角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律資料

1、角動(dòng)量、角動(dòng)量守恒定律1、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量vmrPrL討論力矩對時(shí)間的累積作用，得出角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律。一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律mvLL rrmv設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t以速度 運(yùn)動(dòng)，它對所取參考點(diǎn)O的角動(dòng)量定義：vvmrPrL說明：說明：1）角動(dòng)量為一矢量sinLrmv大?。簃vLL rrmv方向：右手螺旋關(guān)系2）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量與位矢、動(dòng)量有關(guān)。因此在講述質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對哪一點(diǎn)的角動(dòng)量。3）圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)對圓心的角動(dòng)量2Lrmvmr大小：方向：垂直與圓周所在平面。2、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理在時(shí)間過程中力矩和角動(dòng)量的關(guān)系。()dm vFd t()drFrm vd t因?yàn)椋?)

2、()()dddrrmvrmvmvdtdtdt設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在合外力 作用下，其運(yùn)動(dòng)方程為：F質(zhì)點(diǎn)對參考點(diǎn)O的位矢為 ，故以 叉乘上式兩邊，有：rr()0drmvvvdt其中：所以：()drFrmvdt作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對參考點(diǎn)O的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)O的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。這與牛頓第二定律在形式上是相似的，MF上式還可寫成：MdtdL合力 對參考點(diǎn)0的合力矩：FMrF()ddLMrmvdtdtLP力矩與作用時(shí)間的乘積，叫做沖量矩2121ttMdtLLL 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理： 對同一參考點(diǎn)0，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量。2121ttMdtLLL 說明：說明：1）質(zhì)點(diǎn)的

3、角動(dòng)量定理來自于牛頓第二定律，因此適用范圍為：質(zhì)點(diǎn)，慣性系2）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理建立了角動(dòng)量(狀態(tài)量)和沖量矩(過程量)的關(guān)系。在某些情況下可以簡化計(jì)算。3）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理計(jì)算沖量矩的力矩，和質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量必須相對同一同一參考點(diǎn)。6 例 一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為 m 的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動(dòng). 小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過環(huán)心 O 的水平面上),然后從 A 點(diǎn)開始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì).求小球滑到點(diǎn) B 時(shí)對環(huán)心 O 的角動(dòng)量和角速度. 解 小球受重力和支持力作用, 支持力的力矩為零,重力矩垂直紙面向里cosmgRM 由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

4、定理tLmgRddcosmgNB7tLmgRddcostmgRLdcosd考慮到2,ddmRmRLtvdcosd32gRmLL得由題設(shè)條件積分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL 1. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量2iiiormL 即o對 的角動(dòng)量：imiiiiovmrL方向：沿大?。?iiiiiioiormvmrLLo轉(zhuǎn)軸 角速度剛體上任一質(zhì)點(diǎn) 轉(zhuǎn)軸與其轉(zhuǎn)動(dòng)平面交點(diǎn) 繞 圓周運(yùn)動(dòng)半徑為 imzimoirivimor轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平面平面zi二、剛體的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)： (1) 質(zhì)點(diǎn)均在垂直于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，作半徑不 同的

5、圓周運(yùn)動(dòng)； (2) 各質(zhì)點(diǎn)的角速度 大小相等，且均沿軸向。剛體對 z 軸的總角動(dòng)量為：22ii ii iiiiLLm rm rJ式中iiirmJ2剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=LJ剛體對軸的角動(dòng)量為：2iiiormL 2、剛體的角動(dòng)量定理對N個(gè)質(zhì)點(diǎn) 組成的質(zhì)點(diǎn)系(剛體)，由Nmmm,21tLFrMdd可得內(nèi)外內(nèi)外內(nèi)外NNNMMtLMMtLMMtLdddddd222111兩邊求和得ddiiiiiiLMMt外內(nèi)定義:質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量等于所有質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的矢量和iiLLddiiiiLMMt外內(nèi)因此:說明：1.在質(zhì)點(diǎn)系的情況下，合力矩是指作用于質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)力的力矩的矢量和，而不是合力的力矩注意：作用于系統(tǒng)的外力矢量

6、和為零時(shí)，合力矩不一定為零如圖的一對力偶，其矢量和為零，而合力矩不為零。2.一對內(nèi)力對同一參考點(diǎn)的力矩之和恒為零，從而質(zhì)點(diǎn)系所有內(nèi)力矩之和恒為零，即0 iiM內(nèi)證明：一對內(nèi)力對同一參考點(diǎn)的力矩之和恒為零0)( ijijijjiijjijijijijifrfrrfrfrfrfrM內(nèi)ddiiiiLMMt外內(nèi)于是：外外iiFrMtLidd質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所有外力矩的矢量和 (合外力矩 )ddddiiiiiiLLMMtt外內(nèi)注意： 合外力矩 是質(zhì)點(diǎn)系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。外M0 iiM內(nèi)剛體可以視為質(zhì)點(diǎn)系，因而質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體仍然適用。對于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

7、剛體：()dddMLJJJdtdtdt剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律實(shí)質(zhì)是角動(dòng)量定理的一種特殊形式。積分：221121tLtLM dtdLLLL 對某個(gè)固定軸的外力矩的作用在某段時(shí)間內(nèi)的積累效果，稱為沖量矩右邊為剛體對同一轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量的增量。當(dāng)轉(zhuǎn)軸給定時(shí)，作用在剛體上所有外力的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量。叫做剛體角動(dòng)量定理3、質(zhì)點(diǎn)系(剛體)角動(dòng)量守恒定律212211ttM dtJJ考慮到定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量公式，剛體的角動(dòng)量定理也可改寫為：根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：ddLMt外若合外力矩0M外則系統(tǒng)的角動(dòng)量為一常矢量(不隨時(shí)間變化)。=LL 末初角動(dòng)量守恒定律條件條件結(jié)論結(jié)論討論：1) 角動(dòng)量守恒定律

8、是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，而且在高速低速范圍均適用。2) 角動(dòng)量守恒定律的條件和結(jié)論即使用于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，也適用于質(zhì)點(diǎn)系，剛體，或者是若干質(zhì)點(diǎn)和剛體組成的混合系統(tǒng)。3) 角動(dòng)量守恒定律的0M有兩種情況：0F0F通過參考點(diǎn)O，即F/F r5）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒的情況：勻速直線運(yùn)動(dòng)：對任意參考點(diǎn)而言角動(dòng)量守恒。勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：對圓心而言角動(dòng)量守恒。質(zhì)點(diǎn)在有心力的作用下運(yùn)動(dòng)：對有心力的中心而言角動(dòng)量守恒。6）萬有引力是典型的有心力。因此地球繞太陽的公轉(zhuǎn)角動(dòng)量守恒。4）對于不同的系統(tǒng)，判斷角動(dòng)量守恒的條件完全相同。差別在于系統(tǒng)角動(dòng)量的計(jì)算公式不同。所有角動(dòng)量必須相對同

9、一參考點(diǎn)。7）動(dòng)量守恒的系統(tǒng)角動(dòng)量必然守恒，反之則不一定。因此角動(dòng)量守恒定律的使用范圍比動(dòng)量守恒定律更加廣泛。18星系為什么是扁平的？粗略的解釋：星系具有原始角動(dòng)量L 星系在氧化的過程中可以認(rèn)為角動(dòng)量(近似)守恒因此在垂直角動(dòng)量方向不能無限收縮。LJ不過在平行角動(dòng)量方向缺不受這一限制。20 例：在一光滑水平面上，有一輕彈簧，一端固定，一端連接一質(zhì)量m = 1 kg 的滑塊，如圖所示彈簧自然長度l0= 0.2 m，勁度系數(shù)k =100 Nm-1. 設(shè)t = 0時(shí)，彈簧長度為l0，滑塊速度v0 = 5 ms-1，方向與彈簧垂直以后某一時(shí)刻，彈簧長度l =0.5 m 求該時(shí)刻滑塊速度 的大小和夾角

10、vlvl00v21sin00lmlmvv20220)(212121llkmmvv12020sm4)(mllkvv30)arcsin(00llvv解：由角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可得 lvl00v22 例2 一質(zhì)量 的登月飛船, 在離月球表面高度 處繞月球作圓周運(yùn)動(dòng).飛船采用如下登月方式 : 當(dāng)飛船位于點(diǎn) A 時(shí),它向外側(cè)短時(shí)間噴氣 , 使飛船與月球相切地到達(dá)點(diǎn) B , 且OA 與 OB 垂直 . 飛船所噴氣體相對飛船的速度為 . 已知月球半徑 ; 在飛船登月過程中,月球的重力加速度視為常量 .試問登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質(zhì)量 是多少?m0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm

11、100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1g23 解 設(shè)飛船在點(diǎn) A 的速度 , 月球質(zhì)量 mM ,由萬有引力和牛頓定律0vhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1g已知求 所需消耗燃料的質(zhì)量 .m2421)(220vvvARmhRmBvv)(0 當(dāng)飛船在A點(diǎn)以相對速度 向外噴氣的短時(shí)間里 , 飛船的質(zhì)量減少了m 而為 , 并獲得速度的增量 , 使飛船的速度變?yōu)?, 整個(gè)噴氣過程動(dòng)量守恒。vAvmu質(zhì)量 從 A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)只受有心力作用 , 角動(dòng)量守恒m0

12、vAvBBvuvhORA0()mmu vv機(jī)械能守恒1122MMm mm mGGRhR22ABm vm v25例 一個(gè)物體可以繞定軸作無摩擦的勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)它受熱或受冷（即膨脹或收縮）時(shí)，角速度是否改變？為什么？角動(dòng)量守恒應(yīng)用：當(dāng)膨脹時(shí)， I I當(dāng)收縮時(shí)：0043)(mvvvmfdt子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為：Jdtflldtf因, 由兩式得ff200314943MlJMlmvJlmv 這里解:以 代表棒對子彈的阻力,對子彈有:f例 、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長為 ,質(zhì)量為 。Ml014vv0,m

13、 vf Ml27 例 質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿,可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí), 有一只小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處, 并背離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問:欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng), 小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解 小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒28l0712 v由角動(dòng)量定理tItItLMddd)(ddd trmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvv

14、lg29例、體重、身高相同的甲乙兩人，分別用雙手握住跨過無摩擦輕滑輪的繩子各一端，他們由初速度為零向上爬，經(jīng)過一段時(shí)間，甲相對繩子的速率是乙相對繩子速率的兩倍，則到達(dá)頂點(diǎn)的情況是A、甲先到達(dá) B、乙先到達(dá)C、同時(shí)到達(dá) D、誰先到達(dá)不能確定C正確30 例 一雜技演員 M 由距水平蹺板高為 h 處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N 彈了起來.設(shè)蹺板是勻質(zhì)的,長度為l,質(zhì)量為 ,蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),演員的質(zhì)量均為m.假定演員M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問演員N可彈起多高?ll/2CABMNh 解 碰撞前 M 落在 A點(diǎn)的速度21M)2( ghv 碰撞后

15、的瞬間, M、N具有相同的線速度2lu m31 把M、N和蹺板作為一個(gè)系統(tǒng), 角動(dòng)量守恒21M)(2gh v2lu 22M11222122llmImum lmlvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得演員 N 以 u 起跳, 達(dá)到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh例 .已知：兩平行圓柱在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，求：接觸且無相對滑動(dòng)時(shí)202,2101,1,;,RmRm?21.o1m1R1.o2R2m21020o1.o2.12解一：因摩擦力為內(nèi)力，外力過軸 ，外力矩為零，則：J1 + J2 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒 ，以順時(shí)針方向?yàn)檎?12211202101JJJJ接觸點(diǎn)無相對滑動(dòng)： 22211RR又： 3212111RmJ 4212222RmJ 聯(lián)立1、2、3、4式求解，對不對？ o2F2o1.F1f1f212分別以m1 , m2 為研究對象，受力如圖：o2F2o1.F1f1f20 )2(0