北京西城區(qū)2012014學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題版含答案

1、北京市西城區(qū)2013-2014學(xué)年下學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)試卷（理科）試卷滿分：150分考試時間：120分鐘、選擇題：本大題共10小題,每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。i31,復(fù)數(shù)一等于（）A.11iB.1-i22222.A3-C4=（）C.D.A.6B.123.計(jì)算定積分(xdx=()C.18D.20A.2B.1C.4D.-24.已知從A口袋中摸出一個球是紅球的概率為:從口袋中摸出一個球是紅球的概率,2為一?，F(xiàn)從兩個口袋中各摸出一個球，那么這兩個球中沒有紅球的概率是（5A._215B.C.715D.5 .從0,1,2,3中選取三個不同的數(shù)字組成一個三位

2、數(shù)，則不同的三位數(shù)有（）A. 24個B. 20個C.18個D.15個6 .如果用反證法證明數(shù)列%的各項(xiàng)均小于2”，那么應(yīng)假設(shè)（）A,數(shù)列a。的各項(xiàng)均大于2B,數(shù)列an的各項(xiàng)均大于或等于2C,數(shù)列an中存在一項(xiàng)ak，a2D,數(shù)列an中存在一項(xiàng)ak,ak之27,已知100件產(chǎn)品中有97件正品和3件次品，現(xiàn)從中任意抽出3件產(chǎn)品進(jìn)行檢查，則恰好抽出2件次品的抽法種數(shù)是（）A.C；C；8b.AXC.C；C；7D.aX.二2二8.由直線x=,x=，y=0與曲線y=sinx所圍成的封閉圖形的面積為（）331A.1B.一C.立D.3229.若5個人站成一排，且要求甲必須站在乙、內(nèi)兩人之間，則不問的排法有A.8

3、0種B.40種C.36種D.20種3210 .函數(shù)f(x)=ax-bx+cx的圖象如圖所不，且f(x)在x=%與x=1處取得極值,給出下列判斷： cA0； f(1)f(-1)0;函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+9)上是增函數(shù)。其中正確的判斷是(A.C.D.、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。一,，江、11 .已知函數(shù)f(x)=sinx,則f()=212 .已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下：X3b8P0.20.5a且E(X)=6,則a=；b=2,13 .曲線y=一在點(diǎn)(1,2)處切線的斜率為。16一一.14 .二項(xiàng)式(3x)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于;二項(xiàng)式系數(shù)和為x1

4、5 .拋擲一個骰子，若擲出5點(diǎn)或6點(diǎn)就說試驗(yàn)成功，則在3次試驗(yàn)中恰有2次成功的概率為。2.一16 .已知函數(shù)f(x)=xlnx+x,且%是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。給出以下幾個問題:11一一0%M一；X0；f(%)+%0其中正確的命題是。(填出所有正確命題的序號)三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17 .(本小題滿分13分)已知數(shù)列an中，a1=1,an書=2an4n+7,其中n=1,2,3，川。(i)計(jì)算a2,a3,a4的值；(n)根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜想an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。18 .(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=X33ax2+4,其

5、中a0O(i)若a=1,求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)和極值；(n)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,)上的最小值。19 .(本小題滿分13分)某企業(yè)主要生產(chǎn)甲、乙兩種品牌的空調(diào)，由于受到空調(diào)在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每臺空調(diào)的利潤與該空調(diào)首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)，甲、乙兩種品牌空調(diào)的保修期均為3年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌空調(diào)中各隨機(jī)抽取50臺，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時間x年0x11x22x30x22x3空調(diào)數(shù)量(臺)124432345每臺利潤(下九)122.52.71.52.62.8將頻率視為概率，解答下列問題:(I)從該廠生產(chǎn)的甲品牌空調(diào)中隨機(jī)抽取一臺，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的

6、概率；Xi,生產(chǎn)一臺乙(H)若該廠生產(chǎn)的空調(diào)均能售出，記生產(chǎn)一臺甲品牌空調(diào)的利潤為品牌空調(diào)的利潤為X2,分別求Xi,X2的分布歹U；(m)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌空調(diào)銷量相當(dāng)，但由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌空調(diào)，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該生產(chǎn)哪種品牌的空調(diào)？說明理由。20 .(本小題滿分13分)已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3個紅球和3個黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球。(I)求取出的4個球中沒有紅球的概率；(n)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率；(出)設(shè)已為取出的4個球中紅球的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。21 .(本小題滿分13分)x已知函數(shù)f

7、(x)=+m,mWR。e(I)當(dāng)m=0時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間、最大值；(n)設(shè)函數(shù)g(x)=|lnx|f(x),若存在實(shí)數(shù)m使得g(x)0,求m的取值范圍。22 .(本小題滿分14分)已知f(x)=ax+blnx1,設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線為y=0。(i)求實(shí)數(shù)a,b的值；x2(n)設(shè)函數(shù)g(x)=mf(x)+一mx,其中1m3。23e2求證：當(dāng)x=1,e時，一一(1+ln3)g(x)一2。22【試題答案】一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。I .B2,C3.A4.B5.C6.D7.C8.A9.B10.C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。I

8、I .012.0.3,613.-214.-540,6415.16.9注：一題兩空的試題，第一空3分，第二空2分；16題，僅選出或得3分；錯選得0分。三、解答題：本大題共6小題，共80分。17 .(本小題滿分13分)解：(I)根據(jù)已知，22=234x1+7=2x14+7=5；徭=2a2_4父2+7=2父5-8+7=9；a4=2a3-4父3+7=2父9-12+7=13。3分(n)猜想an=4n3。5分證明：當(dāng)n=1時，由已知，等式左邊=1,右邊=4M13=1,猜想成立。7分假設(shè)當(dāng)n=k(kwN)時猜想成立，即ak=4k-3,8分則n=k+1時，ak+=2ak-4k+7=2(4k3)4k+7=4k+

9、1=4(k+1)-3,所以，當(dāng)n=k+1時，猜想也成立。12分綜合和，可知an=4n-3對于任何n=N都成立。13分18 .(本小題滿分14分)解：(I)當(dāng)a=1時，f(x)=x33x2+4,f(x)=3x26x。2分令f(x)=0,得x=0或x=2。所以，在區(qū)間(巴0)上，f(x)A0,函數(shù)f(x)是增函數(shù)；在區(qū)間(0,2)上，f(x)0時，f(x)=3x(x_2a)。在區(qū)間(0,2a)上f(x)0,f(x)是增函數(shù)。12分所以，在區(qū)間0,y)上f(x)的最小值為f(2a),13分f(2a)=8a3-12a3+4=4-4a3。14分綜上，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+B)上的最小值為44a3。19

10、 .(本小題滿分13分)解：(I)設(shè)“甲品牌空調(diào)首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A,貝UP(A)=1245075043E(X1)=122.52,7一=2.6225025255011分39E(X2)=1.5父一+2.6父旦+2.8父衛(wèi)=2.736(千元)。25501012分所以E(X1)E(X2),故應(yīng)生產(chǎn)乙品牌空調(diào)。13分20.(本小題滿分13分)解：(I)設(shè)“取出的4個球中沒有紅球”為事件Ao10，(n)依題意X1的分布列如下:X1122.52.7P11243502525507分X2的分布列如下:X21.52.62.8P1253509109分(ID)由(H)得所以取出的4個球中沒有紅球的概

11、率為10(n)解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件B,“從甲盒內(nèi)取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件Co由于事件B,C互斥,且P(B)=211C3C3C3C：C：一25-10，0小、c3c；111P(C)=-5-=oC：C；2510所以，取出的4個球中恰有1個紅球的概率為312p(BUc)田B)p碗而二屋(出)解：之可能的取值為0,1,2,3o10分1.由(I)(n)知p伐=0)=,p=1)10C1C1C1C2P(=2)=再當(dāng)C32c2c2C4C6C4C；一山十一Ce6156155P(=3)金冬1,

12、C：C62510所以，的分布列為:0123P122110551012分.1221313分所以口的數(shù)字期望E=0x+1x-+2x+3x-=-105510221.(本小題滿分13分)解：(1)當(dāng)m=0時，f(x)=(xe)=e-xe=(1-x)e。當(dāng)X0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(一8,1)上是增函數(shù);當(dāng)XA1時，f(x)0o當(dāng)0cx1時，g(x)=_lnx_f(x),g(x)=-+(x-1)e1時，g(x)=Inx_f(x),g(x)=1+(x-1)e0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,一)上是增函數(shù)；11分x一,一一，一1所以g(x)的取小值為g(1)=m。12分e1一.一1右存在頭數(shù)x0,使得g(x00),則-moee1 所以m的取值氾圍為(一，七c)。13分e22.(本小題滿分14分)b解：(I)f(x)=a+，2分x依題意f(1)=0,且(1)=0。3分所以a1=0,a+b=0。解得a=1,b=1。4分(n)由(I)得f(x)=xlnx1,x0。2x所以g(x)=-mlnxm,x0。22、mx-mg(x)=x=oxx當(dāng)m0時，由g(x)0得x布，由g(x)0得0x(而。所以g(x)在區(qū)間(0,而)上是減函數(shù)，在區(qū)間(jm,+8)上是增函數(shù)，乂=/而是(*)的極小值點(diǎn)。當(dāng)1m3,xW1,e時，布w1,e,所以g(x)的最小值為g(jm),最大值為max(g