數(shù)學(xué)建模中的AHP方法PPT課件

1、目錄引言層次分析法原理層次分析法模型舉例第1頁/共58頁一、引一、引 言言 Analytic Hierarchy Process第2頁/共58頁第3頁/共58頁第4頁/共58頁第5頁/共58頁第6頁/共58頁第7頁/共58頁1第8頁/共58頁一個(gè)典型的層次可以用下圖表示出來：一個(gè)典型的層次可以用下圖表示出來：第9頁/共58頁幾點(diǎn)注意幾點(diǎn)注意第10頁/共58頁如何在如何在3 3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇條件等因素選擇. .目標(biāo)層目標(biāo)層O(選擇旅游地選擇旅游地)P2黃山黃山P1桂林桂林P3北戴河北戴河準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層方案層方案層C3居住居住C1景色景色C

2、2費(fèi)用費(fèi)用C4飲食飲食C5旅途旅途第11頁/共58頁 工作選擇工作選擇可供選擇的單位可供選擇的單位P1 P2 ， Pn 貢貢獻(xiàn)獻(xiàn)收收入入發(fā)發(fā)展展聲聲譽(yù)譽(yù)工工作作環(huán)環(huán)境境生生活活環(huán)環(huán)境境目標(biāo)層目標(biāo)層準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層方案層方案層第12頁/共58頁第13頁/共58頁2比較同一層次中每個(gè)因素關(guān)于上一層次比較同一層次中每個(gè)因素關(guān)于上一層次的的同一個(gè)因素同一個(gè)因素的相對重要性的相對重要性第14頁/共58頁 在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Saaty等人提出構(gòu)造：成對比較矩陣等人提出構(gòu)

3、造：成對比較矩陣A = (aij)n n，即：即：1.1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。較。2.2.對此時(shí)采用相對尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同對此時(shí)采用相對尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。的諸因素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9 9個(gè)，即個(gè)，即每層不要超過每層不要超過9 9個(gè)因素。個(gè)因素。成對比較矩陣是表示本層所有因素針對上一層某一個(gè)成對比較矩陣是表示本層所有因素針對上一層某一個(gè)因素的相對重要性的比較。判斷矩陣的元素因素的相對重要性的比較。判斷

4、矩陣的元素aij用用Saaty的的1-91-9標(biāo)度方法給出。標(biāo)度方法給出。第15頁/共58頁判斷矩陣元素判斷矩陣元素aij的標(biāo)度方法的標(biāo)度方法第16頁/共58頁 對于對于 n 個(gè)元素個(gè)元素 A1, , An 來來 說，通過兩兩比較，說，通過兩兩比較，得到得到成對比較（判斷）矩陣成對比較（判斷）矩陣 A = (aij)n n： 其中判斷矩陣具有如下性質(zhì)：其中判斷矩陣具有如下性質(zhì)： （1）aij 0； （2）aij = 1/aji； （3）aii = 1。 我們稱我們稱 A 為為。 根據(jù)性質(zhì)（根據(jù)性質(zhì)（2）和（）和（3），事實(shí)上，對于），事實(shí)上，對于 n 階判斷矩階判斷矩陣僅需對其上（下）三角元素

5、共陣僅需對其上（下）三角元素共 n(n-1)/2 個(gè)給出判斷即個(gè)給出判斷即可。可。第17頁/共58頁ijjiijnnijaaaaA1, 0,)(要比較各準(zhǔn)則要比較各準(zhǔn)則C1,C2, , Cn對目標(biāo)對目標(biāo)O的重要性的重要性ijjiaCC:A成對比較陣成對比較陣選選擇擇旅旅游游地地目標(biāo)層目標(biāo)層O(選擇旅游地選擇旅游地)準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層C3居住居住C1景色景色C2費(fèi)用費(fèi)用C4飲食飲食C5旅途旅途 旅游問題的成對比較矩陣共有旅游問題的成對比較矩陣共有6 6個(gè)（一個(gè)個(gè)（一個(gè)5 5階，階，5 5個(gè)個(gè)3 3階）。階）。 1135131112513131211714155712334211A第18頁/共58頁jk

6、kijiwwwwww 3 11121212121wwwwwwwwwwwwAnnnn第19頁/共58頁nji, 2 , 1,1321231321234,2,7aaaaaa Aijkjikaaa ijkjikaaa Anjiaaaiijiij,2, 1, 1,1 .1也是一致陣TA . 2 1 . 3ArankA的各行成比例，則。特征根均等于個(gè)其余的最大特征根（值）為0 1, . 4n-n AAn第20頁/共58頁 一般地，我們并不要求判斷具有這種傳遞性和一般地，我們并不要求判斷具有這種傳遞性和一致性，這是由客觀事物的復(fù)雜性與人的認(rèn)識(shí)的多一致性，這是由客觀事物的復(fù)雜性與人的認(rèn)識(shí)的多樣性所決定的。但

7、在構(gòu)造兩兩判斷矩陣時(shí)，要求判樣性所決定的。但在構(gòu)造兩兩判斷矩陣時(shí)，要求判斷大體上的一致是應(yīng)該的。出現(xiàn)甲比乙極端重要，斷大體上的一致是應(yīng)該的。出現(xiàn)甲比乙極端重要，乙比丙極端重要，而丙又比甲極端重要的判斷，一乙比丙極端重要，而丙又比甲極端重要的判斷，一般是違反常識(shí)的。一個(gè)混亂的經(jīng)不起推敲的判斷矩般是違反常識(shí)的。一個(gè)混亂的經(jīng)不起推敲的判斷矩陣有可能導(dǎo)致決策的失誤，而且當(dāng)判斷矩陣過于偏陣有可能導(dǎo)致決策的失誤，而且當(dāng)判斷矩陣過于偏離一致性時(shí)，用上述各種方法計(jì)算的排序權(quán)重作為離一致性時(shí)，用上述各種方法計(jì)算的排序權(quán)重作為決策依據(jù)，其可靠程度也值得懷疑。因而必須對判決策依據(jù)，其可靠程度也值得懷疑。因而必須對判

8、斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn)。斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn)。 第21頁/共58頁1nnCI第22頁/共58頁1 .0RICICR一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率0.10.1及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對A進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。一般，當(dāng)一致性比率一般，當(dāng)一致性比率 的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，通通過一致性檢驗(yàn)過一致性檢驗(yàn)。否則要。否則要重新構(gòu)造重新構(gòu)造成對比較矩陣成對比較矩陣A，對，對 aij 加以調(diào)整。加以調(diào)整。時(shí)，認(rèn)為時(shí)，認(rèn)為ARICICR 第23頁/共58頁判斷矩

9、陣一致性檢驗(yàn)的步驟如下：判斷矩陣一致性檢驗(yàn)的步驟如下： (1) 計(jì)算一致性指標(biāo)計(jì)算一致性指標(biāo) C.I.： 1C.I.maxnn其中其中 n 為判斷矩陣的階數(shù)；為判斷矩陣的階數(shù)； 第24頁/共58頁(2) 查找平均隨機(jī)一致性指標(biāo)查找平均隨機(jī)一致性指標(biāo) R.I.： 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)是多次（平均隨機(jī)一致性指標(biāo)是多次（500次以上）重復(fù)次以上）重復(fù)進(jìn)行隨機(jī)判斷矩陣特征根計(jì)算之后取算術(shù)平均得到的。進(jìn)行隨機(jī)判斷矩陣特征根計(jì)算之后取算術(shù)平均得到的。龔木森、許樹柏龔木森、許樹柏1986年得出的年得出的1-15階判斷矩陣重復(fù)計(jì)階判斷矩陣重復(fù)計(jì)算算1000次的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)如下：次的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)如下：

10、第25頁/共58頁(3) 計(jì)算一致性比例計(jì)算一致性比例 C.R.： 當(dāng)當(dāng) C.R. 0.1 時(shí)，一般認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可時(shí)，一般認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的。否則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)?shù)男拚?。以接受的。否則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)?shù)男拚?R.I.C.I.C.R. 第26頁/共58頁“選擇旅游地選擇旅游地”中中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)向量及一致性檢驗(yàn)最大特征根最大特征根 max=5.073隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.016 0， max 為為 A 的的模最大模最大的特征的特征根，則有根，則有

11、 (1) max 必為正特征根，而且它所對應(yīng)的特征向量必為正特征根，而且它所對應(yīng)的特征向量為正向量；為正向量； (2) A 的任何其它特征根的任何其它特征根 恒有恒有 | | max； (3) max 為為 A 的單特征根，因而它所對應(yīng)的特征向的單特征根，因而它所對應(yīng)的特征向量除差一個(gè)常數(shù)因子外是唯一的。量除差一個(gè)常數(shù)因子外是唯一的。第29頁/共58頁 特征根方法中的最大特征根特征根方法中的最大特征根 max 和特征向量和特征向量w，可用可用 Matlab 軟件直接計(jì)算。軟件直接計(jì)算。 A = 1,1,1,4,1,1/2; 1,1,2,4,1,1/2; 1,1/2,1,5,3,1/2; 1/4

12、,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3; 2,2,2,3,3,1;x, y = eig(A);eigenvalue = diag(y);lamda = eigenvalue(1)y_lamda = x(:, 1)y 是特征值，且從大到小排列；是特征值，且從大到小排列；x 是特征向量矩陣，每一列為是特征向量矩陣，每一列為 相應(yīng)特征值的一個(gè)特征向量。相應(yīng)特征值的一個(gè)特征向量。第30頁/共58頁正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計(jì)算正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計(jì)算 精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要 簡化計(jì)算的思路簡化計(jì)算的思路一致陣的任一列向量都是特征

13、向量，一致性尚好的正互一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法和法取列向量的算術(shù)平均取列向量的算術(shù)平均14/ 16/ 1412/ 1621A例091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w089. 0324. 0587. 01.7690.9740.268Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31列向量列向量歸一化歸一化求求行行和和歸歸一一化化wAw精確結(jié)果精確結(jié)果:

14、w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010第31頁/共58頁4Z1A2AmA1B2BnB,21mAAAmA個(gè)因素層對總目標(biāo)對總目標(biāo)Z Z的排序?yàn)榈呐判驗(yàn)閙aaa,21jAAnB中因素為個(gè)因素對上層層的層次單排序?yàn)榈膶哟螁闻判驗(yàn)?, 2 , 1( ,21mjbbbnjjj第32頁/共58頁即即B層第層第 i 個(gè)因素對總目標(biāo)的權(quán)值個(gè)因素對總目標(biāo)的權(quán)值為：為： （影響加和）（影響加和）nmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22112222211211221111:1mjijja b B層的層次總排序?yàn)椋簩拥膶哟慰偱判驗(yàn)椋簃AAA,21maaa,21nBBB2

15、112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21AB111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1第33頁/共58頁Tnwww),()2()2(1)2()2()3()3(wWwnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(,)3()3(1)3(nwwW)2()3() 1()()(wWWWwsss第34頁/共58頁層次總排序的一致性檢驗(yàn)層次總排序的一致性檢驗(yàn)設(shè)設(shè)B層層B1,B2,Bn對上層對上層(A層層)中因素中因素Aj(j=1,2,m) 的層次單排序一致性指標(biāo)為的層次單排序一致性指標(biāo)為CIj，隨機(jī)一致性指標(biāo)為，隨機(jī)一致性指標(biāo)為RIj ，則層次總排序的一致性

16、比率為：，則層次總排序的一致性比率為：mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211當(dāng)當(dāng)CR0.1時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗(yàn)。層次時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗(yàn)。層次總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整那些一總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整那些一致性比率高的判斷矩陣的元素取值。致性比率高的判斷矩陣的元素取值。 到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。決策。第35頁/共58頁記第記第2層（準(zhǔn)則）對第層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為層（目標(biāo)）的權(quán)向量為(2)(0.263,0.475,0.055,0.

17、090,0.110)Tw同樣求第同樣求第3層層(方案方案)對第對第2層每一元素層每一元素(準(zhǔn)則準(zhǔn)則)的權(quán)向量的權(quán)向量12/15/1212/15211B方案層對方案層對C1(景色景色)的的成對比較陣成對比較陣1383/1138/13/112B方案方案層對層對C2(費(fèi)費(fèi)用用)的的成成對對比比較陣較陣CnBn最大特征根最大特征根 1 =3.005 2 =3.002 5 =3.0 權(quán)向量權(quán)向量 w1(3) w2(3) w5(3) =(0.595，0.277，0.129) =(0.082，0.236，0.682) =(0.166，0.166，0.668)選擇旅游地選擇旅游地第36頁/共58頁第第3層對層

18、對第第2層層的的計(jì)計(jì)算算結(jié)結(jié)果果 w w( (2 2) ) (3)kwk kCI0.2630.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.4750.47530.1420.4290.4290.0550.0553.0090.1750.1930.6330.0900.09030.6680.1660.1660.1100.110組合權(quán)向量組合權(quán)向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通均可通過過一致性一致性檢驗(yàn)檢驗(yàn)方案方案P1對對目目標(biāo)標(biāo)的的組組合合權(quán)權(quán)重重為為0.595 0.263+ =0.300方案方案層對層對目

19、目標(biāo)標(biāo)的的組組合合權(quán)權(quán)向量向量為為 (0.300, 0.246, 0.456)T第37頁/共58頁第38頁/共58頁3計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)對每個(gè)成對比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、對每個(gè)成對比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過，特征向量（歸一隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對比較矩陣?；螅┘礊闄?quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對比較矩陣。第39頁/共58頁4計(jì)算總排序權(quán)向量并做組合一

20、致性檢驗(yàn)計(jì)算總排序權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)1 . 0CR進(jìn)行檢驗(yàn)。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要進(jìn)行檢驗(yàn)。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率CR 較大的成對比較矩陣。較大的成對比較矩陣。mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211利用總排序一致性比率利用總排序一致性比率第40頁/共58頁1.系統(tǒng)性系統(tǒng)性 層次分析法把研究對象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維層次分析法把研究對象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策方式進(jìn)行決策

21、，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。具。 2 .實(shí)用性實(shí)用性 層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實(shí)際問題，應(yīng)用范圍很廣，同傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實(shí)際問題，應(yīng)用范圍很廣，同時(shí)，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策時(shí)，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。第41頁/共58頁3.簡潔性簡潔性 具有中等文化程度的人即可以

22、了解層次分析法的基本原具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計(jì)算也非常簡便，并且所得結(jié)果理并掌握該法的基本步驟，計(jì)算也非常簡便，并且所得結(jié)果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。簡單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1. 囿舊：囿舊：只能從原有的方案中優(yōu)選一個(gè)出來，沒有辦法得出更好的新方案。只能從原有的方案中優(yōu)選一個(gè)出來，沒有辦法得出更好的新方案。第42頁/共58頁2.粗略：粗略：該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計(jì)算過程都是粗糙該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計(jì)算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。的，不適用于精度較高的問題。3.主觀：主觀：從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個(gè)過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的因素對整個(gè)過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。決策者接受。 當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑。徑。第43頁/共58頁第44頁/共58頁C2C3C4C5C6P1P2P3P4P5GC1第45頁