數(shù)學(xué)建模--灰色模型課件

1、第七章第七章 灰色預(yù)測模型及其應(yīng)用灰色預(yù)測模型及其應(yīng)用Operational Research 灰色預(yù)測模型（Gray Forecast Model）是通過少量的、不完全的信息，建立數(shù)學(xué)模型并做出預(yù)測的一種預(yù)測方法.當(dāng)我們應(yīng)用運籌學(xué)的思想方法解決實際問題，制定發(fā)展戰(zhàn)略和政策、進(jìn)行重大問題的決策時，都必須對未來進(jìn)行科學(xué)的預(yù)測. 預(yù)測是根據(jù)客觀事物的過去和現(xiàn)在的發(fā)展規(guī)律，借助于科學(xué)的方法對其未來的發(fā)展趨勢和狀況進(jìn)行描述和分析，并形成科學(xué)的假設(shè)和判斷.灰色系統(tǒng)理論是研究解決灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測、決策和控制的理論.灰色預(yù)測是對灰色系統(tǒng)所做的預(yù)測.目前常用的一些預(yù)測方法（如回歸分析等），需要較大的樣

2、本.若樣本較小，常造成較大誤差，使預(yù)測目標(biāo)失效.灰色預(yù)測模型所需建模信息少，運算方便，建模精度高，在各種預(yù)測領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，是處理小樣本預(yù)測問題的有效工具.7.1 7.1 灰色系統(tǒng)的定義和特點灰色系統(tǒng)的定義和特點7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點灰色系統(tǒng)的定義和特點 灰色系統(tǒng)理論是由華中理工大學(xué)鄧聚龍教授于1982年提出并加以發(fā)展的。二十幾年來，引起了不少國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，得到了長足的發(fā)展。目前，在我國已經(jīng)成為社會、經(jīng)濟、科學(xué)技術(shù)在等諸多領(lǐng)域進(jìn)行預(yù)測、決策、評估、規(guī)劃控制、系統(tǒng)分析與建模的重要方法之一。特別是它對時間序列短、統(tǒng)計數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的分析與建模，具有獨特的功效，因此得到了廣泛的

3、應(yīng)用.在這里我們將簡要地介紹灰色建模與預(yù)測的方法，更進(jìn)一步的內(nèi)容可參考文獻(xiàn)23,24,25。7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點灰色系統(tǒng)的定義和特點1. 灰色系統(tǒng)的定義 灰色系統(tǒng)是黑箱概念的一種推廣。我們把既含有已知信息又含有未知信息的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng).作為兩個極端，我們將稱信息完全未確定的系統(tǒng)為黑色系統(tǒng)；稱信息完全確定的系統(tǒng)為白色系統(tǒng).區(qū)別白色系統(tǒng)與黑色系統(tǒng)的重要標(biāo)志是系統(tǒng)各因素之間是否具有確定的關(guān)系。7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點灰色系統(tǒng)的定義和特點2. 灰色系統(tǒng)的特點（1）用灰色數(shù)學(xué)處理不確定量，使之量化.（2）充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運動規(guī)律.（3）灰色系統(tǒng)理論能處理貧信息系統(tǒng).7.1灰色系統(tǒng)的定

4、義和特點灰色系統(tǒng)的定義和特點常用的常用的灰色灰色預(yù)測有預(yù)測有五五種：種： （1）數(shù)數(shù)列列預(yù)測預(yù)測，即用觀察到的反映預(yù)測對象特征的時間序列來，即用觀察到的反映預(yù)測對象特征的時間序列來構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達(dá)到某一特征構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時間。量的時間。（2）災(zāi)變與異常值預(yù)測災(zāi)變與異常值預(yù)測，即通過灰色模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時，即通過灰色模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時刻，預(yù)測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)?？?，預(yù)測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。（3）季節(jié)災(zāi)變與異常值預(yù)測季節(jié)災(zāi)變與異常值預(yù)測，即通過灰色模型預(yù)測災(zāi)變值發(fā)生，即通過灰色模型預(yù)測災(zāi)

5、變值發(fā)生在一年內(nèi)某個特定的時區(qū)或季節(jié)的災(zāi)變預(yù)測。在一年內(nèi)某個特定的時區(qū)或季節(jié)的災(zāi)變預(yù)測。（4）拓?fù)漕A(yù)測拓?fù)漕A(yù)測，將原始數(shù)據(jù)作曲線，在曲線上按定值尋找該定，將原始數(shù)據(jù)作曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時點，并以該定值為框架構(gòu)成時點數(shù)列，然后建立模值發(fā)生的所有時點，并以該定值為框架構(gòu)成時點數(shù)列，然后建立模型預(yù)測該定值所發(fā)生的時點。型預(yù)測該定值所發(fā)生的時點。（5）系統(tǒng)預(yù)測系統(tǒng)預(yù)測. 通過對系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰通過對系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測模型，預(yù)測系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。色預(yù)測模型，預(yù)測系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。7.2 7.2 灰色

6、系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型 通過下面的數(shù)據(jù)分析、處理過程，我們將了解到，有了一個時間數(shù)據(jù)序列后，如何建立一個基于模型的灰色預(yù)測。1. 數(shù)據(jù)的預(yù)處理 首先我們從一個簡單例子來考察問題. 【例7.1】 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列7,10, 8, 3, 6)(,),2(),1 ()0()0()0()0(Nxxxx7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型(1)(0)(1)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)6(2)(1)(2)639(3)(1)(2)(3)63+817(4)(1)(2)(3)(4)63+8+

7、1027(5)(1)(2)(3)(4)(5)63+8+10+7xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，34.對數(shù)據(jù)累加 于是得到一個新數(shù)據(jù)序列(1)6,9,17, 27,34x7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型 歸納上面的式子可寫為 稱此式所表示的數(shù)據(jù)列為原始數(shù)據(jù)列的一次累加生成，簡稱為一次累加生成.顯然有 (1)(0)(1)(1).xx(1)(0)1( )1, 2,ijxixjiN（） 將上述例子中的 (0)(1)xx，分別做成圖7.1、圖7.2.可見圖7.1上的曲線有明顯的擺動，圖7.2呈現(xiàn)逐漸遞增的形式，說明原始數(shù)據(jù)的起伏已顯著弱化.可以設(shè)想用一條指數(shù)曲線乃至一條直線來逼近累加生成數(shù)

8、列 (1).x7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型圖7.2 圖7.1為了把累加數(shù)據(jù)列還原為原始數(shù)列，需進(jìn)行后減運算或稱相減生成，它是指后前兩個數(shù)據(jù)之差，如上例中7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型)() 1()()()0()1()1()1(ixixixix(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(5)(5)(4)34277(4)(4)(3)27 1710(3)(3)(2)1798(2)(2)(1)963(1)(1)(0)606.xxxxxxxxxxxxxxx，歸納上面的式子得到如下結(jié)果：一次后減其中(0)1,2,.,(0)0.iNx，7.2 灰

9、色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型2. 建模原理給定觀測數(shù)據(jù)列經(jīng)一次累加得(1)(1)dxaxudt+=)(,),2(),1 ()0()0()0()0(Nxxxx)(,),2(),1 ()1()1()1()1(Nxxxx設(shè) 滿足一階常微分方程(1)x（7.1） （7.2） （7.3） 7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型 其中是常數(shù)，稱為發(fā)展灰數(shù)；稱為內(nèi)生控制灰數(shù)，是對系統(tǒng)的常定輸入.此方程滿足初始條件(1)(1)00( )ttxxt當(dāng)時的解為0()(1)(1)0( )( ).a t tuuxtxteaa(7.3) 對等間隔取樣的離散值 (注意到 ）則為 01t (1)(1)(1)(1).akuuxk

10、xeaa(7.4) 灰色建模的途徑是一次累加序列（7.2）通過最小二乘法來估計常數(shù)a與u. 7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型) 1 ()1(x(1)(1)(1)(2),(3),.,()xxxN, 1) 1(ttt(1)(1)(1)(1)(0)(2)(2)(2)(1)(2),xxxxxt (1)(1)(0)(0)(3)()(3),.,().xxNxxNtt(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2),(3)(3),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( )( ).xaxuxaxuxNaxNu+=+=+= 因

11、 留作初值用，故將 用差分代替微分，又因等間隔取樣， 分別代入方程(7.3),故得 類似地有于是，由式（7.3）有 7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型)()1(iax(0)(1)(0)(1)(0)(1)(2)(2),1(3)(3),1()(),1axxuaxxuaxNxNu tx)1()1(x)()1(ix)()(ixi由于 涉及到累加列 的兩個時刻的值，因此， 取前后兩個時刻的平均代替更為合理，即將 替換為 把 項移到右邊，并寫成向量的數(shù)量積形式 (7.5) 7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型將（7.5）寫為矩陣表達(dá)式(0)(0)(0)T(2),(3),() .yxxxN(1)(1)(0

12、)12(1)(1)(0)12(1)(1)(0)12(2)(1)1(2)(3)(2)1(3).1()(1)1()xxxaxxxuxNxNxN 令這里，T表示轉(zhuǎn)置.令( )( )1( )(1),(2,3,.,).2iixixiiN(7.6) 7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型(1)(1)12(1)(1)12(1)(1)12(2)(1)1(3)(2)1,()(1) 1xxaxxUuxNxN 則(7.6)式的矩陣形式為BUy 方程組(7.6)的最小二乘估計為 yBBBuaUTT1)(7.6)(7.7)7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型把估計值 au與代入（7.4）式得時間響應(yīng)方程 (1)(1)(1

13、)(1)akuuxkxeaa1,2,1kN當(dāng)時，由(7.8)式算得的 ) 1()1(kx是擬合值； kN當(dāng)時，) 1()1(kx為預(yù)報值.這是相對于一次累加序列 )1(x的擬合值，用后減運算還原， 1,2,1kN當(dāng)時，就可得原始序列 )0(x的擬合值 (0)(1)xk ；kN當(dāng)時，可得原始序列 )0(x預(yù)報值.(7.8)7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型3.精度檢驗 (1)殘差檢驗：分別計算7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型（3）預(yù)測精度等級對照表，見表7.1. 7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型由于模型是基于一階常微分方程（7.3）建立的，故稱為一階一元灰色模型，記為GM(1,1).須

14、指出的是， 建模時先要作一次累加，因此要求原始數(shù)據(jù)均為非負(fù)數(shù).否則，累加時會正負(fù)抵消，達(dá)不到使數(shù)據(jù)序列隨時間遞增的目的.如果實際問題的原始數(shù)據(jù)列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，可對原始數(shù)據(jù)列進(jìn)行“數(shù)據(jù)整體提升”處理.注意到一階常微分方程是導(dǎo)出GM(1,1)模型的橋梁，在我們應(yīng)用GM(1,1)模型于實際問題預(yù)測時，不必求解一階常微分方程（7.3）. 7.2 灰色系統(tǒng)的模型灰色系統(tǒng)的模型4.GM(1,1)的建模步驟的建模步驟 綜上所述，GM(1,1)的建模步驟如下：7.3 7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測 隨著生產(chǎn)的發(fā)展、消費的擴大，市場需求通?？偸窃黾拥?，一個商店、一個地區(qū)的銷售額常常呈增長趨

15、勢. 因此，這些數(shù)據(jù)符合建立灰色預(yù)測模型的要求。 【例7.2】 表7.2列出了某公司19992003年逐年的銷 售額.試用建立預(yù)測模型，預(yù)測2004年的銷售額，要求作精度檢驗。7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測 表7.2 逐年銷售額（百萬元）)0(x年份19992000200120022003 序號12345 2.8743.2783.3373.3903.679 【例7.2】 表7.2列出了某公司19992003年逐年的銷 售額.試用建立預(yù)測模型，預(yù)測2004年的銷售額，要求作精度檢驗。7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測 解（1）由原始數(shù)據(jù)列計算一次累加序列 ，結(jié)果見表7.3. 表7.3 一次累加數(shù)據(jù))1(

16、x)0(x)1(x年份19992000200120022003序號123452.8743.2783.3373.3903.6792.8746.1529.48912.87916.5587.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測（2）建立矩陣：yB,(1)(1)12(1)(1)12(1)(1)12(1)(1)124.5131(2)(1)17.82051(3)(2) 111.1841(4)(3) 114.71851(5)(4) 1xxxxBxxxx(0)(0)(0)(0)TT(2),(3),(4),(5)3. 278,3. 337,3. 390,3. 679yxxxx=7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測7.3 銷售額預(yù)測

17、銷售額預(yù)測7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測下面我們用用GM預(yù)測軟件求解例7.2.參考附錄B （1）調(diào)用GM預(yù)測軟件.見圖7.3. 圖7.3 7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測（2）在“文件”菜單中打開“新建問題”，見到數(shù)據(jù)輸入界面.見圖7.4. 7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測（3）輸入題目名稱及元素個數(shù)后，點擊“下一步”鍵，得到原始數(shù)據(jù)序列 )0(x的輸入表格. 見圖7.5. 7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測（4）點擊“運行”鍵，輸出分析數(shù)據(jù)如下：題目:123原始數(shù)列(5個): 2.874，3.278，3.337，3.39，3.679預(yù)測結(jié)果如下：1dx

18、/dt+ax=u：a=-0.03720438，u=3.065363312時間響應(yīng)方程： X(k+1)=85.2665*exp(0.0372k)-82.39253殘差E(k)： (1) 0.00000000 (2) 0.04596109 (3) -0.01754976 (4) -0.09170440 (5)0.06532115 4第一次累加值: (1) 2.874000 (2) 6.152000 (3) 9.489000 (4) 12.879000 (5)16.558000 5相對殘差e(k)：(1) 0.00000000 (2) 0.01402108 (3) -0.00525914 (4) -

19、0.02705145 (5)0.01775514 7.3 銷售額預(yù)測銷售額預(yù)測6原數(shù)據(jù)均值avg(x)：3.31160000 7原數(shù)據(jù)方差 S(1)：0.258610608殘差的均值avg(E)：0.000507029殘差的方差 S(2)：0.0614327610后驗差比值: C：0.2375492811小誤差概率 P：1.0000000012模型計算值X(k)： (1) 2.87400000 (2) 3.23203891 (3) 3.35454976 (4)3.48170440 (5) 3.61367885 13預(yù)測的結(jié)果X*(k)： (1) 3.75065581 (2) 3.8928249

20、0 (3) 4.04038293 (4)4.19353416 (5) 4.35249061 (6) 4.51747233 預(yù)測精度等級：好！ 7.4 7.4 城市道路交通事故次數(shù)城市道路交通事故次數(shù) 的灰色預(yù)測的灰色預(yù)測 7.4 城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測灰色理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”的不確定問題為研究對象,通過對“部分”已知的信息的生成開發(fā),提取有價值的信息,構(gòu)造生成序列的手段來尋求現(xiàn)實現(xiàn)象中存在的規(guī)律。交通事故作為一個隨機事件,其本身具有相當(dāng)大的偶然性和模糊性,如果把某地區(qū)的道路交通作為一個系統(tǒng)來看，則此系統(tǒng)中存在著一些確

21、定因素(灰色系統(tǒng)稱為白色信息) ,如道路狀況、信號標(biāo)志,同時也存在一些不確定因素(灰色系統(tǒng)稱為灰色信息)如車輛狀況、氣候因素、駕駛員心理狀態(tài)等等,具有明顯的不確定性特征。因此可以認(rèn)為一個地區(qū)的道路交通安全系統(tǒng)是一個灰色系統(tǒng),可以利用灰色系統(tǒng)理論進(jìn)行研究。 7.4 城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測【例7.3】某市2004年1-6月的交通事故次數(shù)統(tǒng)計見表7.5.試建立灰色預(yù)測模型. 表7.5 交通事故次數(shù)統(tǒng)計解 利用GM預(yù)測軟件計算，輸出分析數(shù)據(jù)如下：原始數(shù)列(元素共6個):83，95，130，141，156，185預(yù)測結(jié)果如下： 7.4 城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測

22、城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測1dx/dt+ax=u：a=-0.14401015，u=84.472788102時間響應(yīng)方程： X(k+1)=669.5752*exp(0.1440k)-586.57523殘差 E(k)：(1)0.00000000 (2) -8.71441263 (3) 10.22065739 (4) 2.66733676 (5) -3.75981586 (6) 0.49405494 4第一次累加值:(1)83.000000 (2)178.000000 (3)308.000000 (4)449.00000 (5)605.000000 (6)790.000000 5相對殘差e(k)

23、：(1)0.00000000 (2)-0.09173066 (3)0.07862044 (4)0.01891728(5)-0.02410138(6) 0.00267057 7.4 城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測6原數(shù)據(jù)均值avg(x)：131.666666677原數(shù)據(jù)方差 S(1)：34.735508578殘差的均值avg(E)：0.181564129殘差的方差 S(2)：6.3518971710后驗差比值 C：0.1828646711小誤差概率 P：1.0000000012模型計算值X(k)：(1) 83.00000000 (2) 103.71441263 (3

24、) 119.77934261 (4)138.33266324 (5) 159.75981586 (6) 184.50594506 13預(yù)測的結(jié)果X*(k)： (1) 213.08514646 (2) 246.09114698 (3) 284.20963932 (4)328.23252716 (5) 379.07437672 (6) 437.79141674 (7) 505.60348139 預(yù)測精度等級： 好！ 這表明：如果該市不采取更有效的管制措施，7月的交通事故次數(shù)將上升至213次.7.5 7.5 城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù) 的灰色預(yù)測的灰色預(yù)測7.5 城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測城市

25、火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測 【例7.4】某市20012005年火災(zāi)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)見表7.7. 試建立模型，并對該市2006年的火災(zāi)發(fā)生狀況做出預(yù)測。 表7.7 某市20012005年火災(zāi)數(shù)據(jù)年份20012002200320042005 火災(zāi)(起)87971201661617.5 城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測解 利用GM預(yù)測軟件計算，輸出分析數(shù)據(jù)如下：原始數(shù)列(元素共5個): 87，97，120，166，161預(yù)測結(jié)果如下：1dx/dt+ax=u：a=-0.16668512，u=81.118924332時間響應(yīng)方程： X(k+1)=573.6597*exp(0.1667k)-48

26、6.65973殘差 E(k)： (1)0.00000000 (2)-7.05165921 (3)-2.92477940 (4)20.77885211 (5)-10.56168104 7.5 城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測4 第一次累加值: (1) 87.000000 (2) 184.000000 (3) 304.000000 (4) 470.000000 (5)631.000000 5 相對殘差e(k)：(1) 0.00000000 (2) -0.07269752 (3) -0.02437316 (4) 0.12517381 (5)-0.06560050 6 原數(shù)據(jù)均值avg(x)：126.200000007 原數(shù)據(jù)方差 S(1)：32.319653468 殘差的均值avg(E)：0.060183129 殘差的方差 S(2)：12.2635185110 后驗差比值 C： 0.3794446211 小誤差概率 P：1.0000000012 模型計算值X(k)： (1) 87.00000000 (2) 104.05165921 (3) 122.92477940 (4)145.22114789 (5) 171.56168104 13 預(yù)測的結(jié)果X*(k)： (1) 202.67991837 (2) 239.44245045 (3) 282.87305194 (4