北師大版高中數(shù)學(xué)2第1節(jié)類比推理教學(xué)設(shè)計(jì)方案

1、北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-2類比推理教學(xué)設(shè)計(jì)方案江西省高安中學(xué)熊智勇一、教學(xué)內(nèi)容課題：類比推理教材：北師大版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材數(shù)學(xué)（選修2-2）年級(jí)：高二年級(jí)所需課時(shí)：1課時(shí)二、教材分析本節(jié)選自選修2-2推理與證明中的歸納與類比，教材將類比推理作為合情推理的一個(gè)重要內(nèi)容，是整個(gè)高中階段對(duì)類比推理的高度概括與總結(jié)，也是將這種培養(yǎng)學(xué)生思維能力的方式從幕后走向臺(tái)前，是點(diǎn)晴之筆。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)既是演繹的科學(xué)又是歸納的科學(xué)，數(shù)學(xué)不只是現(xiàn)成結(jié)論的體系，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程也是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，從而形成對(duì)數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識(shí)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)作準(zhǔn)備。三、學(xué)情分析類比推理被安排在高二下學(xué)期，這個(gè)階段的學(xué)生思維

2、趨于成熟，能進(jìn)行抽象的邏輯思維分析。在知識(shí)方面：已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)高中階段大部分的知識(shí)板塊，具備一定的知識(shí)儲(chǔ)備；在能力方面：初高中已將類比推理滲透到教材的很多章節(jié)，學(xué)生已經(jīng)在自覺(jué)不自覺(jué)的應(yīng)用著。所以教師在教學(xué)中應(yīng)注意從學(xué)生已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例出發(fā)，喚起學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，找到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。四、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能：1 .通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧認(rèn)識(shí)類比推理這一種合情推理的基本方法，并把它用于對(duì)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)中去；2 .通過(guò)具體實(shí)例中類比推理的過(guò)程，初步了解為何可以進(jìn)行類比以及如何進(jìn)行類比。（二）過(guò)程與方法：本節(jié)課主要是利用以前學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，認(rèn)識(shí)一種思維方法一一類比推理，在整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)具備獨(dú)立研究

3、的知識(shí)和能力，因此以學(xué)案輔助教學(xué)，以問(wèn)題組的形式展開(kāi)，采用以學(xué)生活動(dòng)為主，自主探究，合作交流，教師適當(dāng)啟發(fā)總結(jié)的教學(xué)方法，讓學(xué)生積極參與到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，形成積極思考大膽探索的學(xué)習(xí)氛圍。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀：1.正確認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)中的重要作用，養(yǎng)成從小開(kāi)始認(rèn)真觀察事物、分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質(zhì)的聯(lián)系的良好個(gè)性品質(zhì)，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探求新知識(shí)；2.認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：體會(huì)用類比推理發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論和方法的思考方式與規(guī)律，能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。教學(xué)難點(diǎn)：能找到事物之間的共同或相似性質(zhì)，不僅會(huì)在形式結(jié)構(gòu)和敘述方式上進(jìn)行

4、類比，還需對(duì)推理過(guò)程或思維策略進(jìn)行類比。五、教學(xué)理念1 .舉例說(shuō)明類比推理針對(duì)的是兩類不同的事物，通過(guò)具體事例比較了解類比推理的特點(diǎn)，逐步建立對(duì)類比推理概念的認(rèn)識(shí)及理解。2 .為突破本節(jié)課的重點(diǎn)難點(diǎn)，教案精選了一些具有代表性的例題，幫助學(xué)生理解為何要類比推理及如何進(jìn)行類比推理。類比推理具有哪些特點(diǎn)？其結(jié)果的正確性如何？3 .教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)探究式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探究、合作學(xué)習(xí)，借助多媒體課件輔助教學(xué)。六、教學(xué)過(guò)程師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖1.問(wèn)題情境問(wèn)題1:要求在4個(gè)選項(xiàng)中，選出一對(duì)與之在邏輯關(guān)系上最為貼近的或相似的詞。例.努力一成功A：生根發(fā)牙B：耕耘-收秋C：城市鄉(xiāng)村D：原告一被告問(wèn)題2:大家知道鋸子是

5、誰(shuí)發(fā)明的嗎？是怎么發(fā)明的？學(xué)生活動(dòng)：春秋時(shí)代魯國(guó)的魯班發(fā)明的，是他受到路邊的齒形草能割破行人腿的啟發(fā).問(wèn)題3：大家能談?wù)勊艿搅耸裁礃拥膯l(fā)？也就是齒形草和鋸子之間有什么相似之處？學(xué)生活動(dòng)：齒形草能割破行人的腿，做個(gè)形狀上相似的工具就能鋸開(kāi)木頭，它們?cè)谛螤钌舷嗨?，在功能上也相?問(wèn)題4：這個(gè)推理過(guò)程是歸納推理嗎？如果不是，那是什么推理方式呢？教師提出類比的思想：聰明的魯班在這里所使用的方法稱為類比，這種仿照生物機(jī)制的類比，到了近代，便發(fā)展成了一門新興學(xué)科,即所謂近代仿生學(xué)，同學(xué)們能不能舉一些仿照生物機(jī)制類比的發(fā)明創(chuàng)造呢？學(xué)生活動(dòng)：飛機(jī)與蜻蜓在形狀上相似，雷達(dá)與蝙蝠，潛水艇仿照魚(yú)類等等。說(shuō)明這種

6、類比思想對(duì)我們生活中的發(fā)明創(chuàng)造很有幫助，那在我們數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有沒(méi)有類比呢？讓學(xué)生了解類比在生活中的重要作用，體會(huì)人類的這種重要的邏輯思維方式，明白類比的重要意義。同時(shí)引發(fā)學(xué)生到數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中去了解類比的思想。2.新課引入德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家開(kāi)普勒曾說(shuō)過(guò)：我珍視類比勝過(guò)任何別的東西，它是我最信賴的老師，它能揭示自然界的秘密。那我們今天就用以前學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法來(lái)進(jìn)入類比的海洋吧，首先請(qǐng)大家回憶回憶我們高中所學(xué)過(guò)的知識(shí)，哪些知識(shí)板塊可以放在一起進(jìn)行類比呢？學(xué)生活動(dòng)：等式與不等式，平面上的圓與空間中的球，等差與等比數(shù)列，平面幾何與立體幾何，橢圓與雙曲線，空間向量與平面向量等等。大家根據(jù)自己的

7、直覺(jué)提出了這么多可以進(jìn)行類比的知識(shí)，那我們就選幾個(gè)板塊展開(kāi)來(lái)看看，它們?yōu)槭裁纯梢赃M(jìn)行類比，具體怎樣類比？例1、試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：猜想不等式的性質(zhì)：二等式猜想-不等式猜想(1)力口法法貝U:a=ga+c=bB減法法貝U：a=bac=by6(3) 乘法法貝U:a=b=iac=bc猜想沖(4)除法法則：a=b=a+c=b+c(c*0)(5)平方法則：a=b=a2=b2教師以問(wèn)題組的形式讓學(xué)生自然的建構(gòu)概念。問(wèn)題1:等式與不等式之間為什么可以進(jìn)行類比呢，它們?cè)谑裁捶矫媸窍嗨频?？教師啟發(fā)：通過(guò)“3=3”和“4>3”描述的是什么關(guān)系來(lái)啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式與不等式都是衡量數(shù)的大

8、小關(guān)系，所以它們有不少的相似性質(zhì)。問(wèn)題2:如何展開(kāi)類比的？學(xué)生活動(dòng)：只需要在形式上作模仿就可以。問(wèn)題3:大家通過(guò)已知等式的運(yùn)算律猜想了不等式的運(yùn)算律，得到了新知，那這些結(jié)論是否一定正確呢，說(shuō)明什么？以問(wèn)題組的形式展開(kāi)教學(xué)，以自然的方式幫助學(xué)生建構(gòu)概念，讓學(xué)生的思維一直處于思考的狀態(tài)中。另外，初次運(yùn)用類比推理，對(duì)類比方式不做進(jìn)一步的深入研究，只需了解要進(jìn)行類比，必須建立在兩者必須有相似之處，并且用我們所學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)驗(yàn)證類比的結(jié)論不一定正確。學(xué)生活動(dòng)：說(shuō)明用類比的方式得來(lái)的結(jié)論不一定正確，需要通過(guò)嚴(yán)格的證明來(lái)確認(rèn)。3.新課傳授等差數(shù)列an等比數(shù)列3定義an平an=db=q(q=0)bn通項(xiàng)公式an

9、=a1+(n1)dbn=W中項(xiàng)公式若a、A、b成等差數(shù)列，則a+bA二2若a、Gb成等比數(shù)列，則2G2=ab常用性質(zhì)(1)an=am+(n-m)d若m+n=p+qj®am+an=ap+aq(3)S,S2n&,S3nS2n成等差數(shù)列/八_n”(1)an=amq若m+n=p+qj®aman=apd(3)S,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列例2、試將等差數(shù)列和等比數(shù)列進(jìn)行類比進(jìn)一步認(rèn)識(shí)類比的前提，能夠從敘述方式或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等外層表象進(jìn)行類比，領(lǐng)略類比的過(guò)程，體會(huì)可以用類比的方式得到數(shù)學(xué)新知。4.概念建構(gòu)讓學(xué)生了解類比在生活中的重要作用，體會(huì)人類的這種重要的邏輯思維方式

10、，明白類比的重要意義。同時(shí)引發(fā)學(xué)生到數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中去了解類比的思想。在教學(xué)的過(guò)程中，模仿例1的方式，展開(kāi)問(wèn)題組。問(wèn)題1:等差數(shù)列和等比數(shù)列之間為什么可以進(jìn)行類比呢,它們?cè)谑裁捶矫媸窍嗨频模繂?wèn)題2:如何展開(kāi)類比的？問(wèn)題3:類比的前提是什么？它的一般步驟是什么？學(xué)生交流，由教師總結(jié)。提出類比推理的概念由兩個(gè)（兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?；或其中一類?duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）.簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理和歸納推理都是合情推理的一種。類比推理的一般步驟：找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征

11、；用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；檢驗(yàn)猜想。即觀察，比較聯(lián)想，類推猜測(cè)新的結(jié)論例3、已知“正三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離之和是一個(gè)定值”將空間與平面進(jìn)行類比。問(wèn)題1.空間中什么樣的圖形可對(duì)應(yīng)正三角形？問(wèn)題2.在對(duì)應(yīng)圖形中有與上述定理相應(yīng)的結(jié)論嗎？啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)歸納：學(xué)生活動(dòng)：將空間與平面進(jìn)行類比，正三角形對(duì)應(yīng)正四面體,三角形的邊對(duì)應(yīng)四面體的面。直接交給學(xué)生，由學(xué)生發(fā)揮，讓他們體會(huì)類比推理的過(guò)程和獲得新知的得到過(guò)程，以最大的熱情投入到課堂中來(lái)。猜測(cè)：正四面體內(nèi)一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和是一個(gè)定值。問(wèn)題3.如何證明該猜測(cè)是否正確？是否可以采用類比的方法?教師引導(dǎo)學(xué)生歸納：原結(jié)

12、果的證明方法是什么？5.知識(shí)深化（學(xué)生回答：面積法）那么，類比猜測(cè)的證明方法是什么？（學(xué)生回答：體積法）再列出證明步驟。例4、根據(jù)平面幾何的勾股定理，試類比地猜出空間中相應(yīng)的結(jié)論。問(wèn)題1.關(guān)于空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的類比，通常有哪些類比？教師引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)：邊與面，多邊形與多面體，線線角與面面角，面積與體積，線段長(zhǎng)與面積等。問(wèn)題2.本題是直角三角形的兩邊相互垂直，在空間中，應(yīng)當(dāng)與什么圖形類比？得出結(jié)論：s2=s2+S22+02,再用綜合法證明，體現(xiàn)由推理到證明探究的完整過(guò)程。6.總結(jié)歸納知識(shí)升華：1 .類比推理的概念：2 .復(fù)習(xí)回顧類比推理的一般步驟：找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征；用一類對(duì)

13、象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想；檢驗(yàn)猜想。觀察比較J聯(lián)想類推猜測(cè)新的結(jié)論3.由以上例題，引導(dǎo)學(xué)生歸納類比推理的特點(diǎn)：(1)類比推理是從人們已經(jīng)掌握的事物的屬性，推測(cè)正在研究的事物的屬性，它以已有認(rèn)知作基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果；(2)類比是從特殊到特殊的推理；(3)類比的結(jié)果是猜測(cè)性的，不一定可靠，但它卻有發(fā)現(xiàn)的功能。(1)回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，歸納總結(jié),加深理解，鞏固學(xué)習(xí)成果，再次突破重點(diǎn)難點(diǎn)。(2)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，讓他們學(xué)會(huì)歸納，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。7.作業(yè)布置1 .P7練習(xí)1、2。2 .在RtAABC中,若/c=±,則cos2A+cos2B=1,請(qǐng)依此猜測(cè)在2立體幾何中，相應(yīng)的四面體的性質(zhì)。3 .已知正三