2015學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章25等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)導(dǎo)學(xué)案新人教A版

1、§2.5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）課 時(shí) 目 標(biāo)1 .掌握等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.2 .會(huì)用等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式解決一些簡單問題.1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式:nai 1 qai anq;= q 豐 1公式：S= 1 q 1 q.naiq= 1(2)注意：應(yīng)用該公式時(shí)，一定不要忽略q= 1的情況.2.若an是等比數(shù)列，且公比 qw1,則前n項(xiàng)和S1=-(1 -qn) =A(qn-1).其中1 qa1A=-.q 13.推導(dǎo)等比數(shù)列前 n項(xiàng)和的方法叫錯(cuò)位相減法.一般適用于求一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等 比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)積的前 n項(xiàng)和.、選擇題1.設(shè)S為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，8a2+a5=0

2、,則曾等于()S2A.C.11一 8a1q4=0,.5.33a11 - q61 qa11 - q31-q答案 D解析 由 8a2+ a5= 0 得 8a1q+a1125.q=2,則S；= a1 1-22 =-11.2.記等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若&=2, $=18,則S0等于(S5A. - 3BC. - 31D答案 D解析由題意知公比qw1, S6=S3=1 + q3= 9,/10a11-qSo 1 -qS5a11-qi-q= 1 + 25= 33.3.設(shè)等比數(shù)列,，一 、，an的公比q=2,刖n項(xiàng)和為S,則后等于()a. 215 c.萬答案D.417解析方法 a2由等比數(shù)列的t

3、e義，$= a+a?+a3+a4= q卜 a2+ a2q+ &q2,15得 SH+ 1 + q+q2=125.a2方法二S4=41-q_401-q1 q15,a2=aq.a21-q q 24.設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列， Sn為其前n項(xiàng)和，已知%a4=1, &=7,則 &等于（）15A.-233J答案 BB.D.31417S5 =14 1 251318（1 一1） = T5.為（A.在數(shù)列an中,an+i = can( c為非零常數(shù)),且前n項(xiàng)和為S=3n + k,則實(shí)數(shù)k的值答案解析B . 1C當(dāng)n= 1時(shí),a1 = S1 = 3 + k,解析 .an是由正數(shù)組成的

4、等比數(shù)列，且a2a4=1，設(shè)an的公比為q,貝U q>0,且a3= 1,即as= 1.11- S3 = 7, - a + a2 + a3=2+ +1 = 7, q q即 6q2 q- 1 = 0.,1 ,1 .故q = 2或q=- 3（舍去），當(dāng) n>2 時(shí)，an= SSn-1 = (3n+k) (3n- + k)= 3n 3nT = 2 .由題意知an為等比數(shù)列，所以 a1 = 3+k=2, k= - 1.6 .在等比數(shù)列an中，公比q是整數(shù)，a+a4=18, a2+as=12,則此數(shù)列的前 8項(xiàng)和為()A. 514 B . 513 C . 512 D . 510答案 D解析 由

5、 ad a4= 18 和 a2+a3= 12,a + a1q3= 18a = 2a1 16得方程組2 ，解得或 1.aq+ a1q =12q= 2q =-,q 為整數(shù)，q=2, a1=2, S8=- = 292=510.2 1二、填空題7 .若an是等比數(shù)列，且前 n項(xiàng)和為&=3nT+t,則t=.答案-3解析顯然qw1,此時(shí)應(yīng)有$=A(qn1),又 Sn=33n+t, - t = - 3.8 .設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為$,若a1=1, S6=4S3,則84=.答案 381 1 q64 - a1 1 q30°解析 S6= 4S3?-=? q = 3( q =1不合題息，舍去)

6、.1 - q1 - q qa4=a1 , q3= 1 x 3= 3.9 .若等比數(shù)列an中，a1=1, an=-512,前n項(xiàng)和為Sn=- 341,則n的值是答案 10解析仁中駕 1-q1-q, q=- 2,又。an=a1qn1, 512=(2)n1,n= 10.10 .如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和S=2an 1,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an= 答案2nT解析 當(dāng) n = 1 時(shí)，S= 2a1 1，.二 a1 = 2a1 1, . a1 = 1.當(dāng) n > 2 時(shí)，an= Sn Sn-1 = (2 an 1) (2 an 1 1)，an = 2an1,，an是等比數(shù)列，.an = 2n1, n N*

7、.三、解答題11 .在等比數(shù)列an中，a1 + an=66, a3an 2= 128, Sn= 126,求 n 和 q.a1an= 128,解 , a3an 2= a1an, /. a1an=128,解方程組a1 + an = 66 ,a1= 64,得an= 2 ,a1= 2,或an = 64.a -anq1將代入Sn="q,可得q=；,l q2由an=a1qnT 可解得 n= 6.將代入Sn=a;二aq,可得q= 2, 1-q由 an=aiqn-1 可解得 n=6.故 n=6, q = 1 或 2.12 .求和：S=x+2x2+3x3+ nxn (xw0).解分x=1和xwl兩種情

8、況._n n+1(1)當(dāng) x=1 時(shí)，S=1 + 2+3+3+n=2.(2)當(dāng) xwi 時(shí)，$= x+2x2+3x3+ nxn,xS=x2+2x3+ 3x4+ (n 1)xn+ nxn+1, n(1 x) $= x+x2+x3+ xn nxn+1 = -； nxn1.1 -xnn+1x1 xnx , S = 22" - A.1-x1-x綜上可得$=x= 1n + 1 nx1-x 2-1-xxw 1且 xw。n n+1能 力 提 升13.已知&為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，s=54, 82n=60,求Sn.解 方法一 由題意S, S2n S, Sn &n成等比數(shù)列，_ 2

9、6 =54(S3n60)182-Sn=.3方法二由題意得na11-q-= 54i-q2nG a11q&n=：1-q60由+得.3 = 9,ca1 Ssn=-n 101 + q=3，a19X54-1-q= 8 '1 q3n9X541-q=-8(118214.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；S= 2n+23 -一 4.(2)設(shè)bn = an log 2an,求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意，S=2n+24,n>2 時(shí)，an=Sl-Sn-1=2n+2-2n+1=2n+1, 當(dāng)n = 1時(shí)，a1=S = 234=4,也適合上式，.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=

10、2n+1, nCN*. .一一 n+1(2) ,. bn=anlog 2an=(n+1) -2,.Tn = 2,22+3,23 + 4,24+ n , 2 n+ ( n+ 1) , 2 n+1, 2Tn= 2 23+3 24 + 4 2+ n 2"+1+(門+1) 2 "十? 得，T= 23 23 24 252n+1+(n+1) 2 n+23X + (n+1)-2I 2=-23 23(2=(n+1) 2=(n+1) -2n 1n+2-1) + (n+1) 2n+2-23-2 njn+22n+22n+ 2n, q, S,其中1 .在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1, an,首項(xiàng)國