學(xué)而思秋季四年級超常123班難題匯總至

1、學(xué)而思2011年秋季四年級超常123班難題匯總一直跟著孩子在學(xué)而思秋季四年級超常3班聽課，有一些有難度的題目，為了孩子們溫習(xí)和家長們參考，特進行匯總，并給出解題思路和答案，和大家一起分享。聲明：本文檔只是收錄了各講有點難度的題目，并對難題進行解析、分級等，并未對各講內(nèi)容進行總結(jié)和分析，各講內(nèi)容的總結(jié)和剖析可以參見學(xué)而思老師的相關(guān)文檔。如您對難題感興趣，可以參閱本文檔。第一講 整數(shù)與數(shù)列找規(guī)律、記公式是本講的主要內(nèi)容，尤其是平方差公式、平方和公式，孩子第一次接觸，需要有個理解消化的過程。1、【例2】一列數(shù)是按以下條件確定的：第一個是3，第二個是6，第三個是18，以后每一個數(shù)是前面所有數(shù)的和的2倍

2、，則第六個數(shù)等于：_，從這列數(shù)的第_個數(shù)開始，每個都大于2007?！倦y度級別】【解題思路】找規(guī)律。第1個：3第2個：63×2第3個：18(3+2×3)×23×(1+2)×23×3×232×2第4個：54(3+6+18)×2(3+3×2+3×3×2)×2(3×3+3×3×2)×2(3×3×3)×233×2第n個：3n-1×2這個式子孩子不一定理解，但是孩子可以明白：每個數(shù)是其前面

3、數(shù)的3倍(第1、2個數(shù)除外)，前8個數(shù)是：3、6、18、54、162、486、1458、4374。由公式，第6個數(shù)：35×2486。由3n-1×2 > 2007，得3n-1 > 1003.5，n>=8（其實，第6個數(shù)是486，第7個數(shù)就是486×31458，第8個數(shù)1458×34374>2007）?！敬鸢浮?86，8。2、【例5】計算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16計算：1×99 + 2×98 + 3×97 + + 49×5

4、1【難度級別】【解題思路】此題沒有難度，就是平方差公式的應(yīng)用，列在這里是想說一下如何找中間數(shù)。2個數(shù)的中間數(shù)2個數(shù)的和除以2，或者小的數(shù) + 2個數(shù)的間隔的一半（大的數(shù) - 2個數(shù)的間隔的一半）。例如11和19的中間數(shù)是15（(11+19)/2=15,19-11=8,8/2=4,11+4=15,19-4=15）, 2和98的中間數(shù)是50（(2+98)/2=50,98-2=96,96/2=48,2+48=50,98-48=50）。計算題中平方差的應(yīng)用主要是找準(zhǔn)中間數(shù)。另外，項數(shù)要數(shù)對了，例如第2道計算題是49項，而不是50項。(1)=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152

5、-12)=870(2)=(502-492)+(502-482)+(502-472)+(502-12)=502×49-(492+482+472+12)=2500×49-49×50×99÷6=82075【答案】870，82075。3、【學(xué)案4】計算：2×4 + 4×6 + 6×8 + + 28×30【難度級別】【解題思路】此題不難，主要是考一下孩子要先提取公因式，再繼續(xù)往下做，用到n(n+1)= n2+n和平方和公式：12+22+n2=n(n+1)(2n+1)/6。每個乘積的2個數(shù)分別提取個2，2×

6、24，相等于提取4。2×4 + 4×6 + 6×8 + + 28×304×（1×2 + 2×3 + 3×4 + + 14×15）括號內(nèi)的，例題講過，通用的方法是：n×（n + 1）= n2 + n這樣構(gòu)成了2個數(shù)列，一個平方和，一個等差數(shù)列（連續(xù)自然數(shù)）。4×（12+1 + 22+2 + 32+3 + + 142+14）4×（12+22+32+142+）+（1+2+3+14）4×（14×15+29÷6 + 15×14÷2）44

7、80【答案】4480。4、【學(xué)案1】我們把相差為2的兩個奇數(shù)稱為連續(xù)奇數(shù)，自然數(shù)1111155555是否是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積？【難度級別】【解題思路】這道題，直接證明不太容易，嘗試拆分是可做的。當(dāng)然本題考孩子的是找規(guī)律。先說一下不找規(guī)律，看看用嘗試法如何做，以下分拆過程是大家容易想到的。11111555551111100000 + 5555511111×100000+11111×511111×（100000+5）11111×100005（因100005比11111大，想辦法變?。?1111×20001×5（先考慮是5的倍數(shù)）11111

8、×6667×5×3（再看到20001是3個倍數(shù)）33333×33335從11111×6667×5×3這個式子可以看出來，11111×3得到3萬多，6667×5也得到3萬多，這樣兩兩組合應(yīng)該可以得到比較接近的兩個數(shù)（當(dāng)然也是嘗試法）。找規(guī)律，方法如下：1個1，1個5，153×52個1，2個5，115533×353個1，3個5，111555333×335n個1，n個5，1115555333×3335(都是n位數(shù))所以，5個1，5個5，111115555533333

9、15;33335【答案】可以，111115555533333×33335。5、【學(xué)案2】47個互不相同的非零自然數(shù)之和為2000，問最少有多少個偶數(shù)？【難度級別】【解題思路】此題，孩子可能無從下手。先將最少多少個偶數(shù)，轉(zhuǎn)換為最多多少個奇數(shù)。要想奇數(shù)最多，肯定越小越好，所以從1、3、5開始考慮，從1、3、5一直加到多少會接近2000呢？假設(shè)有n個奇數(shù)，第n個奇數(shù)是2n-1。1+3+5+(2n-1)=(1+2n-1)*n/2=n2n=44時，n2=1936；n=45時，n2=2025所以n最大為44，47443，偶數(shù)最多3個。給出一例：2000=1+3+5+85+87+(2+4+58)，

10、保證3個偶數(shù)和為64即可（2000-1936=64）?！敬鸢浮孔钌儆?個偶數(shù)。×9_【難度級別】【解題思路】這道題，將9變成(10-1)也不是太復(fù)雜，當(dāng)然本題考孩子的是找規(guī)律。12=1112=1211112=1232111112=1234321數(shù)如果是n個1(1<=n<=9)，平方就是1n1。所×91111111112×9111111111×999999999111111111×(10000000001)【答案】。7、【作業(yè)3】非零自然數(shù)的平方按照從小到大的順序連續(xù)排列，是：149162536，則從左向右的第16個數(shù)字是_?！倦y度級

11、別】【解題思路】這道題，難度也就一星，但是如果問第160個數(shù)字?jǐn)?shù)多少，難度就有3星了。因為第16個數(shù)字再寫幾個就出來了，但是如果第160個就寫不出來只能計算了。計算過程如下：平方數(shù)是1位的，有1、2、3，共3個。平方數(shù)是2位的，有4、5、9，共6個。平方數(shù)是3位的，有10、11、12、31，共22個。平方數(shù)是4位的，有32、33、34、99，共68個。因為，31的平方961（3位最大的）32的平方1024（4位最小的）99的平方9801（4位最大的）100的平方10000（5位最小的）1×3+2×6151×3+2×6+3×22811×

12、3+2×6+3×22+4×68272從這個結(jié)果知道，16-15=1，第16個數(shù)字是“平方數(shù)是3位”的第1個數(shù)字，即：10的平方（100）中1。1608179，第160個數(shù)字是“平方數(shù)是4位”的第79個數(shù)字，79÷4193，即：第20個“平方數(shù)是4位”的左數(shù)第3個，32+20-1=51，51的平方2601，左數(shù)第3個是0。所以地160個數(shù)字是0?！敬鸢浮?。8、【作業(yè)4】對于每個不小于1的整數(shù)n，令an表示1+2+3+n的個位數(shù)字。例如a11，a23，a40，a55，則a1+a2+a3+a2007_。【難度級別】【解題思路】題目不難，但孩子不一定能做出來。

13、這種題目一看，肯定是周期問題，一定會循環(huán)的，此題的關(guān)鍵是，看能否堅持下去，因為到20才出現(xiàn)周期。n1234567891011121314151617181920an13605186556815063100題目求的是2007個數(shù)字的和。2007÷201007周期內(nèi)的20個數(shù)字的和70，周期內(nèi)前7個數(shù)字的和24要求的結(jié)果100×70+247024【答案】7024。第二講 巧求面積求面積時需要頭腦靈活，但是有些題目方法確實不好想，需要摸索、體會和領(lǐng)悟。21、【例7】有一大一小兩塊正方形試驗田，他們的周長相差40米，面積相差220平方米，那么小正方形試驗田的面積是多少平方米？【難度

14、級別】101010102134【解題思路】此題，10×10100平方米，這個不一定容易看到。周長相差40米，邊長相差10米。如圖，(3)為小試驗田，則(1)的面積是100平方米，這是關(guān)鍵點。40÷410，10×10100，220100120，120÷260，60÷106，6×636【答案】36平方米。22、【作業(yè)8】在圖中，平行四邊形ABCD的邊BC長10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積?！倦y度級別】【解題思路】此題問題的關(guān)鍵是如何使用條件“

15、陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米”，如果考慮到填補的方法，問題就變得簡單了。都補上梯形EGCB后，陰影就變成了“平行四邊形ABCD”，三角形EFG就變成了“三角形EBC”。根據(jù)差不變性質(zhì)，這2部分的面積差還是10平方厘米，而三角形EBC是個直角三角形面積可求（二個直角邊已知）。10×8÷240，40+1050。【答案】50平方厘米。ECFADB23、【作業(yè)1】如圖所示，從一個直角三角形中剪去一個面積為15cm2的長方形后剩余部分是兩個直角三角形。已知AD長為3cm，求CE長是多少？【難度級別】GADECFB123456F【解題思路】看到此題，作為家長的我，

16、是真的沒做出來，關(guān)鍵是這種巧妙的方法不是很好想的。如圖做輔助線，構(gòu)成一個大長方形ABCG。由對稱知道，三角形AGC和三角形ABC面積相等，又3和1面積相等，4和2面積相等，所以6和5面積相等，為15cm2。因為6的面積15cm2，寬AD3cm，所以，長15/35cm，CE5cm?！敬鸢浮?cm。AEFBGDCO24、【例8】如圖，ABCD是7×4的長方形，DEFG是10×2的長方形，求BCO與EFO的面積差。【難度級別】【解題思路】此題的難點在于不好理解求的“BCO與EFO的面積差”，為什么要求2個的面積差？不好下手。如果使用高中知識，可知BCO與EFO是相似，BC=2EF

17、，可得CO=2EO，所以CO=2，EO=1（因為CE=3），結(jié)果是：2×4/2-1×2/2 = 3。HAEFBGDCO小學(xué)知識，就得從要求的“BCO與EFO的面積差”考慮，這2個都不好求，添一個什么圖形能好求呢？！延長BC，BCO與EFO都添加一個梯形CHFO，就變成了求BHF與長方形EFHC的面積差了。3×6/2-3×23。【答案】面積差是3。25、【學(xué)案3】圖中的4個圓的圓心是正方形的4個頂點，它們的公共點是該正方形的中心。如果每個圓的半徑都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？【難度級別】【解題思路】此題不好考慮如何做輔助線，如何把花瓣拼湊

18、成規(guī)整圖形。如圖虛線，在一個圓內(nèi)作一個正方形，此正方形與中間的正方形大小是相等的。在虛線的正方形內(nèi)空白的2個花瓣，正好可以用“圓和虛線正方形之間2個陰影”補上，湊成一個正好的正方形。所以陰影部分的面積就是4個小正方形的面積。本題的第二個難點就是，如何求一個小正方形的面積。小正方形的對角線正好是直徑2厘米。使用“正方形面積對角線平方÷2”來求。（22÷2）×48平方厘米?！敬鸢浮?平方厘米。AEFCBGDO26、【學(xué)案4】如圖， E、F、G都是正方形ABCD三條邊的中點，OEG比ODF大10平方厘米，那么梯形OGCF的面積是多少平方厘米？【難度級別】AEFCBGDO

19、HIJ【解題思路】此題較難，成人也不太容易做出來，第一：題目給的“OEG比ODF大10平方厘米”不知道如何使用，第二：不知道該怎么做輔助線。如圖從G點向上作一條垂線，從O點向下作一條垂線。需要證明O是HF的中點。對長方形IGCD，DG是對角線經(jīng)過長方形的中心，HF是長方形的對稱軸也經(jīng)過長方形的中心，所以O(shè)是長方形IGCD的中心點，所以O(shè)是HF的中點，所以O(shè)GH和ODF形狀大小完全相同面積相等。這樣，題目給的條件“OEG比ODF大10平方厘米”就用上了，HEG的面積就是10平方厘米。再根據(jù)E、F、G都是邊上的中點，知道HEG的面積是正方形ABCD面積的1/8，正方形ABCD面積是80。四邊形HG

20、CF面積是1/4，80/4=20平方厘米，OHG的面積是1/16，80/16=5平方厘米，梯形OGCF的面積是：20515平方厘米。也可以不求出正方形ABCD面積80，HEG的面積1/8等于10平方厘米，OHG的面積1/16就是1/8的一半5平方厘米，四邊形HGCF面積1/4就是1/8的2倍20平方厘米，20515就是梯形OGCF的面積。【答案】15平方厘米。第三講 火車過橋問題火車過橋問題，情況比較多，老師逐一進行了講解，如頭頭、頭尾等，還分相遇或者追及，個人認(rèn)為記住這些比較困難，最好記住分析的方法和原理就行了，遇到具體問題再去分析是“慢車長”還是“快車長”、是“車長+車長”還是“車長-車長

21、”。方法就是，車頭插紅旗或者車尾插紅旗，看看題目中的兩者（或者多者）具體走的距離。解題主要考慮3個量：距離、速度、時間，距離一般使用距離和或者距離差，速度一般使用速度和或者速度差。31、【例8】有一條東西向的鐵路橋，一只小狗在鐵路橋中心以西5米的地方。一列火車以每小時60千米的速度從西邊駛過來，火車頭距離鐵路橋的西橋頭還有2個橋長的距離。如果小狗迎著火車跑過去，它恰好能在火車頭據(jù)西橋頭還有1米的時候逃離鐵路橋；如果小狗以同樣的速度向東跑的話，小狗會在據(jù)東橋頭還有0.25米的地方被火車追上。鐵路橋長多少米？小狗的速度為每小時多少千米？【難度級別】【解題思路】此題題目較長，需要畫圖和列表來幫助解題

22、，要讓孩子有耐心去讀題、分析題。510.25小狗和火車相同時間走的距離：小狗火車小狗向西半橋-52橋-1小狗向東半橋+5-0.253橋-0.25(+)1橋-0.255橋-1.25從表格看出，5橋-1.25=5×(1橋-0.25)，說明在相同時間內(nèi)火車走的距離恰好是小狗的5倍，火車的速度是小狗的5倍，小狗速度60÷512千米/小時。由5倍關(guān)系，2橋-15×(半橋-5)，求得：橋=48米。其實，從可以列成二元方程來：(2S-1)/60 = (S/2-5)/V(3S-0.25)/60 = (S/2+4.75)/V這個二元方程是分?jǐn)?shù)方程，最后變成S的一元二次方程，有2個解

23、。一個解：V12，S48是正解，另外一個解S=0.25(V585)不符合題意。但是這個方程，對于小學(xué)孩子是無法解的。這僅僅是想說明，此題如果不是整數(shù)倍，也是有解的，當(dāng)然給孩子出題不會這么難的?！敬鸢浮胯F路橋長48米,小狗的速度為每小時12千米。32、【例7】現(xiàn)有兩列火車同時同方向齊頭行進，行12秒后快車超過慢車?？燔嚸棵胄?8米，慢車每秒行10米。如果這兩列火車車尾相齊同時同方向行進，則9秒后快車超過慢車，求當(dāng)快車車頭追上慢車車尾到快車車尾離開慢車車頭的時間?！倦y度級別】【解題思路】此題不難，列在這里，想說兩件事情，一是如何分析問題如何考慮使用哪個車長，二是此題有簡便算法。其實火車過橋問題，主

24、要是考慮車長、橋長。此題第一種情況，同向，頭頭齊。同向，是追及問題，用到的是距離差、速度差，當(dāng)然，相遇類問題就用到距離和、速度和。頭頭齊，同向行進，可以讓孩子在車頭插紅旗，用示意圖畫一下開始兩車頭齊，之后快車尾和慢車頭齊，紅旗走的距離就是這個車走的距離。這樣可以看出來快車走的正好比慢車多了一個“快車車長”。此題第二種情況，同向，尾尾齊。尾尾齊同向行進，可以讓孩子在車尾插紅旗，用示意圖畫一下開始兩車尾齊，之后快車尾和慢車頭齊，紅旗走的距離就是這個車走的距離。這樣可以看出來快車走的正好比慢車多了一個“慢車車長”。此題第三種情況，同向，快車頭慢車尾齊，之后是快車尾慢車頭齊?？梢宰尯⒆釉诳燔囶^、慢車尾

25、插紅旗，紅旗走的距離就是這個車走的距離。這樣可以看出來快車走的正好比慢車多了“慢車車長+快車車長”。這種方法，孩子就不需要記各種各樣的情況下是哪個車長，學(xué)會畫圖即可。解題就簡單了，第一種情況，求出快車車長：12×(18-10)=96米，第二種情況，求出慢車車長：9×(18-10)=72米，第三種情況，兩車行進的距離差是“慢車車長+快車車長”，距離差/速度差，就是要求的時間，(96+72)/(18-10)=21秒。列出此題的第二個目的是，此題有簡便算法，想一下，多走一個快車的時間是12秒，多走一個慢車的時間是9秒，第三種情況就是多走2個車，所以時間是：12+9=21秒?！敬鸢?/p>

26、】21秒。33、【例4】李云靠窗坐在一列時速60千米的火車?yán)?，看到一輛有30節(jié)車廂的貨車迎面駛來，當(dāng)貨車車頭經(jīng)過窗口時，他開始計時，直到最后一節(jié)車廂駛過窗口時，所計的時間是18秒。已知貨車車廂長15.8米，車廂間距1.2米，貨車車頭長10米。問貨車行駛的速度是多少？【難度級別】【解題思路】此題不難，幫助分析。車廂長、車頭長、車廂間距，這些僅僅是為了求貨車的車長。此題可以等同于火車過人問題，只是人不是靜止的是有速度的（火車的速度），所以此題火車沒有用處可以忽略。因是迎面，是相遇問題，使用的是距離和、速度和。此題涉及單位換算，題做完后知道，換成米/秒是小數(shù)，換成千米/小時是整數(shù)。明白以上四點，解題

27、就簡單了。貨車車長15.8×30+10+1.2×30520米。車頭和車廂之間是有間距的，所以1.2不要算29個要算30個。距離和520米，速度和520米/18秒=(520/1000)/(18/3600)千米/小時104千米/小時。貨車速度104-60=44千米/小時。【答案】44千米/小時。34、【例3】鐵路旁的一條平行小路上，有一行人與一騎車人同時向南行進，行人速度為3.6千米/時，騎車人速度為10.8千米/時。這時，有一列火車從他們身后開過來，火車通過行人用了22秒，通過騎車人用了26秒。這列火車的車身總長是多少？【難度級別】【解題思路】此題不難，幫助分析?；疖囘^人問題

28、，追及，使用距離差、速度差。很明顯，距離差火車車長。3.6千米/時1米/秒，10.8千米/時3米/秒。22×(V-1) = 26×(V-3)V=14米/秒22×(V-1)=286米【答案】286米。35、【學(xué)案4】在雙軌鐵道上，速度為54千米/小時的貨車10時到達(dá)鐵橋，10時1分24秒完全通過鐵橋，后來一列速度為72千米/小時的列車，10時12分到達(dá)鐵橋，10時12分53秒完全通過鐵橋，10時48分56秒列車完全超過在前面行駛的貨車。求貨車、列車和鐵橋的長度各是多少米？【難度級別】【解題思路】火車過橋和追及問題，需要把時間弄清楚。貨車速度：54千米/小時15米/秒

29、列車速度：72千米/小時20米/秒貨車過橋時間84秒，S貨+S橋84×151260米列車過橋時間53秒，S列+S橋53×201060米貨車離開橋到列車超過用了47分32秒2852秒，走的路程：2852×1542780米列車離開橋到超過貨車用了36分3秒2163秒，走的路程：2163×2043260米分析：從車尾離開橋到列車追上貨車，“橋到追上地點的距離”是本題孩子不容易搞明白的地方。貨車車尾離開橋、列車車尾離開橋不是在同一時間，課堂上講的頭頭、尾尾、頭尾等等情況都是在同一時刻。事實上給孩子講清楚：貨車走的慢先走的、列車走的快后走的，但是最后追上了；不管是

30、列車走還是貨車走，也不管是先走還是后走，“橋到追上地點的距離”是不變的；在車尾插紅旗，列車走的路程是“橋到追上地點的距離”，貨車走的路程比“橋到追上地點的距離”少了一個“貨車車長”，所以：貨車路程+貨車車長列車路程。42780+S貨43260，得到：S貨480米由前面的S貨+S橋1260米，得到：S橋1260-480=780米由前面的S列+S橋1060米，得到：S列1060-780=280米【答案】貨車長480米，列車長280米，橋長780米。36、【學(xué)案3】一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢車的車長是385米，坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，那么坐在慢車上的人看見

31、快車駛過的時間是多少秒？【難度級別】【解題思路】此題不難，幫助分析。相向，相遇問題，使用距離和、速度和。坐在快車上，距離和=慢車長=385，速度和=385/11=35米/秒。坐在慢車上，距離和=快車長=280，速度和不變，時間=280/35=8秒?！敬鸢浮?80÷(385÷11)=8秒。37、【學(xué)案2】鐵路與公路平行。公路上有一行人，速度是3.6千米/小時，公路上還有一輛汽車，速度是16米/秒，汽車追上并超過這個行人用了2.4秒。鐵路上有一列火車與汽車同向行駛，火車追上并超過行人用了6秒，火車從車頭追上汽車車尾到完全超過這輛汽車用了48秒。求火車的長度與速度。【難度級別】【

32、解題思路】僅從字面“追上并超過”理解，感覺象“人與汽車同向”，但是個人認(rèn)為題目沒有說人和汽車的方向，需要考慮人的方向有2種可能。(1). 人與汽車同向追及問題，使用距離差、速度差。3.6千米/小時1米/秒。汽車追人得到，汽車長2.4×(16-1)=36米火車追人得到，火車長6×(V-1)火車追汽車得到，火車長+汽車長48×(V-16)48×(V-16)6×(V-1)+36V19米/秒火車長6×(V-1)6×(19-1)108米(2). 人與汽車相向人與汽車、人與火車相遇，火車與汽車追及。48×(V-16)6

33、5;(V+1)+2.4×(16+1)V19.4米/秒火車長6×(V+1)6×20.4122.4米【答案】長108米，速度19米/秒，或：長122.4米，速度19.4米/秒。第四講 加乘原理綜合應(yīng)用此講沒有新內(nèi)容，是對以前學(xué)過的加乘原理的應(yīng)用，但是有些題目確實挺有難度的。41、【作業(yè)4】一次考試的選擇題有A、B、C、D四個選項，允許選一項或者多選（可以全選，但不能都不選），問這個選擇題有多少種不同的答案？【難度級別】【解題思路】此題不難，列在這里是想說另一種方法。大家常用的方法是：選1個4種，選2個6種，選3個4中，選4個1種，共4+6+4+115種。另一種方法就是

34、：每個選項選或不選有2種可能，2×2×2×2-115?！敬鸢浮?5種。42、【作業(yè)3】有一個四位數(shù)，它與它的逆序四位數(shù)的和為9999，例如7812+2187=9999,3636+6363=9999,那么這樣的四位數(shù)一共有多少個？【難度級別】【解題思路】此題不算太難，但是孩子可能讀不太懂“它與它的逆序四位數(shù)的和”，即便讀懂了也不知道如何考慮。的逆序是，因a+d=9,b+c=9,a和d不能等于0也就不能等于9，所以a可以選擇除0和9以外的8個數(shù)字，a選好后，d就確定了，b可以選擇10個數(shù)字，b選好后，c就確定了。8×1080?！敬鸢浮?0個。43、【例7】某

35、件工作需要鉗工2人和電工2人共同完成?，F(xiàn)有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工電工都會。從7人中挑選4人完成此項工作，共有多少種方法？【難度級別】【解題思路】此題難度不大。分兩種情況考慮就可以了：不選“多面手”、選“多面手”。給孩子講清楚，3選23選13種。不選“多面手”，需要2名鉗工，3名鉗工選2名鉗工，3種，需要2名電工，3名電工選2名電工，3種，3×39種。選“多面手”，又分2中情況：“多面手”當(dāng)鉗工、“多面手”當(dāng)電工。“多面手”當(dāng)鉗工，還需要1名鉗工，3名鉗工選1名鉗工，3種，需要2名電工，3名電工選2名電工，3種，3×39種?！岸嗝媸帧碑?dāng)電工，需要2名鉗工，3名鉗工選

36、2名鉗工，3種，還需要1名電工，3名電工選1名電工，3種，3×39種。9+9+927種?！敬鸢浮?7種。44、【例8】用四種顏色對下圖的五個字染色，要求相鄰的區(qū)域的字染不學(xué)奧而數(shù)思同的顏色，但不是每種顏色都必須要用。問：共有多少種不同的染色方法？【難度級別】【解題思路】這道題不太難，就是在然最后2個的時候要分情況。這道題好象是某個杯賽的1道題目，原題是對5個國家染色。假設(shè)染色順序為：學(xué)奧而思數(shù)。前3個：學(xué)奧而，4×3×2，“思”有2種情況：與“學(xué)”相同、與“學(xué)”不同。“思”與“學(xué)”相同：“數(shù)”有2種，“思”與“學(xué)”不同：“數(shù)”只有1種，所以：2+13，4×

37、;3×2×（2+1）72種?！敬鸢浮?2種。45、【例2】如圖，講1、2、3、4、5分別填入圖中1×5的格子中，要求填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個數(shù)都大。共有 種不同的填法。【難度級別】【解題思路】此題先要考慮黑格能填多少，可能容易想到4和5，但是3和5也是可以填的，這一點未必想到。黑格填4和5（2×1），白格填1、2、3，因1、2、3比4、5都小，所以1、2、3在白格可以任意填（3×2×1），2×1×3×2×112種。黑格填3和5（2×1），白格填1、2、4，因4只能填在黑格5的最外側(cè)

38、，所以4沒有選擇（1），1、2在白格可以任意填（2×1），2×1×1×2×14種。12 + 416種【答案】16種。46、【學(xué)案2】從1到500的所有自然數(shù)中不含數(shù)字4的自然數(shù)有多少個？【難度級別】【解題思路】此題容易算錯，而且容易把百位是4的忽略。此題孩子可能考慮先算含4的，實際上含4的也很多，和直接算不含4的方法一樣。不含4的1位數(shù)：有8個，1、2、3、5、6、7、8、9。不含4的2位數(shù)：有8×972個。不含4的3位數(shù)：百位可以選擇：1、2、3，十位9種，個位有9種，3×9×9243個，外加1個500。8+72

39、+243+1324個?！敬鸢浮?24個ABCDEFG47、【學(xué)案4】給圖中7個圓圈染色，有5種不同的顏色可選，要求線段相連的兩個圓圈不能同色，那么共有 種不同的染色方法。（不考慮圖形翻轉(zhuǎn)）【難度級別】ABEFCDG【解題思路】將圖形進行如下轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的圖形就和例8差不多了，而且比例8還簡單，不用分情況。圖形轉(zhuǎn)換是難點。假設(shè)染色順序為：A-E-F-B-C-D-G，5×4×3×3×3×3×34860?！敬鸢浮?860種。48、【例1】紅、黃、藍(lán)、白四種顏色不同的小旗，各有2、2、3、3面，任意取出三面按順序排成一行，表示一種信號，問：共

40、可以表示多少種不同的信號？如果白旗不能打頭又有多少種？【難度級別】【解題思路】此題對孩子難度不小，首先要分情況，取三面小旗有如下3種情況：只取一種顏色、取兩種顏色、取三種顏色，其次再每種情況去計算。分情況的思路孩子未必能夠想到。(1)取一種顏色，只能取藍(lán)或白，有2種，其他兩種不足三面不能取。(2)取兩種顏色，有3種排列可能：、4×1×3+4×3×1+4×3×112+12+1236取兩種顏色，老師給出了另一種求法：4取2（無順序）有6種，2色3面旗有2種可能：2A1B或者1A2B，而3面小旗選好以后有三種排列方式：、，所以：6×

41、;2×336。(3)取三種顏色，4×3×224。所以，2+36+2462白旗不能打頭的，按照反向考慮，先求出白旗打頭的： 白 、 ？ 、 ？ ，1×4×416。621646就是白旗不能打頭的?！敬鸢浮抗部梢员硎?2種不同的信號，白旗不能打頭有46種。49、【例4】用0、1、2、3、7、8六個數(shù)字可以組成 個能被9整除的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?！倦y度級別】【解題思路】此題的難點在于：能被9整除。能被9整除有個性質(zhì)就是：數(shù)字之和是9的倍數(shù)。從六個數(shù)字中選擇4個數(shù)字，而這4個數(shù)字的數(shù)字和是9的倍數(shù)。0+1+2+3+7+821，所以4個數(shù)字的數(shù)字和可能是

42、9也可能是18。因不能重復(fù)，0、1、2、3之和為6，不夠9，所以必須有7或者8，但是有7或者8后0、1、2、3選擇3個和7或者構(gòu)成和為9是不可能的（7缺2，0、1、2、3選3個數(shù)字和為2不可能，8缺1，0、1、2、3選3個數(shù)字和為1不可能），所以4個數(shù)字的數(shù)字和是9不可能，只能是18。4個數(shù)字的數(shù)字和是18，7和8必須都選，因為選1個剩下的0、1、2、3四個數(shù)字之和才6，8+614，得不到和18。7和8都選，7+815，還缺3，2個數(shù)字的數(shù)字和是3，可能是1+2，也可能是0+3，所以所選的四個數(shù)字是1、2、7、8或者0、3、7、8。當(dāng)然，如果孩子不會使用上面的方法分析，也可以從6個數(shù)字選4個相

43、加，用枚舉法來嘗試，看看哪些是9的倍數(shù)，枚舉的結(jié)果也只有這2種組合。對1、2、7、8，有4×3×2×124種。對0、3、7、8，有3×3×2×118種。24+1842種?！敬鸢浮?2種。4A、【例6】有三個骰子，每個骰子的六個面分別有1、2、3、4、5、6個點，將三個骰子放在桌面上，向上的一面點數(shù)之和為奇數(shù)的有多少種情形?！倦y度級別】【解題思路】此題的難點之一是如何分析“點數(shù)之和為奇數(shù)”，另外老師說此題有二義性，老師說骰子相同和不同結(jié)果不一樣，我個人認(rèn)為題目沒有二義性，因為：題目問“有多少種情形”沒有問“有多少個不同的奇數(shù)”。先分析3

44、個數(shù)之后為奇數(shù)。3個數(shù)組合最多有4種可能：(奇、奇、奇)，(奇、奇、偶)，(奇、偶、偶)，(偶、偶、偶)。而這4種里，只有(奇、奇、奇)和(奇、偶、偶)3數(shù)相加得奇數(shù)。此分析是此題的關(guān)鍵。對(奇、奇、奇)，奇有1、3、5三種可能，所以3×3×327種，其實這27種里面數(shù)有重復(fù)的，例如1+3+3和3+1+3和3+3+1，既然認(rèn)可了這屬于3種情形，也就認(rèn)可了3個骰子是有順序的（或者說是不同的），所以老師說的二義性就不存在了。對(奇、偶、偶)，奇有1、3、5三種可能，偶有2、4、6三種可能，所以3×3×327種，這是指：第1個骰子取奇數(shù)、第2個骰子取偶數(shù)、第3

45、個骰子取偶數(shù)。當(dāng)然，第1個骰子取偶數(shù)、第2個骰子取奇數(shù)、第3個骰子取偶數(shù)，即：（偶、奇、偶）也是不同的情形。（偶、偶、奇）也是不同的情形。因此有3個27，27×3。27+27×3108種。大家有不同意見，我們可以進行探討。老師認(rèn)為，骰子不同是108種，骰子相同是54種(27+27)，這樣2個答案。個人考慮，如果認(rèn)為(奇、偶、偶)27種就是一種情形（此觀點意味著1+2+4、2+1+4、2+4+1是一樣的），那么就需要思考(奇、奇、奇)中的1+3+3、3+1+3、3+3+1是不是也只能算一種情形了？這種觀點下，(奇、奇、奇)就不是27種，就只有10種了（111、113、115、

46、133、135、155、333、335、355、555），答案就應(yīng)該是10+2737。其實37也不對，因為(奇、偶、偶)也沒有27種那么多，因為1+2+4、1+4+2在27種中算2種，如果算1種，就只有3×（22、24、26、44、46、66）3×618種了，10+1828種，正確答案就是28種了。所以，我對老師說的如果骰子相同答案是：(奇、奇、奇)27種+(奇、偶、偶)27種54種，持保留意見，我認(rèn)為是28種。根據(jù)我的這個分析，我個人認(rèn)為，題目考察的還是108這個答案。老師下次課明確了，此題答案是108種，并給出了簡便方法。第1個骰子有6種可能，第2個骰子也有6種可能。第

47、1個骰子+第2個骰子之和，如果是奇數(shù)，要想總和為奇數(shù)，第3個骰子只能選偶數(shù)，有(2/4/6)3種可選，如果是偶數(shù)，要想總和為奇數(shù)，第3個骰子只能選奇數(shù)，有(1/3/5)3種可選。也就是說，不管什么情況，第3個骰子都是有3種可選，所以6×6×3108種?！敬鸢浮?08種。4B、【學(xué)案3】求滿足下列兩條件的所有八位數(shù)的個數(shù)：(1)每個數(shù)位的數(shù)字為1至9中某一個；(2)任意連續(xù)三個數(shù)位組成的三位數(shù)都能被3整除?！倦y度級別】【解題思路】將1至9分成3組：(1、4、7)，(2、5、8)，(3、6、9)。由題目的第2個條件可以知道，第1位與第4位第7位相差0/3/6，第2位與第5位第8

48、位也相差0/3/6，第3位與第6位也相差0/3/6；也就是說第1、4、7位在一起考慮，第2、5、8位在一起考慮，第3、6位在一起考慮，一起考慮的只能使用上面分組中的同一組數(shù)字。如果第1位取1，則第4位第7位只能取(1、4、7)中1個，如果第1位取2，則第4位第7位只能取(2、5、8)中1個，如果第1位取3，則第4位第7位只能取(3、6、9)中1個，其他類推。第1位：9種，第4位：3種，第7位：3種。第2位：9種，第5位：3種，第8位：3種。對于第2位的9種情況，分3種可能：(1、4、7)，(2、5、8)，(3、6、9)。假設(shè)第1位n=5。 第2位取(1、4、7)之一，n+16，由3位相加是3的

49、倍數(shù)，不缺，知道第3位只能取(3、6、9)之一，第6位與第3位同組，3×3。 第2位取(2、5、8)之一，n+27，由3位相加是3的倍數(shù)，缺2，知道第3位只能取(2、5、8)之一，第6位與第3位同組，3×3。 第2位取(3、6、9)之一，n+38，由3位相加是3的倍數(shù)，缺1，知道第3位只能取(1、4、7)之一，第6位與第3位同組，3×3。也就是說，不管第2位取任何數(shù)，因相加是3的倍數(shù)的原因被限制了，第3位都只能取三組分組中的一組，有3個數(shù)字可選，3種情況，第6位也就跟著3種。按位序(147)(258)(36)，有：(9×3×3)×(9

50、×3×3)×(3×3)59049種。此解法做復(fù)雜了，老師給出了答案： 如果一個三位數(shù)的前2位確定了，則前2位之和÷3的余數(shù)有3種可能：0、1、2，如和是0則第3位只能從（3、6、9）中選，如和是1則第3位只能從（2、5、8）中選，如和是2則第3位只能從（1、4、7）中選，第3位都是只有3個數(shù)字可選。八位數(shù)，從左邊地1位開始，9×9×3，（2、3、4）也是一個三位數(shù)，第2位、第3位確定了，所以第4位也是3，后面類推，都是3。9×9×3×3×3×3×3×331

51、095。同時論壇上的好心人(lyc0101)也給出了此解法： 八位數(shù)的第一位（最高位）可填1至9中的任意一個（9種）；第二位同樣也可填1至9中的任意一個（9種）；第三位因為要滿足“連續(xù)三個數(shù)位組成的三位數(shù)都能被3整除”，而前兩個數(shù)位的和除以3的余數(shù)只有三種情況：0,1,2，無論哪種情況，第三位都可以找到相應(yīng)的數(shù)使三個數(shù)位上的和能被3整除！而對應(yīng)每種余數(shù)都有3個數(shù)可選，所以此位的選法為3種；從第四位到第八位的選法理由都與第三位相同，所以總的個數(shù)有：9*9*3*3*3*3*3*3=59049?！敬鸢浮?9049個。第五講 抽屜原理本以為此講沒有難題，沒有想到的是居然題很難，而且有些題真是難到我們這

52、些普通家長無法做出來的成都，估計也只有數(shù)學(xué)專業(yè)的人們才能做得出來。51、【例6】一個布袋里有大小相同顏色不同的一些球，其中紅色的有10個，白色的有9個，黃色的有8個，藍(lán)色的有3個，綠色的有1個。那么一次最少取出多少個球，才能保證有4個顏色相同的球?！倦y度級別】【解題思路】最不利是各顏色都取到3個，但綠色只有1個取不到3個，1+3×413個，多取1個必是紅、白或黃之一，可以保證取到4個顏色相同的球，13+114。如果此題再問：一次最少取出多少個球，才能保證有4個顏色不同的球？考慮顏色不同，最不利取10個紅、9個白、8個黃，10+9+827，27+128必有4個顏色不同的?！敬鸢浮?4個

53、。52、【學(xué)案4】 將1只白手套、2只黑手套、3只紅手套、8只黃手套和9只綠手套放入一個布袋里，請問：(1)一次至少要摸出多少只手套才能保證一定有顏色相同的兩雙手套？(2)一次至少要摸出多少只手套才能保證一定有顏色不同的兩雙手套？（兩只手套顏色相同即為一雙）【難度級別】【解題思路】最不利是各顏色都取到3只，但白、黑都不足3只，1+2+3×312個，多取1只必能得到第4只顏色相同的，12+113。先考慮顏色相同，最不利取9只綠（已有一雙綠的了），再考慮不同顏色時數(shù)量不足，最不利都取1只，9+1×413，再多取1只就可以配出和綠色不同的另一雙手套了，13+114?！敬鸢浮?1)

54、13只，(2)14只。53、【例5】在任意的四個自然數(shù)中，是否其中必有兩個數(shù)，它們的差能被3整除？【難度級別】【解題思路】除以3的余數(shù)有0、1、2三種情況，根據(jù)抽屜原理，有4個數(shù)時必有2個數(shù)除以3余數(shù)相同。對3余數(shù)相同的2個數(shù)做差能整除3，所以答案是4?！敬鸢浮渴?，四個自然數(shù)中必有兩個數(shù)的差能被3整除。54、【作業(yè)7】在100張卡片上不重復(fù)地編寫上1至100，請問至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出的卡片上的數(shù)相乘后之乘積可被4整除？【難度級別】【解題思路】此題知道答案感覺不難，但是不知道答案時，也不好想。被4整除，有2個偶數(shù)相乘才能保證，其他都不能保證。當(dāng)抽出50個奇數(shù)的時候，乘積還是奇數(shù)，

55、最多再抽出2張偶數(shù)，乘積即可被4整除，也就是抽出52個數(shù)可以保證乘積能被4整除?！敬鸢浮?2張。55、【學(xué)案3】任意寫一個由數(shù)字1、2、3組成的三十位數(shù)，從這個三十位數(shù)中任意截取相鄰三位，可得一個三位數(shù)，請證明：在從各個不同位置上截得的所有三位數(shù)中，一定有兩個相等。【難度級別】【解題思路】此題是構(gòu)造抽屜原理中蘋果和抽屜。從三十位數(shù)中截取相鄰的三位共可得到30228個三位數(shù)，這是蘋果。由1、2、3共可組成3×3×327個不同的三位數(shù)，這是抽屜。28個蘋果放到27個抽屜里，必有一個抽屜里有2個蘋果或2個以上的蘋果，所以截得的三位數(shù)一定有兩個相等?！敬鸢浮孔C明見“解題思路”。56

56、、【例7】31個同學(xué)圍成一個圓圈，坐好后發(fā)現(xiàn)任何兩個男生之間至少有兩個女生，那么男生最多有多少人？【難度級別】【解題思路】感覺此題和抽屜原理沒什么關(guān)系。要想男生多，需女生盡量少，讓兩男生中間有2個女生，1+23人1組，31÷3101，可以有10組，余下的1人不能是男生，因為沒有2個女生可以在中間做間隔了，所以余下的這1人只能是女生了，男生10人。老師給出了代數(shù)方法，求解不等式方程。假設(shè)男生x人，則女生(31-x)人，男生x人有x個間隔（圓圈），1個間隔至少2名女生，所以女生至少2x人，2x31-x，解得x10，x最大為10，即：男生最多有10人?！敬鸢浮磕猩疃嘤?0人。57、【例8

57、】25名男生與25名女生坐在一張圓桌旁，請說明：至少有一人，他（或她）的兩邊都是女生。【難度級別】【解題思路】老師講完了這道題，依然感覺到這道題很難，今天寫此題時已經(jīng)想不起來了老師是怎么做了，翻出筆記才記起來，說明這題真的不好做。將圓桌旁的50個位置編號：1、2、350，這50個位置分為奇數(shù)、偶數(shù)2個抽屜，25÷2121，說明至少有1個抽屜（奇數(shù)位或者偶數(shù)位）有13個或13個以上女生。不妨設(shè)13名女生坐在奇數(shù)位上，偶數(shù)位上同理。25個奇數(shù)位，不連續(xù)的奇數(shù)位最多只有12個（例如：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45、49，49與1是連續(xù)的奇數(shù)位），13個女生必有2個女生坐在連續(xù)的奇數(shù)位上。兩個連續(xù)的奇數(shù)位中間那個偶數(shù)位就是題目要證明的?！敬鸢浮恳姟敖忸}思路”。58、【作業(yè)8】在一個圓形苗圃的周邊等間距的種了13棵樹將該圓周十三等分，或是松樹或是柏樹。試說明存在同種三棵樹可以作為等腰三角形的三個頂點。【難度級別】【解題思路】讀明白題目很容易，而且13棵樹只有2種，根據(jù)抽屜原理，可以得到至少有一種樹是7棵或者7棵以上，接下來再怎么做，真的想不出來。唉！難呀！把學(xué)而思論壇上提供的答案抄下來，供大家參考吧。將每一棵樹染色，或染成白色，或染成黑色，由抽屜原理，必有至少7個點同色，設(shè)為黑點。則必有至少2個黑點相鄰，設(shè)為點1和點2為相鄰黑點