)一規(guī)定按的展開式統(tǒng)一規(guī)定按a的的 降冪排列，各項的系數(shù)與降冪排列，各項的系數(shù)與a，b b的取值有的取值有關(guān)，各項的二項式系數(shù)與關(guān)，各項的二項式系數(shù)與a，b b的取值無的取值無關(guān)關(guān). . 3. 3.二項展開式的通項二項展開式的通項是研究二項展開式問題的重要工具，但是研究二項展開式問題的重要工具，但需注意通項是表示二項展開式中的第需注意通項是表示二項展開式中的第 k k1 1項項. .對于求展開式中某些特定的項，對于求展開式中某些特定的項，一般要分析通項中字母的冪指數(shù)來解決一般要分析通項中字母的冪指數(shù)來解決. .1knkk

11、knTC ab-+=作業(yè)：作業(yè)：P37P37習(xí)題習(xí)題1.3A1.3A組：組：2 2，3 3，4 4，5. 5. 1.3 1.3 二項式定理二項式定理1.3.2 1.3.2 “楊輝三角楊輝三角”與二項式與二項式 系數(shù)的性質(zhì)系數(shù)的性質(zhì) 問題提出問題提出 1. 1.二項式定理是什么？二項展開式有二項式定理是什么？二項展開式有哪些基本特征？哪些基本特征？01122 211()nnnnnnnnnnnnnabC aC abC abCabC b-+=+L 共有共有n n1 1項；字母項；字母a的最高次數(shù)為的最高次數(shù)為n n且按且按降冪排列；字母降冪排列；字母b b的最高次數(shù)為的最高次數(shù)為n n且按升且按升冪

12、排列；各項中冪排列；各項中a與與b b的指數(shù)冪之和都是的指數(shù)冪之和都是n n；各項的二項式系數(shù)依次為各項的二項式系數(shù)依次為 且與且與a，b b無關(guān)無關(guān). .012,nnnnnCCCCL 2. 2.二項展開式的通項是什么？二項展開式的通項是什么？1knkkknTC ab-+= 3. 3.組合數(shù)有哪兩個基本性質(zhì)？組合數(shù)有哪兩個基本性質(zhì)？mnmnnCC-=11mmmnnnCCC-+=+ 4. 4.二項式系數(shù)是二項展開式中的基本二項式系數(shù)是二項展開式中的基本數(shù)據(jù)，它有許多變化規(guī)律，探究、了解數(shù)據(jù)，它有許多變化規(guī)律，探究、了解二項式系數(shù)的基本性質(zhì)，對提升思維素二項式系數(shù)的基本性質(zhì)，對提升思維素養(yǎng)，進一步

13、理解二項式定理和運用二項養(yǎng)，進一步理解二項式定理和運用二項式定理解決某些實際問題，都有重要的式定理解決某些實際問題，都有重要的作用作用. .探究（一）：探究（一）：楊輝三角楊輝三角 思考思考1 1：( (ab b) )1 1，( (ab b) )2 2，( (ab b) )3 3， ( (ab b) )4 4，( (ab b) )5 5，( (ab b) )6 6的展開式中的展開式中的二項式系數(shù)分別是哪些組合數(shù)？并將的二項式系數(shù)分別是哪些組合數(shù)？并將它們的計算結(jié)果填入下表：它們的計算結(jié)果填入下表：6 65 54 43 32 21 1二項式系數(shù)二項式系數(shù)n n1 11 11 11 11 11 1

14、1 11 11 11 11 11 12 23 33 34 46 64 45 5101010105 56 61515151520206 6思考思考2 2：觀察上表中每一行的數(shù)據(jù)，你發(fā)觀察上表中每一行的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？6 65 54 43 32 21 1二項式系數(shù)二項式系數(shù)n n1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 23 33 34 46 64 45 5101010105 56 61515151520206 6具有對稱性具有對稱性 思考思考3 3：將上表寫成如下形式，你又能發(fā)將上表寫成如下形式，你又能發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)有什么新的規(guī)律嗎？現(xiàn)這

15、些數(shù)據(jù)有什么新的規(guī)律嗎？( (ab b) )1 11 11 1( (ab b) )2 21 2 11 2 1( (ab b) )3 31 3 3 11 3 3 1( (ab b) )4 41 4 6 4 11 4 6 4 1( (ab b) )5 51 5 10 101 5 10 10 5 1 5 1( (ab b) )6 6 1 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 1（1 1）每行兩端的數(shù)都是）每行兩端的數(shù)都是1 1；（；（2 2）與兩端等距）與兩端等距離的項的系數(shù)相等；（離的項的系數(shù)相等；（3 3）在相鄰的兩行中，）在相鄰的兩行中，除除1 1以外的每一個數(shù)都等于它以外

16、的每一個數(shù)都等于它“肩上肩上”兩個數(shù)兩個數(shù)的和，等等的和，等等. .思考思考4 4：上述數(shù)表是我國南宋數(shù)學(xué)家上述數(shù)表是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝楊輝在在12611261年所著的年所著的詳解九章算法詳解九章算法一書中最先一書中最先提出的，是我國古代數(shù)學(xué)的一個重要成果，提出的，是我國古代數(shù)學(xué)的一個重要成果，比歐洲早五百年左右，我們把這個數(shù)表稱為比歐洲早五百年左右，我們把這個數(shù)表稱為楊輝三角楊輝三角，楊輝三角的上述基本性質(zhì)如何用，楊輝三角的上述基本性質(zhì)如何用組合數(shù)性質(zhì)解釋？組合數(shù)性質(zhì)解釋？( (ab b) )1 11 11 1( (ab b) )2 21 2 11 2 1( (ab b) )3 31 3 3

17、 11 3 3 1( (ab b) )4 41 4 6 4 11 4 6 4 1( (ab b) )5 51 5 10 101 5 10 10 5 1 5 1( (ab b) )6 6 1 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 1思考思考5 5：利用楊輝三角，利用楊輝三角，( (ab b) )7 7的展開的展開式中各項的二項式系數(shù)分別是什么？式中各項的二項式系數(shù)分別是什么？( (ab b) )1 11 11 1( (ab b) )2 21 2 11 2 1( (ab b) )3 31 3 3 11 3 3 1( (ab b) )4 41 4 6 4 11 4 6 4 1(

18、(ab b) )5 51 5 10 101 5 10 10 5 1 5 1( (ab b) )6 6 1 6 15 20 15 6 11 6 15 20 15 6 11 135353535212121217 77 71 1探究（二）：探究（二）：二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式系數(shù)的性質(zhì) 思考思考1 1：對給定的正整數(shù)對給定的正整數(shù)n n，設(shè)函數(shù)，設(shè)函數(shù) ，r0r0，1 1，2 2，nn，當當n n6 6時，函數(shù)時，函數(shù)f( (r r) )的圖象是什么？的圖象是什么？( )rnf rC=rf(r)O O1 12 23 34 45 56 65 5101015152020思考思考2 2：一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) ，r0r0，1 1，2 2，nn的圖象是什么？的圖象是什么？ 它具有怎樣的對稱性？它具有怎樣的對稱性？( )rnf rC=n n1 1個孤立的