1978年高考數(shù)學(xué)試習(xí)題

1、一九七八年（理科考生五，六兩題選做一題。文科考生五，六兩題選做一題，不要求做第七題。）一（下列各題每題4分，五個(gè)題共20分）1分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的邊長(zhǎng)為，求側(cè)面積等于這個(gè)正方形的面積，高等于這個(gè)正方形邊長(zhǎng)的直圓柱體的體積。解：設(shè)底面半徑為r，則底面周長(zhǎng)2r=則3求函數(shù)的定義域。解： lg(2+x)0,2+x1.故x-1為其定義域。4不查表求cos800cos350+cos100cos550的值。解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=si

2、n450=5.化簡(jiǎn)： 二 .（本題滿分14分）已知方程kx2+y2=4，其中k為實(shí)數(shù)。對(duì)于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的內(nèi)形，并畫(huà)出顯示其數(shù)量特征的草圖。解：1）k>0時(shí)，方程的圖形是橢圓，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)又可分為：k>1時(shí),長(zhǎng)軸在y軸上，半長(zhǎng)軸=2，半短軸=;k=1時(shí),為半徑r=2的圓;k<1時(shí),長(zhǎng)軸在x軸上，半長(zhǎng)軸= ，半短軸=2。 Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X 如圖：2)k=0時(shí)，方程為y2=4。圖形是兩條平行于x軸的直線如圖。3）k<0時(shí)，方程為 Y Y y=2 k=-4 A O O X B

3、 X y=-2 這時(shí)圖形是雙曲線，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，實(shí)軸在y軸上。如圖：三（本題滿分14分）（如圖）AB是半圓的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，直線MN切半圓于C點(diǎn)，AMMN于M點(diǎn)，BNMN于N點(diǎn)，CDAB于D點(diǎn)，求證：1)CD=CM=CN. 2)CD2=AM·BN M C N A B D 1)證：連CA，CB，則ACB=900。ACM=ABC ACD=ABCACM=ACD。AMCADCCM=CD同理CN=CD。CD=CM=CN。2）CDAB，ACD=900。 CD2=AD·DB由1）知AM=AD，BN=BD。CD2=AM·BN。四（本題滿分12分）五（本題滿分20分）已知A

4、BC的三內(nèi)角的大小成等差數(shù)列，tgAtgC=求角A，B，C的大小。又已知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于。求三角形各邊,b,c的長(zhǎng)（提示：必要時(shí)可驗(yàn)證）六（本題滿分20分） 七（本題滿分20分，文科考生不要求作此題）已知函數(shù)y=x2+(2m+1)x+m2-1(m為實(shí)數(shù)）1）m是什么數(shù)值時(shí)，y的極值是0？2）求證：不論m是什么數(shù)值，函數(shù)圖象（即拋物線）的頂點(diǎn)都在同一條直線L1上。畫(huà)出m=-1、0、1時(shí)拋物線的草圖，來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)論。3）平行于L1的直線中，哪些與拋物線相交，哪些不相交？求證：任一條平行于L1而與拋物線相交的直線，被各拋物線截出的線段都相等。解：用配方法得：3.設(shè)L：x-y=為任一條平行于L

5、1的直線。與拋物線y=x2+(2m+1)x+m2-1方程聯(lián)立求解，消去y，得x2+2mx+m2-1+=0（x+m)2=1-。因而當(dāng)1-0即1時(shí)，直線L與拋物線相交，而1時(shí)，直線L與拋物線不相交。而這與m無(wú)關(guān)。因此直線L被各拋物線截出的線段都相等。一九七八年副題1（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求 解：原式=3/4。（4）已知直圓錐體的底面半徑等于1cm，母線的長(zhǎng)等于2cm，求它的體積。解：解：原式=30。2已知兩數(shù)x1 ,x2滿足下列條件：1）它們的和是等差數(shù)列1，3，的第20項(xiàng);2）它們的積是等比數(shù)列2，-6，的前4項(xiàng)和。求根為的

6、方程。略解：x1 +x2=39，x1x2=-40。故：1/x1+1/x2=-39/40。1/x1·1/x2=-1/40所求方程為：40x2+39x-1=0.3.已知：ABC的外接圓的切線AD交BC的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，求證： A 1 B E C D 證：因?yàn)锳D是ABC的外接圓的切線，所以 B=1ABDCAD作AEBD于點(diǎn)E，則 A M N B E F D4（如圖）CD是BC的延長(zhǎng)線，AB=BC=CA=CD=，DM與AB，AC分別交于M點(diǎn)和N點(diǎn)，且BDM=。求證：證：作MEDC于E，由ABC是等邊三角形，在直角MBE中，類(lèi)似地，過(guò)N作NFBC于F，在直角NFC中，可證： 5設(shè)有f(x)=4

7、x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p0）求證：1）如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一個(gè)二次三項(xiàng)式的平方。2）如果f(x)與F(x)=(2x2+x+b)2表示同一個(gè)多項(xiàng)式，那么p2-4q-4(m+1)=0。6已知：sinx+bcosx =0.Asin2x+Bcos2x=C.其中,b不同時(shí)為0。求證：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0 則可寫(xiě)成cosysinx-sinycosx=0,sin(x-y)=0x-y=k(k為整數(shù))，x=y+k又sin2x=sin2(y+k)=sin2y=2sinycosy= cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=代入，得7已知L為過(guò)點(diǎn)P而傾斜角為300的直線，圓C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)而半徑等于1的圓，Q表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)而焦點(diǎn)在的拋物線。設(shè)A為L(zhǎng)和C在第三象限的交點(diǎn)，B為C和Q在第四象限的交點(diǎn)。1）寫(xiě)出直線L、圓C和拋物線Q的方程，并作草圖。2）寫(xiě)出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函