高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第十節(jié) 圓錐曲線的綜合問題課件 理

1、第十節(jié)圓錐曲線的綜合問題總綱目錄考點(diǎn)突破考點(diǎn)二最值與范圍問題考點(diǎn)二最值與范圍問題考點(diǎn)一定點(diǎn)、定值問題定點(diǎn)、定值問題考點(diǎn)三圓錐曲線中的探索性問題考點(diǎn)三圓錐曲線中的探索性問題考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(2016北京,19,14分)已知橢圓C:+=1(ab0)的離心率為,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證:|AN|BM|為定值.22xa22yb32考點(diǎn)一考點(diǎn)一 定點(diǎn)、定值問題定點(diǎn)、定值問題解析解析(1)由題意得解得a=2,b=1.所以橢圓C的方程為+y2=1.(2)證明:由(

2、1)知,A(2,0),B(0,1).設(shè)P(x0,y0),則+4=4.當(dāng)x00時(shí),直線PA的方程為y=(x-2).令x=0,得yM=-,從而|BM|=|1-yM|=.2223,211,2,caababc24x20 x20y002yx 0022yx 00212yx直線PB的方程為y=x+1.令y=0,得xN=-,從而|AN|=|2-xN|=.所以|AN|BM|=4.當(dāng)x0=0時(shí),y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|BM|=4.001yx001xy 0021xy0021xy00212yx2200000000004448422xyx yxyx yxy00000000448822x yx

3、yx yxy綜上,|AN|BM|為定值.方法技巧方法技巧1.定點(diǎn)問題的常見解法(1)根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個(gè)含參數(shù)的直線系或曲線系方程,經(jīng)過分析、整理,對(duì)方程進(jìn)行等價(jià)變形,以找出適合方程且與參數(shù)無關(guān)的坐標(biāo)(該坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即為所求定點(diǎn)).(2)從特殊位置入手,找出定點(diǎn),再證明該點(diǎn)符合題意.2.求定值問題常見的方法(1)從特殊情況入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān);(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過程中消去變量,從而得到定值.1-1 (2017北京房山一模,19)已知橢圓C:x2+4y2=4.(1)求橢圓C的離心率;(2)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)P在直線x=1上運(yùn)動(dòng).直線PA、

4、PB分別與橢圓C相交于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn),求證:直線MN與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn).解析解析(1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1,a2=4,b2=1,c2=a2-b2=3,a=2,b=1,c=.橢圓C的離心率e=.(2)證明:點(diǎn)P在直線x=1上,設(shè)P(1,m),易知A(-2,0),則kAP=.直線PA的方程為y=(x+2),將其代入x2+4y2=4,24x3ca3230,2mm 1( 2)m 3m3m整理得(4m2+9)x2+16m2x+4(4m2-9)=0.-2+xM=-,xM=+2=.同理,可求得xN=.kMN=,221649mm 221649mm2281849mm228241mm222222228

5、18822234941818824941mmmmmmmmmm直線MN的方程為y-=kMN,整理得y=kMN(x-4).當(dāng)x=4時(shí),y=0.直線MN與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn),且定點(diǎn)為(4,0).3m22818249mm2281849mxm典例典例2已知橢圓C:mx2+3my2=1(m0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程和離心率;(2)設(shè)點(diǎn)A(3,0),動(dòng)點(diǎn)B在y軸上,動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上,且P在y軸的右側(cè),若|BA|=|BP|,求四邊形OPAB面積的最小值.6考點(diǎn)二最值與范圍問題考點(diǎn)二最值與范圍問題解析解析(1)由題意知,橢圓C的方程為+=1,所以a2=,b2=,故2a=2=2,解得m=,

6、所以橢圓C的方程為+=1.因?yàn)閏=2,所以離心率e=.(2)設(shè)線段AP的中點(diǎn)為D,連接BD,因?yàn)閨BA|=|BP|,所以BDAP,由題意知,直線BD的斜率存在,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)(y00),21xm213ym1m13m1m61626x22y22abca63則點(diǎn)D的坐標(biāo)為,且直線AP的斜率kAP=,所以直線BD的斜率為-=,所以直線BD的方程為y-=.令x=0,得y=,則B,由+=1,得=6-3,化簡(jiǎn),得B,所以四邊形OPAB的面積S四邊形OPAB=SOAP+SOAB=3|y0|+3003,22xy003yx 1APk003xy02y003xy032xx2200092xyy2200090,2x

7、yy206x202y20 x20y200230,2yy1212200232yy=2=3.當(dāng)且僅當(dāng)2y0=,即y0=-,時(shí),等號(hào)成立.所以四邊形OPAB面積的最小值為3.32200023|2yyy320032|2|yy320032|2|yy3032y32223方法技巧方法技巧圓錐曲線中的最值(范圍)問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是幾何法,即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解;二是代數(shù)法,即把要求最值(范圍)的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)變量的函數(shù),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.2-1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(x0,y0)

8、(y00)在橢圓C:+y2=1上,過點(diǎn)P的直線l的方程為+y0y=1.(1)求橢圓C的離心率;(2)若直線l與x軸,y軸分別相交于A,B兩點(diǎn),試求OAB面積的最小值.22x02x x解析解析(1)依題意可知a=,c=1,所以橢圓C的離心率為e=.(2)因?yàn)橹本€l與x軸,y軸分別相交于A,B兩點(diǎn),所以x00,y00.令y=0,由+y0y=1得x=,則A.令x=0,由+y0y=1得y=,則B.所以O(shè)AB的面積SOAB=|OA|OB|=.因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C:+y2=1上,所以+=1.所以1=+2,即|x0y0|,則.221122202x x02x02,0 x02x x01y010,y12

9、12002x y001|x y22x202x20y202x20y00|2x y22001|x y2所以SOAB=|OA|OB|=.當(dāng)且僅當(dāng)=,即x0=1,y0=時(shí),OAB的面積取得最小值,為.12001|x y2202x20y12222典例典例3 (2017北京海淀一模,19)已知橢圓G:+y2=1,與x軸不重合的直線l經(jīng)過左焦點(diǎn)F1,且與橢圓G相交于A,B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓G相交于C,D兩點(diǎn).(1)若直線l的斜率為1,求直線OM的斜率;(2)是否存在直線l,使得|AM|2=|CM|DM|成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.22x考點(diǎn)三圓錐曲線中的探索性問

10、題考點(diǎn)三圓錐曲線中的探索性問題解析解析(1)由已知可得F1(-1,0),又直線l的斜率為1,所以直線l的方程為y=x+1,由解得所以AB的中點(diǎn)M,所以直線OM的斜率為=-.221,1,2yxxy110,1,xy224,31,3xy 2 1,3 3132312所以|AM|=,所以|AM|2=.|CM|DM|=(-1)(+1)=1,矛盾,所以直線l的斜率存在,故可設(shè)直線l的方程為y=k(x+1)(k0),代入橢圓G的方程并化簡(jiǎn),得(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,22122212(2)存在.解法一:假設(shè)存在直線l,使得|AM|2=|CM|DM|成立.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),AB的中

11、點(diǎn)M(-1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,所以=k=k=,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,|AB|=.直線CD的方程為y=-x,代入橢圓G的方程并化簡(jiǎn),得x2=,22421kk 222(1)21kk122yy1212xx222121kk221kk 2222,21 21kkkk2212(1)()kxx21k2222242(1)42121kkkk 222 2 (1)21kk12k22421kk 設(shè)C(x0,y0),則=,|OC|2=+=.由題意,知|AB|2=4|CM|DM|=4(|CO|+|OM|)(|CO|-|OM|)=4(|CO|2-|OM|2),即=4,化簡(jiǎn),得k

12、2=或-1(舍去),故k=,所以直線l的方程為y=(x+1),或y=-(x+1).故存在滿足題意的直線l,其方程為y=(x+1).解法二:假設(shè)存在直線l,使得|AM|2=|CM|DM|成立,由題意直線l不與x軸重合,設(shè)直線l的方程為x=my-1,20 x22421kk 20 x20y2114k20 x224121kk22228(1)(21)kk222222241(2)21(21)kkkkk1222222222由得(m2+2)y2-2my-1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=,y1y2=,故|AB|=|y1-y2|=,x1+x2=m(y1+y2)-2=-2=,所以AB的中

13、點(diǎn)M的坐標(biāo)為,所以直線CD的方程為y=-x,由得x2=,221,22xmyxy222mm 212m21m222224(1)22mmmm222 2(1)2mm2222mm 242m222,22mmm2m22,222myxxy 242m 設(shè)C(x0,y0),則D(-x0,-y0),=,所以|CM|DM|=|xM-x0|xM+x0|=|-|=,由|AB|=2|AM|,|AM|2=|CM|DM|得|AB|2=4|CM|DM|,即=4,解得m2=2,故m=,所以直線l的方程為x=y-1,或x=-y-1.故存在滿足題意的直線l,其方程為x=y-1.20 x242m 214m214m214m20 x2Mx2

14、222(4)(1)(2)mmm2222 2(1)2mm2222(4)(1)(2)mmm2222方法技巧方法技巧(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”.其步驟如下:假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在,列出與該元素相關(guān)的方程(組),若方程(組)有實(shí)數(shù)解,則元素存在,否則,元素不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題的常用方法.3-1已知橢圓M:+=1(ab0)過點(diǎn)(0,-1),且離心率e=.(1)求橢圓M的方程;(2)是否存在菱形ABCD,同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:點(diǎn)A在直線y=2上;點(diǎn)B,C,D在橢圓M上;直線BD的斜率等于1.如果存在,求出A點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.22xa22yb63解析解析(1)由題意得解得所以橢圓M的方程為+y2=1.(2)不存在滿足題意的菱形ABCD.理由如下:假設(shè)存在滿足題意的菱形ABCD.設(shè)直線BD的方程為y=x+m,B(x1,y1),D(x