大學(xué)物理上冊(cè)第九章4

1、大學(xué)物理學(xué)第九章第九章 機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波三、平面波的波動(dòng)方程三、平面波的波動(dòng)方程)(cos),(0 uxtAtxy平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：分別分別 對(duì)對(duì) t 和和 x 求二階偏導(dǎo)，可得：求二階偏導(dǎo)，可得：平面波波動(dòng)方程平面波波動(dòng)方程 任何物理量任何物理量 ，只要它與時(shí)間和坐標(biāo)關(guān)系滿(mǎn)足波只要它與時(shí)間和坐標(biāo)關(guān)系滿(mǎn)足波動(dòng)方程，則這一物理量就按波的形式傳播。動(dòng)方程，則這一物理量就按波的形式傳播。222221tyuxy )(cos02222 uxtuAxy )(cos0222 uxtAty比較兩式，可得比較兩式，可得 推廣推廣: :2222222221tuzyx 四、波的

2、能量四、波的能量1、波的能量波的能量以橫波為例以橫波為例, ,其波函數(shù)為其波函數(shù)為: :)(cos0 uxtAy任取一線(xiàn)元任取一線(xiàn)元x， 其質(zhì)量其質(zhì)量1） 質(zhì)元質(zhì)元的動(dòng)能的動(dòng)能: :221mvEk )(sin210222 uxtxA)(sin0 uxtAtyv2）質(zhì)元的勢(shì)能質(zhì)元的勢(shì)能 : :勢(shì)能的變化和動(dòng)能的變化勢(shì)能的變化和動(dòng)能的變化“步調(diào)一致步調(diào)一致”。)(sin210222 uxtxAEP可以證明：各質(zhì)元的勢(shì)能為可以證明：各質(zhì)元的勢(shì)能為xm xyOx 為質(zhì)量密度為質(zhì)量密度3）總機(jī)械能總機(jī)械能pkEEE )(sin0222 uxtxA4）能量密度能量密度( ( 單位體積中的能量單位體積中的能

3、量 ) )VEw )()(sin0222tuxtA 5）平均能量密度平均能量密度( ( 在一個(gè)周期內(nèi)的能量密度的平均值在一個(gè)周期內(nèi)的能量密度的平均值) ) TtwTw0d1 TtuxtAT00222d)(sin1 2221 A 22, A 1）任一質(zhì)元的動(dòng)能、勢(shì)能的相位、大小均相同。）任一質(zhì)元的動(dòng)能、勢(shì)能的相位、大小均相同。 ( ( 注意與振動(dòng)能量相區(qū)別注意與振動(dòng)能量相區(qū)別 ) )3）能量以波度能量以波度 u 傳播。傳播。平衡位置（平衡位置（y = 0） E k 、 E p 最大。最大。振幅處（振幅處（y = A） E k 、 E p 為為 0。xyO2）總機(jī)械能不守恒，）總機(jī)械能不守恒，隨時(shí)

4、間作周期性變化隨時(shí)間作周期性變化。tyO 2、波的能流密度、波的能流密度（描述波的能量傳播的物理量描述波的能量傳播的物理量）1）能流能流 :單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)垂直垂直通過(guò)通過(guò)波傳播方向上波傳播方向上某一面積的能量。某一面積的能量。wStuE w 為截面所在位置的能量密度。為截面所在位置的能量密度。)(sin222uxtAuSwSutEP 設(shè)波速為設(shè)波速為u ，在在 時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于波速截面時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于波速截面 的能量的能量:St 能流為：能流為：2）平均能流：在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值稱(chēng)為平均能流。平均能流：在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值稱(chēng)為平均能流。wSuP 3）能流密度：能流密度：通過(guò)垂直于

5、波動(dòng)傳播方向通過(guò)垂直于波動(dòng)傳播方向單位面積單位面積的的平均平均 能流能流，稱(chēng)為，稱(chēng)為能流密度能流密度或或波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度。uStu wuSPI uAI2221 能流密度是矢量能流密度是矢量，其方向與波速方向相同。其方向與波速方向相同。單位單位: W / m 2 波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，媒質(zhì)總要吸收一部分能量。波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，媒質(zhì)總要吸收一部分能量。吸收吸收的能量轉(zhuǎn)換為其他形式的能量。的能量轉(zhuǎn)換為其他形式的能量。因此，波的振幅要減小、因此，波的振幅要減小、波的強(qiáng)度將減弱，這種現(xiàn)象稱(chēng)為波的強(qiáng)度將減弱，這種現(xiàn)象稱(chēng)為波的吸收波的吸收。4） 波的吸收：波的吸收：為吸收系數(shù)，取決于媒質(zhì)的性質(zhì)和波的頻率為吸收系

6、數(shù)，取決于媒質(zhì)的性質(zhì)和波的頻率xeII 20 uAI2221 9.6 波的疊加原理波的疊加原理 波的干涉波的干涉 一、一、波的疊加原理波的疊加原理通過(guò)對(duì)各種波動(dòng)相遇現(xiàn)象的觀察和研究，可總結(jié)如下規(guī)律：通過(guò)對(duì)各種波動(dòng)相遇現(xiàn)象的觀察和研究，可總結(jié)如下規(guī)律：波的疊加原理對(duì)強(qiáng)沖擊波不成立。波的疊加原理對(duì)強(qiáng)沖擊波不成立。 幾列波相遇之后，幾列波相遇之后， 各列波仍將保持其原有的特征（頻各列波仍將保持其原有的特征（頻、 波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不變，繼續(xù)沿原來(lái)的傳播方向波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不變，繼續(xù)沿原來(lái)的傳播方向 前進(jìn)，好象沒(méi)有遇到過(guò)其他波一樣前進(jìn)，好象沒(méi)有遇到過(guò)其他波一樣 。 波傳播的獨(dú)立性波傳播的

7、獨(dú)立性 在其相遇區(qū)域內(nèi)，任一質(zhì)元的振動(dòng)為各個(gè)波單在其相遇區(qū)域內(nèi)，任一質(zhì)元的振動(dòng)為各個(gè)波單獨(dú)存在時(shí)所獨(dú)存在時(shí)所 引起的振動(dòng)的矢量和。引起的振動(dòng)的矢量和。 波的疊加原理波的疊加原理二、二、波的干涉波的干涉 在一定條件下，在一定條件下，兩波相遇時(shí)，兩波相遇時(shí)，使某使某些點(diǎn)的振動(dòng)始終加些點(diǎn)的振動(dòng)始終加強(qiáng)，而另一些點(diǎn)的強(qiáng)，而另一些點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱或完振動(dòng)始終減弱或完全抵消的現(xiàn)象，稱(chēng)全抵消的現(xiàn)象，稱(chēng)為為波的干涉現(xiàn)象波的干涉現(xiàn)象。產(chǎn)生干涉的條件：產(chǎn)生干涉的條件： 頻率相同。頻率相同。 振動(dòng)方向相同。振動(dòng)方向相同。 相位相同或相位相同或相位差恒定。相位差恒定。干涉加強(qiáng)、減弱條件干涉加強(qiáng)、減弱條件設(shè)有兩個(gè)頻率相

8、同的波源設(shè)有兩個(gè)頻率相同的波源S 1 和和S 2 。2r1r1s2sp)cos(),(1010110 tAtsy)cos(),(2020220 tAtsy傳播到傳播到 P 點(diǎn)引起的振動(dòng)為：點(diǎn)引起的振動(dòng)為： )2cos(1101rtA )2cos(2202rtA )(cos),(10111 urtAtpy)(cos),(20222 urtAtpy在在 P 點(diǎn)的振動(dòng)為點(diǎn)的振動(dòng)為同方向同頻率同方向同頻率振動(dòng)的合成。振動(dòng)的合成。P 點(diǎn)合振動(dòng)：點(diǎn)合振動(dòng)：)cos(21 tAyyy cos2212221AAAAA)(2)(121020rr 干涉加強(qiáng)的條件：干涉加強(qiáng)的條件：21maxAAAA 干涉減弱的條件

9、：干涉減弱的條件：|21minAAAA 當(dāng)兩波源的當(dāng)兩波源的初相位相同初相位相同時(shí)，相干條件可寫(xiě)為：時(shí)，相干條件可寫(xiě)為：,.3,2,1 ,012 kkrr ,.3 , 2 , 1 , 02)12(12 kkrr 為為波波程程差差 ,.3,2, 1 ,02 kk 干涉加強(qiáng)干涉加強(qiáng)干涉減弱干涉減弱 cos2212221AAAAA,.3 , 2 , 1 , 0)12( kk )(2)(121020rr 1、駐波駐波: 兩列兩列振幅相同振幅相同的的相干波相干波，在同一直線(xiàn)上沿在同一直線(xiàn)上沿相反方向相反方向 傳播傳播時(shí)疊加而形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象。時(shí)疊加而形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象。三、駐波三、駐波（駐

10、波是干涉的特例駐波是干涉的特例） 設(shè)有兩列相干波，設(shè)有兩列相干波，振幅相同振幅相同，分別沿，分別沿 x 軸正、負(fù)方向軸正、負(fù)方向傳播，選初相位均為零的表達(dá)式為：傳播，選初相位均為零的表達(dá)式為：)2cos(1xtAy )2cos(2xtAy 2、駐波的形成、駐波的形成 :)2cos()2cos(21xtAxtAyyy 其合成波稱(chēng)為駐波，其表達(dá)式其合成波稱(chēng)為駐波，其表達(dá)式txA cos2cos2 v 各點(diǎn)作頻率相同、振幅不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)各點(diǎn)作頻率相同、振幅不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng) 。v 振幅為振幅為 xA2cos2 1）振幅）振幅 隨隨 x 而異，與時(shí)間無(wú)關(guān)。而異，與時(shí)間無(wú)關(guān)。 xA2cos23、駐波的特征：

11、、駐波的特征：波節(jié)：振幅為零的點(diǎn)稱(chēng)為波節(jié)：振幅為零的點(diǎn)稱(chēng)為波節(jié)。波節(jié)。0|2cos2| xA 2)12(2 kx波節(jié)的位置為：波節(jié)的位置為：.2, 1, 04) 12( kkx 波腹：振幅最大的點(diǎn)稱(chēng)為波腹：振幅最大的點(diǎn)稱(chēng)為波腹。波腹。1|2cos| x 波腹的位置為：波腹的位置為：.2, 1, 02 kkx kx 2xyo2 2 2）相鄰兩波節(jié)之間的質(zhì)元相位相同，波節(jié)兩側(cè)振動(dòng)相位）相鄰兩波節(jié)之間的質(zhì)元相位相同，波節(jié)兩側(cè)振動(dòng)相位 相反，在相反，在波節(jié)波節(jié)處產(chǎn)生處產(chǎn)生 的的相位躍變相位躍變 .44 x434 xxyo2 2 02cos xt 2相相位位為為： t2相相位位為為：02cos x例：例

12、：為波節(jié)為波節(jié)4 x3）駐波中的能量不傳播。）駐波中的能量不傳播。 “駐駐”uAI2221 能流密度：能流密度：txA 2cos2cos2 當(dāng)一列波從當(dāng)一列波從波疏媒質(zhì)波疏媒質(zhì)入射到入射到波密媒質(zhì)波密媒質(zhì)的分界面時(shí)的分界面時(shí)，在反射，在反射點(diǎn)出現(xiàn)點(diǎn)出現(xiàn)波節(jié)波節(jié)的現(xiàn)象。這相當(dāng)于反射波在反射點(diǎn)有的現(xiàn)象。這相當(dāng)于反射波在反射點(diǎn)有的相位突變的相位突變，等效于波多走或少走半個(gè)波長(zhǎng)的波程，因此稱(chēng)為等效于波多走或少走半個(gè)波長(zhǎng)的波程，因此稱(chēng)為半波損失。半波損失。四、四、半波損失半波損失理論分析理論分析反射點(diǎn)是波反射點(diǎn)是波腹腹uu)2cos(11rtAy )2cos(12rtAy 0 若反射點(diǎn)是波節(jié)若反射點(diǎn)是波

13、節(jié) 2 )2cos(11rtAy )2(2cos12 rtAy即即u界面處是界面處是波節(jié)波節(jié)波波疏疏媒質(zhì)媒質(zhì)波波密密媒質(zhì)媒質(zhì)界面處是界面處是波腹波腹波波疏疏媒質(zhì)媒質(zhì)波波密密媒質(zhì)媒質(zhì)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果結(jié)果半波損失半波損失無(wú)半波損失無(wú)半波損失u2 34cos01. 0 xty 例題例題2 在彈性介質(zhì)中有一沿在彈性介質(zhì)中有一沿Ox軸正向傳播的平面波，其波軸正向傳播的平面波，其波函數(shù)為函數(shù)為 （S1），若在），若在x = 5.00m處有處有一介質(zhì)分界面，且在分界面處反射波有半波損失，波的強(qiáng)度一介質(zhì)分界面，且在分界面處反射波有半波損失，波的強(qiáng)度不衰減試寫(xiě)出反射波的波函數(shù)不衰減試寫(xiě)出反射波的波函數(shù)oxx5解法解

14、法1)34cos(01.0 xty 4340 u x = 5m 處的振動(dòng)方程為：處的振動(dòng)方程為：)3164cos(01.0)354cos(01.0 tty 反射波在該點(diǎn)引起的振動(dòng)方程為：反射波在該點(diǎn)引起的振動(dòng)方程為：)3134cos(01.0)3164cos(01.0 tty 反射波的波函數(shù)為：反射波的波函數(shù)為：313)(4cos01. 0 uxty313)5(4cos01. 0 uxt)344cos(01.0 xt法法2)34cos(01.0 xtyoxx5 O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程為：)34cos(01.0 ty 反射波到達(dá)反射波到達(dá)x 處引起的振動(dòng)方程處引起的振動(dòng)方程 即波函數(shù)為：

15、即波函數(shù)為：3)(4cos01.0 uxty3)55(4cos01.0 uxt34104cos(01.0 xt344cos(01.0: xtor324cos(01.0: xtor9.8 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng) 一、多普勒效應(yīng)一、多普勒效應(yīng)1、定義：因波源或觀察者相對(duì)于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)，而使、定義：因波源或觀察者相對(duì)于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)，而使觀察者接受觀察者接受 到的頻率到的頻率不同于不同于波源的頻率波源的頻率現(xiàn)象稱(chēng)為現(xiàn)象稱(chēng)為多普勒效應(yīng)。多普勒效應(yīng)。當(dāng)波源或觀察者相對(duì)于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，三者可能互不相同。當(dāng)波源或觀察者相對(duì)于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，三者可能互不相同。波源頻率：波源頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)波源振動(dòng)的次數(shù)或單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)波

16、源振動(dòng)的次數(shù)或單位時(shí)間內(nèi) 發(fā)出的發(fā)出的 完整波完整波 的個(gè)數(shù)。的個(gè)數(shù)。s 觀察者接受到的頻率：觀察者接受到的頻率：觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接受到的觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接受到的完整完整 波波的個(gè)數(shù)。的個(gè)數(shù)。R 波的頻率：波的頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)媒質(zhì)中某點(diǎn)的單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)媒質(zhì)中某點(diǎn)的完整波完整波 的數(shù)目。的數(shù)目。 注意區(qū)別下面三種頻率注意區(qū)別下面三種頻率: :1、波源不動(dòng)，、波源不動(dòng)， 觀察者相對(duì)于媒質(zhì)以速度觀察者相對(duì)于媒質(zhì)以速度VR 沿二者連線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：沿二者連線(xiàn)運(yùn)動(dòng)： 觀察者接收到的頻率（單位時(shí)間內(nèi)接收到完整波的個(gè)數(shù)）觀察者接收到的頻率（單位時(shí)間內(nèi)接收到完整波的個(gè)數(shù)）: 觀察者以速度觀察者以速度VR 接近

17、接近S ：uVuuVuVuRRRR )(設(shè)波源的頻率為設(shè)波源的頻率為 ； 波長(zhǎng)為波長(zhǎng)為 , 波在媒質(zhì)中的傳播速度為波在媒質(zhì)中的傳播速度為u 。二、三種不同情況下頻率的變化二、三種不同情況下頻率的變化觀察者以速度觀察者以速度 VR 離開(kāi)離開(kāi)S ：sRRuVu 表明表明: 觀察者接收到的觀察者接收到的頻率提高頻率提高。同理可得觀察者接受到的頻率：同理可得觀察者接受到的頻率：sRRuVu 特例：特例：。時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0, RRuV 即觀察者與波面同速運(yùn)動(dòng)，接受不到聲波。即觀察者與波面同速運(yùn)動(dòng)，接受不到聲波。表明表明: 觀察者接收到的觀察者接收到的頻率降低頻率降低。2、觀察者不動(dòng)，波源相對(duì)于媒質(zhì)以速度、觀察

18、者不動(dòng)，波源相對(duì)于媒質(zhì)以速度Vs 沿二者連線(xiàn)運(yùn)動(dòng)沿二者連線(xiàn)運(yùn)動(dòng)若若波源波源S 以速度以速度V s 接近接近觀察者：觀察者：ssVuuu 波在媒質(zhì)中的波長(zhǎng)：波在媒質(zhì)中的波長(zhǎng)：SSSVuTVu )(波的頻率為：波的頻率為：S0suTSSTVSVSSRVuu 觀察者接收到的頻率：觀察者接收到的頻率：頻率升高頻率升高3、波源和觀察者同時(shí)相對(duì)媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)：、波源和觀察者同時(shí)相對(duì)媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)：SVPSRVSSRRVuVu 若若波源波源S 以速度以速度Vs 離開(kāi)離開(kāi)觀察者觀察者, 則：則：頻率降低頻率降低SSRVuu 觀察者接受到的頻率為：觀察者接受到的頻率為：1）交通上測(cè)量車(chē)速；）交通上測(cè)量車(chē)速；2）醫(yī)學(xué)上用于測(cè)量血流速度）醫(yī)學(xué)上用于測(cè)量血流速度3）衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)等。）衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)等。多普勒效應(yīng)的應(yīng)用多普勒效應(yīng)的應(yīng)用 例題例題1 利用多普勒效應(yīng)監(jiān)測(cè)汽車(chē)行駛的速度利用多普勒效應(yīng)監(jiān)測(cè)汽車(chē)行駛的速度. 一一固定波源固定波源發(fā)出發(fā)出頻率為頻率為100kHz的超聲波。的超聲波。 當(dāng)當(dāng)汽車(chē)汽車(chē)迎著波源駛來(lái)時(shí)。迎著波源駛來(lái)時(shí)。 與波源安裝與波源安裝在一起的在一起的接受器接受器接收到從汽車(chē)反射回來(lái)的超聲波的頻率為接收到從汽車(chē)反射回來(lái)的超聲波的頻率為110KHz。 已知空氣中聲速為已知空氣中聲速為 330 m /s。 求：汽車(chē)行駛的速率。