高等數(shù)學-D1習題課(黑白)

1、整理版ppt1二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 一、一、 函數(shù)函數(shù) 三、三、 極限極限 習題課習題課函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第一章第一章 整理版ppt2)(xfy yxOD一、一、 函數(shù)函數(shù)1. 概念概念定義定義:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定義域定義域 值域值域圖形圖形:DxxfyyxC, )(),( 一般為曲線一般為曲線 )設(shè)設(shè)函數(shù)為特殊的映射函數(shù)為特殊的映射:其中其中DR 整理版ppt32. 特性特性有界性有界性 , 單調(diào)性單調(diào)性 , 奇偶性奇偶性 , 周期性周期性3. 反函數(shù)反函數(shù))(:DfDf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)為單射為單射, 反函數(shù)為其逆映射反函數(shù)為其逆映射DDff)(:1

2、4. 復合函數(shù)復合函數(shù)給定函數(shù)鏈給定函數(shù)鏈)(:11DfDf1)(:DDgDg則復合函數(shù)為則復合函數(shù)為 )(:DgfDgf5. 初等函數(shù)初等函數(shù)有限個有限個常數(shù)及基本初等函數(shù)常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)經(jīng)有限次有限次四則運算與四則運算與復合而成的復合而成的一個一個表達式的函數(shù)表達式的函數(shù).)(1DfD)(Dgg1Dfgf 整理版ppt4思考與練習思考與練習1. 下列各組函數(shù)是否相同下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么為什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx與axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax與0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 與

3、相同相同相同相同相同相同整理版ppt52. 下列各種關(guān)系式表示的下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為是否為 x 的函數(shù)的函數(shù)? 為什么為什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y整理版ppt60 x0,10,1)()4(33xxxxxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xx1, 11, 13xx1) 1(32xx,16x1xRx3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù)下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么為什么 ?0,0,)() 1 (xx

4、xxxf2x以上各函數(shù)都是初等函數(shù)以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .整理版ppt74. 設(shè)設(shè),0)(,1)(,e)(2xxxfxfx且求求)(x及其定義域及其定義域 .5. 已知已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求求. )5(f6. 設(shè)設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求求. )(xf由由)(2exx1得得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2整理版ppt8 f5. 已知已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求求. )5(f解解:)5(f)( f310)10(f)(7f f)12(f)( f312)(9f66. 設(shè)設(shè),coscsc)si

5、n1(sin22xxxxf求求. )(xf解解:1sinsin1)sin1(sin22xxxxf3)sin1(sin2xx3)(2xxf整理版ppt9二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷1. 函數(shù)連續(xù)的等價形式函數(shù)連續(xù)的等價形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時當 xx有有)()(0 xfxf2. 函數(shù)間斷點函數(shù)間斷點第一類間斷點第一類間斷點第二類間斷點第二類間斷點可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點無窮間斷點無窮間斷點振蕩間斷點振蕩間斷點整理版ppt10有界定理有界定理 ; 最值定理最值定理 ; 零點

6、定理零點定理 ; 介值定理介值定理 .3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例例1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在在 x = 0 連續(xù)連續(xù) , 則則 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e整理版ppt11) 1)(e)(xaxbxfx有無窮間斷點有無窮間斷點0 x及可去間斷點及可去間斷點, 1x解解:為無窮間斷點為無窮間斷點,0 x) 1)(elim0 xaxbxx所以所以bxaxxxe) 1)(lim0ba101

7、,0ba為可去間斷點為可去間斷點 ,1x) 1(elim1xxbxx極限存在極限存在0)(elim1bxxeelim1xxb例例2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 及及 b .整理版ppt12例例3. 設(shè)設(shè) f (x) 定義在區(qū)間定義在區(qū)間),(上上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若若 f (x) 在在連續(xù)連續(xù),0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf閱讀與練習閱讀與練習且對任意實數(shù)且對任意實數(shù)證明證明 f (x) 對一切對一切 x 都連續(xù)都連續(xù) .P65 題題 1 , 3(2) ; P74 題題 * *6整理版p

8、pt13證證:P74 題題* *6. 證明證明: 若若 令令,)(limAxfx則給定則給定,0,0X當當Xx 時時, 有有AxfA)(又又, ,)(XXCxf根據(jù)有界性定理根據(jù)有界性定理,01M, 使使,)(1XXxMxf取取1,maxMAAM則則),(,)(xMxf)(xf在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),)(limxfx存在存在, 則則)(xf必在必在),(內(nèi)有界內(nèi)有界.)(xfXXA1MOyx整理版ppt140)()()(212xfxff上連續(xù)上連續(xù) , 且恒為正且恒為正 ,例例4. 設(shè)設(shè))(xf在在,ba對任意的對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點必存在一點證證:, ,21xx使

9、使. )()()(21xfxff令令)()()()(212xfxfxfxF, 則則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使使,)()(21時當xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點定理知故由零點定理知 , 存在存在, ),(21xx,0)(F即即. )()()(21xfxff,)()(21時當xfxf,21xx或取)()()(21xfxff證明證明:, 0)(F則有即即 整理版ppt15上連續(xù)上連續(xù), 且且 a c d b ,例例5. 設(shè)設(shè))(xf在在,ba必有一點必有一點證

10、證:, ,ba使使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即即由介值定理由介值定理,使存在, ,ba證明證明:Mnmdfncfmm)()()()()()(fnmdfncfm,m及最小值故故 即即 mnm)(Mnm)(整理版ppt16三、三、 極限極限1. 極限定義的等價形式極限定義的等價形式 (以以 為例為例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即即 為無窮小為無窮小)Axf)(, )(0 xxxnnn有有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(002. 極限存在準則及

11、極限運算法則極限存在準則及極限運算法則整理版ppt173. 無窮小無窮小無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì) ; 無窮小的比較無窮小的比較 ;常用等價無窮小常用等價無窮小: 4. 兩個重要極限兩個重要極限 6. 判斷極限不存在的方法（函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系）判斷極限不存在的方法（函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系） sin xxtanxxcos1x221xarctanxxarcsin xx)1ln(xx1e xx1xaaxln1)1 (xx5. 求極限的基本方法求極限的基本方法 ( 極限運算法則，變形為重要極限）極限運算法則，變形為重要極限）1sinlim) 1 (01)11 (lim)2(0或或10lim(1)e注

12、注: 代表相同的表達式代表相同的表達式整理版ppt18例例6. 求下列極限：求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小無窮小有界有界整理版ppt19令令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12整理版ppt200lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(exxxx1212)1(ln2e則有則有)()(1li

13、m0 xvxxxu復習復習: 若若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1整理版ppt21Oxy331xy例例7. 確定常數(shù)確定常數(shù) a , b , 使使0)1(lim33bxaxx解解: 原式可變形為原式可變形為0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故故,01a于是于是,1a而而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy整理版ppt22例例9. 當當0 x時時,32xx 是是x的幾階無窮小的幾階無窮小?解解: 設(shè)其為設(shè)

14、其為 x 的的 k 階無窮小階無窮小,則則kxxxx320lim0C因因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故故61k整理版ppt23閱讀與練習閱讀與練習1. 求求的間斷點的間斷點, 并判別其類型并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類為第一類可去間斷點可去間斷點)(lim1xfx x = 1 為第二類為第二類無窮間斷點無窮間斷點, 1)(lim0 xfx1)(lim0 xfx x = 0 為第一類為第一類跳躍間斷點跳躍間斷點整理版ppt24 2. 求求.sine1e2lim410 xxxxx解解:xxxxxsine1e2lim410 xxxxxxsin1ee2lim4340e1xxxxxsine1e2lim