高等數(shù)學(xué)曲線積分第4節(jié)

1、第四節(jié)第四節(jié) 曲線積分與路線無關(guān)曲線積分與路線無關(guān)第十章第十章 曲線積分曲線積分則則上連續(xù)，上連續(xù)，及其偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域及其偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域，、，設(shè)設(shè)格林格式：格林格式：、 ) ( ) ( 1DyxQyxP， DCdxdyyPxQQdyPdx)(.的的邊邊界界曲曲線線且且取取正正向向是是其其中中DC格林公式的應(yīng)用格林公式的應(yīng)用、 2的的面面積積：計(jì)計(jì)算算區(qū)區(qū)域域D)1(.21xdyydxSC 、或或 CydxS . CxdyS計(jì)算二重積分：計(jì)算二重積分：)2(.)( CDQdyPdxdxdyyPxQ計(jì)算曲線積分：計(jì)算曲線積分：)3(.)( CDdxdyyPxQQdyPdx. 的的正正向向一一定定是是封

2、封閉閉且且為為曲曲線線說說明明：DC 21CCQdyPdxQdyPdx 關(guān)關(guān)平面曲線積分與路線無平面曲線積分與路線無一、一、.上與積分路線無關(guān)上與積分路線無關(guān)在在則稱曲線積分則稱曲線積分 CQdyPdx.線有關(guān)線有關(guān)否則稱該曲線積分與路否則稱該曲線積分與路 2 與路線無關(guān)的條件與路線無關(guān)的條件、 0M1M1C2CxyO有有，、的的任任意意兩兩條條曲曲線線到到點(diǎn)點(diǎn)若若從從點(diǎn)點(diǎn)、上上任任取取兩兩點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)在在平平面面區(qū)區(qū)域域定定義義：、 , 1211010CCMMMM 可記為可記為時，時，當(dāng)曲線積分與路線無關(guān)當(dāng)曲線積分與路線無關(guān)說明：說明： CQdyPdx QdyPdxMM 10. ) () (11

3、00QdyPdxyxyx ，或或 ) ( ) ,()1(則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，通通區(qū)區(qū)域域及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在單單連連，設(shè)設(shè) yxQyxP. 0內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線為為，與路線無關(guān)與路線無關(guān) CQdyPdxQdyPdxCC 2 與路線無關(guān)的條件與路線無關(guān)的條件、 ) ( ) ,()1(則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，通通區(qū)區(qū)域域及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在單單連連，設(shè)設(shè) yxQyxP. 0內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線為為，與路線無關(guān)與路線無關(guān) CQdyPdxQdyPdxCC的的曲曲線線，到到內(nèi)內(nèi)任任意意兩兩條條從從點(diǎn)點(diǎn)是是和和設(shè)設(shè)證證：1021 MMCC 0M1M1C2CxyO.21內(nèi)任意一條閉

4、曲線內(nèi)任意一條閉曲線是是則則 CC02121 CCCCQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx021 CCQdyPdxQdyPdx021 CCQdyPdx. 0 CQdyPdx 2 與路徑路線無關(guān)的條件與路徑路線無關(guān)的條件、 ) ( ) ,()1(則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，通通區(qū)區(qū)域域及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在單單連連，設(shè)設(shè) yxQyxP. 0內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線為為，與路線無關(guān)與路線無關(guān) CQdyPdxQdyPdxCC ) ( ) ,()2(則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，通通區(qū)區(qū)域域及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在單單連連，設(shè)設(shè) yxQyxP.) ( yxyPxQQdyPdxC，與路線無關(guān)與路

5、線無關(guān) ，”若若“證證：yPxQ ，圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域?yàn)闉榍仪覂?nèi)內(nèi)任任一一閉閉曲曲線線，為為設(shè)設(shè)DCC . D為單連通區(qū)域得為單連通區(qū)域得則由則由 DCdxdyyPxQQdyPdx)(，0 . 與路線無關(guān)與路線無關(guān)故故 CQdyPdx 2 與路徑路線無關(guān)的條件與路徑路線無關(guān)的條件、 ) ( ) ,()2(則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，通通區(qū)區(qū)域域及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在單單連連，設(shè)設(shè) yxQyxP.) ( yxyPxQQdyPdxC，與路線無關(guān)與路線無關(guān)與路徑無關(guān)，與路徑無關(guān)，”若”若“ CQdyPdx，則則0 CQdyPdx .內(nèi)任一閉曲線內(nèi)任一閉曲線為為其中其中 C，使使，設(shè)設(shè)存存在在一一點(diǎn)

6、點(diǎn)yPxQM 0，不妨設(shè)不妨設(shè)0)( 0 MyPxQ的連續(xù)性，的連續(xù)性，由于由于yPxQ 有有時時，當(dāng)當(dāng)，則則存存在在 ) ( ) (0DyxDMU . 02 yPxQ 0MxyO 1C 2 與路徑路線無關(guān)的條件與路徑路線無關(guān)的條件、 ) ( ) ,()2(則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，通通區(qū)區(qū)域域及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在單單連連，設(shè)設(shè) yxQyxP.) ( yxyPxQQdyPdxC，與路線無關(guān)與路線無關(guān)與路徑無關(guān)，與路徑無關(guān)，”若”若“ CQdyPdx，則則0 CQdyPdx)1(有有時時，當(dāng)當(dāng)，則則存存在在 ) ( ) (0DyxDMU . 02 yPxQdxdyyPxQQdyPdxDC)(

7、 1 ，0 .)1( 式矛盾式矛盾與與dxdyD 2 22 0MxyO 1C.1的的邊邊界界且且取取正正向向?yàn)闉槠淦渲兄蠨C. yPxQ 故故 幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明即即的折線段求曲線積分的折線段求曲線積分通常采用平行坐標(biāo)軸通常采用平行坐標(biāo)軸與路線無關(guān)時，與路線無關(guān)時，當(dāng)當(dāng) . (1) CCQdyPdxQdyPdxdyyxQdxyxPQdyPdxyyxxyxyx) () (10) () (10101100， dxyxPdyyxQQdyPdxxxyyyxyx) () (10) () (10101100， . ) ( ) ()2(上上述述結(jié)結(jié)論論未未必必成成立立滿滿足足時時，區(qū)區(qū)域域這這兩兩個個條條件件

8、之之一一不不為為單單連連通通及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)或或，當(dāng)當(dāng) yxQyxPxyOABC0 x1x0y1yD.)( 22222yxxyyPxQG 且且為為復(fù)復(fù)連連通通，則則，考考慮慮，對對例例：441) ( 2222 yxyxyxxdyydxC 幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明. ) ( ) ()2(上上述述結(jié)結(jié)論論未未必必成成立立滿滿足足時時，區(qū)區(qū)域域這這兩兩個個條條件件之之一一不不為為單單連連通通及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)或或，當(dāng)當(dāng) yxQyxP.)( 22222yxxyyPxQG 且且為為復(fù)復(fù)連連通通，則則則則方方向向?yàn)闉槟婺鏁r時針針，為為圓圓周周取取 sin costytxC C

9、dtttttttyxxdyydx 202222sincoscoscos)sin(sin 2 . 0 ，考考慮慮，對對例例：441) ( 2222 yxyxyxxdyydxC 20dt. 1sin2 ，解：令解：令2323cos2sin3yyxQxyxP .cos32yxxQ ，yPxQ .曲線積分與路線無關(guān)曲線積分與路線無關(guān) BAOBQdyPdxQdyPdxI 故故 102)3(cosdyyy103102)(sinyyx OABxy11，則則yxyPcos32 102xdx)1 1()0 0(2sin)3cos()2sin3( 1232，到到，從從點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲線線其其中中，計(jì)計(jì)算算、例例AOx

10、yCdyyyxdxxyxIC OABxy )1 1()0 0(22.)( 0)0( )( )( 2，計(jì)算計(jì)算，且且連續(xù)導(dǎo)數(shù)，連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有具有其中其中與路線無關(guān)，與路線無關(guān)，設(shè)設(shè)、例例dyxyfdxxyIfxfdyxyfdxxyC由已知得由已知得如圖，如圖，解：解： dyxyfdxxyAB)(2 10)0(dyyfdxx 10 100dy1022x .21 ,2xyyP 則則，)(xf yxQ ,) ( 2xyyxP ，令令或或),() (xyfyxQ ，xyxf y2)( .)(2Cxxf ，得得，由由0 0)0( Cf.)(2xxf 故故dyyxdxxydyyxdxxyICBOC2222

11、，即即xxf2)( dyxyfdxxyIOA)(2 100dx 10ydy1022y .21 C.)2 1()1 0( )0 0()2()( 3所所確確定定的的圓圓弧弧，及及，為為從從點(diǎn)點(diǎn)其其中中，計(jì)計(jì)算算、例例BAOCdyyxedxxeIyCy OABxy，令令解解：yxeyxQxeyxPyy2) ( ) ( ，則則yeyP ，yexQ .yPxQ 與路線無關(guān)，與路線無關(guān)， CQdyPdxC )2()( dyyxedxxeIyOCy 故故dyyxedxxeyCBy)2()( 10)1(dxx 20)2(dyyey102)1(21x 202)(yey .272 e全全微微分分求求積積二二、 .

12、相似相似二元函數(shù)全微分的結(jié)構(gòu)二元函數(shù)全微分的結(jié)構(gòu)與與中的被積表達(dá)式中的被積表達(dá)式曲線積分曲線積分QdyPdxQdyPdxC 分嗎？分嗎？是某個二元函數(shù)的全微是某個二元函數(shù)的全微問題：問題：QdyPdx . 不一定不一定答案：答案： .2 分分就就不不是是二二元元函函數(shù)數(shù)的的全全微微例例、xdydx ？，如如何何求求這這樣樣的的二二元元函函數(shù)數(shù)若若是是，的的全全微微分分？，是是某某個個二二元元函函數(shù)數(shù)在在什什么么條條件件下下問問題題：) ( ) ( yxuyxuQdyPdx 是全微分的條件是全微分的條件、QdyPdx 1 ) ( ) ,(則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，通通區(qū)區(qū)域域及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)

13、在在單單連連，設(shè)設(shè) yxQyxP.) ( ) () ( yxyPxQdudyyxQdxyxP，是全微分的條件是全微分的條件、QdyPdx 1 ) ( ) ,(則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，通通區(qū)區(qū)域域及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在單單連連，設(shè)設(shè) yxQyxP.) ( ) () ( yxyPxQdudyyxQdxyxP，”若若“證證：dudyyxQdxyxP ) () ( ) ( ，則則yxPxu ). (yxQyu， 2，yPyxu 2，xQxyu 具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)得得，由由QP ，yxuxyu 22.yPxQ 故故，”若”若“yPxQ .與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)則曲線積分則曲線積分QdyP

14、dxC 是全微分的條件是全微分的條件、QdyPdx 1 ) ( ) ,(則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，通通區(qū)區(qū)域域及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在單單連連，設(shè)設(shè) yxQyxP.) ( ) () ( yxyPxQduyxQdxyxP，”若”若“yPxQ .與路線無關(guān)與路線無關(guān)則曲線積分則曲線積分QdyPdxC ，令令，QdyPdxyxuyxyx ) () (00) (xyxuyxxuxux ) () (lim0，則則xQdyPdxQdyPdxyxyxyxxyxx ) () () () (00000lim，xQdyPdxyxxyxx ) () (0lim，0 xxxx ) (yx，) (00yx，) (yxx

15、， 是全微分的條件是全微分的條件、QdyPdx 1 ) ( ) ,(則則內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，通通區(qū)區(qū)域域及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在單單連連，設(shè)設(shè) yxQyxP.) ( ) () ( yxyPxQduyxQdxyxP，令令，QdyPdxyxuyxyx ) () (00) (xdxyxPxxxx ) (lim0，xxyxxPx ) (lim0， ) (lim0yxxPx， ). (yxP， ，同同理理，) ( yxQyu .) () (dudyyxQdxyxP ，故故0 xxxx ) (yx，) (00yx，) (yxx， xQdyPdxxuyxxyxx ) () (0lim，的原函數(shù)的原函數(shù)為為

16、，則稱則稱，使使，若存在函數(shù)若存在函數(shù)原函數(shù)：原函數(shù)：、QdyPdxyxuQdyPdxduyxu ) ( ) ( 2原函數(shù)的求法原函數(shù)的求法、 3dyyxQdxyxPyxuyxyx) () () () () (00， CdyyxQdxyxPyxuyyxx 00) () () ()1(0，CdxyxPdyyxQyxuxxyy 00) () () ()2(0，.C ，解解：令令2222yxyxQyxyxP ，則則22222)(2yxxyxyyP .)(222222yxxyxyxQ ，平面內(nèi)連續(xù)且平面內(nèi)連續(xù)且及其一階偏導(dǎo)數(shù)在右半及其一階偏導(dǎo)數(shù)在右半、yPxQQP . )()( 122并并求求原原函函

17、數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分，在在右右半半平平面面內(nèi)內(nèi)是是某某個個驗(yàn)驗(yàn)證證、例例yxdyyxdxyx .)()(22數(shù)數(shù)的的全全微微分分在在右右半半平平面面內(nèi)內(nèi)是是某某個個函函故故yxdyyxdxyx xdxxyxu11),( ydyyxyx022則則，為為，取取 )0 1() (00yxC ，解解：令令2222yxyxQyxyxP . )()( 122并并求求原原函函數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分，在在右右半半平平面面內(nèi)內(nèi)是是某某個個驗(yàn)驗(yàn)證證、例例yxdyyxdxyx xdxxyxu11),( ydyyxyx022Cyxxyxyx 0221)ln21(arctanln.)ln(21arctan

18、22Cyxxy 則則，為為，取取 )0 1() (00yxC . 222并并求求原原函函數(shù)數(shù)全全微微分分，數(shù)數(shù)的的在在整整個個平平面面內(nèi)內(nèi)是是某某個個函函驗(yàn)驗(yàn)證證、例例ydyxdxxy ，解解：令令yxQxyP22 ，則則xyyP2 .2xyxQ ，面面內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且及及其其一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在整整個個、yPxQxOyQP xdxyxu00),( yydyx02Cyxy 0222.222Cyx .22數(shù)數(shù)的的全全微微分分在在整整個個平平面面內(nèi)內(nèi)是是某某個個函函故故ydyxdxxy 則則，為為，取取 )0 0() (00yxC . 222并并求求原原函函數(shù)數(shù)全全微微分分，數(shù)數(shù)的的在在整整個

19、個平平面面內(nèi)內(nèi)是是某某個個函函驗(yàn)驗(yàn)證證、例例ydyxdxxy 曲曲面面積積分分介介紹紹)( 對面積的曲面積分對面積的曲面積分第一類曲面積分第一類曲面積分一、一、 niiiiiSSfdSzyxf10) (lim) ( 1 ，定定義義：、計(jì)算方法：計(jì)算方法：、 2dxdyzzyxzyxfdSzyxfyxDSxy221) ( ) ( ，.面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在為為曲曲面面其其中中xOySDxy)( 對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分第二類曲面積分第二類曲面積分二、二、 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)( (lim) ()1( ， niyziiiiSPdydzzyxP10)( (li

20、m) ()2( ， nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)( (lim) ()3( ，定義定義、 1計(jì)算方法計(jì)算方法、 2dxdyyxzyxRdxdyzyxRxyDS ) ( ) ()1(， 面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域，在在為為曲曲面面其其中中xOySDxy).()( 側(cè)時取側(cè)時取下下為曲面的上為曲面的上當(dāng)當(dāng)SdydzzyzyxPdydzzyxPyzDS ) () ()2(， 面上的投影區(qū)域，面上的投影區(qū)域，在在為曲面為曲面其中其中yOzSDyz).()( 側(cè)時取側(cè)時取后后為曲面的前為曲面的前當(dāng)當(dāng)SdzdxzzxyxQdzdxzyxQzxDS ) ( ) ()3(，面上的投影區(qū)域，面上的投影區(qū)域，在在為