高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)8-10(曲線的切線與法平面 曲面的切平面及法線)

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A6.3.1 6.3.1 空間曲線的切線及法平面空間曲線的切線及法平面6.3.2 6.3.2 曲面的切平面及法線曲面的切平面及法線 6.3 6.3 多元函數(shù)微分的應(yīng)用多元函數(shù)微分的應(yīng)用6.3.1 6.3.1 空間曲線的空間曲線的 切線及法平面切線及法平面切線及法平面的概念切線及法平面的概念曲線方程為參數(shù)方程的情況曲線方程為參數(shù)方程的情況習(xí)例習(xí)例1-3曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況習(xí)例習(xí)例46.3.2 6.3.2 曲面的曲面的切平面及法線切平面及法線 一般方程的曲面的切平面及法線一般方程的曲

2、面的切平面及法線特殊方程的曲面的切平面及法線特殊方程的曲面的切平面及法線求切平面及法線習(xí)例求切平面及法線習(xí)例5-10小結(jié)小結(jié)曲線的切線及法平面曲線的切線及法平面曲面的切平面及法線曲面的切平面及法線 補(bǔ)充補(bǔ)充1、2一、一、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線已知平面光滑曲線)(xfy ),(00yx切線方程切線方程0yy 法線方程法線方程0yy 若平面光滑曲線方程為若平面光滑曲線方程為, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在點(diǎn)故在點(diǎn)),(00yx切線方程切線方程法線方程法線方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000

3、 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在點(diǎn)在點(diǎn)有有有有因因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx過點(diǎn)過點(diǎn) M 與切線垂直的平面與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法法位置位置.TM空間光滑曲線在點(diǎn) M 處的切線切線為此點(diǎn)處割線的極限為此點(diǎn)處割線的極限平面平面.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況曲線方程為參數(shù)方程的情況)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切線方程切線方程000zzyyxx),(0000zyxMtt對應(yīng)設(shè) ),(0000zzyyxxMttt對應(yīng))(0t)(0t

4、)(0tTMM:的方程割線MM)(00 xxt此處要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如個(gè)別為0, 則理解為分子為 0 .M不全為0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 說明說明: 若引進(jìn)向量函數(shù) ) )(, )(, )()(ttttr, 則 為 r (t) 的矢端曲線, 0t而在處的導(dǎo)向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是該點(diǎn)的切向量.o)(trT曲線方程為參數(shù)方程的求切線方程和法平面方程習(xí)例曲線方程為參數(shù)方程的求切線方程和法平面方程習(xí)例.2 ,sin

5、,cos 1法平面方程法平面方程對應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和對應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和在在求圓柱螺旋線求圓柱螺旋線例例 kzRyRx.),()()( 2000處處的的切切線線與與法法平平面面在在求求曲曲線線例例zyxxzxyxx . ),(,2 300022切切線線及及法法平平面面方方程程處處的的在在求求曲曲線線例例zyxxmzmxy zyxo,2時(shí)當(dāng)切線方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解 由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM對應(yīng)的切向量為0)(2kzk),0,(kRT, 故.2 ,sin,cos 1法平面方程法平面方程對應(yīng)點(diǎn)處的切線

6、方程和對應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和在在求圓柱螺旋線求圓柱螺旋線例例 kzRyRx解解, 1,)()(00 xxTx 則則為為參參數(shù)數(shù)以以 , )(0)(0000 xxzzyyxx 切切線線方方程程為為. 0)()( 0)(0)(000 zzyyxxxx 法法平平面面方方程程為為.),()()( 2000處處的的切切線線與與法法平平面面在在求求曲曲線線例例zyxxzxyxx 解解 xmzmxyxx222 zzymyx21121, 100zymT ,2/1/00000zzzymyyxx 故故切切線線方方程程為為. 0)(21)()(00000 zzzyyymxx法法平平面面方方程程為為. ),(,2 30

7、0022切切線線及及法法平平面面方方程程處處的的在在求求曲曲線線例例zyxxmzmxy 2. 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF當(dāng)0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲線上一點(diǎn)),(000zyxM, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 時(shí), 可表示為處的切向量為 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(, )(, 100 xxTyxz 000zzyyxxMzyGF),(),(則在點(diǎn)),(000zyxM切線方程切線方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(My

8、xGF),(),()(0 xxMyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zz或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表為)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGFMzyGF),(),(切線方程121zyx解法解法1 令,222zyxGzyxF則即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0, 6(T.)1

9、, 2, 1( , 0, 6 4222處處的的切切線線及及法法平平面面在在求求曲曲線線例例 zyxzyx曲線方程為一般方程的求切線方程和法平面方程習(xí)例曲線方程為一般方程的求切線方程和法平面方程習(xí)例法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zxxxzzxyydddd解法解法2 方程組兩邊對 x 求導(dǎo), 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲線在點(diǎn) M(1,2, 1) 處有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1切線方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx點(diǎn) M (1

10、,2, 1) 處的切向量011)1,0, 1(T解法解法3 3 010222zyz zyyx代代入入得得將將)1 , 2, 1( 01021zyzy1, 0 zy從而從而1, 0 , 1 T,110211 zyx切切線線方方程程為為 .0 zx法法平平面面方方程程為為 )()()(tzztyytxx)(),(),(000tztytxT,0),(0),(zyxGzyxF)()(xzzxyy)(),(, 1 (00tztyT, yzxyzxyzxyzxpyzzxxyFFFFFFTGGGGGGJJJ mxx0nyy0pzz0切線方程切線方程二、二、曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 切平面切平面的

11、法向量與曲面上任一曲線的切向量垂直的法向量與曲面上任一曲線的切向量垂直. 法線法線是與切平面垂直的直線是與切平面垂直的直線.切切平平面面與與法法線線處處的的求求設(shè)設(shè)曲曲面面為為 ),(, 0),(. 10000zyxMzyxF 解解.nT0M )()()(),(0tztytxM 設(shè)設(shè)為為在在曲曲面面上上任任取取一一曲曲線線過過)(),(),(0000tttTM 的的切切向向量量為為該該曲曲線線在在, 0)(),(),( tttF 又又. 0)()()(000 tFtFtFzyx 則則.,即為切平面的法向量即為切平面的法向量垂直垂直與切向量與切向量nTFFFnzyx , 0)()()(,(000

12、000 zzFyyFxxzyxFzyx切切平平面面為為.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 法法線線為為 ,0)(),(),(,000 tttFFFzyx 即即 面的法向量面的法向量切平面的法向量稱為曲切平面的法向量稱為曲),(000,zyxzyxFFFn ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFzyx 切切平平面面與與法法線線處處的的求求設(shè)設(shè)曲曲面面為為 ),(),(. 20000zyxMyxfz 解解,),(),(zyxfzyxF 設(shè)設(shè),)1,(),(00yxyxffn 則則, 0)()()(:000 zzyyfxxfy

13、x切切平平面面.1),(),(:0000000 zzyxfyyyxfxxyx法法線線注意注意:)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點(diǎn)的上點(diǎn)的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)的增量的增量的全微分的全微分在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz (1) 因?yàn)榍嬖谝驗(yàn)榍嬖贛0處的切平面方程為處的切平面方程為),(yxfz 在在),(00yx的的全全微微分分，表表示示曲曲面面),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyx處處的的切切平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)的的豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)的的增增量量.(2) 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的

14、方方向向是是向向上上的的，即即使使得得它它與與 z 軸軸的的正正向向所所成成的的角角 是是銳銳角角，則則法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為 ),1,( ),( yxffnyxfz有有對于對于,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff .,0),()3(yxFFnyxF 的的法法向向量量為為平平面面曲曲線線,0),(0),()4( zyxGzyxF對對于于曲曲線線,1zyxFFFn ,2zyxGGGn 21:nnT 則則切切向向量量為為zyxzyxGGGFFFkji 3.3.求切平面及法線習(xí)例求切平面及法線習(xí)例. )3 , 2 , 1(3632 5222及

15、及法法線線方方程程處處的的切切平平面面在在點(diǎn)點(diǎn)求求球球面面例例 zyx.),( 70002222相相切切在在點(diǎn)點(diǎn)與與球球面面使使曲曲面面確確定定正正數(shù)數(shù)例例zyxMazyxxyz 2332106 0( 3,1, 1).xyyz例求由曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面在點(diǎn)處的切平面方程與法線方程.064 2132 8222的的切切平平面面方方程程上上平平行行于于平平面面求求曲曲面面例例 zyxzyx.)( 9的的平平面面都都相相交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)試試證證所所有有切切于于曲曲面面例例xyxfz 22210 3160 316,.xyzxyz例如果平面與橢球面相切 求解解3632),(222zyxzyx

16、F所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法線方程法線方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量法向量 令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n. )3 , 2 , 1(3632 5222及及法法線線方方程程處處的的切切平平面面在在點(diǎn)點(diǎn)求求球球面面例例 zyx2332106 0( 3,1, 1).xyyz例求由曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面在點(diǎn)處的切平面方程與法線方程22232323()21032310 xzyxyz即:01023:32所得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程軸旋轉(zhuǎn)一周繞先求由曲線解yzyx解解2322(

17、3,1, 1)( 3,1, 1)( 3,1, 1)( 3,1, 1)( 3,1, 1)( 3,1, 1)( , , )32310|6 |6 3,|6|6,|6 |6,xyzF x y zxyzFxFyFz 令1, 1, 3) 1, 1 , 3(n取為處的切平面的法向量可在點(diǎn).111133:0330)1()1()3(3)1, 1 ,3(zyxzyxzyx法線方程為即處的切平面方程為在點(diǎn)解解 二曲面在 M 點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn) M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又點(diǎn) M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx333a, ),(00000

18、01yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z2.),( 70002222相相切切在在點(diǎn)點(diǎn)與與球球面面使使曲曲面面確確定定正正數(shù)數(shù)例例zyxMazyxxyz 解解,),(000為為曲曲面面上上的的切切點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)zyx依題意，切平面平行于已知平面，得依題意，切平面平行于已知平面，得,664412000zyx (*) 2000zyx (*) 2132202020 zyx則則6 ,4 ,2 000zyxn 又又切切平平面面的的法法向向量量為為, 1 (*)(*)0 x解解得得由由, 200 zy.064 2132 8222的的切切平平面面方方程程上上平平行行于于平平面面求

19、求曲曲面面例例 zyxzyx所求切點(diǎn)為所求切點(diǎn)為),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx.2164 zyx切平面方程切平面方程切平面方程切平面方程解解)(2xyfxfxz fxyf fxfxyz 1 1, ffxyfn曲曲面面的的法法向向量量為為的的切切平平面面為為過過曲曲面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(000zyx0)()()(00000 zzyyfxxfxyf.)0 ,0 ,0(滿滿足足上上面面的的方方程程顯顯然然.)( 9的的平平面面都都相相交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)試試證證所所有有切切于于曲曲面面例例xyxf

20、z 解解,2,2,6000zyxn 則則),(000zyx設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為依題意知切平面的法向量為依題意知切平面的法向量為3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 又切點(diǎn)滿足曲面和平面方程又切點(diǎn)滿足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 22210 33160 316,.xyzxyz例如果平面與橢球面相切 求因?yàn)榍嬉驗(yàn)榍?:F(x,y,z)=0在在M處的切向量為處的切向量為1(,)|xyzMnFFF 因?yàn)榍嬉驗(yàn)榍?:G(x,y,z)=0在在M處的切向量為處的切向量為2(,)|xyzMnGGG 若兩曲面相交，則其交線若兩曲

21、面相交，則其交線C在在 點(diǎn)M 處的切線的方向向量（即曲線C的切向量T）為12Tnn xyzxyzijkFFFGGG ,yzxyzxyzxyzxFFFFFFGGGGGG補(bǔ)充內(nèi)容補(bǔ)充內(nèi)容1補(bǔ)例補(bǔ)例1. 求曲線0453203222zyxxzyx在點(diǎn)(1,1,1) 的切線解解: 點(diǎn) (1,1,1) 處兩曲面的法向量為)2,2, 1(因此切線的方向向量為122(16,9,1)235ijk 由此得切線:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即與法平面.) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl22cos,1xxyfff22

22、cos,1yxyfff.11cos22yxff 補(bǔ)充補(bǔ)充2 因?yàn)榍嬉驗(yàn)榍?z=F(x,y)在在M處的切向量為處的切向量為0000(,),(,), 1xynfxyfxy 22cos,1xxyfff 22cos,1yxyfff 221cos.1xyff 補(bǔ)充2 因?yàn)榍嬉驗(yàn)榍?z=F(x,y)在在M處的切向量為處的切向量為0000(,),(,), 1xynfxyfxy 1. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程切線方程 000zzyyxx法平面方程法平面方程)(00 xxt1) 參數(shù)式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)切線方程切線方程法平面方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx)