專題05 數(shù)學(xué)閱讀理解和開方探究相關(guān)問題(原卷版)

1、專題05 數(shù)學(xué)閱讀理解和開方探究相關(guān)問題 【類型】一、閱讀理解問題一、解答題1閱讀材料，解答下面問題無限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：利用一元一次方程可以將任何一個無限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)形式下面以為例說明：設(shè)，由可得，由-，得解得：，所以，模仿：（1）將無限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)形式（2）_（直接寫出答案）2閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，吳老師在求代數(shù)式的最小值時，利用完全平方公式，對式子作如下變形：，因?yàn)椋?，?dāng)時，因此有最小值1，即的最小值為1通過閱讀，解下列問題(1)代數(shù)式的最小值為 ；(2)求代數(shù)式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時的值；(3)試比較代數(shù)式與的大小，并說明理由3閱讀下列材料，然后解答問題:

2、在進(jìn)行二次根式的化簡與計算時我們有時會遇到如:，這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡:；以上將分母中的根號化去的過程，叫做分母有理化請參照以上方法化簡:（1）（2）（3）4閱讀下題的計算方法計算 解：原式= =上面這種解題方法叫做拆項(xiàng)法，按此方法計算：5閱讀下面材料并解決有關(guān)問題：（一）由于，所以，即，并且當(dāng)時，；對于兩個非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，由于，所以，即，所以，并且當(dāng)時，；（二）分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點(diǎn)，如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)小學(xué)里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分?jǐn)?shù)，類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式對于任何一個假分式都可以化成整式

3、與真分式的和的形式，如：；(1)比較大?。?2x（其中）， 2（其中），（填“”、“”或“”）；(2)在、這些分式中，屬于假分式的是 （填序號）；(3)已知：，求代數(shù)式的值；(4)當(dāng)x為何值時，有最小值？并求出最小值（寫出解答過程）6閱讀題在現(xiàn)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時代，密碼與我們的生活已經(jīng)密切相連，密不可分，而諸如“123456”、生日等簡單密碼又容易被破解，因此利用簡單方法產(chǎn)生一組容易記憶的密碼就很有必要了有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個多項(xiàng)式分解因式，如多項(xiàng)式x3x2因式分解的結(jié)果為x2（x1），當(dāng)x5時，x225，x104，此時可以得到數(shù)字密碼2504或0425；

4、如多項(xiàng)式x3+2x2x2因式分解的結(jié)果為（x1）（x+1）（x+2），當(dāng)x10時，x109，x+111，x+212，此時可以得到數(shù)字密碼091112(1)根據(jù)上述方法，當(dāng)x12，y5時，求多項(xiàng)式x3xy2分解因式后可以形成哪些數(shù)字密碼；（寫出三個）(2)若一個直角三角形的周長12，斜邊長為5，其中兩條直角邊分別為x，y，求出一個由多項(xiàng)式x3y+xy3分解因式后得到密碼；（只需一個即可）(3)若多項(xiàng)式x2+（m3n）x6n因式分解后，利用本題的方法，當(dāng)x25時可以得到一個密碼2821，求m、n的值7【閱讀材料】三千多年前，埃及人發(fā)明了一種書寫分?jǐn)?shù)的方法，這些分?jǐn)?shù)的分子為1，它們被稱為“單位分?jǐn)?shù)”

5、，通過探究，小明發(fā)現(xiàn)有一些分?jǐn)?shù)，可以很容易地拆分為兩個不同的“單位分?jǐn)?shù)”之和（或差）例如：，；，；(1)請觀察小明發(fā)現(xiàn)的拆分方法，填空：；(2)請歸納以上拆分規(guī)律，計算下列各題：；(3)請運(yùn)用以上拆分規(guī)律，直接寫出下列算式的結(jié)果： ； 8閱讀下列材料：一般地，沒有公因式的多項(xiàng)式，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)或四項(xiàng)以上時，經(jīng)常把這些項(xiàng)分成若干組，然后各組運(yùn)用提取公因式法或公式法分別進(jìn)行分解，之后各組之間再運(yùn)用提取公因式法或公式法進(jìn)行分解，這種因式分解的方法叫做分組分解法如：因式分解：（1）利用分組分解法分解因式：   ；    （2）因式分解：=_（直

6、接寫出結(jié)果）9閱讀下列材料，解決問題：在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時，有時由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時往往難度比較大，這時我們可以考慮逆用分?jǐn)?shù)（分式）的加減法，將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（或整式）與一個真分?jǐn)?shù)和（或差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效，現(xiàn)舉例說明將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式解：這樣，分式就拆分成一個整式x2與一個分式的和的形式（1）將分式拆分成一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為 （2）已知整數(shù)x使分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x 10閱讀下列材料材

7、料一：任意一個三位自然數(shù)m，若百位數(shù)字不大于4，則稱m為“潛力數(shù)”材料二：在“潛力數(shù)”m的左邊放一個奇數(shù)a，得到一個多位數(shù)；在“潛力數(shù)”m的右邊放一個0，得到一個四位數(shù)，規(guī)定：例如：，（1）計算：_，_；（2）已知“潛力數(shù)”（其中，x、y是整數(shù)），若能被26整除，求m的值11閱讀下列解題過程：已知，求的值解：由，知，所以，即的值為7的倒數(shù)，即       以上解法中先將已知等式的兩邊“取倒數(shù)”，然后求出待求式子倒數(shù)的值，我們把此題的這種解法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解決下面問題：（1）已知，求的值（2）已知，求的值（

8、3）已知，求的值12問題提出：如圖1，由n×n×n（長×寬×高）個小立方塊組成的正方體中，到底有多少個長方體（包括正方體）呢？問題探究：我們先從較為簡單的情形入手（1）如圖2，由2×1×1個小立方塊組成的長方體中，長共有1+23條線段，寬和高分別只有1條線段，所以圖中共有3×1×13個長方體（2）如圖3，由2×2×1個小立方塊組成的長方體中，長和寬分別有1+23條線段，高有1條線段，所以圖中共有3×3×19個長方體（3）如圖4，由2×2×2個小立方體組成的

9、正方體中，長、寬、高分別有1+23條線段，所以圖中共有 個長方體（4）由2×3×6個小立方塊組成的長方體中，長共有1+23條線段，寬共有 條線段，高共有 條線段，所以圖中共有 個長方體問題解決（5）由n×n×n個小立方塊組成的正方體中，長、寬、高各有 線段，所以圖中共有 個長方體結(jié)論應(yīng)用（6）如果由若干個小立方塊組成的正方體中共有3375個長方體，那么組成這個正方體的小立方塊的個數(shù)是多少？請通過計算說明你的結(jié)論13閱讀下列材料：求函數(shù)的最大值解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，得y（x2+x+0.25）3x2+2x整理，得當(dāng)y3時，x為實(shí)數(shù)，y4且y

10、3；當(dāng)y3時，即為，方程有解（x的值存在）；y4因此，y的最大值為4根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)的最小值14請認(rèn)真閱讀下面材料，并解答下列問題如果a（a0，a1）的b次冪等于N，即指數(shù)式abN，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，對數(shù)式記作：logaNb例如：因?yàn)橹笖?shù)式224，所以以2為底4的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：log242；因?yàn)橹笖?shù)式4216，所以以4為底16的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：log4162（1）填空：指數(shù)式6236對應(yīng)的對數(shù)式是 ；對數(shù)式log3273對應(yīng)的指數(shù)式是 （2）計算：log232+log562515閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a，b，c是一個三角形的三條邊的長，且a是最長邊，我們可以利用a

11、，b，c三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：若，則該三角形是直角三角形；若，則該三角形是鈍角三角形；若，則該三角形是銳角三角形例如：若一個三角形的三邊長分別是4，5，6，則最長邊是6，故由可知該三角形是銳角三角形；請解答以下問題：（1）若一個三角形的三邊長分別是7，8，9，則該三角形是_三角形；（2）若一個三角形的三邊長分別是3，4，x，且這個三角形是直角三角形，則x的值_；（3）若一個三角形的三邊長為，其中a是最長邊，請判斷這個三角形的形狀，并寫出你的判斷過程【類型】二、開方探究問題一、單選題1“勾股圖”有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣1955年希臘發(fā)行了以“勾股圖”為背景的郵票

12、（如圖1），歐幾里得在幾何原本中曾對該圖做了深入研究如圖2，在中，分別以的三條邊為邊向外作正方形，連結(jié)，分別與，相交于點(diǎn)，若，則的值為（       ） ABCD二、填空題2（1）如圖，五角形的頂點(diǎn)分別為A、B、C、D、E，A+B+C+D+E=_（2）如圖，A+DBE+C+D+E=_（3）如圖，A+B+C+D+E=_（4）如圖，123456_3如圖，在菱形中，交的延長線于點(diǎn)E連結(jié)交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G于點(diǎn)H，連結(jié)有下列結(jié)論：；其中所有正確結(jié)論的序號為_4如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，分別以、為邊作矩形，點(diǎn)、

13、在直線上，且，則的最小值是_5如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，若第一象限內(nèi)存在點(diǎn)，使為等腰直角三角形，請直接寫出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)_6如圖，在RtABC中，ACB90°，AC4，BC6，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿DE翻折DBE，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，則當(dāng)線段AF的長取最小值時，sinFBD是_7一副直角三角尺按如圖所示的方式疊放，現(xiàn)將含角的三角尺ABC固定不動，將含角的三角尺ADE繞頂點(diǎn)A按順時針方向轉(zhuǎn)動，（且）要使兩塊三角尺至少有一組邊平行則_8如圖，把邊長為4的正方形紙片分成五塊，其中點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)，分別

14、為，的中點(diǎn)用這五塊紙片拼成與此正方形不全等的四邊形（要求這五塊紙片不重疊無縫隙），則四邊形的周長是_9定義：給定兩個不等式組和，若不等式組的任意一個解，都是不等式組的一個解，則稱不等式組為不等式組的“子集”例如：不等式組：是：的“子集”（1）若不等式組：，其中不等式組_是不等式組的“子集”（填或）；（2）若關(guān)于的不等式組是不等式組的“子集”，則的取值范圍是_；（3）已知為互不相等的整數(shù)，其中，下列三個不等式組：，滿足：是的“子集”且是的“子集”，則的值為_；（4）已知不等式組有解，且是不等式組的“子集”，請寫出，滿足的條件：_10如圖，A，B，C為O上相鄰的三個n等分點(diǎn)，點(diǎn)E在上，EF為O的直

15、徑，將O沿EF折疊，使點(diǎn)A與A重合，點(diǎn)B與B重合，連接EB，EC，EA設(shè)EB=b，EC=c，EA=p現(xiàn)探究b，c，p三者的數(shù)量關(guān)系：發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=3時，p=b+c請繼續(xù)探究b，c，p三者的數(shù)量關(guān)系：當(dāng)n=4時，p=_；當(dāng)n=12時，p=_（參考數(shù)據(jù)：，）三、解答題11定義：到三角形的兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做三角形的“中垂心”如圖1，在ABC中，PA=PB，則點(diǎn)P叫做ABC的“中垂心”（1）根據(jù)定義，中垂心可能在三角形頂點(diǎn)處的三角形有_（舉一個例子即可）；（2）應(yīng)用：如圖2；在ABC中，請畫出“中垂心”P，使PA=PB=PC（保留作圖痕跡，不寫畫法）（3）探究：如圖3，已知ABC為直角三角形，C=

16、90°，ABC=60°，AC=，“中垂心”P在AC邊上，求PA的長如圖4，若PA=PB且“中垂心”P在ABC內(nèi)部，總有AC+BC2AP，請說明理由12問題呈現(xiàn)：已知等邊三角形邊的中點(diǎn)為點(diǎn)，的兩邊分別交直線，于點(diǎn)，現(xiàn)要探究線段，與等邊三角形的邊長之間的數(shù)量關(guān)系（1）特例研究：如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在線段，上，且，時，請直接寫出線段，與的數(shù)量關(guān)系：_；（2）問題解決：如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在線段上時，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請通過證明探究出線段，與等邊三角形的邊長之間的數(shù)量關(guān)系；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)落在射線上時，若，請直接寫出的長和此時的面積1

17、3如圖，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將線段按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)（1）比較與的大小，并說明理由（2）當(dāng)時，若，請你編制一個計算題（不標(biāo)注新的字母），并解答【類型】三、實(shí)驗(yàn)操作問題一、解答題1綜合與實(shí)踐：教材八年級下冊的數(shù)學(xué)活動折紙，引起了許多同學(xué)的興趣在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進(jìn)一步發(fā)展了同學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展開；再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕，把紙片展開；連接（1）如圖，直線_（填“是”或“不是”）線段的垂直平分線；請判斷圖中是什么特殊三角形？答：_；進(jìn)一步計算出_；（2）如圖，折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在邊上

18、的點(diǎn)處，并且折痕交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，把紙片展開，連接交于點(diǎn)，連接求證：四邊形是菱形；（3）如圖，矩形紙片中，折疊紙片，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，并且折痕交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，把紙片展平同學(xué)們小組討論后，得出線段的長度有，請直接寫出以上個數(shù)值中你認(rèn)為正確的數(shù)值2操作與推理：我們知道，任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上一個點(diǎn)來表示，根據(jù)下列題意解決問題：（1）已知x=2，請畫出數(shù)軸表示出x的點(diǎn)：（2）在數(shù)軸上，我們把表示數(shù)2的點(diǎn)定為基準(zhǔn)點(diǎn)，記作點(diǎn)O，對于兩個不同的點(diǎn)A和B，若點(diǎn)A、 B到點(diǎn)O的距離相等，則稱點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)等距變換點(diǎn)例如圖2，點(diǎn)A表示數(shù)-1，點(diǎn)B表示數(shù)5，它們與基準(zhǔn)點(diǎn)O的距離都是3個單位長度，

19、我們稱點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)等距變換點(diǎn)記已知點(diǎn)M表示數(shù)m，點(diǎn)N表示數(shù)n，點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)等距變換點(diǎn)I若m=3，則n= ；II用含m的代數(shù)式表示n= ；對點(diǎn)M進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)M表示的數(shù)乘以23，再把所得數(shù)表示的點(diǎn)沿著數(shù)軸向右移動2個單位長度得到點(diǎn)N，若點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)等距變換點(diǎn)，求點(diǎn)M表示的數(shù)；點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為8個單位長度，對Q點(diǎn)做如下操作： Q1為Q的基準(zhǔn)等距變換點(diǎn)，將數(shù)軸沿原點(diǎn)對折后Q1的落點(diǎn)為Q2這樣為一次變換： Q3為Q2的基準(zhǔn)等距變換點(diǎn)，將數(shù)軸沿原點(diǎn)對折后Q3的落點(diǎn)為Q4這樣為二次變換： Q5為Q4的基準(zhǔn)等距變換點(diǎn)，依此順序不斷地重復(fù)變換，得到Q5，Q6，Q

20、7Qn，若P與Qn兩點(diǎn)間的距離是4，直接寫出n的值3綜合與實(shí)踐問題背景：綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以兩個全等的三角形紙片為操作對象，進(jìn)行相一次相關(guān)問題的研究 下面是創(chuàng)新小組在操作過程中研究的問題， 如圖一，ABCDEF， 其中ACB=90°，BC=2，A=30°操作與發(fā)現(xiàn)： （1）如圖二，創(chuàng)新小組將兩張三角形紙片按如圖示的方式放置，四邊形ACBF的形狀是 ，CF= ；   （2）創(chuàng)新小組在圖二的基礎(chǔ)上，將DEF紙片沿AB方向平移至圖三的位置，其中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)重合連接CE，BF四邊形BCEF的形狀是 ，CF= 操作與探究 ：（3）創(chuàng)新小組在圖三的

21、基礎(chǔ)上又進(jìn)行了探究，將DEF紙片繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)至DE與BC平行的位置，如圖四所示，連接AF， BF 經(jīng)過觀察和推理后發(fā)現(xiàn)四邊形ACBF也是矩形，請你證明這個結(jié)論4數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：制作4張全等的直角三角形紙片（如圖1），把這4張紙片拼成以弦長c為邊長的正方形構(gòu)成“弦圖”（如圖2），古代數(shù)學(xué)家利用“弦圖”驗(yàn)證了勾股定理探索研究：（1）小明將“弦圖”中的2個三角形進(jìn)行了運(yùn)動變換，得到圖3，請利用圖3證明勾股定理；數(shù)學(xué)思考：（2）小芳認(rèn)為用其它的方法改變“弦圖”中某些三角形的位置，也可以證明勾股定理請你想一種方法支持她的觀點(diǎn)（先在備用圖中補(bǔ)全圖形，再予以證明）5綜合與實(shí)踐問題情境數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)

22、們以“三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動，和是兩個全等的直角三角形紙片，其中，解決問題（1）如圖，智慧小組將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時，請你幫他們證明這個結(jié)論；（2）縝密小組在智慧小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，連接，當(dāng)C繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時，他們提出，請你幫他們驗(yàn)證這一結(jié)論是否正確，并說明理由；探索發(fā)現(xiàn)（3）如圖，勤奮小組在前兩個小組的啟發(fā)下，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時，求的長；（4）在圖的基礎(chǔ)上，寫出一個邊長比為的三角形（可添加字母）      6綜合與實(shí)踐問題情境綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“折紙”為主題開展數(shù)學(xué)活動如圖

23、1，有一張長為4，寬為3的矩形紙片（）操作發(fā)現(xiàn)（1）快樂小組先將圖1中的矩形紙片沿直線折疊，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，得到圖2，他們發(fā)現(xiàn)，請你證明這個結(jié)論；（2）創(chuàng)新小組將圖2中的矩形紙片展開后繼續(xù)折疊，使得點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處，折痕為，得到圖3，則折痕_；實(shí)踐探究（3）前進(jìn)小組在創(chuàng)新小組的操作基礎(chǔ)上，將圖3中的紙片展開，再將矩形紙片沿直線折疊，使得點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處，然后將紙片展平如圖4所示，折痕交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試判斷的形狀并證明你的結(jié)論             

24、0;             7綜合與探究【實(shí)踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課上，“奮進(jìn)”小組將一副直角三角尺的直角頂點(diǎn)疊放在一起，如圖1，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)C【問題發(fā)現(xiàn)】（1）填空：如圖1，若ACB145°，則ACE的度數(shù)是 ，DCB的度數(shù) ，ECD的度數(shù)是 如圖1，你發(fā)現(xiàn)ACE與DCB的大小有何關(guān)系？ACB與ECD的大小又有何關(guān)系？請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論【類比探究】（2）如圖2，當(dāng)ACD與BCE沒有重合部分時，上述中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否還依然成立？請說明理由8綜合與實(shí)踐背景閱讀   早在三千多年前，我國周朝數(shù)學(xué)家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”它被記載于我國古代著名數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中，為了方便，在本題中