人教版初二數(shù)學(xué)下冊正方形課時(shí)練習(xí)及答案

1、新人教版數(shù)學(xué)八年級下冊18.2.3正方形課時(shí)練習(xí)一.選擇題（共15小題）1 .如圖，4ABC是一個(gè)等腰直角三角形，DEFG是其內(nèi)接正方形，H是正方形的對角線交點(diǎn)；那么，由圖中的線段所構(gòu)成的三角形中相互全等的三角形的對數(shù)為（）A D E BA. 12 B. 13 C. 26 D. 30答案：C知識點(diǎn)：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì) 解析：解答：解：設(shè)AB=3,圖中所有三角形均為等腰直角三角形，其中，斜邊長為 1的有5個(gè), 它們組成10對全等三角形；斜邊長為 花的有6個(gè)，它們組成15對全等三角形；斜邊長為2的有2個(gè)，它們組成1對全等三角形；共計(jì)26對.故選C.分析：根據(jù)全等三角形的

2、判定可以確定全等三角形的對數(shù)，由于圖中全等三角形的對數(shù)較多，可以根據(jù)斜邊長的不同確定對數(shù)，可以做到不重不漏.本題考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記熟全等三角形的判定方法并做到不重不 漏.2 .如圖所示，E. F分別是正方形 ABCD的邊CD, AD上的點(diǎn)，且 CE= DF , AE , BF相 交于點(diǎn)O,下列結(jié)論 AE = BF;AEBF;AO = OE; SAAOB = S四邊形DEOF中，錯(cuò)誤的 有（）A. 1個(gè) B. 2個(gè)C. 3個(gè) D. 4個(gè)答案：A知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)解析：解答：解：二四邊形 ABCD是正方形,.CD =

3、 AD.CE = DF，DE = AFADEA BAF AE = BF, Saade = Sabaf, / DEA = / AFB , / EAD = / FBA 二 Saaob = S 四邊形 deof / ABF + / AFB = / DAE + / DEA = 90° / AFB + / EAF = 90° .AEBF 一定成立.錯(cuò)誤的結(jié)論是： AO=OE.故選A .分析：根據(jù)四邊形 ABCD是正方形及 CE=DF,可證出ADEBAF,則得到： AE = BF ,以及 ADE和 BAF的面積相等，得到；Sz aob = s四邊形deof ；可以證出/ ABO + /

4、 BAO = 90°,則AEBF一定成立.錯(cuò)誤的結(jié)論是： AO=OE.本題考查了全等三角形的判定 和正方形的判定和性質(zhì).3.如圖，在正方形 ABCD中，AB =4, E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，AE交BD于F,過F作FHLAE 于H,過H作GHLBD于G,下列有四個(gè)結(jié)論： AF = FH,/ HAE = 45°,BD = 2FG, CEH的周長為定值，其中正確的結(jié)論有（）A.B.C.D.答案：D 知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì) 解析: 解答：解：（1）連接FC,延長HF交AD于點(diǎn)L,. BD為正方形 ABCD的對角線, ./ ADB =/ CDF = 45°.

5、 AD =CD, DF= DF,ADFA CDF .FC = AF, / ECF=Z DAF . . / ALH +/ LAF = 90°, ./ LHC +Z DAF = 90°. . / ECF = / DAF , ./ FHC = Z FCH ,.FH = FC.FH = AF.(2) FHXAE, FH= AF ,2 .Z HAE =45°.(3)連接AC交BD于點(diǎn)O,可知：BD=2OA,3 / AFO + / GFH = / GHF + / GFH , ./ AFO = Z GHF.4 AF = HF, / AOF = / FGH = 90°,

6、 AOFA FGH .OA = GF.5 .BD=2OA,6 .BD =2FG.(4)延長 AD 至點(diǎn) M ,使 AD =DM ,過點(diǎn) C 作 CI / HL ,則：LI = HC ,根據(jù)MEC0MIC,可得：CE=IM,同理，可得：AL =HE,HE + HC + EC= AL + LI + IM = AM = 8.CEM的周長為8,為定值.故(1) (2) (3) (4)結(jié)論都正確.故選D.DEC分析：(1)作輔助線，延長 HF交AD于點(diǎn)L,連接CF,通過證明ADFCDF,可得： AF=CF,故需證明 FC=FH,可證：AF=FH;(2)由 FHXAE , AF = FH,可得：/ HAE

7、 =45°(3)作輔助線，連接 AC交BD于點(diǎn) O,證BD=2FG,只需證 OA = GF即可，根據(jù) AOFAFGH,可證OA = GF,故可證BD=2FG; (4)作輔助線，延長 AD至點(diǎn)M,使 AD = DM ,過點(diǎn) C 作 CI / HL ,則 IL =HC,可證 AL = HE,再根據(jù)MECA MIC ,可證： CI=IM,故4CEM的周長為邊 AM的長，為定值.解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，在解題過程中要多次利用三角形全等.4 . 一個(gè)圍棋盤由18X18個(gè)邊長為1的正方形小方格組成，一塊邊長為1.5的正方形卡片放在棋盤上，被這塊卡片覆蓋了一部分或全部的小方格共有n個(gè)，

8、則n的最大值是()A. 4B. 6 C. 10D. 12答案：D知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)2</<32解析：解答：解：二.卡片的邊長為1.5, .卡片的對角線長為 且小方格的對角線長 <2 <1.5.故該卡片可以按照如圖所示放置： 圖示為n取最大值的時(shí)候，n=12.分析：要n取最大值，就讓邊長為 1.5的正方形卡片邊與小方格的邊成一定角度.本題考查 的是已知正方形邊長正方形對角線長的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)正方形卡片并且找到合適的位置使得 為最大值，是解題的關(guān)鍵.則/ AMD的度數(shù)是（）A. 75° B. 60°5 .如圖，四邊形 ABCD是正方形，以CD為邊作等邊三角

9、形 CDE, BE與AC相交于點(diǎn)M,C. 54° D. 67.5答案：B 知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì) 解析： 解答：解：如圖，連接 BD, . / BCE = Z BCD +Z DCE = 90O + 60O = 150°, BC = EC, .Z EBC = Z BEC= - (180。-/ BCE) = 152 . / BCM = 1 / BCD = 45°,2 ./ BMC = 180 - (/ BCM +Z EBC) = 120°,/ AMB = 180° -Z BMC = 60°.AC是線段BD的垂直平分線，

10、 M在AC上， ./ AMD =Z AMB =60°故選B.AC為BD的垂直平分線，所以分析：連接BD,根據(jù)BD, AC為正方形的兩條對角線可知 /AMD = AMB ,要求/ AMD ,求/ AMB即可.本題考查的正方形的對角垂直平分的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可以求得/ AMD =/ AMB ,確定AC和BD垂直平分是解題的關(guān)鍵.6.在平面直角坐標(biāo)系中，稱橫.縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)，如下圖所示的正方形內(nèi)（包括邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（答案：DD. 25知識點(diǎn):正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解析:解答：解：正方形邊上的整點(diǎn)為（0,3）、（1,2）、 （2, 1）、 （3,0）、（4,5）

11、、（5,4） 、 （ 6, 3） 、 （ 4, 1） 、 （5,2）、 （1,4）、（2,5）、（ 3,6）;在其內(nèi)的整點(diǎn)有（1,3）、 （2,2）、（2,3）、（2,4）、 （3, 1）、 （3, 2）、 （3,3）、（3, 4） 、 （ 3, 5） 、 （ 4, 2） 、 （4, 3） 、 （ 4, 4） 、 （ 5, 3）.故選D.分析：根據(jù)正方形邊長的計(jì)算， 計(jì)算出邊長上的整點(diǎn)， 并且根據(jù)邊長的坐標(biāo)找出在正方形范 圍內(nèi)的整點(diǎn).本題考查的是正方形四條邊上整點(diǎn)的計(jì)算， 找到每條邊上整點(diǎn)變化的規(guī)律是解 本題的關(guān)鍵.7.在同一平面上，正方形 ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)到直線l的距離只取四個(gè)值，其中一個(gè)

12、值是另一個(gè)值的3倍，這樣的直線l可以有（）A. 4 條 B. 8 條C. 12 條 D. 16 條答案：D知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；點(diǎn)到直線的距離解析：卜圖虛線所示直線均符合題目要求.分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，一個(gè)值為另一個(gè)值的解答：解：符合題目要求的一共16條直線，3倍，所以本題需要分類討論，該直線切本題考查了分類討論F為BP中點(diǎn)，則F到割正方形，確定直線的位置；該直線在正方形外，確定直線的位置. 計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，找到直線的位置是解題的關(guān)鍵.8.如圖，正方形ABCD的邊長為1, E為AD中點(diǎn)，P為CE中點(diǎn),2D.16答案：D知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的面積解析：解答：解：連接DP,Sa BD

13、P = SA BDC - SA DPC - SA BPCIxix1 1X1X 工1一，8,F為BP的中點(diǎn)，P到BD的距離為F到BD的距離的2倍.SABDP = 2SA BDF ，.e 1SA BDF ,16設(shè)F至ij BD的距離為h,11根據(jù)二角形面積計(jì)算公式，SABDF = _ X BD X h=-,216故選D.E分析：圖中，F(xiàn)為BP的中點(diǎn)，所以SAbdp=2SAbdf,所以要求F到BD的距離，求出P到BD的距離即可.本題考查的是轉(zhuǎn)化思想， 先求三角形的面積， 再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式, 計(jì)算三角形的高，即 F至ij BD的距離.9.搬進(jìn)新居后，小杰自己動(dòng)手用彩塑紙做了一個(gè)如圖所示的正方形

14、的掛式小飾品ABCD ,彩線BD. AN . CM將正方形ABCD分成六部分，其中 M是AB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn), AN與CM交于。點(diǎn).已知正方形ABCD的面積為576cm2,則被分隔開的4CON的面積為 ( )BDA. 96cm2B. 48cm2C. 24cm2D.以上都不對答案：B知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì)解析：解答：解：找到 CD的中點(diǎn) 巳 找到AD的中點(diǎn)F,連接CF, AE ,則 CM / EA, AN / FC, BOM BKA ,BO BM1=一,BKBA2DKDF1同理可證： =,DODA2故 DK= KO = OB, .BOC和ABOA的面積和

15、為 1正方形ABCD的面積，3 ，CN = NB=AM = BM , OCN的面積為lBOC和ABOA的面積和，4.OCN 的面積為 576 = 48cm2,12故選B.D分析：先證明 BO為正方形 ABCD的對角線 BD的1 ,再求證CNO, NBO , AAMO ,31 BMO的面積相等，即 4CON的面積為正方形面積的 一.本題考查了正萬形內(nèi)中位線的12應(yīng)用，考查了正方形四邊均相等的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求證BO= - BD, AOCN的面積3、，1為一 BOC和 BOA的面積和.410.如圖，正方形 ABCD的對角線 AC與BD相交于O點(diǎn)，在BD上截取BE = BC,連接 CE,點(diǎn)P是C

16、E上任意一點(diǎn)，PMLBD于M, PNLBC于N,若正方形 ABCD的邊長為1, 則 PM+ PN=()A. 1B, <2 C。； D. 1+ V2答案：C知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)，三角形的面積解析：解答：解：連接 BP,作EH ± BC ,則PM. PN分別為4BPE和4BCP的高，且底邊長均為1,Sa BCE = 12 - SACDE，22 一.DE = BD BE = Je 1, 4CDE 中 CD 邊上的圖為 （J21）, szcde = CDX 2SA BCE = 1 SACDE2又 SA BCE = SA BPe+ Sabpc=4？BC? （PM +PN）-2PM + P

17、N = 2ZZ X 0 = 21.4已2故選C.分析：連接BP, PM. PN分別為4BPE和4BCP的高，且底邊長均為 1,因此根據(jù)面積計(jì)算方法可以求PM + PN.本題考查的用求三角形面積的方法求三角形的高的轉(zhuǎn)化思想，考查 正方形對角線互相垂直且對角線即角平分線的性質(zhì)，面積轉(zhuǎn)換思想是解決本題的關(guān)鍵.11.頂點(diǎn)為 A (6, 6) , B ( 4, 3) , C ( 1, 7) , D (9, 4)的正方形在第一象限的面積是()A. 25 B. 36 C. 49 D. 30答案：B知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形的面積解析：解答：解：連接OA,過A . D兩點(diǎn)的直線方程是 2二6

18、二%二6 ,即y= _ !° x + 16,解得它與x軸的交點(diǎn)E的 -4-6 9-63橫坐標(biāo)是x=7.8,3同理求得過A . B兩點(diǎn)的直線萬程是 y=x+4.2,解得它與y軸的交點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是y10=4.2,. c1、， ' S/aoe = X 7.8X 6= 23.4,2Sa afo = 1 X4.2X6=12.6,2Saaoe+ Sa afo = 23.4+12.6=36,即頂點(diǎn)為 A (6, 6) , B ( 4, 3) , C ( 1 , 7),36.AD的方程，由方程式知 AD與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，同理求得 AB與y軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，連接 OA ,再去求兩個(gè)三角形的

19、面積，從而求得E. F在坐標(biāo)軸上正方形在第一象限的面積. 解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì).注意在正方形中的特殊 三角形的應(yīng)用，利用直角三角形求面積，在本題中，借助直線方程求的點(diǎn)的坐標(biāo)，據(jù)此解得所求三角形的邊長，代入面積公式求得結(jié)果. BPC是等邊三角形，則 4BPD的面積為（3-1B.41C. 一82 3-1D.8答案：B 知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的面積；等邊三角形的性質(zhì) 解析: 解答：解：ABPD的面積等于 4BCP和4CDP面積和減去 BCD的面積因此本題求解 BCP. 4CDP面積和4BCD的面積即可,1Sa bcp 12Sa bcd = -X1X1=,22.S _ J3j_i_

20、51 Sa bpd - 十 .4424故選B.分析：根據(jù)三角形面積計(jì)算公式， 找到BPD的面積等于4BCP和4CDP面積和減去 4BCD 的面積的等量關(guān)系，并進(jìn)行求解.本題考查了三角形面積的計(jì)算，考查了正方形對角線平分正方形為2個(gè)全等的等腰直角三角形.解決本題的關(guān)鍵是找到4BPD的面積等于4BCP和 CDP面積和減去4BCD的面積的等量關(guān)系.13.如圖，正方形 ABCD的面積為16, AABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形 ABCD內(nèi)，在對角線BD上有一點(diǎn)P,使PC + PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）DCA. 4 B. 23C. 2 <6 D, 2答案：A解析：DC知識點(diǎn)：軸對稱一最短路

21、線問題；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)AB解答：解：正方形ABCD ,.-.AC ±BD , OA = OC,.C. A關(guān)于BD對稱， 即C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)是 A , 連接AE交BD于P,則此時(shí)EP+ CP的值最小，,. C. A關(guān)于BD對稱，.CP = AP,.EP + CP = AE ,.等邊三角形ABE,，EP + CP = AE =AB ,正方形ABCD的面積為16,.AB =4,，EP + CP = 4,故選A .分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，推出 C. A關(guān)于BD對稱，推出CP = AP,推出EP+CP=AE, 根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出AE=AB = EP+ CP,根據(jù)正方形面積

22、公式求出AB即可.本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱一最短問題，等邊三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是確定P的位置和求出EP+ CP的最小值是AE,題目比較典型，但有一定的難度，主要培 養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.14.如圖是一張矢I形紙片 ABCD , AD = 10cm,若將紙片沿 DE折疊，使DC落在DA上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) F,若BE = 6cm,則CD =（）D.10cm答案：A知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題） 解析：解答：解：.四邊形 CEFD 是正方形，AD =BC=10cm, BE= 6cm, . CE= EF= CD= 10 6 = 4(cm).分析：根據(jù)正

23、方形的性質(zhì)，即可輕松解答.15.如圖，菱形ABCD中，/B=60°, AB = 4,則以AC為邊的正方形 ACEF的周長為（）A.14B.15C.16D.17答案：C知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)解析：解答：解：四邊形 ABCD是菱形，. AB=BC, 一/ B=60° , /. ABC是等邊三角形,.AC =AB =4, .正方形 ACEF 的周長是 AC + CE + EF+FA = 4X 4= 16.分析：根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)，即可輕松解答.填空題（共5小題）1 .如圖所示，將五個(gè)邊長都為 1cm的正方形按如圖所示擺放，其中點(diǎn)A、B、C、D分別是正方形對角線的交點(diǎn)

24、、如果有n個(gè)這樣大小的正方形這樣擺放， 則陰影面積的總和是知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；探索圖形規(guī)律 解析: 解答：解：二點(diǎn) A、 B、C、D分別是正方形對角線的交點(diǎn)，兩個(gè)三角形之間的陰影面積為正方形總面積的當(dāng)有三個(gè)三角形時(shí)，其面積為1+1 = 2444當(dāng)有四個(gè)時(shí)，其面積為1十=3所以當(dāng)n個(gè)三角形時(shí),其面積為n -1分析：求面積問題，因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C、D分別是正方形對角線的交點(diǎn)，所以兩個(gè)三角形之間的陰影面積為正方形總面積的1,由此便可求解.熟練掌握正方形的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用正方4形的性質(zhì)進(jìn)行一些簡單的計(jì)算問題.2 .如圖，以矩形 OABC的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸,建立平面直

25、角坐標(biāo)系、 已知OA=3,OC=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn) D,將ABDA 沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，若在y軸上存在點(diǎn)P,且滿足FE= FP,則P 點(diǎn)坐標(biāo)為.O D答案：（0, 4）或（0, 0）知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)解析：解答：解：連接 EF, OA=3, OC= 2, AB =2, 點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，BE= 1, . BF = AB , .1. CF=BE=1, . FE=FP,RtA FCPRtAFBE,.-.PC = BF= 2, .P點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 4）或（0, 0）, 即圖中的點(diǎn)P和點(diǎn)P'.故答案為：（0, 4）

26、 , （0, 0）O D是兩個(gè)正方形的中心，則陰影部分的面積為A分析：連接EF, CF=BE=1,若EF=FP,顯然RtAFCP RtAFBE,由此確定 CP的長.本題考查了三角形翻折前后的不變量，利用三角形的全等解決問題.3.如圖，邊長為 a的正方形 ABCD和邊長為b的正方形BEFG排放在一起，Oi和O2分別,線段O1O2的長為、11c c答案：ab42(a+b2)42知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)解析： 解答：解：做 OiH / AE,使O2H，OiH,交BG于P, K點(diǎn),(1) BP=la,2a又; O2H±HOi,.KP / HO2, . PKO1s

27、 HO2O3KPPOia=,HO2 HOia ba b -a ab - a2KP =m=，a+b 22(a+b)2,a b、1a ab - a a b2 20，一1陰影部分的面積=1 XBKX2理也. ，84a b b -a(2) H01 = , HO2=,根據(jù)勾股定理。1。2= . HO12 HO；a2 b2 =2=<2(a2 +b2).22個(gè)三角形面積即可；線段分析：陰影部分的面積可以看成兩個(gè)三角形面積之和，所以求O1O2的長根據(jù)勾股定理求解.本題考查的相似三角形的證明即對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，考查了根據(jù)勾股定理計(jì)算直角三角形斜邊的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形

28、HOiO2.4.已知正方形 ABCD在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn) A (0, 1),點(diǎn)B (0, 0),則點(diǎn)C, D坐標(biāo)分別為 和.(只寫一組)答案： (1,0)和(1,1)知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解析：解答：解：二.正方形 ABCD的點(diǎn)A (0, 1),點(diǎn)B (0, 0),.BD/x軸，AC /x軸，這樣畫出正方形，即可得出C與D的坐標(biāo)，分別為：C (1, 0) , D (1, 1).故答案為：(1,0), (1,1).邱1-iDB C -分析：首先根據(jù)正方形 ABCD的點(diǎn)A (0, 1),點(diǎn)B (0, 0),在坐標(biāo)系內(nèi)找出這兩點(diǎn)， 根據(jù)正方形各邊相等，從而可以確定 C, D的坐標(biāo).本題主

29、要考查了正方形的性質(zhì)與坐標(biāo)內(nèi) 圖形的性質(zhì)，確定已知點(diǎn)的坐標(biāo)， 從而根據(jù)正方形的性質(zhì)， 確定其它頂點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題 的關(guān)鍵.5.如圖，在一個(gè)正方形被分成三十六個(gè)面積均為1的小正方形，點(diǎn)A與點(diǎn)B在兩個(gè)格點(diǎn)上.在格點(diǎn)上存在點(diǎn)C,使4ABC的面積為2,則這樣的點(diǎn)C有 個(gè).答案：5 知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；三角形的面積 解析: 解答：解：圖中標(biāo)出的 5個(gè)點(diǎn)均為符合題意的點(diǎn).分析：要使得ZABC的面積為2,即S= ah,則使得a= 2、h = 2或者a=4、b= 1即可,2在圖示方格紙中找出 C點(diǎn)即可.本題考查了正方形各邊長相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計(jì)算公式，本題中正確地找全C點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考生容易

30、漏掉一個(gè)或者幾個(gè)答案.三.解答題(共5小題)1 .如圖，在正方形 ABCD中，對角線 AC與BD相交于點(diǎn) O, AF平分/ BAC ,交BD于點(diǎn)F.一 一 1 一(1)求證：AB OF =_ AC ；2(2)點(diǎn)Ai、點(diǎn)Ci分別同時(shí)從A、C兩點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度運(yùn)動(dòng)相同的時(shí)間后同時(shí)停止，如圖，AiFi平分/ BAiCi,交BD于點(diǎn)Fi,過點(diǎn)Fi作FiEXAiCi,垂足為E,請猜想EF1,-1 4AB與ACi三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；2(3)在(2)的條件下，當(dāng) AiEi = 6, CiEi = 4時(shí)，則BD的長為.答案：(i)見解析 ABEFi=AiCi (3) 7/22知識點(diǎn)：正方形

31、的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理 解析：解答：解：(i)過 F作 FG± AB 于 G,AF 平分/ CAB , FOX AC, FGXAB , .OF=FG,. /AOF = /AGF= 90°, AF=AF, OF=FG,AOFA AGF,.AO =AG ,直角三角形 BGF中，/ DGA =45°,.-.fg=bg = of,.AB =AG + BG = AO+ OF=1AC +OF,2.AB OFAC.2過Fi作FiGi±AiB,過Fi作FiHi±BCi,則四邊形FGiBHi是矩形. 同(1)可得EFi = FiG,因此四邊形F

32、iGiBHi是正方形.1 1 EF i = GiFi = FiHi >即：Fi是三角形AiBCi的內(nèi)心，.-.EF (AiB+BCi-AiCi ) +2- AiB+BCi= AB +AiA+ BC-CCi,而 CCi = AA, AiB+ BCi= 2AB , 因此式可寫成：EFi= ( 2AB -AiCi)登，即 AB EFiAiCi(3)由(2)得，F(xiàn)i是三角形AiBCi的內(nèi)心，且Ei、Gi、Hi都是切點(diǎn). AiE= ( AiCi + AiBBCi)妥，如果設(shè) CCi = AiA=x,AiE=AiCi+ (AB+x) (ABx) -2= (i0 + 2x)妥=6, . . x = i

33、,在直角三角形 AiBCi中，根據(jù)勾股定理有 AiB2+BCi2= ACi2即：(AB + i) 2+ (AB i) 2=i00,解得AB = 7, .BD = 772.分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來求解，過F作FGXAB于G,那么可通過角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出OF= FG,通過全等三角形 AOF和AGF可得出AO = AG ,那么AB=AO+OF,而AC = 2OA,由此可得證；（2）本題作輔助線的方法與（1）類似，過Fi作FiGi±AB , FiHi±BC,那么可證得四邊 形FiGiBHi是正方形，EFi= FiGi= FiHi,那么可得出Fi就是三角形

34、AiBCi的內(nèi)心，根據(jù)直 角三角形的內(nèi)心公式可得出 EFi= （AiB+BCiAiCi）及，然后根據(jù)用AB分別表示出AiB, BCi,最后經(jīng)過化簡即可得出 AB -EFi = lAiCi；2（3）求BD的長，首先要求出 AB的長，本題可借助（2）中，F(xiàn)i是三角形AiBCi的內(nèi)心來 解，那么我們不難看出 巳Gi, Hi都應(yīng)該是切點(diǎn)，根據(jù)切線長定理不難得出AiE + AiGi =AiCi + AiB-CiE-BGi,由于 CiE=CiHi, BGi = BHi, AiE = AiGi 因此式子可寫成 2A1E = AiCi + AiB-BCi,而（AiB BCi）正好等于2A iA ,由此可求出

35、AiA的長，那么可根據(jù)勾 股定理用AB表示出兩條直角邊，求出 AB的長，然后即可得出 BD的值.本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)接圓與內(nèi)心等知識點(diǎn)，要注意的是后兩問中， 結(jié)合圓的知識來解會(huì)使問題更簡單.2.已知：如圖，點(diǎn) E是正方形 ABCD的邊CD上一點(diǎn)，點(diǎn) F是CB的延長線上一點(diǎn)，且答案：見解析知識點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)解析：解答：證明：. / FAB + / BAE = 90°, Z DAE +Z BAE =90°,/ FAB = / DAE , Z AB = AD , / ABF = / ADE ,AFBAADE ,.DE = BF.分析：由

36、同角的余角相等知，/ FAB = /DAE,由正方形的性質(zhì)知，/ AB=AD, / ABF =/ADE =90°,則ASA證得AFBA ADE? DE = BF.此題即考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算又考查了正方形的性質(zhì).學(xué)生對學(xué)過的知識要系統(tǒng)起來.3 .如圖，點(diǎn) E、F分別在正方形 ABCD 的邊DC、BC上，AG XEF,垂足為 G,且AG = AB ,則/ EAF為多少度.答案：45°知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)解析：解答：解：在 RtAABF 與 RtAAGF 中，/ AB = AG , AF =AF, Z B = Z G = 90°,ABFAAGF (

37、HL ),/ BAF = / GAF ,同理易得： AAGEADE,有/ GAE = / DAE ;即/ EAF = / EAG +/ FAG =1/ DAG +1/ BAG =1/ DAB =45°,222故/ EAF = 45° .分析：根據(jù)角平分線的判定，可得出ABFAGF ,故有/ BAF =/ GAF ,再證明AGEA ADE ,有/ GAE = / DAE ;所以可求/ EAF = 45 °,主要考查了正方形的性質(zhì)和全 等三角形的判定.4 .如圖，正方形 ABCD中，AB=/§,點(diǎn)E、F分別在 BC、CD上，且/ BAE = 30°

38、, / DAF =15 度.(1)求證：DF+BE=EF;(2)求/ EFC的度數(shù);(3)求4AEF的面積.5 E ,答案：(1)見解析 (2) 30°(3) 3-<3知識點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)解析：解答：解：(1)延長EB至G,使BG = DF,連接AG , 正方形ABCD ,AB = AD , / ABG = / ADF = / BAD = 90°, .BG = DF,ABGA ADF ,.AG = AF , . / BAE =30°, / DAF = 15°, ./ FAE = Z GAE =45°, . AE = A