高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第六節(jié) 雙曲線課件 文

1、第六節(jié)雙曲線總綱目錄教材研讀1.雙曲線的定義考點(diǎn)突破2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一雙曲線的定義考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)考點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系1.雙曲線的定義雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距雙曲線的焦距.集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a、c為常數(shù)且a0,c0.(1)當(dāng)2a|F1F2|時(shí),P點(diǎn)不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)雙曲線的焦

2、半徑公式雙曲線的焦半徑公式已知F1(-c,0),F2(c,0)分別是雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P(x0,y0)是該雙曲線上任意一點(diǎn),則|PF1|=|a+ex0|,|PF2|=|a-ex0|(e為雙曲線的離心率).22xa22yb1.雙曲線2x2-y2=8的實(shí)軸長(zhǎng)是()A.2B.2C.4D.422C答案答案C雙曲線2x2-y2=8的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,故實(shí)軸長(zhǎng)為4.24x28y2.雙曲線方程為x2-2y2=1,則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.B.C.D.(,0)2,025,026,023C答案答案C原方程可化為-=1,a2=1,b2=,c2=a2+b2=,右焦點(diǎn)坐標(biāo)為.21x212y12

3、326,023.若雙曲線E:-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于()A.11B.9C.5D.329x216yB答案答案B|PF1|=3-1或或m-1或m0,即m-1或m0,b0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的離心率為.22xa22yb5答案答案5解析解析由題意知=2a,又c2=a2+b2,|bc|=2ac,即b=2a,c2=a2+b2=5a2,=5,即e2=5,e=.22|bcab22ca5典例典例1(2018山東濟(jì)南質(zhì)檢)已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切,則

4、動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.考點(diǎn)一雙曲線的定義考點(diǎn)一雙曲線的定義命題方向一求軌跡方程命題方向一求軌跡方程考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破答案答案x2-=1(x-1)28y解析解析如圖所示,設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B,根據(jù)兩圓外切的充要條件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因?yàn)閨MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=22)24x221y解析解析如圖,ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為G,E,F.|AG|=|AE|=7,|BF|=|BG|=3,|CE|=|CF|,所以|CA|-|CB|=7-3=4.根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A,

5、B為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支,方程為-=1(x2).24x221y1-2已知F是雙曲線-=1的左焦點(diǎn),A(1,4),P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為.24x212y9答案答案9解析解析因?yàn)镕是雙曲線-=1的左焦點(diǎn),所以F(-4,0),設(shè)其右焦點(diǎn)為H(4,0),則由雙曲線的定義可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|2a+|AH|=4+=4+5=9.24x212y22(4 1)(04)典例典例3根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)虛軸長(zhǎng)為12,離心率為;(2)截距為26,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,12);(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(-3,2)和Q(-6,-7).5472考點(diǎn)

6、二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解析解析(1)由題意知,2b=12,e=.b=6,c=10,a=8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1或-=1.(2)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,12),M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn),故焦點(diǎn)在y軸上,且a=12,2c=26,c=13,b2=c2-a2=25.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.(3)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2-ny2=1(mn0).ca54264x236y264y236x2144y225x雙曲線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(-3,2)和Q(-6,-7),解得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.729281,72491,mnmn1,751.25mn 225y275x方法技巧方法技巧求雙曲線標(biāo)

7、準(zhǔn)方程的一般方法(1)待定系數(shù)法:設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)已知條件,列出參數(shù)a,b,c的方程并求出a,b,c的值.與雙曲線-=1有相同漸近線時(shí),可設(shè)所求雙曲線方程為-=(0).(2)定義法:依定義得出距離之差的等量關(guān)系式,求出a的值,由定點(diǎn)位置確定c的值.22xa22yb22xa22yb2-1(2017東北三校聯(lián)合模擬)與橢圓C:+=1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1,)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2-=1B.y2-=1C.-=1D.-x2=1216y212x323y212x22y22x23yC答案答案C橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),(0,2),設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(m0,n0),則解得m=n

8、=2.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.216y212x2ym2xn311,4,mnmn22y22x2-2已知雙曲線-=1(a0,b0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,則雙曲線的方程為()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=122xa22yb524x24y2320 x235y235x2320yA答案答案A由題意可得解得a=2,b=1,所以雙曲線的方程為-y2=1,故選A.221,25,0,0,baabab24x考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)命題方向命題視角離心率問(wèn)題求雙曲線的離心率或已知離心率求方程或其他相關(guān)問(wèn)題漸近線問(wèn)題求雙曲線的漸近線方程或利用漸

9、近線求解相關(guān)問(wèn)題離心率與漸近線的綜合問(wèn)題由離心率求漸近線或由漸近線求離心率求參數(shù)或變量的取值范圍此類題往往根據(jù)雙曲線的性質(zhì)建立關(guān)于參數(shù)或變量的不等式求解典例典例4(1)(2017課標(biāo)全國(guó),5,5分)若a1,則雙曲線-y2=1的離心率的取值范圍是()A.(,+)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)(2)(2017課標(biāo)全國(guó),15,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若MAN=60,則C的離心率為.22xa22222xa22yb命題方向一離心率問(wèn)題命題方向一離心率問(wèn)題答案答案(1)C(2)2 33解析解析(1)

10、由題意知e=,因?yàn)閍1,所以e1,所以1e0)的一條漸近線方程為y=x,則a=.22xa22yb220 x25y25x220y280 x220y220 x280y22xa29y35命題方向二漸近線問(wèn)題命題方向二漸近線問(wèn)題答案答案(1)A(2)5解析解析(1)雙曲線C的漸近線方程為-=0及點(diǎn)P(2,1)在漸近線上,-=0,即a2=4b2,由題意得a2+b2=c2=25,聯(lián)立得b2=5,a2=20,則C的方程為-=1.故選A.(2)由題意可得=,所以a=5.22xa22yb24a21b220 x25y3a35典例典例6(1)若雙曲線-=1(a0,b0)的離心率為,則其漸近線方程為()A.y=xB.

11、y=2xC.y=xD.y=x(2)(2017課標(biāo)全國(guó),5,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb32122222xa22yb52212x23y28x210y24x25y25x24y24x23y命題方向三離心率與漸近線的綜合問(wèn)題命題方向三離心率與漸近線的綜合問(wèn)題答案答案(1)A(2)B解析解析(1)由題意可得e=,即=,由雙曲線-=1(a0,b0)可得雙曲線的漸近線方程為y=x,y=x.ca221ba3ba222xa22ybba2(2)由雙曲線的漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為

12、-=k(k0),即-=1,雙曲線與橢圓+=1有公共焦點(diǎn),4k+5k=12-3,解得k=1,故雙曲線C的方程為-=1.故選B.24x25y24xk25yk212x23y24x25y典例典例7(2015課標(biāo)全國(guó),5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若0,則y0的取值范圍是()A.B.C.D.22x1MF2MF33,3333,662 2 2 2,332 3 2 3,33命題方向四求參數(shù)或變量的取值范圍命題方向四求參數(shù)或變量的取值范圍A答案答案A解析解析若=0,則點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心,半焦距c=為半徑的圓上,則解得=.可知:0點(diǎn)M在圓x2+y2=3的內(nèi)

13、部0)求離心率時(shí),若焦點(diǎn)不確定,則m=或m=,因此離心率有兩種可能.提醒如果已知雙曲線方程-=1或-=1,求其漸近線方程,只要將方程等號(hào)右端“1”改寫成“0”,即得漸近線方程.21babaab22xa22yb22ya22xb3.與雙曲線有關(guān)的范圍問(wèn)題的解題思路(1)若條件中存在不等關(guān)系,則借助此關(guān)系直接轉(zhuǎn)化求解.(2)若條件中沒(méi)有不等關(guān)系,要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系,如借助雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍,方程中0等來(lái)解決.3-1已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的離心率為,則C的漸近線方程為()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb52141312C答案答案C由雙曲線的離心率e=可

14、知=,而雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線方程為y=x,故選C.ca52ba1222xa22ybba3-2已知雙曲線-=1與直線y=2x有交點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,)B.(1,C.(,+)D.,+)22xa22yb5555C答案答案C雙曲線的一條漸近線方程為y=x,由題意得2,e=.babaca21ba1453-3(2017東北四市模擬)F為雙曲線-=1(a0,b0)的左焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),若=,則雙曲線的離心率為.22xa22yb|AFBF1210答案答案10解析解析設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為l1,l2,l1:y=x,l2:

15、y=-x,由于kFA=1,則FA的方程為y=x+c,由可得A,由可得B.因?yàn)?,所以點(diǎn)A為FB的中點(diǎn),故=,則b=3a,即b2=9a2,所以c2-a2=9a2,即e2=10,所以e=.baba,yxcbyxa ,acbcab ab,yxcbyxa,acbcba ba|AFBF12bcba2bcab10典例典例8已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(,0).(1)求該雙曲線C的方程;(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C左支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,求k的取值范圍.32考點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系考點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系解析解析(1)由題意設(shè)雙曲線方程為-=1(a0,b0).由已知得a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),將y=kx+代入-y2=1,22xa22yb323x223x得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由題意知解得k1.k的取值范圍是k2,求k的取值范圍.24x2OAOB解析解析(1)設(shè)雙曲線C2的方程為-=1(a0,b0),則c2=4,a2=3,b2=1,故雙曲線C2的方程為-y2=1.22xa22yb23x(2)將y=kx