大學(xué)物理學(xué)上冊習(xí)題解答

1、大學(xué)物理學(xué)習(xí)題答案習(xí)題一答案習(xí)題一1.1簡要回答下列問題：(1)位移和路程有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等？在什么情況下二者的量值不相 等？(2)平均速度和平均速率有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等？(3)瞬時速度和平均速度的關(guān)系和區(qū)別是什么？瞬時速率和平均速率的關(guān)系和區(qū)別又是什 么？(4)質(zhì)點的位矢方向不變，它是否一定做直線運動？質(zhì)點做直線運動，其位矢的方向是否一 定保持不變？精選范本d2r dt2而求得結(jié)果;又有人先計算速度和加速度的分量,再合成求得結(jié)果，即2dx2合 及dtd2x dt2,22d ydt2(6)設(shè)質(zhì)點的運動方程為：x x t , y y t ,在計算質(zhì)點的速度和加速

2、度時，有人先求出r, x2 y2 ,然后根據(jù)dr 力v 一 及dt那么，該質(zhì)點的速度和位矢與時間的關(guān)系你認為兩種方法哪一種正確？兩者區(qū)別何在？ 如果一質(zhì)點的加速度與時間的關(guān)系是線性的,是否也是線性的？(8) “物體做曲線運動時，速度方向一定在運動軌道的切線方向，法向分速度恒為零，因此 其法向加速度也一定為零.”這種說法正確嗎？(9)任意平面曲線運動的加速度的方向總指向曲線凹進那一側(cè)，為什么？(10)質(zhì)點沿圓周運動，且速率隨時間均勻增大，an、at、a三者的大小是否隨時間改變?(11) 一個人在以恒定速度運動的火車上豎直向上拋出一石子，此石子能否落回他的手中? 如果石子拋出后，火車以恒定加速度前

3、進，結(jié)果又如何？1.2 一質(zhì)點沿x軸運動，坐標(biāo)與時間的變化關(guān)系為x 4t 2t2,式中x,t分別以m、s為單位，試計算：(1)在最初2s內(nèi)的位移、平均速度和 2s末的瞬時速度；(2) 1s末到3s末的平均加速度；(3) 3s末的瞬時加速度。解:(1)最初2s內(nèi)的位移為為:x x(2) x(0) 0 0 0(m/s)x 0取初2s內(nèi)的平均速度為：vave 一 0(m/s)t 2dxt時刻的瞬時速度為：v(t) 4 4tdt2s末的瞬時速度為：v(2) 4 4 2 4m/s(2) 1s末到3s末的平均加速度為:aavev v(3) v(1)8 0t 224m/s2(3) 3s末的瞬時加速度為：a

4、dv包44(m/s2)。dt dt1.3質(zhì)點作直線運動，初速度為零，初始加速度為a0,質(zhì)點出發(fā)后，每經(jīng)過 時間，加速度均勻增加bo求經(jīng)過t時間后，質(zhì)點的速度和位移。 解：由題意知，加速度和時間的關(guān)系為b .aa。一 t利用dv adt,并取積分得vdv0b, % 一ta°tr2再利用dx vdt,并取積分設(shè)t 0時x00得xdxx1.4 一質(zhì)點從位矢為r(0)r4j的位置以初速度v(0)r4i開始運動,其加速度與時間的關(guān)一，r r J ,系為a (3t)i 2j .所有的長度以米計，時間以秒計.求：(1)經(jīng)過多長時間質(zhì)點到達 x軸；(2)到達x軸時的位置。r r t r3 0r r解

5、： v(t) v(0)°a(t)dt 4 |t2 i (2t) jrt r1 3 r2 rr(t) r(0)0v t dt 4t -t i 4 t j(1) 當(dāng)4 t2 0,即t 2s時，到達x軸。(2) t 2s時到達x軸的位矢為：r(2) 12r即質(zhì)點到達x軸時的位置為x 12m, y 0。1.5 一質(zhì)點沿x軸運動，其加速度與坐標(biāo)的關(guān)系為 a 2x,式中 為常數(shù)，設(shè)t 0時刻的質(zhì)點坐標(biāo)為xo、速度為Vo ,求質(zhì)點的速度與坐標(biāo)的關(guān)系。解：按題意由此有d2x dt2,22 d x dvdv dxdvx 2- V ,dt dtdx dtdx即vdv 2xdx,Vx x兩邊取積分vdv

6、xdx,v0xo得I v2 -2 v(21 2x2 2 2x22由此給出v 、A2 x2 , A2%x(221.6 一質(zhì)點的運動萬程為 r(t) i 4t j tk ,式中r , t分別以m、s為單位。試求: (1)質(zhì)點的速度與加速度；(2)質(zhì)點的軌跡方程。V一v dr v v dv 解：(1)速度和加速度分別為：1 江 (8t)j k, a 8jdtdt(2)令r(t) xi yj zk ,與所給條件比較可知所以軌跡方程為：x 1, y 4z2 021.1.7已知質(zhì)點作直線運動，其速度為 v 3t t (ms ),求質(zhì)點在0 4s時間內(nèi)的路程。解：在求解本題中要注意：在 0 4s時間內(nèi)，速度

7、有時大于零，有時小于零，因而運動出現(xiàn)往返。如果計算積分vdt,則求出的是位移而不是路程。求路程應(yīng)當(dāng)計算積分|v dt。00令 v 3t t2 0,解得 t 3s。由此可知：t 3s 時，v 0, v v； t 3s 時，v 0；而t 3s時，v 0, vv。因而質(zhì)點在04s時間內(nèi)的路程為1.8在離船的高度為船的速度和加速度。解：建立坐標(biāo)系如題程，由圖題兩邊求微分,船速為,dr按題意出v dtvdt02t2(v)dt33t33t0It2t23t3dt3t t2 dt3-1 ，、6-(m) °h的岸邊，一人以恒定的速率 Vo收繩，求當(dāng)船頭與岸的水平距離為 x時,1.8圖所示，船沿 X軸方

8、向作直線運動，欲求速度，應(yīng)先建立運動方1.8 ,可得出則有c dx2x 一dtdx vdth2c dr2r dtr dr x dtVo （負號表示繩隨時間t縮短），所以船速為.x2 h2 vox負號表明船速與X軸正向反向，船速與 得船的加速度為x有關(guān),說明船作變速運動。將上式對時間求導(dǎo)，可dv dt2 2 h Vo3x負號表明船的加速度與 x軸正方向相反, 速運動。與船速方向相同，加速度與 x有關(guān)，說明船作變加1.9 一質(zhì)點沿半徑為10cm的圓周運動，其角坐標(biāo)(以弧度rad計)可用下式表示2 4t3其中t的單位是秒(s)試問：(1)在t 2s時，它的法向加速度和切向加速度各是多少? (2)當(dāng)?shù)?/p>

9、于多少時其總加速度與半徑成45o角？解：(1)利用 2 4t3, d /dt 12t2, d /dt 24t,得到法向加速度和切向加速度的表達式24.an r 144rt , at r 24rt在t 2s時，法向加速度和切向加速度為：an 144rt4 144 0.1 24 230.4(m s2),at24rt 24 0.1 2 4.8(m s2)(2)要使總加速度與半徑成 45o角，必須有an at,即144rt4 24rt解得 t3 1/6,此時 2 4t32.67 rad1.10 甲乙兩船，甲以10km/h的速度向東行駛，乙以15km/h的速度向南行駛。問坐在乙船 上的人看來，甲船的速度

10、如何？坐在甲船上的人看來乙船的速度又如何？解：以地球為參照系，設(shè) i、j分別代表正東和正北方向，則甲乙兩船速度分別為v1 10ikm/h, v215jkm/h根據(jù)伽利略變換，當(dāng)以乙船為參照物時，甲船速度為v v1 v2 (10i 15j )km/hvJ102 152 18.1km/h, arctg 56.3110即在乙船上看，甲船速度為 18.1km/h,方向為東偏北56.31同理，在甲船上看，乙船速度為18.1km/h,方向為西偏南56.31。1.11 有一水平飛行的飛機，速率為Vo,在飛機上安置一門大炮，炮彈以水平速度v向前射擊。略去空氣阻力，(1)以地球為參照系，求炮彈的軌跡方程；(2)

11、以飛機為參照系，求炮彈的軌跡方程；(3)以炮彈為參照系，飛機的軌跡如何？2 解：(1)以地球為參照系時，炮彈的初速度為Vi v Vo,而x vt , y 0.5gt消去時間參數(shù)t,得到軌跡方程為：2ygx-r (若以豎直向下為y軸正方向，則負號去掉，下同)2(V Vo)2(2)以飛機為參照系時，炮彈的初速度為V ,同上可得軌跡方程為ygx22v2以炮彈為參照系，只需在（2）的求解過程中用x代替x, y代替y,可得 y2 gx 2v2 .1.12率為如題1.12圖，一條船平行于平直的海岸線航行，離岸的距離為一艘速u v的海上警衛(wèi)快艇從一港口出去攔截這條船。試證明：如果快艇在盡可能最遲的時刻出發(fā)，

12、那么快艇出發(fā)時這條船到海岸線的垂線與港口的距離為Dv2 u2 x -;快艇截住這條船所需的時間為tDv習(xí)題1.12圖 -°22u v u證明：在如圖所示的坐標(biāo)系中,船與快艇的運動方程分別為x1vtx2x u cos tViy2usin t攔截條件為:所以x取最大值的條件為:X1yX2V2dx/dvtx u cos tusin tucosusin0 ,由此得到cos u/v ,相應(yīng)地sin.1 (u / v)2。因此x的最大值為D . v2 u2x x取最大值時對應(yīng)的出發(fā)時間最遲?？焱Ы刈∵@條船所需的時間為Dvusinu、v2 u2習(xí)題二答案習(xí)題二2.1 簡要回答下列問題：(1)有人說

13、：牛頓第一定律只是牛頓第二定律在合外力等于零情況下的一個特例，因而 它是多余的.你的看法如何？(2)物體的運動方向與合外力方向是否一定相同？(3)物體受到了幾個力的作用，是否一定產(chǎn)生加速度？(4)物體運動的速率不變，所受合外力是否一定為零？(5)物體速度很大，所受到的合外力是否也很大？(6)為什么重力勢能有正負，彈性勢能只有正值，而引力勢能只有負值？(7)合外力對物體所做的功等于物體動能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物 體動能的增量？(8)質(zhì)點的動量和動能是否與慣性系的選取有關(guān)？功是否與慣性系有關(guān)？質(zhì)點的動量定 理與動能定理是否與慣性系有關(guān)？請舉例說明(9)判斷下列說法是否正確，并說明

14、理由：(a)不受外力作用的系統(tǒng)，它的動量和機械能都守恒(b)內(nèi)力都是保守力的系統(tǒng)，當(dāng)它所受的合外力為零時，其機械能守恒(c)只有保守內(nèi)力作用而沒有外力作用的系統(tǒng)，它的動量和機械能都守恒.(10)在彈性碰撞中，有哪些量保持不變，在非彈性碰撞中，又有哪些量保持不變？(11)放焰火時，一朵五彩繽紛的焰火質(zhì)心運動軌跡如何？為什么在空中焰火總是以球形 逐漸擴大？(忽略空氣阻力)2.2 質(zhì)量為m質(zhì)點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力F kv (k為常數(shù))作用，t 0時質(zhì)點的速度為Vo,證明：(1) t時刻的速度為vkt mvoe;(2)由0到t的時間內(nèi)經(jīng)過的距離為 x (mvo/k) 1 ekt&#

15、39;m；(3)停止運動前經(jīng)過的距離為 mv0/k。證明： 由ma mdv F kv分離變量得 生dt ,積分得dtv mIn Vokt mv°ev dvV。vt kt/mmv0kt/m、2.3 x vdtv0edt (1 e )0k(3)質(zhì)點停止運動時速度為零，即 t ，故有x2.3 質(zhì)量為10 kg的物體沿x軸無摩擦地運動，設(shè)kt/mv0e 出mvokt 0時，物體的速度為零，物體在力F 3 4t (N)(t以s為單位)的作用下運動了 3s,求它的速度和加速度 解.根據(jù)質(zhì)點動量定理，F(xiàn)dt mv mv0,3 4t dt mv0023t 2t20m3 3 2 3210_12.7(m

16、s )根據(jù)牛頓第二定律，F(xiàn) ma3 4tt 3m3 4 3101.5 (m/s 2)2.4 一顆子彈由槍口射出時速率為v0 ms1 ,當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時，它所受的合力為F (a bt)N (a,b為常數(shù))，其中t以秒為單位:(1)假設(shè)子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間;(2)求子彈所受的沖量；(3)求子彈的質(zhì)量。解：(1)由題意，子彈到槍口時，有F (a bt) 0,得t abt1oaa2(2)子彈所受的沖量I (a bt)dt at bt2,將t a代入，得I 02b2b(3)由動量定理可求得子彈的質(zhì)量V。2a2bv02.5 一質(zhì)量為m的質(zhì)點在xoy平面上運動，

17、其位置矢量為r a cos ti bsin tj ,求質(zhì)點的動量及t 0到t /2時間內(nèi)質(zhì)點所受的合力的沖量和質(zhì)點動量的改變量。解：質(zhì)點的動量為r r r .,rp mv m& m asin ti bcos tj將t 0和t /2分別代入上式，得p1 m br , p2m ar動量的增量，亦即質(zhì)點所受外力的沖量為r rm (ai bj)公e一1, vv一.，、口2.6 作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為 F (10 2t)iN ,式中t的單位是s。(1)求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量；(2)為了使這力的沖量為200Ns,該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止

18、的物體和 v一個具有初速度 6jm s 1的物體，回答這兩個問題。解：(1)若物體原來靜止，則rP1rVit r 4r0 Fdt 0 (10 2t)idtP.r “ r5.6i ms, I1 m56r kgr56ikg1r v 1,右物體原來具有初速度 v06 jm s ，則r r r r t rP0 mv0, P(t)mv00Fdtr r r r于正P2P(t) P0Pi同理,r r r rV2Vi , 12 I 1這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多 大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理.(2)同上理，兩種情況中的作用時

19、間相同，即t2I o(10 2t)dt 10t t250kg的人從船尾走到船頭M船V船m人v人 0令 10t t2 200,解得 t 10s。2.7 一小船質(zhì)量為100kg,船頭到船尾共長 3.6m?，F(xiàn)有一質(zhì)量為 時，船頭將移動多少距離？假定水的阻力不計。解：由動量守恒t0 V 船dt ，如圖，船的長度所以tM船0京V船dt即船頭相對岸邊移動 S船1.2m2.8質(zhì)量m 2kg的質(zhì)點,從靜止出發(fā)沿3s內(nèi)該力作的功。LFxdxVxVx0所以12t2.9 一地下蓄水池，面積為3.6彳1001 -501.2mX軸作直線運動，受力L(12t)dx30(12tVx)dtt0 ax出3t2 dtFxdt m

20、3 336t3dt0水深度為5.0m ,問欲將這池水全部抽到地面，需作功多少h1r _ r F (12t)i (N)，試求開始12 ttdt2 036,4 t43t2729(J)1.5m，假定水的上表面低于地面的高度是hoY習(xí)題2.9圖dy解：建坐標(biāo)如習(xí)題2.9圖，圖中h0表示水面到地面的距離,h1表示水深。水的密度為103 kg / m3 ,對于坐標(biāo)為y、厚度為dy的一層水，其質(zhì)量dm sdy ,將此層水抽到地面需作功dAdmgysgydy將蓄水池中的水全部抽到地面需作功h0 hih0dAh0h)hlsgydy2 sg h)h 2h2103509.82sg A2hchi1.52 25.0 1

21、.54.23 106 (J)2.10 一炮彈質(zhì)量為 m ,以速度vv飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥k倍，如兩者仍沿原方向飛行， 試證使彈片增加的動能為T,且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的其速率分別為v j2kT/m , v j2T/km。證明：設(shè)一塊的質(zhì)量為 門，則另一塊的質(zhì)量為m2kmi 。利用mim2 m,有kmm1m2又設(shè)mH的速度為V1 , m2的速度為則有 41121 2 一 mv2m1Vlm2 V2mv 動量守恒聯(lián)立、解得v1 kv2 (k1)v, v1(k 1)vkv2聯(lián)立、解得2T /而(v2、2.v),于是有2T km將其代入式，有(k1)v k2Tkm2kT

22、"m又因為爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行,當(dāng)k 1時只能取 v1v2kT2T,v2 v Vl°m. km2.11 一質(zhì)量為m的子彈射入置于光滑水平面上質(zhì)量為M并與勁度系數(shù)為k的輕彈簧連著的木塊后使彈簧最大壓縮了L ,求子彈射入前的速度v0.習(xí)題2.10圖解：子彈射入木塊到相對靜止的過程是一個完全非彈性碰撞,時間極短，木塊獲得了速度,尚未位移，因而彈簧尚未壓縮 .此時木塊和子彈有共同的速度 Vi ,由動量守恒,m M V1 mV0此后，彈簧開始壓縮，直到最大壓縮，由機械能守恒,2m M V1由兩式消去Vi ,解出V0得Vo km M m ,2.12 質(zhì)量m的物體從靜止開始，在豎

23、直平面內(nèi)沿著固定白四分之一圓周從A滑到B。在B處時，物體速度的大小為 Vb。已知圓的半徑為 R,求物體從 A滑到B的過程中摩擦力所作的功：（1）用功的定義求；（2）用動能定理求；（3）用功能原理求。解方法一：當(dāng)物體滑到與水平成任意習(xí)題2.11圖角的位置時,mg cosmat物體在切線方向的牛頓方程為dVm一 dtmg cosdv m一 dt注意摩擦力r與位移dr反向,且 |dr |RdAf2° mgcos,因此摩擦力的功為vb | dr | , Rd m dVmgR2cos dVbm VdV00 dtmgR 1miV2方法二： 選m為研究對象，合外力的功為r r r rA mg f

24、N drr r -考慮到 N dr 0,因而AAfAf mgRr2mg cos |dr | Af mgR 0 cos d由于動能增量為Ek-mvB 0, 2因而按動能定理有Af mgR1mvB, Af2mgR一 mvBo2方法三：選物體、地球組成的系統(tǒng)為研究對象，以B點為重力勢能零點。初始在A點時，Ep0 mgR、Ek0 012終了在 B 點時，Ep 0, Ek mvB212_由功能原理知：AfE E1 E0 -mv2 mgR經(jīng)比較可知，用功能原理求最簡捷。k ,物體m與桌面2.13 墻壁上固定一彈簧，彈簧另一端連接一個物體，彈簧的勁度系數(shù)為間的摩擦因素為 ，若以恒力F將物體自平衡點向右拉動，

25、試求到達最遠時，系統(tǒng)的勢能。fkf習(xí)題2.12圖解：物體水平受力如圖，其中fkmg。物體到達最遠時，v 0。設(shè)此時物體的位移為x,由動能定理有F -kx-mg dxFx - - kx2 - mgx解出2 F mgx k系統(tǒng)的勢能為Ep1kx2 222 F mgk2.14 一雙原子分子的勢能函數(shù)為126ro° roE p( r) Eo2 -r r式中r為二原子間的距離，試證明：ro為分子勢能極小時的原子間距；分子勢能的極小值為Eo ；當(dāng)Ep(r) o時，原子間距離為 ?； p 6 2證明：(1)當(dāng) dEp(r) o、 drd2Ep(r)dr2o時，勢能有極小值 Ep(r)min。由dE

26、p(r)dr:Eo dr126乜 21 rr12612Eo 與 3 or r126ro5rr所以r ro,即ro為分子勢能取極值時的原子間距。另一方面,.212_6-Pp 12Eo 13果 73drr rro時,d2EP(r)dr213 712Eo 22ro ro72Eo2ro0 ,所以r ro時，EP(r)取最小值。126Eo當(dāng)rro時，EP(r)m.E0五 2五roro126o,得到(3)令 EP(r)Eo 凡 2 包r r1266五 2五 o,k 2, r 2rrr6 22.15 質(zhì)量為7.2 X 1o-23kg,速度為6.o X 1o7m/s的粒子A,與另一個質(zhì)量為其一半而靜止的粒子B

27、相碰，假定這碰撞是彈性碰撞，碰撞后粒子A的速率為5X1o7m/s,求：粒子B的速率及偏轉(zhuǎn)角；粒子A的偏轉(zhuǎn)角。解：兩粒子的碰撞滿足動量守恒寫成分量式有碰撞是彈性碰撞，動能不變:利用mAVa習(xí)題2.14圖mAvAmAv'AmAvA mAv'A cosmAV'A sin12-mAvA 27.2 10 23 kg ,mBV'BmBv'B cosmBv' b sin12 mAvJmBV。 2mBmA23.6 10 23kg ,vA 6.0 107m/s, v'A5.07,10 m/s,可解得v'B 4.69 107 m/s,54 4'

28、;,22 20'。2.16 平板中央開一小孔，質(zhì)量為 m的小球用細線系住，細線穿過小孔后掛一質(zhì)量為Mi的重物。小球作勻速圓周運動，當(dāng)半徑為r0時重物達到平衡。今在M 1的下方再掛一質(zhì)量為 M 2的物體，如題2-15圖。試問這時小球作勻速圓周運動的角速度和半徑r為多少？習(xí)題2.15圖解：在只掛重物 Mi時，小球作圓周運動的向心力為 Mig ,即Migmr0掛上M2后，則有(Mi M2)g2mr重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動量守恒.romvo聯(lián)立、得0Migmr。Migmr。MiMM22/3M13/2MiM2q 8.75 1010 m 時的rvir2一v25.26 1012m2.

29、17 哈雷慧星繞太陽運動的軌道是一個橢圓。它離太陽最近距離為速率是5 5.46 104ms 1 ,它離太陽最遠時的速率是 v2 9.08 102ms 1 ,這時它離太陽的距離2是多少？（太陽位于橢圓的一個焦點。）解：哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力一一即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有r1mM r2mv21048.75 105.46 109.08 1022.18 查閱文獻，對變質(zhì)量力學(xué)問題進行分析和探討，寫成小論文。參考文獻：1石照坤，變質(zhì)量問題的教學(xué)之淺見，大學(xué)物理，1991年第10卷第10期。2任學(xué)藻、廖旭，變質(zhì)量柔繩問題研究，大

30、學(xué)物理， 2006年第25卷第2期。2.19 通過查閱文獻，形成對慣性系的進一步認識，寫成小論文。參考文獻：1高炳坤、李復(fù)，“慣性系”考，大學(xué)物理，2002年第21卷第4期。2高炳坤、李復(fù)，“慣性系”考 （續(xù)），大學(xué)物理，2002年第21卷第5期。習(xí)題三答案習(xí)題三3.1 簡要回答下列問題：（1）地球由西向東自轉(zhuǎn)，它的自轉(zhuǎn)角速度矢量指向什么方向？作圖說明.（2）剛體的轉(zhuǎn)動慣量與那些因素有關(guān)？“一個確定的剛體有確定的轉(zhuǎn)動慣量”這句話對嗎？（3）平行于z軸的力對z軸的力矩一定為零，垂直于 z軸的力對z軸的力矩一定不為零.這 種說法正確嗎？（4）如果剛體轉(zhuǎn)動的角速度很大， 那么作用于其上的力是否一定很

31、大？作用于其上的力矩是 否一定很大？（5）兩大小相同、質(zhì)量相同的輪子，一個輪子的質(zhì)量均勻分布，另一個輪子的質(zhì)量主要集中 在輪子邊緣，兩輪繞通過輪心且垂直于輪面的軸轉(zhuǎn)動。問：（a）如果作用在它們上面的外力矩相同，哪個輪子轉(zhuǎn)動的角速度較大？（b）如果它們的角加速度相同，哪個輪子受到的力矩大？ （c）如果它們的角動量相等，哪個輪子轉(zhuǎn)得快？（6）為什么質(zhì)點系動能的改變不僅與外力有關(guān)，而且也與內(nèi)力有關(guān)，而剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能只與外力矩有關(guān)，而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)？（7）下列物理量中，哪些與參考點的選擇有關(guān)，哪些與參考點的選擇無關(guān)：（a）位矢；（b）位移；（c）速度；（d）動量；（e）角動量；（f）力；（g）力矩.

32、（8）做勻速圓周運動的質(zhì)點， 對于圓周上某一定點， 它的角動量是否守恒？對于通過圓心并 與圓平面垂直的軸上任一點， 它的角動量是否守恒？對于哪一個定點，它的角動量守恒？（9） 一人坐在角速度為0的轉(zhuǎn)臺上，手持一個旋轉(zhuǎn)著的飛輪，其轉(zhuǎn)軸垂直于地面，角速度為'。如果忽然使飛輪的轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)，將發(fā)生什么情況？設(shè)轉(zhuǎn)臺和人的轉(zhuǎn)動慣量為I ,飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為I '。3.2 質(zhì)量為m長為l的均質(zhì)桿，可以繞過 B端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動。開始時，用手支住A端，使桿與地面水平放置，問在突然撒手的瞬時，（1）繞B點的力矩和角加速度各是多少? （2）桿的質(zhì)心加速度是多少？習(xí)題3.1圖r解：（1）繞B點的力

33、矩M由重力產(chǎn)生，設(shè)桿的線密度為mgxdG0ml0 gxdm 0 gxdxm一，則繞B點的力矩為 l13 mgl桿繞B點的轉(zhuǎn)動慣量為角加速度為(2)桿的質(zhì)心加速度為m 2l 2I x dm x dxoo1ml2 3M7l_ 23g2l34g3.3 如圖所示，兩物體 1和2的質(zhì)量分別為 與m2 ,滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為I ,半徑為r。如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度 a及繩中的張力T1與T2(設(shè)繩子與滑輪間無相對滑動 )；如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力Ti與丁2。m2mi習(xí)題3.2圖解：先做受力分析，物體 1受到重力m1g和繩的張力T1,對于滑輪，受到張力 丁和丁2

34、,對于物體2,在水平方向上受到摩擦力m2g和張力丁2,分別列出方程ng T1me T1m gT2m2gm2a T2m2T1T2 r M通過上面三個方程,可分別解出三個未知量m1m2a m1m2 r2gr2 I1T1m1-2m2r g在的解答中，取0即得2a-mga2m1m2 r I3.4電動機帶動一個轉(zhuǎn)動慣量為m1m1I=50kg2m2 rig Im2m1r2gIg-2.m1m2 r Im2r2gIg一 一 2m1m2 r I2mm2r g2 I °m1m2 r I m 2的系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動。在0.5s內(nèi)由靜止開始最后求電動機對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)施加的rad / s2達到120r/min的轉(zhuǎn)速。

35、假定在這一過程中轉(zhuǎn)速是均勻增加的, 力矩。解：由于轉(zhuǎn)速是均勻增加的，所以角加速度120r / min 2 rad / r o- 8t 0.5s 60s/ min從而力矩為_32M I 50 81.257 10 kgm s3.5 一飛輪直徑為0.30m,質(zhì)量為5.00kg ,邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻的加速，經(jīng) 0.50s轉(zhuǎn)速達到10r/s 。假定飛輪可看作實心圓柱體，求：飛輪的角加速度及在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；拉力及拉力所作的功；從拉動后t=10s時飛輪的角速度及輪邊緣上一點的速度和加速度。解：飛輪的角加速度為10r / s 2 rad /r0.5s125.7rad/s

36、2轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為1 10r / s212mr ,0.5s2.5r所以,拉力的大小為1 mr20.35 - 125.7 47.1(N)拉力做功為W FS F47.12.5 3.14 0.3 111(J)從拉動后t=10s時，輪角速度為輪邊緣上一點的速度為輪邊緣上一點的加速度為3.6飛輪的質(zhì)量為60kg,直徑為125.71031.257 10 (rad/s)r 1.257 103 0.15 188(m/s)r 125.7 0.15 18.8(m/s2)。0.50m,制動力F。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù) 寸如圖所示。轉(zhuǎn)速為1000r/min ,現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動，求=0.4 ,飛

37、輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。尺習(xí)題3.6圖解：設(shè)在飛輪接觸點上所需要的壓力為F,則摩擦力為 F ,摩擦力的力矩為制動過程中，摩擦力的力矩不變，而角動量由dmv 變化到0,所以由 Mdt2d dLLo有解得fm_d 785.4N 。由桿的平衡條件得2 tF嗎1.25314.2N 。3.7彈簧、定滑輪和物體的連接如圖3.7所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0N m1 ;定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是0.5kg m,半徑為0.30m,問當(dāng)6.0kg質(zhì)量的物體落下 0.40m時，它的速率為多大？ 假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長。精選范本習(xí)題3.7圖解：當(dāng)物體落下0.40m時，物體減少的勢能轉(zhuǎn)化為彈簧的勢能、物體的動能和

38、滑輪的動能, 即mgh 1kh2 1mv2 ",22 2r將 m 6kg , g 9.8kgm/s2, h 0.4m, I 0.5kgm2, r 0.3m代入，得v 2.01m/s3.8 在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤上，站一質(zhì)量為 m的人。圓盤的半徑為 R,轉(zhuǎn)動慣量為J ,角 速度為。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動能的變化。解：系統(tǒng)的角動量在整個過程中保持不變。人在盤邊時，角動量為L I J mR2人走到盤心時角動量為L I J2因此mRJ2 21 J mR 22 J人在盤邊和在盤心時，系統(tǒng)動能分別為12-21 . 21 .W1 m R J , W2 J222系統(tǒng)動能增加2

39、4W W2Wi2m 2R2 萬 23.9 在半彳仝為R,質(zhì)量為m的靜止水平圓盤上，站一質(zhì)量為m的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)這人開始沿著與圓盤同心，半徑為R2R2 R1的圓周勻速地 走動時，設(shè)他相對于圓盤的速度為v,問圓盤將以多大的角速度旋轉(zhuǎn)？解：整個體系的角動量保持為零，設(shè)人勻速地走動時圓盤的角速度為，則L L人 L盤 m vR2 R2 2mR20解得2R2-2 vR2 2R；3.10 如題3.10圖示，轉(zhuǎn)臺繞中心豎直軸以角速度0作勻速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)臺對該軸的轉(zhuǎn)動慣量J =5X 10-5 kg m2?，F(xiàn)有砂粒以1g/s的速度落到轉(zhuǎn)臺，并粘在臺面形成一半徑 r =0.1m的圓。試

40、求砂粒落到轉(zhuǎn)臺，使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)椋?所花的時間。習(xí)題3.10圖解：要使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)?2由于砂粒落下時不能改變體系角動量，所以必須要使體系的轉(zhuǎn)動慣量加倍才行，即m沙粒r2J。將J 5 10 5kg m2和r 0.1m代入得3 .m沙粒5 10 kg所以10 3 kg1g/s5s3.11 一脈沖星質(zhì)量為1.5 X103°kg,半徑為20km。自旋轉(zhuǎn)速為2.1 r/s，并且以1.0X10-15r/s的變化率減慢。問它的轉(zhuǎn)動動能以多大的變化率減?。咳绻@一變化率保持不變，這個脈沖星經(jīng)過多長時間就會停止自旋？設(shè)脈沖星可看作勻質(zhì)球體。 2 c解：脈沖星的轉(zhuǎn)動慣量為I -mr25轉(zhuǎn)動動能為W 1

41、1 2 1m 2r225轉(zhuǎn)動動能的變化率為dW ：2mr2 工dt 5 dt1.99 1025J/s20.4 1.5 102 1042.1 21.0 102dtt,得停止自旋所需要的時間為2.1r/sZ Z1521.0 10 r/s2_152.1 1015s3.12兩滑冰運動員，質(zhì)量分別為M=60kg, M=70kg,它們的速率V=7m/s, VB=6m/s,在相距1.5m的兩平行線上相向而行，當(dāng)兩者最接近時，便拉起手來，開始繞質(zhì)心作圓周運動并保持兩者間的距離為 1.5m。求該瞬時：系統(tǒng)的總角動量；系統(tǒng)的角速度；兩人拉手前、后的總動能。這一過程中能量是否守恒，為什么?解：設(shè)兩滑冰運動員拉手后，

42、兩人相距為s ,兩人與質(zhì)心距離分別為和rB ,則MbMa一s , MbbMaMa Mb兩人拉手前系統(tǒng)總角動量為LLaLb M aVaaM bVbbAM BMa MbVa Vb s2 .630kgm /s設(shè)兩人拉手后系統(tǒng)的角速度為,由于兩人拉手后系統(tǒng)角動量不變所以,兩人拉手前總動能為:22L M aa M bbL22M aaM bbVA VBB 8.67rad /s s12W12MAVA1 一 ',2,M BVB2 2730J 2拉手后，由于整個體系的動量保持為零，所以體系動能為12 212 2W2-M ArA-M BrB221 m am b-Va Vb 22730JB所以體系動能保持守

43、恒?？梢运愠觯?dāng)且僅當(dāng)M aVa M bVb時，體系能量守恒，否則能2M aV aM bVb量會減小，且WW1W23.13 一長l =0.40m的均勻木棒，質(zhì)量 M=1.00kg,可繞水平軸 O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，開始時 棒自然地豎直懸垂。現(xiàn)有質(zhì)量m=8g的子彈以v=200m/s的速率從A點與。點的距離為尚| ,如圖。求：棒開始運動時的角速度；棒的最大偏轉(zhuǎn)角。解：系統(tǒng)繞桿的懸掛點的角動量為41習(xí)題3.13圖L 3mv1 0.48kgm2s 1 1c 9 c子彈射入后，整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為I 1 Ml2 ml2316所以L 8.88rad/sI子彈射入后，且桿仍然垂直時，系統(tǒng)的動能為20.054k

44、gm當(dāng)桿轉(zhuǎn)至最大偏轉(zhuǎn)角W動 41 2 2.13J時，系統(tǒng)動能為零，勢能的增加量為W 2 Mgl 1 cos 4 mgl 1 cos精選范本由機械能守恒，W動W勢得 94.243.14 通過查閱文獻，探討計算剛體轉(zhuǎn)動慣量的簡化方法，寫成小論文。參考文獻：周海英、陳浩、張曉偉，巧算一類剛體的轉(zhuǎn)動慣量，大學(xué)物理，2005年第24卷第2期。3.15 通過上網(wǎng)搜尋，查找對稱陀螺規(guī)則進動在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用事例，并進行分類。習(xí)題四參考解答4.1 慣性系K相對慣性系K以速度u運動。當(dāng)它們的坐標(biāo)原點。與O重合時,中一質(zhì)點作勻速率圓周運動，軌道方程為u運動。試證：在，慣性系 K中的觀測者觀測到該質(zhì)點作橢圓運動，

45、橢圓的中心以速度提示：在，慣性系 K中的觀測者觀測到該質(zhì)點的軌道方程為證明：根據(jù)洛侖茲坐標(biāo)變換關(guān)系代入原方程中，得到(x ut)212化簡得(x ut)2a2(12)(x ut)2a2(12)2y_2aut2y y, z z所以，在K系中質(zhì)點做橢圓運動，橢圓中心以速度u運動。4.2 一觀測者測得運動著的米尺長0.5m,問此米尺以多大的速度接近觀測者?解：由相對論長度縮短關(guān)系L L0 .1/ 2v/ c得到 v c. 1 L/L0 23.0 108.11/2 22,6 108m/s4.3 如題圖4.3所示，在K系的OXY平面內(nèi)放置一固有長度為0的細桿，該細卞f與xO題圖4.3軸的夾角為。設(shè)K系相

46、對于K系沿x軸正向以速率u運動，試求在 K系中測得的細桿的長度和細桿與x軸的夾角解：細桿在K系中的兩個坐標(biāo)上的投影分別為細桿在K系中的兩個坐標(biāo)上的投影分別為x 1 u / c 2 x 10 . 1 u / c 2 cosy ylo sin在K系中細桿的長度為1. x2y210 1 u/c 2 cos2 sin210 1 ucos /c與X軸正向夾角為arctan y arctan g 2 /2x. 1 u / c4.4 一飛船以9 103ms 1的速率相對于地面假設(shè)地面慣性系勻速飛行。若飛船上的鐘走了 5s的時間，用地面上的鐘測量是經(jīng)過了多少時間？解：根據(jù)相對論中時間延長關(guān)系T T0 ,1 (

47、v/c)25代入數(shù)據(jù)，可得 T 5.000000002s1 (9 103 /(3 108)24.5 已知介子束的速度為0.73c( c為真空中的光速，其固有平均壽命為 2.5 10 8s,在實驗室中看來，介子在一個平均壽命期內(nèi)飛過多大距離？解：根據(jù)相對論中時間延長關(guān)系T T01 (v/c)2代入數(shù)據(jù)，可得T25_2°_ 3.658 10 8s,1 0.732因此 S vT 0.73 3 108 3.658 10 8 8.01m4.6 慣性系K相對另一慣性系 K沿x軸作勻速直線運動，在慣性系K中觀測到兩個事件同時發(fā)生x軸上，且其間距是1m,在K系觀測到這兩個事件的空間間距是2m,求K系

48、中測得的這兩個事件的時間間隔。， 2 一t x v/c (2)解：由相對論的同時性的兩個等價關(guān)系. 2t u x v/c (1)聯(lián)立兩式得到x1 xu x x u x1 (v/c)2 x代入(2)式中得到t x v/c2x 1 ( x/ x)2/c 21 (1/2)2 /(3 108) 5.77 10 9s4.7 論證以下結(jié)論：在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不同的地點，在有相對運動的其 他慣性系中，這兩個事件一定不同時發(fā)生。證明：令在某個慣性系中兩事件滿足t 0, x 0則在有相對運動的另一個慣性系中（相對運動速度為v）,兩事件的時間間隔是22t u( t x v/c ) u x v/c/

49、2x v/c,1 (v/c)2由于 x 0, v 0且vc所以 t 0,即兩事件一定不同時發(fā)生。4.8 試證明：（1）如果兩個事件在某慣性系中是同一地點發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩 個事件的時間間隔，只有在此慣性系中最短；（2）如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短。證明（1）設(shè)兩事件在某慣性系中于同一地點發(fā)生，即x 0,時間間隔為 t,則在另一個相對運動速度為v的慣性系中，兩事件的時間間隔為, 2、tt u（ t x v/c ） u t t21 （v/c）2所以，在原慣性系中時間間隔最短。證明（2）設(shè)兩事件在某慣性系中于同時發(fā)生，即t 0,時間間隔為 x,則在另一個相對運動速度為v的慣性系中，兩事件的時間間隔為xx u（ x v t） u x x21