數(shù)學(xué)歷史發(fā)展

1、12社會(huì)歷史背景條件社會(huì)歷史背景條件 相對(duì)封閉的疆域相對(duì)封閉的疆域 大河背景下的農(nóng)耕文化大河背景下的農(nóng)耕文化 集中的王權(quán)集中的王權(quán) 中國(guó)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)中國(guó)數(shù)學(xué)的特點(diǎn) 形成了以計(jì)算為核心的算法理論形成了以計(jì)算為核心的算法理論 具有濃郁應(yīng)用色彩具有濃郁應(yīng)用色彩 中國(guó)數(shù)學(xué)的成就中國(guó)數(shù)學(xué)的成就 第一部數(shù)學(xué)著作第一部數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)九章算術(shù)（大約公元前二百年（大約公元前二百年左右）左右） 公元公元3 3世紀(jì)至世紀(jì)至1313世紀(jì)，創(chuàng)造了許多領(lǐng)先于其它民族的世紀(jì)，創(chuàng)造了許多領(lǐng)先于其它民族的眾多數(shù)學(xué)成果眾多數(shù)學(xué)成果, ,形成國(guó)家數(shù)學(xué)教育的體制形成國(guó)家數(shù)學(xué)教育的體制 3 周易周易與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué) 周易周

2、易是我國(guó)古代專講卜筮的書，約成書于殷商時(shí)期是我國(guó)古代專講卜筮的書，約成書于殷商時(shí)期 , ,在古代在古代中國(guó)眾多的儒、道典籍中，中國(guó)眾多的儒、道典籍中，周易周易是包含數(shù)學(xué)內(nèi)容最豐富的著作。是包含數(shù)學(xué)內(nèi)容最豐富的著作。 “ “卜卜”是使用一定的工具弄出來、以決定事情吉兇的兆象。中是使用一定的工具弄出來、以決定事情吉兇的兆象。中國(guó)人常用龜甲和獸骨為國(guó)人常用龜甲和獸骨為占卜工具。占卜工具。“筮筮”是按一定規(guī)則得到特定的數(shù)是按一定規(guī)則得到特定的數(shù)字，并用它來預(yù)測(cè)事情的吉兇字，并用它來預(yù)測(cè)事情的吉兇 , , “筮筮”字由字由“竹竹”字和字和“巫巫”字構(gòu)成。字構(gòu)成。后來改用蓍草后來改用蓍草,“,“天子之蓍九

3、尺，諸侯七尺，大夫五尺，士三尺。天子之蓍九尺，諸侯七尺，大夫五尺，士三尺。” 周易周易由由易經(jīng)易經(jīng)和和易傳易傳兩部分組成兩部分組成。自漢代開始，許多自漢代開始，許多算學(xué)家都熱衷于將算法與算學(xué)家都熱衷于將算法與周易周易相聯(lián)系。劉徽在相聯(lián)系。劉徽在九章算術(shù)注九章算術(shù)注的的序中就寫道：序中就寫道：“昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬(wàn)物之情。昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬(wàn)物之情。作九九之術(shù)，以合六爻之變。作九九之術(shù)，以合六爻之變?！?4 易經(jīng)易經(jīng)中利用爻卦的變化預(yù)測(cè)吉兇，分別用中利用爻卦的變化預(yù)測(cè)吉兇，分別用“”與與“”表示陽(yáng)表示陽(yáng)爻和陰爻爻和陰爻 。構(gòu)成構(gòu)成八卦、六十四別卦八卦、六十

4、四別卦 研究認(rèn)為，研究認(rèn)為，周易周易中爻的符號(hào)中爻的符號(hào)“”、“”是由數(shù)字或數(shù)表演進(jìn)而是由數(shù)字或數(shù)表演進(jìn)而來的。理由是：來的。理由是： 其一，卦辭中，當(dāng)對(duì)卦畫進(jìn)行解釋時(shí)，總是用數(shù)其一，卦辭中，當(dāng)對(duì)卦畫進(jìn)行解釋時(shí)，總是用數(shù)“九九”和和“六六”分別分別表示陽(yáng)爻和陰爻。表示陽(yáng)爻和陰爻。 其二，考古發(fā)現(xiàn)商代甲骨文或陶器上有不少由六組數(shù)（每組三個(gè)數(shù)字）其二，考古發(fā)現(xiàn)商代甲骨文或陶器上有不少由六組數(shù)（每組三個(gè)數(shù)字）組成的數(shù)表組成的數(shù)表 ，所用的數(shù)字逐漸增加一、六的使用頻率，別的數(shù)字似乎有不用所用的數(shù)字逐漸增加一、六的使用頻率，別的數(shù)字似乎有不用的趨勢(shì)。大約在周初（約公元前的趨勢(shì)。大約在周初（約公元前106

5、61066），就只有一和六這兩個(gè)數(shù)字了。），就只有一和六這兩個(gè)數(shù)字了。 學(xué)者認(rèn)為：用數(shù)字表示占卜的結(jié)果，數(shù)學(xué)者認(rèn)為：用數(shù)字表示占卜的結(jié)果，數(shù)“一一”表示奇數(shù)，讀數(shù)九的音；表示奇數(shù)，讀數(shù)九的音；數(shù)數(shù)“六六”仍讀六，表示偶數(shù)。由于古代六字的符號(hào)是仍讀六，表示偶數(shù)。由于古代六字的符號(hào)是“”，這樣數(shù)，這樣數(shù)“一一”與與“”就具有爻的形象了。以后就具有爻的形象了。以后“”字形逐漸變平，最后一分為二，成字形逐漸變平，最后一分為二，成為陰爻為陰爻“”的表示形式。的表示形式。 2.1.1 2.1.1 從數(shù)從數(shù)( (表表) )演進(jìn)為爻演進(jìn)為爻5 四盤磨卜骨上的字符四盤磨卜骨上的字符 太極八卦圖太極八卦圖6 周易

6、周易揲法揲法大衍演算大衍演算 周易中占筮確定取爻的方法稱為“揲法”，所謂“一十八變得一卦”。朱熹（11301200）對(duì)揲法的解說如下： （1）蓍策總數(shù)是50根，去其一（象征太一，即太極），實(shí)際用于占算的是49根；（2）把它們?nèi)我夥殖蓛刹糠郑ㄏ笳魈斓亍皟蓛x”），從第一部分里取出一根不參與計(jì)算，（叫“掛一”，配上“兩儀”，象征天地人“三才”）；（3）對(duì)于第一部分的蓍策，每4根一組數(shù)出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四時(shí)）；（4）將所余的“奇數(shù)”（為1，2，3，4四數(shù)之一）根蓍策，夾在左手指間，（叫“歸奇于扐”，象征閏年）；（5）將第二部分蓍策也照（3）、（4）辦理。于是兩部分“歸奇”的蓍數(shù)非4即8，加

7、上“掛一”的一根，共5或9根，完成了“第一變”。 7 將“歸奇”的蓍數(shù)（5或9根）不用，用余下44或40蓍參與第二變的計(jì)算，操作方法仿上述（2）（5），此時(shí)“歸奇”的蓍數(shù)仍然是非4即8。第三變揲法仿第二變，用蓍32或36，或40根，三變后余下蓍策的根數(shù)或36，或32，或28，或24根，均為4的倍數(shù)。最后，將第三變的余蓍除以4則得九、八、七、六。并稱九為老陽(yáng)，六為老陰，七為少陽(yáng)，八為少陰。揲蓍的目的，就是為了取到這四個(gè)數(shù)中的一個(gè)。讓陽(yáng)數(shù)對(duì)應(yīng)陰卦，陰數(shù)對(duì)應(yīng)陰卦，于是數(shù)字變成了爻象。8“數(shù)學(xué)”一詞相當(dāng)于我國(guó)古代的“算術(shù)” 數(shù)學(xué)一詞，在中國(guó)最早出現(xiàn)在12世紀(jì)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，

8、象生有數(shù)，乘除推闡，務(wù)究造化之源者，是數(shù)學(xué)”。 算籌 中國(guó)古人稱數(shù)學(xué)為算學(xué) 9組合數(shù)學(xué)的思想組合數(shù)學(xué)的思想洛書與河圖洛書與河圖宋代的九宮格宋代的九宮格明代的洛書明代的洛書10 河圖的解釋，在歷史上有多種說法。其中尚書中解釋說：“河圖，八卦；伏羲王天下，龍河圖，八卦；伏羲王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦，謂之河圖。馬出河，遂則其文以畫八卦，謂之河圖。” 圖中每個(gè)陽(yáng)、陰爻分別代表數(shù)9與數(shù)6，其中數(shù)字的配置依照“九六”說，是一種均衡的數(shù)字配置。在八卦中，相對(duì)稱的卦象，如乾與坤，其象數(shù)之和均為45。它與洛書中1至9的數(shù)字之和相同 “易有太極，是生兩儀，兩易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。儀

9、生四象，四象生八卦?！?11明代邵雍的易圖數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)12 儒家以儒家以“九數(shù)九數(shù)”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以周易周易象數(shù)學(xué)宇宙論為哲學(xué)依托；墨家則以幾何學(xué)為核心，具有象數(shù)學(xué)宇宙論為哲學(xué)依托；墨家則以幾何學(xué)為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以一定的抽象性和思辨性，以墨經(jīng)墨經(jīng)的邏輯學(xué)為其論說的工具。的邏輯學(xué)為其論說的工具。 孔子（前孔子（前551551前前479479）的）的“六藝六藝”中的中的“周官九數(shù)周官九數(shù)”（方田、粟（方田、粟米、差分、少?gòu)V、商功、均輸、方程、贏不足、旁要米、差分、少?gòu)V、商功、均輸、方程、贏不足、旁要 ）是）是九章九章算術(shù)算術(shù)

10、的雛形的雛形 墨子（前墨子（前468468前前376376）的抽象概念和邏輯知識(shí)：）的抽象概念和邏輯知識(shí)： 三個(gè)邏輯方法三個(gè)邏輯方法:“:“以名舉實(shí)，以辭抒意，以說出故。以類取，以名舉實(shí)，以辭抒意，以說出故。以類取，以類予以類予”，具有比較明確的邏輯思維形式，非常類似演繹數(shù)學(xué)中的，具有比較明確的邏輯思維形式，非常類似演繹數(shù)學(xué)中的定義、定理和證明。對(duì)幾何中的幾何形狀、幾何性質(zhì)、空間關(guān)系提定義、定理和證明。對(duì)幾何中的幾何形狀、幾何性質(zhì)、空間關(guān)系提出了明確的定義。論述了推理（說）的各種形式。出了明確的定義。論述了推理（說）的各種形式。 惠施（約前惠施（約前370370前前318318）對(duì)無窮性質(zhì)的認(rèn)

11、識(shí)）對(duì)無窮性質(zhì)的認(rèn)識(shí) ：“一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭其半，萬(wàn)世不竭” ” ；“鏇矢之疾有不行不止之時(shí)鏇矢之疾有不行不止之時(shí)”。 先秦顯學(xué)中的數(shù)學(xué)思想先秦顯學(xué)中的數(shù)學(xué)思想13 公元公元1世紀(jì)至世紀(jì)至8世紀(jì)初，改變了先前只追求算法、不研世紀(jì)初，改變了先前只追求算法、不研究算理的學(xué)風(fēng)，開始給出概念的定義，進(jìn)行推理論證，取究算理的學(xué)風(fēng)，開始給出概念的定義，進(jìn)行推理論證，取得了許多世界領(lǐng)先的成果，同時(shí)涌現(xiàn)出一批杰出數(shù)學(xué)家得了許多世界領(lǐng)先的成果，同時(shí)涌現(xiàn)出一批杰出數(shù)學(xué)家 2.3.1 2.3.1 劉徽與劉徽與九章算術(shù)注九章算術(shù)注西漢年間，中國(guó)有了專門的數(shù)學(xué)著作：西漢年間，中國(guó)有了專門的數(shù)學(xué)著

12、作：許商算許商算術(shù)術(shù)、杜忠算術(shù)杜忠算術(shù)、算數(shù)書算數(shù)書和和九章算術(shù)九章算術(shù)，其，其中前兩部著作早已失傳。中前兩部著作早已失傳。 算數(shù)書算數(shù)書，1984年從湖北張家山古年從湖北張家山古墓中發(fā)掘出土的。墓中發(fā)掘出土的。據(jù)考證，算據(jù)考證，算數(shù)書數(shù)書是公元前是公元前206年前年前179年的一部數(shù)學(xué)著作，它以實(shí)際應(yīng)用問年的一部數(shù)學(xué)著作，它以實(shí)際應(yīng)用問題的形式編纂題的形式編纂 。2.3 2.3 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論的研究中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論的研究 14 九章算術(shù)九章算術(shù) 是中國(guó)古代的一本傳世數(shù)學(xué)名著，是中國(guó)古代的一本傳世數(shù)學(xué)名著，一直作為中國(guó)傳統(tǒng)一直作為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的代表作，數(shù)學(xué)的代表作，現(xiàn)在傳世的是三國(guó)時(shí)代劉徽于

13、現(xiàn)在傳世的是三國(guó)時(shí)代劉徽于263263年完成的注釋本。年完成的注釋本。劉徽布衣出身，生平不詳。從他的劉徽布衣出身，生平不詳。從他的九章算術(shù)注九章算術(shù)注自序中可以知道：自序中可以知道：他早年系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過他早年系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過九章算術(shù)九章算術(shù)，并以，并以“注注”的形式將其研究成果的形式將其研究成果記載下來，完成了記載下來，完成了九章算術(shù)注九章算術(shù)注。 九章算術(shù)九章算術(shù)成書的確切起始年代無法確定，只知在漢代就曾經(jīng)成書的確切起始年代無法確定，只知在漢代就曾經(jīng)過過北漢平侯北漢平侯張蒼（約前張蒼（約前200200年）和大司農(nóng)中丞耿壽昌（約前年）和大司農(nóng)中丞耿壽昌（約前5050年）的年）的整理。整理。15第一章

14、方田（分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和平面圖形求面積）第一章方田（分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和平面圖形求面積）第二章粟米（糧食交易的計(jì)算方法）第二章粟米（糧食交易的計(jì)算方法）第三章衰分（比例分配）第三章衰分（比例分配）第四章少?gòu)V（開平方與開立方）第四章少?gòu)V（開平方與開立方）第五章商功（體積計(jì)算）第五章商功（體積計(jì)算）第六章均輸（運(yùn)輸中的均勻負(fù)擔(dān)）第六章均輸（運(yùn)輸中的均勻負(fù)擔(dān)）第七章盈不足（盈虧類問題計(jì)算）第七章盈不足（盈虧類問題計(jì)算）第八章方程（一次方程組解法與正負(fù)數(shù)）第八章方程（一次方程組解法與正負(fù)數(shù)）第九章勾股（勾股定理的應(yīng)用）第九章勾股（勾股定理的應(yīng)用）全書的編排方法是：先舉出問題，再給出答案，通過對(duì)一類問題解全書的編

15、排方法是：先舉出問題，再給出答案，通過對(duì)一類問題解法的考察，最后給出法的考察，最后給出“術(shù)術(shù)”。全書共有。全書共有202202個(gè)個(gè)“術(shù)術(shù)”。術(shù)，是一類問。術(shù)，是一類問題的一般算法描述，它是研究中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成果的主要依據(jù)題的一般算法描述，它是研究中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成果的主要依據(jù) 九章算術(shù)九章算術(shù)是以應(yīng)用問題集的形式表述，一共收入是以應(yīng)用問題集的形式表述，一共收入246246個(gè)問個(gè)問題。題。九章算術(shù)九章算術(shù)把把246246個(gè)問題分為九章：個(gè)問題分為九章：16明代刊印的九章算術(shù)注 九章算術(shù)九章算術(shù)標(biāo)志著中國(guó)傳統(tǒng)標(biāo)志著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系已初步形成。數(shù)學(xué)的知識(shí)體系已初步形成。代表了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系和思想代

16、表了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系和思想方法的特點(diǎn)：方法的特點(diǎn)：注重實(shí)際問題的數(shù)注重實(shí)際問題的數(shù)值計(jì)算方法，缺少抽象的理論和值計(jì)算方法，缺少抽象的理論和邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界上獨(dú)有的計(jì)算工具和程序化計(jì)界上獨(dú)有的計(jì)算工具和程序化計(jì)算方法算方法九章算術(shù)九章算術(shù)的內(nèi)容是由周代的的內(nèi)容是由周代的“九九數(shù)數(shù)”發(fā)展而來的。發(fā)展而來的。劉徽稱：劉徽稱：“周公制周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則九章九章是是矣矣”。17九章算術(shù)注九章算術(shù)注對(duì)數(shù)學(xué)方法的貢獻(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)方法的貢獻(xiàn)開始了其獨(dú)特的推理論證的嘗試。開始了其獨(dú)特的推理論證的嘗試。 “ “析理以辭，解析理以辭，解體用圖。體用

17、圖。” ” 創(chuàng)立了創(chuàng)立了“出入相補(bǔ)出入相補(bǔ)”的方法，提出了的方法，提出了“割圓割圓術(shù)術(shù)”，上首次將極限概念用于近似計(jì)算；引入十進(jìn)制小，上首次將極限概念用于近似計(jì)算；引入十進(jìn)制小數(shù)的記法和負(fù)整數(shù)的知識(shí)；他試圖建立球體積公式，雖數(shù)的記法和負(fù)整數(shù)的知識(shí)；他試圖建立球體積公式，雖然沒有成功，但為后人提供了科學(xué)的方法；他對(duì)勾股測(cè)然沒有成功，但為后人提供了科學(xué)的方法；他對(duì)勾股測(cè)量問題的深入研究，在幾何研究中，從少數(shù)幾個(gè)原理出量問題的深入研究，在幾何研究中，從少數(shù)幾個(gè)原理出發(fā)，運(yùn)用邏輯手段推導(dǎo)出結(jié)果的方法發(fā)，運(yùn)用邏輯手段推導(dǎo)出結(jié)果的方法 。提出。提出“審辨名審辨名分分”，不但對(duì)自己提出的每一個(gè)新概念都給出界

18、定，不但對(duì)自己提出的每一個(gè)新概念都給出界定九九章算術(shù)注章算術(shù)注豐富了豐富了九章算術(shù)九章算術(shù)的數(shù)學(xué)成果，主要表現(xiàn)的數(shù)學(xué)成果，主要表現(xiàn)在算術(shù)、代數(shù)和幾何諸方面。在算術(shù)、代數(shù)和幾何諸方面。 諸如，諸如，割圓術(shù)與徽率割圓術(shù)與徽率“割割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。合體而無所失矣。” 18 設(shè)圓面積為設(shè)圓面積為S S0 0、半徑為、半徑為 r r、圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n n邊形邊長(zhǎng)為邊形邊長(zhǎng)為 l ln n 、周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 L Ln n、面積為、面積為 S Sn n 。將。將邊數(shù)加倍后邊數(shù)加倍后, ,得到圓內(nèi)接正得到圓內(nèi)接正2

19、 2n n邊形，其邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面邊形，其邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積分別記為積分別記為 l l2n 2n , L, L2n 2n , S , S 2n 2n 。劉徽首先指出，由劉徽首先指出，由 l ln n 及勾及勾股定理可求出股定理可求出 l l2n2n 其次知道了圓內(nèi)接正其次知道了圓內(nèi)接正n n 邊形的周長(zhǎng)邊形的周長(zhǎng) L Ln n，又可求得正，又可求得正2 2n n邊形邊形的面積，如果在圓內(nèi)接的面積，如果在圓內(nèi)接n n邊形的每邊上作一高為邊形的每邊上作一高為CDCD的矩形，就可以的矩形，就可以證明劉徽不等式：證明劉徽不等式：S S2 2n n S S0 0 S S2 2n n + ( + ( S S2

20、 2n nS Sn n ).).割圓術(shù)的基本原理割圓術(shù)的基本原理19 從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，取半徑從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，取半徑r為為1尺，一直計(jì)算到尺，一直計(jì)算到192邊形，得出圓周邊形，得出圓周率的近似值率的近似值3.14，化成分?jǐn)?shù)為，化成分?jǐn)?shù)為157/50，這就是有名的，這就是有名的“徽率徽率”20 祖率與祖暅原理祖率與祖暅原理 祖沖之（祖沖之（429500429500） 與祖率與祖率 據(jù)隨書律歷志記載，祖沖之求得的值的取值范圍為3.141592 3.1415927 .（并稱為朒、盈數(shù)） 如果利用劉徽的割圓術(shù)得到上述結(jié)果，需要從正六邊形起，連續(xù)的倍增正多邊形的邊數(shù)，至24576邊形21用水

21、平截面去截球和“牟合方蓋”，可知截面的面積之比恒為：4，于是由劉徽原理立即得到V V球球: :V V牟牟=：4 4即即 V V球球= = （/4/4） V V牟牟。祖暅原理祖暅原理（冪勢(shì)既同，則積不容異）與球體積公式與球體積公式劉徽原理與“牟合方蓋”22 “小方蓋差小方蓋差” ” 與球體積公式與球體積公式 左圖，小牟合方蓋中，PQ是小牟合方蓋被水平截平面得到正方形的一邊，設(shè)為a，UQ是球半徑r，UP是高h(yuǎn)。根據(jù)勾股定理得a2 = r2 h2;這正是截平面PQRS的面積 中圖，小方蓋差在等高處的截面面積等于r2 a2 =h2， 右圖，底邊為r，高也是r的倒正四棱錐，在等高處的截面面積也是h2 根

22、據(jù)祖暅原理可知：小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等。小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等。23 內(nèi)插法內(nèi)插法：已知 f ( x ) 在 xi a,b（i=1,2,n）的值為 ，那么通過 及適當(dāng)公式，計(jì)算y = f ( x ) 在 a,b內(nèi)其他一些點(diǎn)的函數(shù)值。如果xi + 1 xi為定數(shù)，這時(shí)的內(nèi)插法稱為等間距內(nèi)插法；反之，稱為不等間距內(nèi)插法。 )(ixf)(ixf 歷法編制中的內(nèi)插法歷法編制中的內(nèi)插法 最早求影長(zhǎng)的一次內(nèi)插公式（約公元前2世紀(jì) ）： f (n)=f (a) + n，其中， f (n)是夏至之后的第個(gè)節(jié)氣的影長(zhǎng)，。分)(6199)()(121afbff (a) = 160分，f (b)

23、 = 1350分分別是夏至、冬至的中午八尺桿子的影長(zhǎng)，內(nèi)插法與天文歷法內(nèi)插法與天文歷法24乾象歷（206年），已發(fā)現(xiàn)了月亮不均勻運(yùn)動(dòng)及其規(guī)律。公元570年，北齊朝的天文學(xué)家張子信發(fā)現(xiàn)：自春分到秋分所需的時(shí)間要比秋分到春分的時(shí)間長(zhǎng)，進(jìn)而證明了太陽(yáng)“視運(yùn)動(dòng)”的速度是不均勻的隋朝劉焯（544610）的皇極歷提出了等間距二次內(nèi)插法公式：f (nl + s) = f ( nl ) + + (12) (12)張遂(683727) 的大衍歷創(chuàng)造了不等間距二次內(nèi)插法公式： f (t + s) = f ( t ) + s +s 其中，l1、l2分別為不同節(jié)氣的時(shí)間長(zhǎng)度，張遂假定它們不相等 ls221 ls222

24、ls2121ll 2211ll2211212lllls25“算經(jīng)十書”記載的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)成就周髀算經(jīng)（約公元前240年至公元前156年）與商高（陳子）定理 “周髀”是測(cè)量日影的工具八尺長(zhǎng)竿 全書由三部分組成： 第一部分共264個(gè)字，記述了周公與大夫商高的問答記錄。提到：“勾廣三，股修四，徑隅五”。說明，周代初期人們已經(jīng)知道勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。 第二部分是榮方與陳子的對(duì)話。對(duì)話中包含了勾股定理的一般陳述形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！?第三部分是講計(jì)算問題的，有“術(shù)”13條，書寫形式和內(nèi)容與九章算術(shù)基本一致。2.3.4 2.3.4 明算學(xué)與明算學(xué)

25、與“算經(jīng)十書算經(jīng)十書” 隋唐時(shí)期的數(shù)學(xué)教育制度 明算學(xué)明算學(xué)26 “孫子問題”：“今物不知其數(shù)，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，問物幾何？” 孫子問題相當(dāng)于求解一次同余式組 這個(gè)問題源于歷法編算中的求上元積年問題 其解法寫作“孫子歌”：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。. 計(jì)算過程為：N=702+213+1522105.顯然，這里的70、21、15是求解的關(guān)鍵。其求法： 由題設(shè)，用3、5、7分別除以N所得的余數(shù)為2、3、2，故用2、3、2分別去乘70、21和15，再相加即得 2332（mod 3）3（mod 5）2（mod 7） 求出這個(gè)同余組的最小整數(shù)

26、解N=23， 孫子算經(jīng)（約公元4世紀(jì)）與“孫子問題”27張邱建算經(jīng)（約公元五世紀(jì)）與“百雞問題” “今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢，買雞百只。問雞翁、母、雛各幾何?！?給出三組答案： 張邱建算經(jīng)的應(yīng)用領(lǐng)域較九章算術(shù)有了新的發(fā)展，其主要數(shù)學(xué)成果包括求最小公倍數(shù)，等差數(shù)列及不定方程等內(nèi)容 緝古算經(jīng)（公元600多年）與“帶從開方法” 對(duì)當(dāng)時(shí)的土木工程中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題的研究和總結(jié)，在一些體積計(jì)算中隱含了求解三次方程的“帶從開方法” 。雖然由于解法過程空缺，因而沒能清楚地呈現(xiàn)這一方法的具體操作過程和原理。該書在理論上的貢獻(xiàn)是陳述了籌算的運(yùn)算方法，這在中國(guó)數(shù)學(xué)史上尚屬首次。28

27、2.4.1 2.4.1 楊輝三角與楊輝三角與增乘開方法增乘開方法 楊輝（約13世紀(jì)后期）在詳解九章算法中記載了北宋人賈憲的一張“開方作法本源圖”（1050）現(xiàn)今稱為楊輝三角的 “賈憲三角”。在西方它被又稱為帕斯卡三角（1655年）2.4 2.4 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰（中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰（900900年到年到13681368年年 ） 創(chuàng)造出許多具有世界 歷史意義的成就 數(shù)學(xué)家輩出 數(shù)學(xué)著作涌現(xiàn) 29 若A開平方的首商、次商分別為a,b,則有A=a2+B=a2+2ab+b2 則B=Aa2=2ab+b2=(2a+b)b 繼而用2a+b試除B,且若B(2ab+b2)=0,則開方完成；否 則再繼續(xù)

28、試第三位商，。 這個(gè)方法用于籌算，就形成了增乘開方法，其過程簡(jiǎn)述如下: 借助賈憲三角，給出一種開高次方的方法：增乘開方法30a * a a b* b b商實(shí)法A A B=* B B B Bb(2a+b)* a * a* 2a* 2a 2a+b* 2a+b 借算 1 1 1 1 1 1 1 將上圖轉(zhuǎn)換適當(dāng)角度，就變?yōu)橘Z憲三角：左邊斜行由1組成，稱為“積數(shù)”，它們是借算；右斜行也都是1，稱為偶算，它們是a的各次冪的系數(shù)。賈憲利用賈憲三角得到了開高次方的一般方法 增乘開方法，是一個(gè)和高度機(jī)械化的和非常有效的算法，與現(xiàn)代通用的“霍納算法”（1819）已基本一致。增乘開方法，可適用于開任意高次方。但賈憲

29、本人沒有認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)。另外直到賈憲時(shí)，中國(guó)數(shù)學(xué)家們所處理的方程系數(shù)都是正數(shù)。12世紀(jì)北宋學(xué)者劉益首先突破了系數(shù)必須為正的限制，并且也不再像以往那樣要求首項(xiàng)系數(shù)為1。31“大衍求一術(shù)” 為求得滿足條件的乘率ki，秦九韶把奇數(shù)gi與定數(shù)ai輾轉(zhuǎn)相除，相繼得商數(shù)qi和余數(shù)ri，即 a i = q1 gi + r1, 并可得到：c1 = q1 g i = q2r1 + r2, c2 = q2c1+1 r1 = q3r2 + r3, c3 = q3c2+c1 rn-2 = qnrn-1 + rn 秦九韶指出：當(dāng)rn=1且n為偶數(shù)時(shí)，則最后所得cn 就是乘率ki；當(dāng)rn=1，且n為奇數(shù)時(shí)，可將rn-1與r

30、n相除后，形式上取qn+1=rn-11，那么余數(shù)rn+1仍為1，再做cn+1=qn+1cn+cn-1，這時(shí)n+1為偶數(shù)，則cn+1就是所求ki，總之，當(dāng)輾轉(zhuǎn)相除得到余數(shù)1時(shí)，整個(gè)計(jì)算結(jié)束 秦九韶與中國(guó)剩余定理秦九韶與中國(guó)剩余定理秦九韶（12021261）與數(shù)書九章 高次方程數(shù)值解法“正負(fù)開方術(shù)”（開10次方的問題） 一次同余組解法“大衍總數(shù)術(shù)”（“衍”同“演” ）32 元代初期，開始用文字表示方程中的未知量，并形成了相應(yīng)的算法天元術(shù)（李冶 ）與四元術(shù)（朱世杰 ）高階等差級(jí)數(shù)和公式沈括（約10311095）“隙積術(shù)”與二階等差數(shù)列求和公式 數(shù)列：22，32，42，52，62，（1）該數(shù)列相鄰項(xiàng)之差依次為 5，7，9，11 ， （2）顯然（2）是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列。今天（1）式被稱為一個(gè)二階等差數(shù)列 楊輝的“垛積術(shù)”與“三角垛公式”：2.4.3 2.4.3 方程與級(jí)數(shù)的研究方程與級(jí)數(shù)的研究33 廉?dāng)?shù)是斜行上數(shù)的和上一斜行各數(shù)之和，等于下行短線所指的一個(gè)數(shù) 左邊第二斜行為1，2，3，4，5，6，7，8 ，是公差為1一階等差