《正弦定理》(省優(yōu)質(zhì)課比賽優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì))

1、正弦定理王曉鋒河南省濟(jì)源第一中學(xué)一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容安排在全日制普通高級中學(xué)教科書（人教B版）第一章，正弦定理第一課時(shí)，是在高二學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識之后，顯然是對三角知識的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對初中解 直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛根據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次教師通過引導(dǎo)學(xué)生對實(shí)際問題的 探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手， 帶著疑問，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三角 形面積公式；第三層次利用正弦定理解決

2、引例，最后進(jìn)行簡單的應(yīng)用.學(xué)生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察一一實(shí)驗(yàn)一一猜想一一證明一一應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、 善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神.二、學(xué)情分析對普高高二的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約.根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解 決問題并品嘗勞動成果的喜悅 .三、設(shè)計(jì)思想：本節(jié)課采用“導(dǎo)探互研”課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主

3、 和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究內(nèi)容，為學(xué)生 提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會，讓學(xué)生通過個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試 活動，在知識的形成、發(fā)展過程中展開思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造 性思維的能力.四、教學(xué)目標(biāo)：1 .讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā) ，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中， 邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握 正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問 題.2

4、 .通過對實(shí)際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生 的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力善于發(fā)現(xiàn)、不畏3 .通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué) 艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣正弦定理、向量4 .培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、 的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過程.教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器，直尺，量角器.六、教學(xué)過程：（一）

5、引導(dǎo)創(chuàng)設(shè)問題情境師生活動：教師：展示情景圖如圖 1,船從港口 B航行到港口 C,測得BC的距離為600m ,船在港口 C卸貨后繼續(xù)向港口 A航行，由于船員 的疏忽沒有測得CM巨離，如果船上有測角儀我們能否計(jì)算出A、BE學(xué)生：思考提出測量角 A C.教師：若已知測得/BAC=75, /ACB =45*,要計(jì)算A、B兩地距離，你有辦法解決嗎？學(xué)生：思考交流，畫一個(gè)三角形 ABC',使得BC為6cm, /BAC' = 75一 /A'CB' = 45。，量得AB'距離約為4.9cm,利用三角形相似性質(zhì)可知 AB約為490m.老師：對，很好，在初中，我們學(xué)過相似三

6、角形，也學(xué)過解直角三角形，大家還記得嗎?師生：共同回憶解直角三角形，直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個(gè)角中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個(gè)角教師：引導(dǎo)，AABC是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計(jì)算AB呢？.直角三角形學(xué)生：思考，交流，得出過 學(xué)生闡述，教師板書.解：過A作AD _LBC于DA作AD _L BC于D如圖2,把AABC分為兩個(gè)直角三角形，解題過程,AD在 RtAACD 中，sin /ACB = AC,AD = AC *sin . ACB =600 '2 =300,2m2；NACB=451 NBAC=75". ABC =180 -/ACB -/A

7、CB =60；（圖2）.AD在 RtAABD 中，sin / ABC ABAC AD 300,2AB200 6msin. ABC R 2教師：表示對學(xué)生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若AB = c,能否用B、b、C表示c呢？教師:學(xué)生:教師:引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才解題過程.ADAD發(fā)現(xiàn) sinC , sin B =.AD = bsinC = csin BbsinCc 二sin B引導(dǎo) ，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么?學(xué)生:發(fā)現(xiàn)即然有c=bsnC，那么也有sin B教師:引導(dǎo)bsin Cc 二sin Ba ba sin C c =sin Aa sin Cc =,sin Absin

8、 Aa 二bsin Aa 二sin Bsin C sin A角關(guān)系呢？sin A sin B,因此我們可以發(fā)現(xiàn)sin Ba,我們習(xí)慣寫成對稱形式sin A sin B sin Csin C sin B ',是否任意三角形都有這種邊設(shè)計(jì)意圖：興趣是最好的老師 .如果一節(jié)課有良好的開頭，那就意味著成功的一半.因此，我通過從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題, 在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個(gè)猜測性的結(jié)論一一猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力（二）師生平等、探索討論、交流、解決問題教師：給學(xué)生指明一個(gè)

9、方向，我們先通過特殊例子檢驗(yàn)二一=-b- = 是否成立,sin A sin B sin C舉出牛e例.a： b： c 為 1 ： 1 ：(1)在 ABC中，/ A, /B, /C分別為60°, 60s, 60°,對應(yīng)的邊長1,對應(yīng)角的正弦值分別為<3<333引導(dǎo)學(xué)生考察-a- , -b-, 的關(guān)系.(學(xué)222sin A sin B sin C生回答它們相等）(2)、在 ABC中，/ A, /B, /C分別為 45°, 45、90% 對應(yīng)的邊長 a: b: c為 1:1： J2,對應(yīng)角的正弦值分別為 三，1；（學(xué)生回答它們相等）(3)、在 ABC中，/

10、A,/ C分別為30，60口，90%對應(yīng)的邊長 a：b: c 為 1:<3 : 2,對應(yīng)角的正弦值分別為1.（學(xué)生回答它們相等）(圖3)教師：對于 RtAABC呢？學(xué)生：思考交流得出，如圖ab則有 sin A = -，sin B = -一 一 c,又 sin C =1 =, cBC=a,AC=b,AB=c,則a- sin A=csin B sin C從而在直角三角形ABC 中,sin A sin Bsin C教師：那么任意三角形是否有 一a（圖4）呢？學(xué)生按事先安排分組,sin A sin B sin C讓學(xué)生閱讀實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，質(zhì)疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學(xué)生沒有問

11、題，教師 讓學(xué)生動手計(jì)算，附實(shí)驗(yàn)報(bào)告單.）出示實(shí)驗(yàn)報(bào)告單,學(xué)生：分組互動，每組畫一個(gè)三角形，度量出三邊和三個(gè)角度數(shù)值，通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比較sin A的近似值.sin B sin C教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換,sin A sin B sin C值仍然保持相等.我們猜想:sin A sin B sin C設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望.學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面（三）反思（證明猜想，得出定理）師生活動：教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明sin A sin B sin C下證明

12、過程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述）J呢？前面探索過程對我們有沒有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié).（以學(xué)生：思考得出在RtMBC中，成立, 在銳角三角形中，如圖 作：AD_LBC,垂足為在 RtAABD 中，sinABAD = AB sinB =c*sinB.AD在 RtAADC 中，sinC=UACAD = AC sinC =b sinC csin B = bsinC如前面檢驗(yàn).5設(shè) BC =a , CA = bDBdAB =ccsin Cbsin B同理，在ABC 中,sin A sin C csin Asin B在鈍角三角形中，如圖sin C6 設(shè)/C 為鈍角，BC=a, CA =

13、b, AB=c作AD _L BC交BC的延長線于D_, AD在 RtAADB 中，sin B =-ABAD = AB，sin B = c，sinB.一.AD在 RtADC 中，sin/ACDnAD AC.AD =AC sin ACD =bsin ACB c，sin B = b *sin ACBsin ACB sin B同銳角三角形證明可知sin A sin C csin A sin B sin ACB教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即a b csin A sin B sin C還有其它證明方法嗎？學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7）,對于任意 ABC

14、,由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：111s ABCac *bd，cb *ae,ba *cf ,辦 222，BDAECF而由圖中可以看出：SinBAC = , sinZACB = , sinZABC =BD = AB sin. BAC, AE =AC *sin . ACB,CF =BC sin. ABCc 1 、 - 1 1 S aBC = AC BD = CB AE = BA *CF2221111c *a *sin /ABC 2=-AC *AB *sin . BAC = CB *CA *sin . ACB = BA BC *sin . ABC 22211=b *c *sin *BAC = -

15、a *b *sin ZACB = 22c s& n1苗拘除8 a b而可得2一,、111等式一bCinNBA C=a, bs i n / A-C B222sin . BAC sin . ABC sin . ACB ?abc即a二b二c sin BAC sin ABC sin ACB教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時(shí)板書證明過程在剛才的證明過程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高AE=c,sin/ABC = a,sin/ABC ,三角形的面積:1八一（,S&bc =_ a,AE ,能否得到新面積公式 2_1 . 1. 一一 1. 一子生：S Abc = -b *c 'sin /BAC = 一

16、a *b 'sindACB = 一 c *a 'sin ABC 222得到三角形面積公式 S Abc =；absinC = ；casin B = ；bcsin Ab'. -,C教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：一工、一bg、一cs都等/ 乂 于同一個(gè)比值k,那么它們也相等，這個(gè) k到底有沒有什么特殊幾何意義呢？/ （圖8）學(xué)生：在前面的檢驗(yàn)中,Rt&ABC 中,sin Ac = k=2R,所以作AABC的外接圓O,。為圓心， 直角三角形.證明：連續(xù)BO并延長交圓于 B'sin B =c , c恰為外接接圓的直徑，即 sinC連接BO并延長交圓O于B&

17、#39;,把一般三角形轉(zhuǎn)化為B'AB =90在 RtAB'AB 中,B'"CAB二 B Bsin B'AB ABsin B'即snCsin C=2r同理可證:uB'B-2R=2Rsin Ab cb =2R sin Bsin A sin B sin C=2R教師：從剛才的證明過程中asin Asin B sin C= 2R,顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑2R ,我們通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識來證明正弦定理？比如，在向量中，我也學(xué)過a *b='a' *

18、9;b1 *cos9 ,這與邊的長度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來證明正弦定理呢？在銳角三角形 AABC中，AB' + BC = AC ,作單位向量j垂直于AC ,AC.rAB.? BCj即 0=c*cos(90 -A) a *cos(90 -C)c，sin A -a *sin C = 0csin C同理:asin Asin A b asin Bsin A_ _b csin B sin C(圖9)學(xué)生：思考（聯(lián)系作高的思想）得出：對于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡單交代教師：由于時(shí)間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再探索設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷證明猜想的過程

19、，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想，力圖讓學(xué)生體 驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程.（四）遷移創(chuàng)新師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目 的是規(guī)范解題步驟.例1：在AABC中，已知A =30°, B=451 a=6cm,解三角形.分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為 180口求出第三個(gè)角/ C,再由正弦定理求其他兩邊 .例2：在AABC中，已知a=2j2, b=2j3, A = 45°,解三角形.例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流學(xué)生：反饋練習(xí)（教科書第 5頁的練習(xí)）用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答.設(shè)計(jì)意圖：自己解決問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動力， 使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動學(xué)習(xí).（五）嘗試小結(jié)：教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容.學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié) .師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（ =）=_ = 2R）及其證明思想方法.sin A sin B sin C（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；已知三角形中兩邊和其中一邊所對的角，求其他元素.（3）分類討論的數(shù)學(xué)思想.設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的總結(jié)，