第4章 拉格朗日力學

1、第第4 4章章 拉格朗日力學拉格朗日力學(1,2,.,3 )ix in 111222( ,),(,),.,(,)nnnx y zx y zx y z()12nr ,r ,.,r 222( , )0f x yxyl3n12( , ,., , )0, 1,2,.nftkr rr00Rxycc-ABAABAxxxyyy1212( , ,., , , ,., , )0, 1,2,.nnftrr rr r rr vM12( ,.,)0, 1,2,.nfkr rr1212( ,., ,.,)0, 1,2,.nnfrr rr r rr 2220()xylvt1212( , ,., , , ,., , )0,

2、 or 0nnftr rr r rr 222xyl222xylABAABAxxxyyy0000CCCCyxRyRxR可以積分為222121212()()()xxyyzzl12( ,)sq qq121212( , )( , ) (i=1,2,.,n)( , )iisiisiisxx q qq tyy q qq tzz q qq t( ,) (1,2,., )iiix y zin12( ,)sq qqsincosxlyl222xyl22xxylxab1122sincossinsincoscosxayaxabyabdrrdtttdtdr0tSSrFW,iRiiniFiFiri設系統(tǒng)由 質點組成 對于

3、第 個質點表示第 個質點受到的主動力之和表示第 個質點受到的被動力(或約束力)之和表示第 個質點的虛位移 則系統(tǒng)所有主動力的虛功之和為iniirFW11111nssniiiiaiiarrWFqFqqqQq 1 1,2. ()siirrqinq已計及 t=012(,., ) 1,2,.iisrr q qq tin1 ( =1,2.s)niiirQFq1212( , , )( , )nsVV r rr tV q qq t iiixiyiziiiVVVFVFFFxyz ；11nniiiiiiiiiirxyzVVVVQFqxqyqzqq 01iniiRrFNiririrN0irNNir0d irN線、

4、面靜止，線、面靜止，0d irN線線、面面運運動動，NfP0Pv0Pr0PPrfrNN00 PPrNr 1N2N2211rNrN121rN0112Nr12O1r2r12r1RF2RF21RRFF2211rFrFWRR121rFR01m2m1TF2TF2211rFrFWTT00211rrFT0繩繩子子不不可可伸伸長長001iniirF0RiiFFni,.,2 , 10)(iRiirFFni,.2 , 1011iniRiiniirFrF01iniirF01iniirF011iniRiiniirFrF0dd11iniRiiniirFrF0ddd11iniRiiniirFrFT常常量量T110nsii

5、iFrQqq0 1,2,Qsir qVQ0 1,2,Vsq01iniirF0 1,2,Qs0 1,2,Vsq1.1.質點在一維保守力場中的靜平衡及其穩(wěn)定性質點在一維保守力場中的靜平衡及其穩(wěn)定性0dVdq0qQ 0FR22d0dBVq22d0dAVq near CVconst22d0dDVq* * *2.2.一般質點系的平衡一般質點系的平衡0; =1,2.sVq10sVVqqF224s2211,qqAl1FOxy12Bl2Al1Bl2FOxy12112230iiiFrm grm grFr032211xFygmygm111cos2ly 22112cos2coslly22113sinsinllx11

6、11sin2ly2221112sin2sinlly2221113coscosllxFgmgm,21(x3,y3)11121112222211cossinsincossin22Fm gm glFm gl 12由于和互相獨立，它們前面的系數(shù)(即廣義力)應該為零 111121222221(cossinsin )021(cossin)02QFm gm glQFm glgmFgmmF221212arctan22arctan yxdDBd FTFTAo0TBcTDFxP yFxsin, 2 coscotBDcxlxyld 2cos, 2 sincscBDcxlxyld () 0iiTBTDCiFrFrFr

7、Pr yxdDBd FTFTAo22cos2sincsc0TF llPdP3tancsc12TdFPlROzx0coscosgVmgRlgR201(2sin)2sVkRl0VQ 002sincossin22lglkRR2001cos(2sin)2sgVVVlgRkRl00sin(2sin)2cos0lgkRlR02sin0Rl1212112(,., )(,.,.,)siiiiskksksiq qqrrdrr q qq tr q qqtdtqqtkkdqqdt,iiiktqrrrq , q q kkddq dtdtqkqddt1211(,., )ssiiiisikkkkkkrrdrr q qq

8、trdtqtqqqtdddtdtt0ddtdd2121121(,.,., )2ni isisq qTrqqmT qqt11innii iiikkkiTTmrrrqqrq11ninkkkii iiiirrrrmqTqqT111110nssni iki ikikkskkkkikkmqmqQqQqqiirrrr1siikkkrrqq1 (1,2,. )kni iikQksmqirrkq areindependentiiki iiiiiikkkiiirrdQmrmmqqdrdtqrrdtiiiiiiikikrdrrdtrmmqqkkqddTtqT1iikniikqrrmqT1ni ikiikTmqrr

9、q 1,2,.kkkTTQkqsdqdt0 1,2,.kkddtLsqLkqABm1m2m3l0q1q2xOl0s12 1 2 ABm1m2m3l0q1q2xORzezeRzezexygRgRgRo/213gRmmsincosyhsrm ccxxyconstcotcossin xxhsr()APPMsr1CVsrmcoscossinsin0ccxxsxrysrxxy cot()cossin ()sincos ccxxhrryhrrxxyconst21122cccTTTmvI221122cTmvmv221122zzzTII221122cCTmvIm(), cotcossin, cossincos

10、 , sinsrsrrxxhsrxxsyhsrys 222(cos)(sin)vxss (), srsrrms x , ,sincosZzZXYZeeejk 000解： 本例幾乎是“對稱重陀螺定點轉動”的特例。選取部分隨動坐標系 O-xyz（即不隨剛體自轉的主軸坐標系），固定坐標系取為O-, Ox軸在OXY 平面內， OZ軸保持在Oyz 平面內。顯然 確定了鉛筆自轉軸的方位,自轉角確定鉛筆的自旋位置，作為本題的廣義坐標。初始時刻鉛筆豎直,角速度 =OXYZmg 222*2222*2*sin( cos)()2211(sin)( cos)cos22-sincoZxyzzxyzziekijkijkJ

11、JTVJJmgldLLJJdt鉛筆在任意時刻的角速度：剛體定點運動時的拉氏函數(shù)為：對應 的拉氏方程：s( cos) sinsin0zJmgl 2*000222*sin( cos)cos( cos)0()22zzzzzzxyzLpJJJLpJJtLtJJETVV其余兩個廣義坐標 ，都是循環(huán)坐標，具有廣義動量積分。這里已經(jīng)利用初始條件： , =0, 因為=0, 穩(wěn)定約束，所以我們還可以利用能量初積分2222*002*2222*222220*02*2*11(sin)( cos)cos22(1 cos )cossin11(sin)( cos)cos22(1 cos )11cos22sin21+U( )

12、2zzzzzJJmglJJEJJmglJJJmglJJ運用上面的初積分化簡: ; 我們2222002*(1 cos )1( )cos2sin2zzJUJmglJ這里主要關心運動的穩(wěn)定性，所以可以運用有效勢能的概念，222030*2222024*22202*00(1 cos )( )( )sin 0sin0cos(1 cos )( )cossin( )4zzzJdUdUmgldJdJd UmgldJJd UmgldJ要研究鉛筆豎直轉動是否穩(wěn)定，只需檢驗有效勢能在是否為極小值。；所以確實是平衡點，下面考慮二階導數(shù)：（2）2222z*02200.080(/16/3)/38 0.8,10,2100/

13、,/25( )(194000)0 0mJdmJm dsmsdcm scmrad s lscmd Umd鉛筆當作長桿或圓柱體看待，其轉動慣量分別為；鉛筆：所以勢能為極大點，不穩(wěn)定，稍遇微擾即傾倒。222211()22Tm RRMz222211()()22Lm RRMRMg Rl2()0dLLmM RmRMgdtRR22()0dLLdmRdtdtzRlzR()VMgzMg Rl222222222211()()2211(cos )(sin )2211()cos22MMmmTM xym xyMxmxllmM xmlmlx(cos )sinmMvvl exil exliljcosVmgl lmMoxie

14、xy, 0; , 0;sin , cos ; cos , sinMMMMmmmmxxyxxyxxlylxxlyl 221122mTMxmv22211()coscos22LmM xmlmlxmgl()cos0dLLdmM xmldtxxdt22(cos )sinsincossin0dLLdmlmlxmlxmgldtdtmlmlxmgl()cosmM xmlconstant2022211()cos22c1()os2TmM xmlmlxlxVkxmg mMvvl e2222011()coscos221()2LmM xmlmlxmglk xxlmMo20()cos()0dLLdmM xmlk xxdt

15、xxdt22(cos )sinsincossin0dLLdmlmlxmlxmgldtdtmlmlxmglk22222200221(co11cos2s)coscos22cosTmxmlmlxVm xtlmltglm xmMvvl e22222001(cos)coscoscos2Lm xtlmlxtmgllmMo200220(coscos )cossinsinsincossin0dLLdmlmlxtmlxtmgldtdtmlmlxtmgl0sinxxt( , ).(0), (0)f q qconstf qq0jLq.jjLpconstq0jjdLLdtqq0jdLdtq0Lt11ssjjjjjjL

16、qLp qLHconstq222101111122nnsiii iiiirrTmrmTTTqtq12(,., )iisrr q qq t11212(,.,., )siiisisrrrr q qqqqtqtqq2111,11,11122nsssnsiiiiiiiirrrrTmmAqqqqqqq qq q 111111nssnsiiiiiiiirrrrTmmBqtqqqtq 20112niiirTmt1020, 0, irTTTTtiiifxmfx021211112; 2 ; 0sssTTTqTqTqqqq2111222()sssTLTHqLqLqLqqqTLTTVTVE常量2100, irTTT

17、Tt1102111121212102022()sssssLTHqLqLqqTTTqqqLqqqTTLTTTTTVTTV常量dddtdt1siiikkkqrrrqt2112ni iiTmrmx( )rVrFVeF rrr ( ,)r2222211()()22Tm xym rr0dLLdtrr0dLLdt22; ; ; 0LLdVLLm rm rm rrrdr2()0dVm rrdr2(2)0dmrmrrrdt2221()( )2Lm rrV r 0L2Lpmrh 0Lt2221()( )2m rrV rE2()0dVm rrdr(2)0mrrr2mrh2221()( )2m rrV rE0 (j

18、=1,2.s)jQ 0 (j=1,2.s)jVq220; 0dVd Vdqdq220; 0, 因此的s次方可求得的程,s個正根(可或 的以s個正根有重根)123( )( )( )( )1( )( )( )112: () cos() 1 2 (2,3. ), (1,2. ; 1,2) s slljjlllljlllljqAtjsAjsAAAAjs ls本征值(頻率)，正的實數(shù) ；特解：（，）將代入線性方程組，只能得到s-1個獨立方程,可以解出 可任取,如=1,這時都將確定，共有( )1: cos() 1 2 (1,2. ) 2 sljljlllllqc Atjsclss個通解（，）通解中 ，共有個待定常數(shù)，它們可由初始條件決定。