路燈更換策略模型

1、“大班上課、小班討論”論文報(bào)告2014-2015第二學(xué)期數(shù)學(xué)建模2016年4月9日4月12日題目 路燈更換策略模型專業(yè)信算信算信算信算班級(jí)14信算114信算114信算114信算1姓名蘆新宇岳昊塏常巨野王嘉琦學(xué)號(hào)1400801102140080110514008011171400801123成績(jī)路燈更換策略1、 問題的提出某路政部門負(fù)責(zé)城市某條道路的路燈維護(hù)。更換路燈時(shí)，需要專用云梯車進(jìn)行線路檢測(cè)和更換燈泡，向相應(yīng)的管理部門提出電力使用和道路管制申請(qǐng)，還要向雇用的各類人員支付報(bào)酬等，這些工作需要的費(fèi)用往往比燈泡本身的費(fèi)用更高，燈泡壞1個(gè)換1個(gè)的辦法是不可取的。上級(jí)管理部門通過監(jiān)察燈泡是否正常工作

2、對(duì)路政部門進(jìn)行管理，一旦出現(xiàn)1個(gè)燈泡不亮，管理部門就會(huì)按照折合計(jì)時(shí)對(duì)他們進(jìn)行罰款。根據(jù)多年的經(jīng)驗(yàn)，他們采取整批更換的策略，即到一定的時(shí)間，所有燈泡無論好與壞全部更換。如何確定整批更換的時(shí)間周期，要考慮每個(gè)燈泡的更換價(jià)格(包括燈泡的成本和安裝時(shí)分?jǐn)偟矫總€(gè)燈泡的費(fèi)用)以及管理部門對(duì)每個(gè)不亮的燈泡制定的懲罰費(fèi)用，使得單位時(shí)間內(nèi)的費(fèi)用最少，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的周期即為整批更換的最佳周期。二、問題的分析其中總費(fèi)用分為兩部分:每個(gè)燈泡的更換價(jià)格(包括燈泡的成本和安裝時(shí)分?jǐn)偟矫總€(gè)燈泡的費(fèi)用)以及管理部門對(duì)每個(gè)不亮的燈泡制定的懲罰費(fèi)用。根據(jù)常識(shí),燈泡的壽命是隨機(jī)的,在平均值附近有較大的波動(dòng),需要通過分析確定燈泡壽命的

3、分布規(guī)律。針對(duì)問題一，將總的燈泡成本和更換安裝所需要的費(fèi)用作為總的安裝費(fèi)用，再根據(jù)燈泡壽命的分布規(guī)律，列出需要承擔(dān)的懲罰費(fèi)用與整批更換周期的關(guān)系，從而得出總費(fèi)用與整批更換周期的關(guān)系式，解出更換周期的表達(dá)式。針對(duì)問題二，根據(jù)抽查的200個(gè)燈泡壽命，統(tǒng)計(jì)分析出燈泡壽命大概的分布規(guī)律，將題中所給數(shù)據(jù)：每個(gè)燈泡的更換價(jià)格(包括燈泡的成本和安裝時(shí)分?jǐn)偟矫總€(gè)燈泡的費(fèi)用)為80元，管理部門對(duì)每個(gè)不亮的燈泡制定的懲罰費(fèi)用為0.02元/小時(shí)，代入更換周期表達(dá)式，通過求導(dǎo)計(jì)算出日均總費(fèi)用最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的整批更換周期。針對(duì)問題三，在未壞燈泡可以回收的條件下，總費(fèi)用應(yīng)為：總的安裝費(fèi)用（總的燈泡成本+更換安裝所需要的費(fèi)用

4、）+總的懲罰費(fèi)用-未壞燈泡回收收益；再次列出總費(fèi)用與整批更換周期的關(guān)系式，解出更換周期的表達(dá)式，通過求導(dǎo)計(jì)算出日均總費(fèi)用最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的整批更換周期。三、模型的假設(shè)1、假定沒有人為的破壞燈泡的行為且燈泡均為合格的產(chǎn)品；2、假設(shè)懲罰費(fèi)用從燈泡壞的那一刻開始計(jì)算；3、假設(shè)該品牌燈泡的壽命滿足隨機(jī)正態(tài)分布；4、假設(shè)已壞的燈泡無任何回收價(jià)值；5、假設(shè)外界環(huán)境因素不會(huì)改變燈泡壽命；6、假設(shè)所給200組數(shù)據(jù)是有代表性的,可以體現(xiàn)一般的規(guī)律；四、符號(hào)說明 整體更換燈泡時(shí)單位時(shí)間每個(gè)燈泡所承受的罰款費(fèi)用 整體更換燈泡時(shí)所承受的罰款總費(fèi)用 整體更換燈泡時(shí)燈泡的總更換費(fèi)用 通過隨機(jī)抽取的測(cè)試獲得燈泡的期望壽命 通過

5、隨機(jī)抽取的測(cè)試獲得燈泡壽命的標(biāo)準(zhǔn)差 整批更換的周期 一個(gè)周期內(nèi)的總費(fèi)用 平均每天的總費(fèi)用 燈泡的壽命 每個(gè)未壞燈泡的回收價(jià)格 壽命t的概率密度函數(shù)即: 燈泡的個(gè)數(shù) 壽命為t的燈泡在一個(gè)周期內(nèi)的總罰款函數(shù) 燈泡在一個(gè)周期后的售出價(jià)格函數(shù)5、 模型的建立問題一：查閱資料可知，燈泡壽命的分布為正態(tài)分布。由此，我們先對(duì)題目所給的200個(gè)數(shù)據(jù)利用SPSS進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。 先做出燈泡壽命的頻率直方圖與擬合的正態(tài)分布曲線：根據(jù)圖像可以大致看出，燈泡的壽命是正態(tài)分布的，于是有壽命t的概率密度函數(shù)為 （1）對(duì)于燈泡的懲罰費(fèi)用有 （2）于是，得出在周期為T的情況下，所要承受的罰款為 （3）則需要的總費(fèi)用為 （4）

6、為尋求最佳的更換周期,我們將單位時(shí)間內(nèi)支出的費(fèi)用最小作為評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn),即:單位時(shí)間內(nèi)的費(fèi)用越小該整體更換周期越優(yōu)，單位時(shí)間內(nèi)支出的費(fèi)用可表示為 （5）當(dāng)最小時(shí)，有 （6）化簡(jiǎn)后可得 （7） 其中模型分析： 有積分的性質(zhì)可以知道積分表示的是圖形的面積,而且被積函數(shù)是大于零的,T為積分上限,所以T越大,積分值越高,即:T與總更換費(fèi)用和總懲罰費(fèi)用的比值成正比關(guān)系,當(dāng)更換的費(fèi)用越少,懲罰的費(fèi)用越高時(shí),更換的周期應(yīng)該是越小的,這與實(shí)際情況是完全吻合的。6、 模型的求解問題二：根據(jù)問題二所給的條件，每個(gè)燈泡的更換價(jià)格(包括燈泡的成本和安裝時(shí)分?jǐn)偟矫總€(gè)燈泡的費(fèi)用)為80元，管理部門對(duì)每個(gè)不亮的燈泡制定的懲罰費(fèi)

7、用為0.02元/小時(shí)可知 則有 代入（7）式則有 （8）編寫MATLAB代碼，并求解可得近似解為T=4314（h） 結(jié)論：整體更換周期為4314小時(shí)，即每過4314小時(shí)進(jìn)行一次燈泡的全部更換的條件下，路政部門平均每天所花的費(fèi)用最少。問題三：根據(jù)題意可在問題二的模型基礎(chǔ)上再考慮未壞燈泡的回收燈泡的回收價(jià)格函數(shù)為 （9）則考慮未壞燈泡的回收，需要總費(fèi)用變?yōu)?（10）為尋求最佳的更換周期,我們同樣將單位時(shí)間內(nèi)支出的費(fèi)用最小作為評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn),將（10）式代入（5）（6）兩式后可得 （11） 同樣根據(jù)問題三所給的條件，該品牌每個(gè)未壞燈泡的回收價(jià)格為5元，并結(jié)合問題二已知條件，有 代入（11）式，并編寫代碼

8、，用MATLAB近似求解得T=3932（h) 結(jié)論：在未壞燈泡可以回收的情況下，整體更換周期為3932小時(shí)，即每過3932小時(shí)進(jìn)行一次燈泡的全部更換的條件下，路政部門平均每天所花的費(fèi)用最少。 7、 模型的檢驗(yàn)根據(jù)所求得的更換周期的表達(dá)式，T與總更換費(fèi)用和總懲罰費(fèi)用的比值成正比關(guān)系,當(dāng)更換的費(fèi)用越少,懲罰的費(fèi)用越高時(shí),更換的周期應(yīng)該是越小的,這與實(shí)際情況是完全吻合的。另外，當(dāng)未壞的燈泡可以回收時(shí)，所對(duì)應(yīng)的最佳整體更換周期縮短，這與實(shí)際情況也是非常吻合的。8、 模型的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：1、模型層層深入，不斷實(shí)際化，具體化，與生活中實(shí)際情況較為接近，具有很好的實(shí)用價(jià)值；2、模型利用MATLAB求解，減少了很

9、大的計(jì)算量和出錯(cuò)的可能。缺點(diǎn)：1、模型中將燈泡的壽命看做正態(tài)分布，具有一定的誤差，對(duì)結(jié)果周期的大小有一定的影響；2、模型沒有將人為因素和意外情況考慮在內(nèi)，在特殊情況發(fā)生時(shí)，模型就不在適用了。9、 模型的推廣該模型適用的對(duì)象與我們的生活密切相關(guān)，除了燈泡的更換之外，比如學(xué)校機(jī)房的電腦更換，餐廳桌椅的更換等等都能用此模型來研究更換的周期，其最佳整體更換周期對(duì)學(xué)校、餐廳等具有重要意義。10、 參考文獻(xiàn)1 茆詩松，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程第二版，高等教育出版社，20112 姜啟源，數(shù)學(xué)建模，高等教育出版社，20033華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（下），高等教育出版社，2010附錄第二問MATLAB代碼syms xT=3700;while(1) f=normpdf(x,4002.671,96.047)*x; %在t出返回正態(tài)分布函數(shù)值 V =int(f,x,0,T); %在0,t作積分 if (double(V)>=4000) break; end T=T+1;End第三問MATLAB代碼syms xT=3700;while(1) f1=normpdf(x,4002.671,96.047)*x*0.02; %懲罰費(fèi)用 f2=no