第二章 插值法課件

1、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（深度（M M） 466 741 950 1422 1634水溫（水溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，米，600米，米，1000米米）處的水溫）處的水溫 1 1引言引言 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 函數(shù)解析式未知函數(shù)解析式未知,通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到的一組數(shù)據(jù)通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到的一組數(shù)據(jù), 即在即在某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間a, b上給出一系列點(diǎn)的函數(shù)值上給出一系列點(diǎn)的函數(shù)值 yi= f(xi) 或者給出函數(shù)表或者給出

2、函數(shù)表y=f(x)y=p(x)xx0 x1x2xnyy0y1y2yn定義定義2.12.1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y= =f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上有定義上有定義, ,且已知在且已知在點(diǎn)點(diǎn) 上的值上的值01naxxxb01,nyyy( )(0,1, )iiP xy in若存在一簡(jiǎn)單函數(shù)若存在一簡(jiǎn)單函數(shù)P( (x),),使使 ( (2.1) )則稱(chēng)則稱(chēng)P(x)為為f( (x) )的一個(gè)的一個(gè)插值函數(shù)插值函數(shù), 點(diǎn)點(diǎn) 稱(chēng)為稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)， a, b 稱(chēng)為稱(chēng)為插值區(qū)間插值區(qū)間, 求插值函數(shù)求插值函數(shù)P(x)的方法的方法稱(chēng)為稱(chēng)為插值法插值法. 稱(chēng)稱(chēng)( (2.1) )式為式為插值條件插值條件.0

3、1,nxxx注注: :(1)(1)若若 01( )nnP xaa xa x多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值(2)(2)若若P( (x) )為分段的多項(xiàng)式為分段的多項(xiàng)式 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式分段插值分段插值(3)(3)若若P( (x) )為三角多項(xiàng)式為三角多項(xiàng)式 三角插值三角插值u插值函數(shù)插值函數(shù)P( (x) )在在n+1個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn)個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn)xi( (i=0,1,n)處與處與 f( (xi) )相等相等, ,在其它點(diǎn)在其它點(diǎn)x就用就用P(x)的值作為的值作為f( (x) )的近似值的近似值. . 這一過(guò)程稱(chēng)為這一過(guò)程稱(chēng)為插值插值. . u換句話(huà)說(shuō)換句話(huà)說(shuō), ,插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表插值就是

4、根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表“插插 出出”所要點(diǎn)的函數(shù)值所要點(diǎn)的函數(shù)值. .u用用P( (x) )的值作為的值作為f( (x) )的近似值的近似值, ,不僅希望不僅希望P( (x) )能較好能較好 地逼近地逼近f( (x) ), ,而且還希望它計(jì)算簡(jiǎn)單而且還希望它計(jì)算簡(jiǎn)單. .u由于代數(shù)多項(xiàng)式具有數(shù)值計(jì)算和理論分析方便的優(yōu)點(diǎn)由于代數(shù)多項(xiàng)式具有數(shù)值計(jì)算和理論分析方便的優(yōu)點(diǎn). . 所以本章主要介紹代數(shù)插值所以本章主要介紹代數(shù)插值. .即求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)即求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n次次 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式: :( (2.2) )1110( )nnnnP xa xaxa xa1110( )nnnnP xa xaxa

5、 xa滿(mǎn)足滿(mǎn)足 ), 2 , 1 , 0()()(nixfxPii則稱(chēng)則稱(chēng)P( (x) )為為f( (x) )的的n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式. .這種插值法通常稱(chēng)為這種插值法通常稱(chēng)為多項(xiàng)式插值法多項(xiàng)式插值法. .其幾何意義如下圖所示其幾何意義如下圖所示 定理定理2.1：滿(mǎn)足條件：滿(mǎn)足條件(2.1)的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式(2.2)存在唯一存在唯一.注：注：唯一性說(shuō)明，不論用何種方法來(lái)構(gòu)造，也不論用唯一性說(shuō)明，不論用何種方法來(lái)構(gòu)造，也不論用何種形式來(lái)表示插值多項(xiàng)式何種形式來(lái)表示插值多項(xiàng)式, ,只要滿(mǎn)足插值條件只要滿(mǎn)足插值條件( (2.1) )其其結(jié)果都是相互恒等的結(jié)果都是相互恒等的. . 證明證

6、明: : 設(shè)設(shè)n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 0111)(axaxaxaxPnnnn是函數(shù)是函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 a, , b 上的上的n+1+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)個(gè)互異的節(jié)點(diǎn) ( (i=0,1,2,=0,1,2, ,n) )上的插值多項(xiàng)式上的插值多項(xiàng)式, ,則求插值多項(xiàng)式則求插值多項(xiàng)式P( (x) )的問(wèn)題就歸結(jié)為求它的系數(shù)的問(wèn)題就歸結(jié)為求它的系數(shù) ( (i=0,1,2,=0,1,2, ,n). ). )(xfy ixia由插值條件由插值條件: (: (i=0,1,2,=0,1,2, ,n),),可得可得 )()(iixfxp)()()(01111011111100011010nnnnnnnnnnnnnnnnx

7、faxaxaxaxfaxaxaxaxfaxaxaxa 這是一個(gè)關(guān)于待定參數(shù)這是一個(gè)關(guān)于待定參數(shù) 的的n+1階線(xiàn)性方階線(xiàn)性方程組程組, ,其系數(shù)矩陣行列式為其系數(shù)矩陣行列式為 naaa,10niijjinnnnnnxxxxxxxxxxxV110212110200)(111 稱(chēng)為稱(chēng)為Vandermonde（范德蒙）行列式，因范德蒙）行列式，因xixj（當(dāng)當(dāng)ij），），故故V0. .根據(jù)解線(xiàn)性方程組的克萊姆根據(jù)解線(xiàn)性方程組的克萊姆（Gramer）法則，方程組的解法則，方程組的解 存在唯一，從而存在唯一，從而P( (x) )被唯一確定被唯一確定. . naaa,10唯一性說(shuō)明，不論用何種方法來(lái)構(gòu)造，也

8、不論用何種唯一性說(shuō)明，不論用何種方法來(lái)構(gòu)造，也不論用何種形式來(lái)表示插值多項(xiàng)式形式來(lái)表示插值多項(xiàng)式, ,只要滿(mǎn)足插值條件只要滿(mǎn)足插值條件( (2.1)2.1)其結(jié)其結(jié)果都是相互恒等的果都是相互恒等的. . 2 拉格朗日拉格朗日( (Lagrange) )插值插值 為了構(gòu)造滿(mǎn)足插值條件為了構(gòu)造滿(mǎn)足插值條件 (i=0,1,2,n)的便于使用的插值多項(xiàng)式的便于使用的插值多項(xiàng)式P( (x),),先考察幾種簡(jiǎn)單情形先考察幾種簡(jiǎn)單情形, ,然后再推廣到一般形式然后再推廣到一般形式. ( )( )iiP xf x111,( ),( )kkkkxxxL xf xyy已知求線(xiàn)性插值多項(xiàng)式使1111( ), ().

9、kkkkL xy L xy（1）線(xiàn)性插值）線(xiàn)性插值 線(xiàn)性插值是代數(shù)插值的最簡(jiǎn)單形式線(xiàn)性插值是代數(shù)插值的最簡(jiǎn)單形式. .( (線(xiàn)性插值與拋物插值線(xiàn)性插值與拋物插值) )線(xiàn)性插值的幾何意義線(xiàn)性插值的幾何意義: :用用通過(guò)點(diǎn)通過(guò)點(diǎn) 和和 的直線(xiàn)近似地代替曲線(xiàn)的直線(xiàn)近似地代替曲線(xiàn) y=f(x)(,)kkA xy11(,)kkB xy111( )()kkkkkkyyL xyxxxx11111( )kkkkkkkkxxxxL xyyxxxx1111( ),( )kkkkkkkkxxxxlxlxxxxx為了便于推廣，記為了便于推廣，記 y=f(x) L1 (x) A(xk,yk) B(xk+1,yk+1)

10、由解析幾何中的知識(shí)知道由解析幾何中的知識(shí)知道, ,這條直線(xiàn)用點(diǎn)斜式表示為這條直線(xiàn)用點(diǎn)斜式表示為111( )( )( )k kkkL xy lxylx則則 1()1,()0kkkklxlx111()0,()1kkkklxlx1( )( )1kklxlx這是一次函數(shù)這是一次函數(shù), ,且有性質(zhì)且有性質(zhì) 1111( ),( )kkkkkkkkxxxxlxlxxxxx一次插值基函數(shù)一次插值基函數(shù)線(xiàn)性插值基函數(shù)線(xiàn)性插值基函數(shù)于是線(xiàn)性插值函數(shù)可以表示為基函數(shù)的線(xiàn)性組合于是線(xiàn)性插值函數(shù)可以表示為基函數(shù)的線(xiàn)性組合 111( )( )( )k kkkL xy lxylx （2 2） 二次插值二次插值二次插值又稱(chēng)拋

11、物插值，它也是常用的代數(shù)插值之一二次插值又稱(chēng)拋物插值，它也是常用的代數(shù)插值之一. . 11211,( ),( )kkkkkkxxxxLxf xyyy已知求二次插值多項(xiàng)式使2112211()( ),().kkkkkkL xyL xy L xy，這就是二次插值問(wèn)題這就是二次插值問(wèn)題. .其幾何意義是用經(jīng)過(guò)其幾何意義是用經(jīng)過(guò)3個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) 的拋物線(xiàn)的拋物線(xiàn) 近似代替曲線(xiàn)近似代替曲線(xiàn)f( (x),),因此也稱(chēng)之為拋物插值因此也稱(chēng)之為拋物插值. . 1111(,),(,),(,)kkkkkkxyxyxy22210( )Lxa xa xa y y=L2(x) yk-1 yk y k+1 y=f(x) O xk

12、-1 xk xk+1 x L2(x)的參數(shù)的參數(shù)直接由插值條件決定，直接由插值條件決定，即即 滿(mǎn)足下面滿(mǎn)足下面的代數(shù)方程組：的代數(shù)方程組： 210,aaa210,aaa201121120122011211kkkkkkkkkaa xa xyaa xa xyaa xa xy2112211111kkkkkkxxxxxx該三元一該三元一次方程組次方程組的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣 的行列式是范德蒙行列式，當(dāng)?shù)男辛惺绞欠兜旅尚辛惺?，?dāng) 時(shí)，時(shí)，方程組的解唯一方程組的解唯一. . 11kkkxxx仿線(xiàn)性插值仿線(xiàn)性插值, ,用基函數(shù)的方法求解用基函數(shù)的方法求解. .此時(shí)此時(shí)為二次函數(shù)，且滿(mǎn)足為二次函數(shù)，且滿(mǎn)足11(

13、 ), ( ),( ),kkklx lx lx11111()1,()0,()0kkkkkklxlxlx11()0,()1,()0kkkkkklxlxlx11111()0,()0,()1kkkkkklxlxlx21111( )( )( )( )kkk kkkL xylxy lxylx 則可以驗(yàn)證則可以驗(yàn)證為二次插值多項(xiàng)式，且滿(mǎn)足插值條件為二次插值多項(xiàng)式，且滿(mǎn)足插值條件2112211()( ),().kkkkkkL xyL xy L xy，二次插值基函數(shù)二次插值基函數(shù)拋物插值基函數(shù)拋物插值基函數(shù)其中其中11111()()( )()()kkkkkkkx xx xlxxxxx1111()()( )()

14、()kkkkkkkx xx xl xxxxx11111()()( )()()kkkkkkkx xx xlxxxxx從而從而1112111111()()()()( )()()()()kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxL xyyxxxxxxxx11111()()()()kkkkkkkxxxxyxxxx11( )( )( )kkklxlxlx？（3 3） 三次插值三次插值012330123,( ),( )xxxxxL xf xyyyy已知求三次插值多項(xiàng)式使300311322333( )( ),( ),( ).L xyL xy L xy L xy，30 01 12 23 3( )( )( )

15、( )( )L xy l xy l xy lxy l x構(gòu)造構(gòu)造0123( ), ( ), ( ), ( )l x l x l x l x其中為三次多項(xiàng)式，并且滿(mǎn)足00010203()1,( )0()0()0l xl xl xl x，10111213()0,()1()0()0l xl xl xl x，20212223()0,( )0()1()0l xl xl xl x，30313233()0,()0()0()1l xl xl xl x，三次插值基函數(shù)三次插值基函數(shù)其中其中1230010203()()()( )()()()xxxxxxl xxxxxxx0231101213()()()( )()(

16、)()xxxxxxl xxxxxxx0132202123()()()( )()()()xxxxxxl xxxxxxx0123303132()()()( )()()()x xx xx xl xxxxxxx0123( )( )( )( )lxl xlxl x？3.3.Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式, ,三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式. . 插值點(diǎn)增加到插值點(diǎn)增加到n+1個(gè)時(shí)個(gè)時(shí), ,也就是通過(guò)也就是通過(guò)n+1個(gè)不同的已個(gè)不同的已 知點(diǎn)知點(diǎn), ,可以求出可以求出n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式0101( ),(

17、 )nnnxxxxnLxf xyyy已知,求 次插值多項(xiàng)式使( )0,1,nkkL xyjn，定義定義2.22.2若若n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 在在n+1+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿(mǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿(mǎn)足條件足條件則稱(chēng)則稱(chēng) 為節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) 上的上的n次插值基次插值基函數(shù)函數(shù). . ( ) (0,1, )kl xkn1()()0()kjkjjklxjk01( ), ( ), ( )nl x l xl x01,nx xx0 01 1( )( )( )( )nn nL xy l xyl xy l x 則可以驗(yàn)證則可以驗(yàn)證為為n次插值多項(xiàng)式，且滿(mǎn)足插值條件次插值多項(xiàng)式，且滿(mǎn)足插值條件0011( )( ),( ).nnnnnL xyL

18、 xyL xy，000()()njjnj kjnjkjj kkjjj kxxxxxxxx011011()()()()( )()()()()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxxxxxxxxx0,1, .kn012( )( )( )( )nlxl xlxlx？(2.10) )()()( 101nnxxxxxxx 引引入入記記號(hào)號(hào))()()()( 1101nkkkkkkknxxxxxxxxx 則則得得000 ( ) ( )() nnnjnk kkkkjkjj kxxLxy lxyxx于是 101( ) ()()nnkkknkxyxxx例例2.1 已知已知y=f(x)的函數(shù)表的函數(shù)表 求線(xiàn)性插

19、值多項(xiàng)式求線(xiàn)性插值多項(xiàng)式, 并計(jì)算并計(jì)算x=1.5 的值的值x 1 3 y 1 2011010110()31112(1)13312xxxxLxyyxxxxxxx解解: 由線(xiàn)性插值多項(xiàng)式公式得由線(xiàn)性插值多項(xiàng)式公式得1(1.5)(1.5)1.25fL例例2.2 已知已知x=1, 4, 9 的平方根值的平方根值, 用拋物插值公式求用拋物插值公式求 (x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)y0+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)y1+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)y2L2(7) =(14)(19)(74)(79)* 1 +(41)(49)(71)(79)* 2+(91)

20、(94)(71)(74)* 3=2.7L2(x) =7解解: 由拋物插值多項(xiàng)式公式得由拋物插值多項(xiàng)式公式得x0=1, x1=4, x2=9y0=1, y1=2, y2=3 練習(xí)練習(xí)1:求過(guò)三點(diǎn)求過(guò)三點(diǎn)(0,1),(1,2),(2,3)的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式.(1)(2)(0)(2)(0)(1)123(0 1)(0 2)(1 0)(1 2)(2 0)(2 1)1xxxxxxx 解解:由由Lagrange 插值公式插值公式（給定的三個(gè)點(diǎn)在一條直線(xiàn)上）（給定的三個(gè)點(diǎn)在一條直線(xiàn)上）0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()x x x xx x

21、x xx x x xL xyyyxx xxx x x xxx xx例例2.3 已知已知f (x)的觀測(cè)數(shù)據(jù)的觀測(cè)數(shù)據(jù) x 0 1 2 4 f (x) 1 9 23 3 構(gòu)造構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式解解 四個(gè)點(diǎn)可構(gòu)造三次四個(gè)點(diǎn)可構(gòu)造三次Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式: :基函數(shù)為基函數(shù)為 1478781)40)(20)(10()4)(2)(1()(230 xxxxxxxlxxxxxxxl38231)41)(21)(01 ()4)(2)(0()(231xxxxxxxl2324541)42)(12)(02()4)(1)(0()(xxxxxxxl12181241)24)(14)(

22、04()2)(1)(0()(233Lagrange插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為 )()(303xlyxLkkk)(3)(23)(9)(3210 xlxlxlxl12144541123xxx30011223332( )( )( )( )( )43L xl x yl x yl x yl x yxx 例例2.4 已知已知f(x)的觀測(cè)數(shù)據(jù)的觀測(cè)數(shù)據(jù) x 1 2 3 4f(x) 0 -5 -6 3構(gòu)造插值多項(xiàng)式構(gòu)造插值多項(xiàng)式 解解: 四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)造三次插值多項(xiàng)式四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)造三次插值多項(xiàng)式, 將數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù) 代入插值公式，有代入插值公式，有 這個(gè)例子說(shuō)明這個(gè)例子說(shuō)明Ln(x)的項(xiàng)數(shù)不超過(guò)的項(xiàng)數(shù)不超過(guò)n+1項(xiàng)

23、，但可以有缺項(xiàng)項(xiàng)，但可以有缺項(xiàng). lljkjxxxx j =0,k-1,k+1, ,n 輸入 (xi,yi), n i= 0,1, ,n 0 L 0 l 1=l k = n ? 輸 出 L L+l yk L k +1k n y 拉格朗日插值算法實(shí)現(xiàn)拉格朗日插值算法實(shí)現(xiàn) x0 x1 xi xi+1 xn-1 xny=f(x)y=Ln(x)ab在插值區(qū)間在插值區(qū)間 a, b 上用上用插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式Ln(x)近似代替近似代替f(x), 除了除了在插值節(jié)點(diǎn)在插值節(jié)點(diǎn)xi上沒(méi)有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤上沒(méi)有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤差的差的.若記若記 Rn(x) = f(x) -Ln(x

24、) 則則 Rn (x) 就是用就是用 Ln(x) 近似代替近似代替 f(x) 時(shí)的截?cái)嗾`差時(shí)的截?cái)嗾`差, 或稱(chēng)或稱(chēng)插值余項(xiàng)我們可根據(jù)后面的定理來(lái)估計(jì)它的大小插值余項(xiàng)我們可根據(jù)后面的定理來(lái)估計(jì)它的大小.4.4.插值余項(xiàng)插值余項(xiàng) 定理定理2.2 設(shè)設(shè)f(n)(x)在在 a, b 上連續(xù)，上連續(xù)， f(n+1)(x)在在(a, b)內(nèi)存在內(nèi)存在, 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) , Ln(x) 是滿(mǎn)足插值條是滿(mǎn)足插值條件件Ln (xj) = f(xj)(j=0,1,n)的插值多項(xiàng)式，則對(duì)任何的插值多項(xiàng)式，則對(duì)任何 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)其中其中a xb 且依賴(lài)于且依賴(lài)于x,(1)1( )( )( )( )( ).(1)!nxn

25、nnfR xf xL xxn01naxxxb( ,),xa b1010( )()()()().nnniixx xx xx xx x( ) , ( , )( )( ),( , )( )Rolleg xa ba bg ag ba bg定理：在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，且則在內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使得=0.(1)11n 1max |( )|, |( )|( )|, (1)!nna x bnnfxMMR xxn 若則注：注： 此余項(xiàng)表達(dá)式只有在此余項(xiàng)表達(dá)式只有在f(x)的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用, 并且是唯一的并且是唯一的. a xb 且依賴(lài)于且依賴(lài)于x, 但但 x在在(a,b)內(nèi)的具體位置

26、通常不可內(nèi)的具體位置通常不可 給出，從而無(wú)法求出給出，從而無(wú)法求出f(n+1)( x)的具體值的具體值11|( ) |( ) |nnnxxRM從而的大小與和有關(guān)，1 , 1|( )|nnxa bnx因此在和給定的情況下，個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的選擇應(yīng)使盡可能小.對(duì)于線(xiàn)性插值，其誤差為對(duì)于線(xiàn)性插值，其誤差為1101011( )( )( )( )()(),2R xf xL xfx xx xx x0122101max( ),( )()()2xx xMfxMR xxxxx 若則2210() .8Mxx22012021( )( )( )( )()()(),6R xf xL xfx xx xx xx x對(duì)于拋物插值（

27、二次插值），其誤差為對(duì)于拋物插值（二次插值），其誤差為023max( ),xx xfxM 若則32012( )()()()6MR xxxxxxx n次插值多項(xiàng)式對(duì)次數(shù)不高于次插值多項(xiàng)式對(duì)次數(shù)不高于n次的多項(xiàng)式完次的多項(xiàng)式完全精確全精確.若若f(x)為次數(shù)不高于為次數(shù)不高于n次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式,則則f(n+1)() =? 0, 從而從而(1)1( )( )( )0.(1)!nnnfR xxn練習(xí)練習(xí)2 2 已知已知 =100, =121, 用線(xiàn)性插值估計(jì)用線(xiàn)性插值估計(jì)求求 在在x=115時(shí)的近似值時(shí)的近似值, ,并估計(jì)其并估計(jì)其截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差xxf)(0 x1x由插值余項(xiàng)公式知由插值余項(xiàng)公式

28、知 121( )( )( )2Rxfx 321( ),4fxx )(81)(10231xxxxxR因?yàn)橐驗(yàn)?)121115)(100115(81)115(231R23121,100max)121115)(100115(81)121115)(100115(1081301125. 010615813011010110()()( )()()xxxxP xyyxxxx解解:(121)(100)1011(100 121)(121 100)xx175115(115)10.71437P練習(xí)練習(xí)3 已知已知x0=100, x1=121, x2=144, 用拋物插值求用拋物插值求 在在x=115時(shí)的近似值，并估

29、計(jì)其截?cái)嗾`差時(shí)的近似值，并估計(jì)其截?cái)嗾`差 (3)2012522521( )( )()()()61( )(100)(121)(144)161(115)(115 100)(115 121)(115 144) 100.001716R xfx xx xx xR xxxxR解解( )f xx0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()115(115) 10.772756x x x xx x x xx x x xp xyyyxx xxxx xxxx xxp=2583)( xxf練習(xí)練習(xí)4 4 設(shè)設(shè)f(x)=x4, 用余項(xiàng)定理寫(xiě)出節(jié)點(diǎn)用余項(xiàng)定理寫(xiě)出節(jié)點(diǎn)

30、-1, 0, 1, 2的三次插值多項(xiàng)式的三次插值多項(xiàng)式 解解: 根據(jù)余項(xiàng)定理根據(jù)余項(xiàng)定理(4)0123432( )( )( )()()()()4!( )( 1 )( 1 )( 2)( ) 22ff x pxx x x x x x x xx px xxxxpxx xx Lagrange插值法的優(yōu)缺點(diǎn)：插值法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：含義直觀，形式對(duì)稱(chēng)。含義直觀，形式對(duì)稱(chēng)。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，原來(lái)算出的數(shù)據(jù)全不能每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，原來(lái)算出的數(shù)據(jù)全不能 用，必須重新計(jì)算；用，必須重新計(jì)算； 計(jì)算量大計(jì)算量大, 需要乘數(shù)法的次數(shù)需要乘數(shù)法的次數(shù)2n2+2n 2. 3 逐次線(xiàn)性插值法逐次線(xiàn)性插值法(

31、)nLagrangeLx用插值多項(xiàng)式計(jì)算函數(shù)近似值，如果精度不滿(mǎn)足要求就需增加插值節(jié)點(diǎn)，原來(lái)算出的數(shù)據(jù)均不能利用了，必須重新計(jì)算.現(xiàn)在令現(xiàn)在令 表示函數(shù)表示函數(shù) 關(guān)于節(jié)點(diǎn)關(guān)于節(jié)點(diǎn) 的的n-1次插值多項(xiàng)式，次插值多項(xiàng)式， 是零次多項(xiàng)式是零次多項(xiàng)式, i1,in均為非負(fù)整數(shù)均為非負(fù)整數(shù).)(21xIniii)(xIki)()(kkiixfxI12,niiixxx)(xf0,10,10,11,( )( )()(klkklkkIxIxp xxxxIxx0,1,( )k lIx 表示關(guān)于表示關(guān)于 的的k次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式0,1,( )kIx，01,kkxxx 表示關(guān)于表示關(guān)于 的的k次插值多項(xiàng)式次

32、插值多項(xiàng)式0,1,1,( )klIx，01,klxxx可通過(guò)利用兩個(gè)可通過(guò)利用兩個(gè) k次插值多次式的線(xiàn)性插值得到一個(gè)次插值多次式的線(xiàn)性插值得到一個(gè)k+1次次多項(xiàng)式：多項(xiàng)式：可以驗(yàn)證上式是關(guān)于可以驗(yàn)證上式是關(guān)于 的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式. .01,klxxxxAitken逐次線(xiàn)性插值多項(xiàng)式逐次線(xiàn)性插值多項(xiàng)式0,1,2,0,1,2()()()kk lkkkkxxIxIxf x時(shí)，而而0,1,0,1()()()k likiiIxIxf x顯然顯然當(dāng)當(dāng)i=0，1，2 , k-1時(shí)時(shí) ( )lf x0,1,20,1,2,0,1,2()()()()()lkllk llkllklkf xIxxxIxIxxx

33、xx時(shí)，0,1,( )lIx k=1時(shí)插值節(jié)點(diǎn)為時(shí)插值節(jié)點(diǎn)為 三點(diǎn)，公式為三點(diǎn)，公式為01,lxx x43210 xxxxx4433221100)()()()()(IxfIxfIxfIxfIxf0,10,20,1,20,30,1,30,1,2,30,40,1,40.1.2.40,1,2,3,4 IIIIIIIIII4321 0 xxxxxxxxxx0,0,10,1,11( )( )( )()llIxIxIxxxxx當(dāng)當(dāng)k=0時(shí)為線(xiàn)性插值時(shí)為線(xiàn)性插值,計(jì)算時(shí)可由計(jì)算時(shí)可由k=0到到k=n-1逐次求得所需的插值多項(xiàng)式逐次求得所需的插值多項(xiàng)式. 過(guò)程如下過(guò)程如下前面的公式也可以改成下面的計(jì)算公式前面

34、的公式也可以改成下面的計(jì)算公式稱(chēng)之為稱(chēng)之為Neville算法算法，計(jì)算過(guò)程如下，計(jì)算過(guò)程如下1,2,10,10,1,10,1010( )( )( )( )()k kkk kkkIxIxIxIxx xxx43210 xxxxx4433221100)()()()()(IxfIxfIxfIxfIxf0,11,20,1,22,31,2,30,1,2,33,42,3,41,2,3,40,1,2,3,4 IIIIIIIIII43210 xxxxxxxxxx 從表上看每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)就計(jì)算一行，斜線(xiàn)從表上看每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)就計(jì)算一行，斜線(xiàn)上是上是1 1次到次到4 4次插值多項(xiàng)式的值，如精度不滿(mǎn)足要次插值多項(xiàng)式的

35、值，如精度不滿(mǎn)足要求，再增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，前面計(jì)算完全有效，這個(gè)求，再增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，前面計(jì)算完全有效，這個(gè)算法適用于計(jì)算機(jī)上計(jì)算，且具有自動(dòng)選節(jié)點(diǎn)并算法適用于計(jì)算機(jī)上計(jì)算，且具有自動(dòng)選節(jié)點(diǎn)并逐步比較精度的特點(diǎn)，程序也比較簡(jiǎn)單逐步比較精度的特點(diǎn)，程序也比較簡(jiǎn)單. .例例2.5.教材例題教材例題2.2需要乘數(shù)法的次數(shù)需要乘數(shù)法的次數(shù)n2+n 逐次線(xiàn)性插值法的優(yōu)點(diǎn)是能夠最有效地計(jì)算逐次線(xiàn)性插值法的優(yōu)點(diǎn)是能夠最有效地計(jì)算任何給定點(diǎn)的函數(shù)值，而不需要寫(xiě)出各步用到任何給定點(diǎn)的函數(shù)值，而不需要寫(xiě)出各步用到的插值多項(xiàng)式的表達(dá)式的插值多項(xiàng)式的表達(dá)式. .但如果解決某個(gè)問(wèn)題是但如果解決某個(gè)問(wèn)題是需要插值多項(xiàng)式的表達(dá)式

36、，那么，它的這個(gè)優(yōu)需要插值多項(xiàng)式的表達(dá)式，那么，它的這個(gè)優(yōu)點(diǎn)就成了它的缺點(diǎn)了點(diǎn)就成了它的缺點(diǎn)了. . 下面介紹的下面介紹的Newton插值多項(xiàng)式就克服了這個(gè)插值多項(xiàng)式就克服了這個(gè)缺點(diǎn)缺點(diǎn). .它能根據(jù)插值條件構(gòu)造一個(gè)插值多項(xiàng)式，它能根據(jù)插值條件構(gòu)造一個(gè)插值多項(xiàng)式，它既有具體的表達(dá)式，又很容易用它計(jì)算任何它既有具體的表達(dá)式，又很容易用它計(jì)算任何點(diǎn)的函數(shù)值點(diǎn)的函數(shù)值. .4 差商與差商與Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 Lagrange插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，使用方便插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，使用方便. .但由于是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，這樣要增加一個(gè)但由于是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，這樣要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，所有的基函

37、數(shù)必須全部重新計(jì)算，不具節(jié)點(diǎn)時(shí)，所有的基函數(shù)必須全部重新計(jì)算，不具備承襲性，還造成計(jì)算量的浪費(fèi)備承襲性，還造成計(jì)算量的浪費(fèi). .這就啟發(fā)我們這就啟發(fā)我們?nèi)?gòu)造一種具有去構(gòu)造一種具有承襲性承襲性的插值多項(xiàng)式來(lái)克服這個(gè)的插值多項(xiàng)式來(lái)克服這個(gè)缺點(diǎn)，也就是說(shuō)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只需增加缺點(diǎn)，也就是說(shuō)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只需增加相應(yīng)的一項(xiàng)即可相應(yīng)的一項(xiàng)即可. .這就是這就是Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式. . 由線(xiàn)性代數(shù)知由線(xiàn)性代數(shù)知,以下多項(xiàng)式以下多項(xiàng)式)()( ,),)( , 1110100nxxxxxxxxxxxx是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的)()()()(110102010nnxxxxxxaxxx

38、xaxxaa從而任何一個(gè)不高于從而任何一個(gè)不高于n次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式, , 都可以表示上述都可以表示上述無(wú)關(guān)組的線(xiàn)性組合無(wú)關(guān)組的線(xiàn)性組合也就是說(shuō)也就是說(shuō), 可以把滿(mǎn)足插值條件可以把滿(mǎn)足插值條件p(xj)=yj (j=0,1,n)的的n次次插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式, 寫(xiě)成如下形式寫(xiě)成如下形式)()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaa其中其中ak (k=0,1,2,n)為待定系數(shù)為待定系數(shù),這種形式的插值多項(xiàng)這種形式的插值多項(xiàng)式稱(chēng)為式稱(chēng)為Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式.我們把它記為我們把它記為Nn(x)即即)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxx

39、xaxxaaxN 可見(jiàn)，可見(jiàn)，Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式Nn(x)是是插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式pn (x)的另一種表示形式的另一種表示形式, 與與Lagrange多項(xiàng)式相比它不僅克服多項(xiàng)式相比它不僅克服了了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作重新開(kāi)始增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作重新開(kāi)始”的缺點(diǎn)的缺點(diǎn), 且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù)且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù), 同時(shí)在同時(shí)在Newton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其他方面有中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其他方面有密切的關(guān)系密切的關(guān)系.它滿(mǎn)足它滿(mǎn)足其中其中ak (k=0,1,2,n)為待定系數(shù)為待定系數(shù). .)()()()(

40、1101nnnnxxxxxxaxNxN定義定義3 函數(shù)函數(shù)y= f(x)在區(qū)間在區(qū)間xi , xi+1上的平均變化率上的平均變化率iiiiiixxxfxfxxf111)()(, 稱(chēng)為稱(chēng)為f(x)關(guān)于關(guān)于xi , xi+1 的的一階差商一階差商,并記為并記為fxi , xi+1iiiiiiiiixxxxfxxfxxxf212121,01102110,xxxxxfxxxfxxxfmmmmm階差商階差商二階差商二階差商fxi, xj, xk是指是指fxi , xj , xk=fxj , xk- fxi , xj xk- xi一般的一般的,可定義區(qū)間可定義區(qū)間xi, xi+1 , xi+n上的上的n階

41、差商為階差商為ininiiiniiiniiixxxxxfxxxfxxxf ,.,.,.,11211021021210,xxxxfxxfxxxf 例例如如：差商的計(jì)算差商的計(jì)算差商表差商表xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2x0f(x0)x1f(x1)fx0,x1x2f(x2)fx1,x2fx0,x1,x2x3f(x3)fx2,x3 fx1,x2,x3fx0,x1,x2 ,x3fx1,x2- fx0,x1x2 x0 xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2 ,xi+200283275125621640208 1923

42、827 493527125 9156125216 503419 10251949 14364991 105510 1261014 例例2.6 求求 f(xi)= x3在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn) x=0, 2, 3, 5, 6上的各階差商值上的各階差商值解解: 計(jì)算得如下表計(jì)算得如下表00100111(),()()()()()njnjjjjjjjjnf xf x xxxxxxxxxxxx這個(gè)性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法證明性質(zhì)性質(zhì)1 函數(shù)函數(shù) f(x) 的的 n 階差商階差商 f x0, x1 , , xn 可由可由 函數(shù)值函數(shù)值 f (x0), f (x1 ), , f (xn ) 的線(xiàn)性組

43、的線(xiàn)性組 合表示合表示, 差商的性質(zhì)差商的性質(zhì). , ,1 . :011100010110命題成立時(shí)當(dāng)數(shù)學(xué)歸納法證明xxxfxxxfxxxfxfxxfk10100111111111, , (), ()()()()(), ()()()()mjmjjjjjjjmmjmjjjjjjjmkmf xf xxxxxxxxxxf xf xxxxxxxxxx設(shè)時(shí) 命題成立即和10100 , ,mmmmmf xxf xxf xxxx由階差商定義和上面兩式知1010011011100101()()() ()()()()()1 ()()()1 ()()mjjjmjmjjjjjjmmmmmmmmmf xxxxxxxx

44、xxxxxxxf xxxxxxxf xxxxxxx. . )()()()(0110歸納法完成時(shí)命題成立于是，當(dāng)mkxxxxxxxxxfmjmjjjjjjj還可以用還可以用Lagrange插值多項(xiàng)式比較最高項(xiàng)系數(shù)來(lái)證明插值多項(xiàng)式比較最高項(xiàng)系數(shù)來(lái)證明100101() ()(1)mmmf xxxxxxx性質(zhì)性質(zhì)2 2 差商具有對(duì)稱(chēng)性差商具有對(duì)稱(chēng)性, ,即在即在k階差商中階差商中 任意交換兩個(gè)節(jié)點(diǎn)任意交換兩個(gè)節(jié)點(diǎn) 和和 的次序的次序, ,其值不變其值不變. .01,kf xxxixjx0110,xxfxxf120021210,xxxfxxxfxxxf 例如例如性質(zhì)性質(zhì)3 若若fx, x0, x1 ,

45、, xk 是是 x 的的 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 則則 fx, x0, x1 , xk , xk+1是是 x 的的 m-1 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式右端分子為右端分子為 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 且當(dāng)且當(dāng) x = xk+1 時(shí)時(shí), 分子為分子為0, 故分子含有因子故分子含有因子 xk+1 x，與分母相消后，右與分母相消后，右端為端為m-1 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式.xxxxxxfxxxxfxxxxxfkkkkkk110110110,證：由差商定證：由差商定義義性質(zhì)性質(zhì)4 若若 f(x)是是n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 則則f x, x0, x1 , , xn 恒為恒為0證：證： f (x)是是n次多項(xiàng)式，則次多項(xiàng)式，則

46、f x, x0 是是 n-1次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, f x, x0, x1 是是 n-2 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 依次遞推依次遞推 ， f x, x0, x1 , , xn-1 是零次多項(xiàng)式，所以是零次多項(xiàng)式，所以 fx, x0, x1 , xn 0性質(zhì)性質(zhì)5 5 n階差商階差商 和和n階導(dǎo)數(shù)之間有下階導(dǎo)數(shù)之間有下 列關(guān)系列關(guān)系 01,nfxxx( )0100( ),(min,max)!nniii ni nff x xxxxn 000( )( ) ,f xf xf x xxxfx, x0(x- x0) = f(x) - f(x0)f(x)+ fx, x0(x- x0)=f(x0)010011 , ,

47、, , f x xf x xf x x xxxfx,x0,x1(x-x1)=fx,x0-fx0,x1fx,x0+ fx,x0,x1(x-x1)= fx0,x1f(x)+ fx0,x1(x- x0)=f(x0)+ fx,x0,x1(x- x0) (x-x1)2.4.2 Newton插值公式插值公式f(x)=f(x0)+(x- x0)fx1,x0+(x- x0)(x-x1)fx1,x0,x201201012,xxxxxfxxxfxxxxf fx1,x0,x = (x-x2) fx2,x1,x0,x +fx2,x1,x0f(x)=f(x0)+(x- x0)fx1,x0 + (x- x0)(x-x1)

48、fx2,x1,x0 + (x- x0)(x-x1)(x-x2) fx2,x1,x0,x,.,).()(,.,).()(.,)(,)()()(011001110012100100 xxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxfnnnnnn Nn(x)Rn(x)如當(dāng)如當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，f(x) = f(x0) + (x- x0)fx1,x0 + (x- x0)(x-x1) fx1,x0,xN1(x)= f(x0) + (x- x0)fx1,x0()010001yyyxxxx 其中其中Nn(x)稱(chēng)為稱(chēng)為牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式 Rn(x)稱(chēng)為稱(chēng)為牛頓插值余項(xiàng)牛頓插值余

49、項(xiàng)xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2x0f(x0)x1f(x1)fx0,x1x2f(x2)fx1,x2fx0,x1,x2x3f(x3)fx2,x3fx1,x2,x3fx0,x1,x2 ,x3,.,).()(.,)(,)()()(01110012100100 xxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxNnnnn考察函數(shù)考察函數(shù) 在在-5，5上取上取n+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)個(gè)等距節(jié)點(diǎn)構(gòu)造插值多項(xiàng)式，并作出圖形構(gòu)造插值多項(xiàng)式，并作出圖形分別取分別取n=5,n=10,n=15,并觀察插值多項(xiàng)式的圖形并觀察插值多項(xiàng)式的圖形與與f(x)的近似程度的近似程度55

50、,11)(2xxxf105(0,1,2,)kxkknn 可以證明，當(dāng)可以證明，當(dāng) 時(shí)，插值多項(xiàng)式只在時(shí)，插值多項(xiàng)式只在內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂.n 3.63x 定理定理2.2 設(shè)設(shè)f(n)(x)在在 a, b 上連續(xù)，上連續(xù)， f(n+1)(x)在在(a, b)內(nèi)存在內(nèi)存在, 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) , Ln(x) 是滿(mǎn)足插值條是滿(mǎn)足插值條件件Ln (xj) = f(xj)(j=0,1,n)的插值多項(xiàng)式，則對(duì)任何的插值多項(xiàng)式，則對(duì)任何 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)其中其中a xb 且依賴(lài)于且依賴(lài)于x,01naxxxb( ,),xa b1010( )()()()().nnniixx xx xx xx x2.7.1 2.7.1 高次插

51、值的高次插值的Runge現(xiàn)象現(xiàn)象 插值多項(xiàng)式余項(xiàng)公式說(shuō)明插值節(jié)點(diǎn)越多，一般說(shuō)插值多項(xiàng)式余項(xiàng)公式說(shuō)明插值節(jié)點(diǎn)越多，一般說(shuō)來(lái)誤差越小，函數(shù)逼近越好，但這也不是絕對(duì)的，來(lái)誤差越小，函數(shù)逼近越好，但這也不是絕對(duì)的，因?yàn)橛囗?xiàng)的大小既與插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)，也與函因?yàn)橛囗?xiàng)的大小既與插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)，也與函數(shù)數(shù)f( (x) )的高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的高階導(dǎo)數(shù)有關(guān). .換句話(huà)說(shuō)，適當(dāng)?shù)靥岣卟鍝Q句話(huà)說(shuō)，適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度值多項(xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度, ,但并非插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好但并非插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好. .當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多時(shí)，不能保證非節(jié)點(diǎn)處的插

52、值精度得到改善，增多時(shí)，不能保證非節(jié)點(diǎn)處的插值精度得到改善，有時(shí)反而誤差更大有時(shí)反而誤差更大. .(1)1()( )( )(1)!nxnnfR xxn 另外，從舍入誤差來(lái)看，高次插值誤差的傳播另外，從舍入誤差來(lái)看，高次插值誤差的傳播也較為嚴(yán)重，在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的舍入誤差會(huì)在計(jì)也較為嚴(yán)重，在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的舍入誤差會(huì)在計(jì)算中不斷擴(kuò)大，并傳播到其它節(jié)點(diǎn)上算中不斷擴(kuò)大，并傳播到其它節(jié)點(diǎn)上. .因此，次數(shù)因此，次數(shù)太高的高次插值多項(xiàng)式并不實(shí)用，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)數(shù)增加太高的高次插值多項(xiàng)式并不實(shí)用，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)數(shù)增加時(shí)，計(jì)算量增大了，但插值函數(shù)的精度并未提高時(shí)，計(jì)算量增大了，但插值函數(shù)的精度并未提高. .為克服在區(qū)間

53、上進(jìn)行高次插值所造成的龍格現(xiàn)象，為克服在區(qū)間上進(jìn)行高次插值所造成的龍格現(xiàn)象，采用分段插值的方法，將插值區(qū)間分成若干個(gè)小的采用分段插值的方法，將插值區(qū)間分成若干個(gè)小的區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間進(jìn)行線(xiàn)性插值，然后相互連接區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間進(jìn)行線(xiàn)性插值，然后相互連接，用連接相鄰節(jié)點(diǎn)的折線(xiàn)逼近被插函數(shù)，這種把插，用連接相鄰節(jié)點(diǎn)的折線(xiàn)逼近被插函數(shù)，這種把插值區(qū)間分段的方法就是分段線(xiàn)性插值法值區(qū)間分段的方法就是分段線(xiàn)性插值法. . 2.7.2 2.7.2 分段線(xiàn)性插值分段線(xiàn)性插值 分段線(xiàn)性插值就是通過(guò)插值節(jié)點(diǎn)用折線(xiàn)段連接起分段線(xiàn)性插值就是通過(guò)插值節(jié)點(diǎn)用折線(xiàn)段連接起來(lái)逼近來(lái)逼近f( (x) ). . 設(shè)設(shè)f f( (x x) )在在n+1+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) 上的函數(shù)值為上的函數(shù)值為 , ,在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間 ( (k=0,1,=0,1,，n-1）上作線(xiàn)性插值，得上作線(xiàn)性插值，得 bxxxan10)(,),(),(10nxfxfxf1,kkxx11111( )( )()()kkkkkkkkkkkxxxxI x