理論力學(xué)b07第五運(yùn)動學(xué)2013n

1、理論力學(xué)理論力學(xué)運(yùn)運(yùn) 動動 學(xué)學(xué)學(xué)習(xí)目的：學(xué)習(xí)目的： 解決工程實際問題解決工程實際問題 為動力學(xué)及后繼課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)為動力學(xué)及后繼課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)1、位置位置（運(yùn)動方程、軌跡方程）運(yùn)動方程、軌跡方程）2、速度速度3、加速度加速度參考系參考系：與參考體固連的坐標(biāo)系（運(yùn)動具有相對性）：與參考體固連的坐標(biāo)系（運(yùn)動具有相對性）定參考系定參考系：與地球固連的坐標(biāo)系：與地球固連的坐標(biāo)系運(yùn)動學(xué)的運(yùn)動學(xué)的任務(wù)任務(wù)研究物體運(yùn)動的研究物體運(yùn)動的幾何規(guī)律幾何規(guī)律（性質(zhì)性質(zhì)）幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)：運(yùn)運(yùn) 動動 學(xué)學(xué)內(nèi)容內(nèi)容：第五章第五章 點的運(yùn)動學(xué)點的運(yùn)動學(xué)第六章第六章 剛體的簡單運(yùn)動剛體的簡單運(yùn)動第七章第七章 點

2、的合成運(yùn)動點的合成運(yùn)動第八章第八章 剛體的平面運(yùn)動剛體的平面運(yùn)動一、一、描述點運(yùn)動的描述點運(yùn)動的矢量法矢量法二、二、描述點運(yùn)動的描述點運(yùn)動的直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法三、三、描述點運(yùn)動的描述點運(yùn)動的自然法自然法（弧坐標(biāo)法弧坐標(biāo)法）第五章第五章 點的運(yùn)動學(xué)點的運(yùn)動學(xué)描述點運(yùn)動的描述點運(yùn)動的矢量法矢量法矢量法矢量法主要用于理論推導(dǎo)。主要用于理論推導(dǎo)。運(yùn)動方程（軌跡方程）運(yùn)動方程（軌跡方程） 速度速度 加速度加速度5-1 5-1 矢量法矢量法運(yùn)動方程運(yùn)動方程在矢量法中，運(yùn)動方程用點在任意瞬時在矢量法中，運(yùn)動方程用點在任意瞬時t 的位置矢量的位置矢量 r(t) 表示，表示，r(t) 簡稱為簡稱為位矢位矢，即

3、：，即：rrrPPP軌跡方程為軌跡方程為矢端曲線矢端曲線（s=PPP）xzyO 矢量法矢量法運(yùn)動方程運(yùn)動方程r tr(t t)PPrv在在 t 瞬時：瞬時： 矢徑矢徑 r (t) r t r(t t)r t點在點在 t 瞬時的速度：瞬時的速度：在在t 時間間隔內(nèi)矢徑的改變量：時間間隔內(nèi)矢徑的改變量：在在 t t 瞬時：瞬時：矢徑矢徑 r(t t) 或或 r(t) r(t)xzyO速速 度度描述點在描述點在 t 瞬時瞬時運(yùn)動快慢和方向的力學(xué)量。速度運(yùn)動快慢和方向的力學(xué)量。速度的方向沿著運(yùn)動軌跡的切線，指向與點的運(yùn)動方向一致，速度的方向沿著運(yùn)動軌跡的切線，指向與點的運(yùn)動方向一致，速度的大小等于矢量

4、的大小等于矢量 v 的模。的模。矢量法矢量法速度速度矢量法矢量法加速度加速度rPvPrv在在t 瞬時：瞬時：速度速度 v(t)tt tt點在點在 t 瞬時的加速度：瞬時的加速度：在在t 時間間隔內(nèi)速度的改變量時間間隔內(nèi)速度的改變量:v在在t t 瞬時：瞬時：速度速度 v(t t) （記做記做 v）yO加速度加速度描述點在描述點在 t 瞬時瞬時速度大小和方向變化率的力學(xué)量。速度大小和方向變化率的力學(xué)量。加速度的方向為加速度的方向為 v 的極限方向的極限方向( (指向與軌跡曲線的凹向一致指向與軌跡曲線的凹向一致) ), , 加速度大小等于矢量加速度大小等于矢量 a 的模。的模。點的運(yùn)動學(xué)點的運(yùn)動學(xué)

5、直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法 直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法主要用于實際計主要用于實際計算，特別是點的運(yùn)動軌跡未知算，特別是點的運(yùn)動軌跡未知的情況。的情況。運(yùn)動方程（軌跡方程）運(yùn)動方程（軌跡方程） 速度速度 加速度加速度5-2 5-2 直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法xzyOyxzjikravP不受約束的點在空間有不受約束的點在空間有 3個自由度，在直角坐標(biāo)系中，點在個自由度，在直角坐標(biāo)系中，點在空間的位置由空間的位置由 3個方程確定，即個方程確定，即運(yùn)動方程運(yùn)動方程：x = f1(t)y = f2(t)z = f3(t)直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法運(yùn)動方程運(yùn)動方程從從運(yùn)動方程運(yùn)動方程中消去時間中消去時間 t，就得到就得到軌跡方程

6、軌跡方程。將矢徑表示成將矢徑表示成由于由于(Oxyz)為定參考系，所以為定參考系，所以直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法速度速度點的點的速度速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點的相應(yīng)坐標(biāo)矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點的相應(yīng)坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。對時間的一階導(dǎo)數(shù)。xzyOyxzjikravP點的點的加速度加速度矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點的相應(yīng)坐標(biāo)矢量在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點的相應(yīng)坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。對時間的二階導(dǎo)數(shù)。直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法加速度加速度xzyOyxzjikravP求：求： M 點的運(yùn)動方程；點的運(yùn)動方程； 軌跡；軌跡； 速度；速度； 加速度。加速度。 已知：橢圓規(guī)的曲柄已知：橢圓規(guī)的曲柄OC

7、 可繞定軸可繞定軸O 轉(zhuǎn)動，其端點轉(zhuǎn)動，其端點C 與規(guī)與規(guī)尺尺AB 的中點以鉸鏈相連接，而規(guī)尺的中點以鉸鏈相連接，而規(guī)尺A，B 兩端分別在相互兩端分別在相互垂直的滑槽中運(yùn)動，垂直的滑槽中運(yùn)動，taMClBCACOC, 例例 5-15-1 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)點點M作曲線運(yùn)動，取坐標(biāo)系作曲線運(yùn)動，取坐標(biāo)系Oxy如圖所示。如圖所示。運(yùn)動方程運(yùn)動方程()cos()cosxOCCMlattalAMysin)(sin消去消去t, 得軌跡得軌跡1)(2222alyalx）解：解：速度速度talxvxsin talyvycos)( 22()sincos( , )2cos2xvlatv ivlaalt 22(

8、)coscos( , )2cos2yvlatv jvlaalt2222222222()sin()cos2cos2xyvvvlatlatlaalt加速度加速度talxvaxxcos2 talyvayysin2 taltalaaayx 24224222sin(cos） 2222cos2laalt22()coscos( , )2cos2xalata ialaalt 22()sincos( ,)2cos2yalata jalaalt 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)已知：已知：正弦機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄正弦機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OM長為長為r，繞，繞O軸勻速轉(zhuǎn)動，軸勻速轉(zhuǎn)動，它與水平線間的夾角為它與水平線間的夾角為其中其

9、中 為為t = 0時的夾角，時的夾角， 為一常數(shù)。動桿上為一常數(shù)。動桿上A，B兩點間距離為兩點間距離為b。,t例例5-25-2求：點求：點A和和B的運(yùn)動方程及點的運(yùn)動方程及點B B的速度和加速度。的速度和加速度。 A，B點都作直線運(yùn)動，取點都作直線運(yùn)動，取Ox軸如圖所示。軸如圖所示。 運(yùn)動方程運(yùn)動方程)sin(sintrbrbxA)sin(sintrrxBB點的速度和加速度點的速度和加速度trxvBBcos22sinBBBaxrtx 周期運(yùn)動周期運(yùn)動 ()x tTx t頻率頻率Tf1解：解：已知：如圖所示，當(dāng)液壓減振器工作時，它的活塞在套已知：如圖所示，當(dāng)液壓減振器工作時，它的活塞在套筒內(nèi)作直

10、線往復(fù)運(yùn)動。設(shè)活塞的加速度筒內(nèi)作直線往復(fù)運(yùn)動。設(shè)活塞的加速度 （ 為活塞的速度，為活塞的速度， 為比例常數(shù)為比例常數(shù)) )，初速度為，初速度為 。akv v0vk例例5-35-3求：活塞的運(yùn)動規(guī)律。求：活塞的運(yùn)動規(guī)律?；钊髦本€運(yùn)動，取坐標(biāo)軸活塞作直線運(yùn)動，取坐標(biāo)軸Ox如圖所示如圖所示ddvakvt 由00ddvtvvktv 得00ln,ektvkt vvv 0dedktxvvt由000dedxtktxxvt得001 ektvxxk解：解： 自然法自然法主要用于實際計算，先主要用于實際計算，先決條件是點的運(yùn)動軌跡已知。決條件是點的運(yùn)動軌跡已知?；∽鴺?biāo)要素與運(yùn)動方程弧坐標(biāo)要素與運(yùn)動方程 密切面與

11、自然軸系密切面與自然軸系 速度速度 加速度加速度 5-3 5-3 自然法自然法如果點沿著已知的軌跡運(yùn)動，如果點沿著已知的軌跡運(yùn)動，則點的運(yùn)動方程，可用點在已則點的運(yùn)動方程，可用點在已知軌跡上所走過的弧長隨時間知軌跡上所走過的弧長隨時間變化的規(guī)律來描述。變化的規(guī)律來描述。自然法自然法弧坐標(biāo)要素與運(yùn)動方程弧坐標(biāo)要素與運(yùn)動方程弧坐標(biāo)具有以下弧坐標(biāo)具有以下要素：要素：1、有、有坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點( (一般在軌跡上一般在軌跡上任選一參考點作為坐標(biāo)原點任選一參考點作為坐標(biāo)原點) )2、有、有正、負(fù)方向正、負(fù)方向( (一般以點的一般以點的運(yùn)動方向作為正向運(yùn)動方向作為正向) )3、有相應(yīng)的、有相應(yīng)的坐標(biāo)系坐標(biāo)系

12、( (自然軸系自然軸系) )(tfs 弧坐標(biāo)運(yùn)動方程：弧坐標(biāo)運(yùn)動方程：（動點沿軌跡的運(yùn)動方程）（動點沿軌跡的運(yùn)動方程）( )sf t1.1.弧坐標(biāo)弧坐標(biāo)副法線單位矢量副法線單位矢量bn切向單位矢量切向單位矢量n主法線單位矢量主法線單位矢量2.2.自然軸系自然軸系 ssM （n（主法線主法線b（副法線副法線自然軸系（自然軸系（M- nb）基矢量（基矢量（ 、n、b）自然軸系的自然軸系的特點特點： 跟隨動點在軌跡上作跟隨動點在軌跡上作空間曲線運(yùn)動?？臻g曲線運(yùn)動。自然軸系是隨著動點位置的改變而自然軸系是隨著動點位置的改變而變動的軸系變動的軸系nb 自然坐標(biāo)軸的幾何性質(zhì)自然坐標(biāo)軸的幾何性質(zhì)dtdssv

13、 vv已知已知運(yùn)動方程：運(yùn)動方程：)(tfs dsrddtdsdtrdvsrdsrdt0lim其中其中自然法自然法速度速度弧坐標(biāo)中的速度表示弧坐標(biāo)中的速度表示所以速度矢量：所以速度矢量：速度大小速度大小速度方向速度方向沿軌跡切線方向（沿軌跡切線方向（ ）rxyzssMrrMvso自然法自然法速度速度vvdtdssv ，則則，即點沿著即點沿著s+ 的方向運(yùn)動；的方向運(yùn)動；反之，點沿著反之，點沿著s-的方向運(yùn)動。的方向運(yùn)動。v 分別表示速度的大小與方向。分別表示速度的大小與方向。vvrxyzssMrrMvso曲率半徑 定義：曲線切線的轉(zhuǎn)角對弧長一階導(dǎo)數(shù)的絕對值為曲率。曲率的倒數(shù)稱為曲率半徑。根據(jù)加

14、速度的定義以及弧坐標(biāo)中速度的表達(dá)式根據(jù)加速度的定義以及弧坐標(biāo)中速度的表達(dá)式 ：自然法自然法加速度加速度弧坐標(biāo)中的弧坐標(biāo)中的加速度加速度表示表示 vdtdva vv?dtd vva我們有：我們有：dtdsdsddddtd令：令：其中：其中：, vdtds,1dsdnddnvvndtd 1所以：所以： 下面進(jìn)行證明下面進(jìn)行證明ss自然法自然法加速度加速度MMs ) vnndd lim0 ddn 2/ sin 2 lim0 nn2/ 2/ sin lim0 當(dāng)當(dāng) 0時，時，MM， 和和 以及以及 同處于過同處于過M點的密切面內(nèi)，點的密切面內(nèi)，這這時時 的極限方向垂直于的極限方向垂直于，亦即，亦即法線

15、法線 n 方向，因此：方向，因此：n lim0 自然法自然法加速度加速度ssM vnana 可以得到：可以得到：a nvvndtd1以及：以及：vva由前面得結(jié)果：由前面得結(jié)果：naannvdtdv 2 naaa切向加速度切向加速度：sva 速度矢量的速度矢量的大小大小隨時間的變化率隨時間的變化率2van法向加速度法向加速度：速度矢量的速度矢量的方向方向隨時間的變化率隨時間的變化率22naaaa全加速度的大小全加速度的大小naaarctan全加速度的方向全加速度的方向切向加速度切向加速度 是是速度矢量的速度矢量的大小大小隨時間的變化率隨時間的變化率sva 2van法向加速度法向加速度 是是速度

16、矢量的速度矢量的方向方向隨時間的變化率隨時間的變化率速度矢量速度矢量 v 和加速度矢量和加速度矢量 a 都位于都位于密切面密切面內(nèi)，加速度矢量內(nèi)，加速度矢量在副法線方向上沒有分量。在副法線方向上沒有分量。自然法自然法討討 論論討討 論論（1）點作直線運(yùn)動時，）點作直線運(yùn)動時， ， an=0，點只有切向加速度。，點只有切向加速度。自然法自然法討討 論論幾種特殊情況：幾種特殊情況：（2）點作勻速運(yùn)動時，）點作勻速運(yùn)動時， v =const.，a =0，點只有法向加速度。，點只有法向加速度。（4）點作勻變速運(yùn)動時，）點作勻變速運(yùn)動時， a =const.，以下公式成立：，以下公式成立：v = v0

17、+ a ts = s0+ v0 t + a t 2（3）點作勻速直線運(yùn)動時，）點作勻速直線運(yùn)動時， a =0， an=0。切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度曲線勻變速運(yùn)動曲線勻變速運(yùn)動22tddddtstva22n)dd(1tsvan2t2aaa曲線勻速運(yùn)動曲線勻速運(yùn)動常數(shù)常數(shù)tvssvva000t,0常數(shù)常數(shù)2t00t0t21,tatvsstavvaABC拐點DGE拐點Fvvvvaaaaaaav = 0v = 0vA點：E點：B點：C點：D點：F點：G點：可能可能可能不可能不可能不可能可能思考：動點各瞬時的速度v和加速度a的方向如圖。指出哪些情況是可能的？哪些情況是不可能的？說明理由。

18、已知：已知：列車沿半徑為列車沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻加速的圓弧軌道作勻加速運(yùn)動。如初速度為零，經(jīng)過運(yùn)動。如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度到達(dá)后，速度到達(dá)54km/h。例例5-45-4求：列車起點和未點的加速度。求：列車起點和未點的加速度。列車作曲線加速運(yùn)動，取弧坐標(biāo)如上圖。列車作曲線加速運(yùn)動，取弧坐標(biāo)如上圖。120smin2t2n2t2m/s308.0aaa222nm/s281.0800mm/s)15(Rva0, 0nat2tm/s125.0 aa2tm/s125.0120sm/s15tvatavt有有0,0tva由由 常數(shù)常數(shù)解：解：由點由點M的運(yùn)動方程，得的運(yùn)動方程，得 txa

19、txvxx4sin32,4cos8 tyatyvyy4cos32,4sin8 4,0zzvzaz222222280m s,32m sxyzxyzvvvvaaaa從而2n2.5mva故已知點的運(yùn)動方程為已知點的運(yùn)動方程為x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，z=4t m。 求：點運(yùn)動軌跡的曲率半徑求：點運(yùn)動軌跡的曲率半徑 。2ntm/s32,0ddaatva例例5-55-5 解：解： 已知：半徑為已知：半徑為r的輪子沿直線軌道無滑動地滾動的輪子沿直線軌道無滑動地滾動（稱為純滾動），設(shè)輪子轉(zhuǎn)角（稱為純滾動），設(shè)輪子轉(zhuǎn)角 為常值），為常值），如圖所示。求用直角坐標(biāo)和弧坐標(biāo)表示的輪緣上任一如

20、圖所示。求用直角坐標(biāo)和弧坐標(biāo)表示的輪緣上任一點點M的運(yùn)動方程，并求該點的速度、切向加速度及法的運(yùn)動方程，并求該點的速度、切向加速度及法向加速度。向加速度。( t 例例5-65-6 M點作曲線運(yùn)動，取點作曲線運(yùn)動，取 直角坐標(biāo)系如圖所示。直角坐標(biāo)系如圖所示。OCMCrr t由純滾動條件由純滾動條件)sin(sin1ttrMOOCxtrMOCOycos1cos11從而從而解：解：1cos,sinxyvxrtvyrt)202sin2)cos1 (222ttrtrvvvyx（22sin,cosxyaxrtayrt222raaayx00d2sind4 (1cos)(02)22ttttsv trtrt又點

21、又點M的切向加速度為的切向加速度為2cos2ttrva 2sin22t2ntraaa搖桿機(jī)構(gòu)的滑桿搖桿機(jī)構(gòu)的滑桿AB以勻速以勻速u向上運(yùn)動，試分別用直角坐標(biāo)法與自向上運(yùn)動，試分別用直角坐標(biāo)法與自然坐標(biāo)法建立搖桿上然坐標(biāo)法建立搖桿上C點的運(yùn)動方程，并求點的運(yùn)動方程，并求 = /4時時C點的速度。點的速度。設(shè)初瞬時設(shè)初瞬時 =0，搖桿，搖桿OC= b。例例搖桿機(jī)構(gòu)搖桿機(jī)構(gòu)OBAC(xC, yC)uC0S( ) yxLb1、直角坐標(biāo)法直角坐標(biāo)法，C點的運(yùn)動方程：點的運(yùn)動方程： 22)( ,utLOAutAB2222)(sin ,)(cosutLututLL2222)(sin)(cosutLbutbyutLbLbxcc例例搖桿機(jī)構(gòu)搖桿機(jī)構(gòu)OBAC(xC,yC)uC0S( ) yxLb2、自然坐標(biāo)法自然坐標(biāo)法，C點的運(yùn)動方程：點的運(yùn)動方程： 3、 C點的速度為：點的速度為： 222222/1/tuLbLuLtuLubdtdbdtdsvcLbuvc2當(dāng)當(dāng) = /4時，時，t =L/u，所以：，所以：,tanLutLutbbsarctan例例擺桿擺桿 圓弧滑道圓弧滑道銷釘銷釘B在半徑為在半徑為R 的固定圓弧滑道的固定圓弧滑道DE和擺桿的直槽中滑動，求和擺桿的直槽中滑動，求銷