北師大版九年級下冊知識點(diǎn)總結(jié)

1、北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識點(diǎn)匯總九年級（下冊）第一章直角三角形邊的關(guān)系一.正切:定義：在RtAABC中，銳角/A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記作tanA,即tanA=NA的對邊.A的鄰邊tanA是一個(gè)完整的符號，它表示/A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號”；tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中/A的對邊與鄰邊的比；tanA不表示“tar®以“A”；初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，/A是銳角的正切；tanA的值越大，梯子越陡，/A越大；/A越大，梯子越陡，tanA的值越大。二.正弦：定義：在RtABC中，銳角/A的對邊與斜邊的比叫做/A的正弦，記作sinA,即/A的對邊s

2、inA:斜邊三.余弦:定義：在RtABC中，銳角/A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作cosA,即cosA二/A的鄰邊斜邊余切:定義：在RtABC中，銳角/A的鄰邊與對邊的比叫做/A的余切，記作cotA,即一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。0o30o45o60o90osina01（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可cosa10tana01一cota一10以概括為：一個(gè)銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若/A為銳角，則sinA=cos（90口-/A）;cosA=sin（90口-/A）tanA=cot（90&#

3、39;一/A）;cotA=tan（90'一，A）當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.派當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯用利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，（1）當(dāng)角度在0。90。間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；余弦值、余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?。（2）0<sina<1,0<cosa<1。同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：tgactga=1。在直角三角形中，除直角外，扃福咦系素，地生條最陰銳密g伯直扉望%中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形

4、？一二一二二平方關(guān)系；sin10+cos3CL=1*在4ABC中，/C為直角，/A、/B、/C所對的邊分別為a、b、c,則有（1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2;（2）兩銳角的關(guān)系：/A+/B=90（3）邊與角之間的關(guān)系：一一1.1（4）面積公式：Sa=ab=chc（hc為C邊上的圖）;22，一,ab-c（5）直角三角形的內(nèi)切圓半徑r=21（6）直角二角形的外接圓半徑R=c2解直角三角形的幾種基本類型列表如下：、某點(diǎn)的指二2雅叫做?J匕方向按順小0件C的方位由分商為C一條邊和一個(gè)銳角45y建比）。用牛母習(xí)硝!向西水下角，加故方點(diǎn)角、135B=90e-A,UAO。-A圖3解直角三角形的幾種基本

5、類型列表如下:指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°,南偏東450（東南方向）、南偏西為60°,北偏西60°。二次函數(shù)的概念：形如第二章二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>、b、是常數(shù)，a#0）的函數(shù)，叫做x的三次班數(shù)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)2,y=ax（a#0）是二次函數(shù)的特例，此時(shí)吊數(shù)b=c=0.在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，一定要尋找兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的曲線，這條

6、曲線叫做拋物線描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物線與等方面來描述。x軸的交點(diǎn)函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù);拋物線的頂點(diǎn)在（0,0）,對稱軸是y軸（或稱直線x=0）。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下,并且向下方無限伸展。函數(shù)的增減性:A、當(dāng)a>0時(shí)0時(shí),y隨x增大而減小;0時(shí),y隨x增大而增大.B、當(dāng)a<0時(shí)當(dāng)|a|越大，拋物線開口越??；當(dāng)）a|越小，拋物線的開口越大。最大值或最小值：當(dāng)a>0,且x=0時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a<0,且x=0時(shí)函數(shù)有最大值，最大值是0.-2

7、二次函數(shù)y=ax+c的圖象是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對稱的拋物線2二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是以x=-互為對稱軸，頂點(diǎn)在（一且，陋也）的拋2a2a4a物線。（開口方向和大小由a來決定）間的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越快；|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠(yuǎn)離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越慢二次函數(shù)y=ax2+c的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a決定拋物線的開口程度大小，c決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的高低。二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y=ax2的圖象的關(guān)系：y=ax2+bx+c的圖象可以由y=ax2的圖象平

8、移得到，其步驟如下：將y=ax2+bx+c配方成y=a（xh）2+k的形式；（其中h=-,k=4ac-b）；2a4a把拋物線y=ax2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h件單位，得到y(tǒng)=a（x-h）2的圖象；再把拋物線y=a（x-h）2向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個(gè)單位，便得到y(tǒng)=a（x-h）2+k的圖象。二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c配方成y=a（x+上）2+4a。一b則拋物線的2a4a對稱軸：x=-且頂點(diǎn)坐標(biāo)：（_2,生三）2a2a4a增減性：若a>0,則當(dāng)x<一且時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>一包時(shí)

9、，y隨x的增大2a2a.而增大。若a<0,則當(dāng)x<上時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)乂>-b時(shí)，y隨x的增2a2a大而減小。22最值：若a>0,貝U當(dāng)x=-時(shí)，y最小=ac一一；若a<0,貝U當(dāng)x=-時(shí)，y最大=ac-一2a4a2a4a畫二次函數(shù)y=ax2，bx，c的圖象：我們可以利用它與函數(shù)y=ax2的關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的描點(diǎn)法-五點(diǎn)法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：先找出頂點(diǎn)（一旦，4ac-b2）,畫出對稱軸x=2；2a4a2a找出圖象上關(guān)于直線x=-對稱的四個(gè)點(diǎn)（如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等）；2a把上述五點(diǎn)連成光滑的曲線。二次函數(shù)的最大

10、值或最小值可以通過將解析式配成y=a（x-h）2+k的形式求得，也可以借助圖象觀察。解決最大（?。┲祮栴}的基本思路是：理解問題；分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系；用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系；做數(shù)學(xué)求解；檢驗(yàn)結(jié)果的合理性、拓展性等。二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象（拋物線）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xi,X2是對應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：b2-4ac>0<=>4物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；b2-4ac=0<=>4物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；2b-4ac<0V=>4物線與

11、x軸有0個(gè)父點(diǎn)（無父點(diǎn)）；當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,則這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離：b24ac化簡后即為：|AB|=U_4ac（b2-4ao0）-這就是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之間的|a|距離公式。第三章圓一.車輪為什么做成圓形派1.圓的定義：描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓;固定的端點(diǎn)O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點(diǎn)O為圓心的圓，記作。O,讀作“圓O”集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心.，定長叫做叼電千徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定網(wǎng)。

12、對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長）。X2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則點(diǎn)在圓上<=>d=r;點(diǎn)在圓內(nèi)<=>d<r;點(diǎn)在圓外<=>d>r.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。二.圓的對稱性：派1.與圓相關(guān)的概念：弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.?；?、半圓、優(yōu)弧、劣?。??。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧.，簡稱叫，用符號表示，以CD為端

13、點(diǎn)的弧記為«°口”讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.。（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。）弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形.。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距.派2.圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。X3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平

14、分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)弧；平分弦所對的劣弧。上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。派4.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論:在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.三.圓周角和圓心角的關(guān)系：X1.1°的弧的概念：把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí)，每一份的角都是1°的圓心角，相

15、應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成360份，每一份同樣的弧叫1°弧.派2.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.f這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等，而不是角與弧相等.即不能寫成/AOB=,蹺錯誤的.派3.圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角.派4.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑；四.確定圓的條件：X1.理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件：圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓

16、，經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個(gè)圓，其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上.X2.經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況：(1)經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，能且僅能作一個(gè)圓.定理:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.派3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì)：三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.五.直線與圓的位置關(guān)系派1.直線和圓相交、相切相離的定義：(1)相交:直線與圓有兩個(gè)公

17、共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線.相切:直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).(3)相離:直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離.X2.直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：設(shè)。的半徑為r,圓心O到直線的距離為d;d<r<=>直線L和。O相交.d=r<=>直線L和。O相切.d>r<=>直線L和。O相離.X3.切線的總判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線.X4.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線

18、的直線必經(jīng)過圓心.派分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得如下結(jié)論：如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出第三個(gè).垂直于切線；過切點(diǎn)；過圓心.派5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.派6.三角形內(nèi)心的性質(zhì)：(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)，該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角.六.圓和圓的位置關(guān)系.派1.外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.外離

19、:兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離.外切：兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(3)相交:兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交.內(nèi)切：兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).內(nèi)含：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例.X2.兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定：(1)兩圓外離<=>d>R+r(2)兩圓外切<

20、=>d=R+r(3)兩圓相交<=>R-r<d<R+r(R>r)(4)兩圓內(nèi)切<=>d=R-r(R>r)（5）兩圓內(nèi)含<=>d<R-r（R>r）X3.相切兩圓的性質(zhì)：如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上.X4.相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦七.弧長及扇形的面積X1.圓周長公式：圓周長C=2nR（R表示圓的半徑）X2.弧長公式：n二R弧長l=（R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù)）180X3.扇形定義：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形X4.弓形定義：由弦及其所對的弧組成的圖形

21、叫做弓形弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高.X5.圓的面積公式.2圓的面積S=nR（R表示圓的半徑）X6.扇形的面積公式：n二R2扇形的面積S扇形=（R表不圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù)）360A,S弓形=S扇形一S三角形,S弓形OS扇形'三角形,12,S弓形C：:，'R=S扇形圖52弓形的面積公式：（如圖5）八.圓錐的有關(guān)概念X1.圓錐可以看作是一個(gè)直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形，另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面X2.圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是

22、圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點(diǎn).如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長（扇形半徑）是l,底面圓周長（扇形弧長）為c,那么它的側(cè)面積是：。九.與圓有關(guān)的輔助線1 .如圓中有弦的條件，常作弦心距，或過弦的一端作半徑為輔助線.2 .如圓中有直徑的條件，可作出直徑上的圓周角.3 .如一個(gè)圓有切線的條件，常作過切點(diǎn)的半徑（或直徑）為輔助線.4 .若條件交代了某點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí)，連結(jié)圓心和切點(diǎn)是最常用的輔助線.。十.圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓圓內(nèi)接四邊形的特征：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)錯角十一.北師版數(shù)學(xué)未出理的有關(guān)圓的性質(zhì)定理1.切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。如圖6,PA,PB分別切。O于A、BPA=PB,PO平分/APB2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。如圖7,CD切。O于C,則，/ACD=/BA3.和圓有關(guān)的比例線段：卞羋論：如果弦與值徑垂直相交，那么弦的一半是它彳如圖'8一,一?PB=CP?PD圖7O所成的兩條線段的比例中