BS模型-詳細(xì)推導(dǎo)

1、嘻嘻過(guò)渡頁(yè) TRANSITION PAGE Chapter.1前奏-背景介紹“一切數(shù)學(xué)公式模型，都是人類(lèi)發(fā)明出來(lái)，并為人類(lèi)服務(wù)的。它們與人類(lèi)最大的區(qū)別一切數(shù)學(xué)公式模型，都是人類(lèi)發(fā)明出來(lái)，并為人類(lèi)服務(wù)的。它們與人類(lèi)最大的區(qū)別就是沒(méi)有感情，特別是恐懼和貪婪。公式不會(huì)看到金發(fā)碧眼和黃金白銀就亢奮發(fā)狂，也就是沒(méi)有感情，特別是恐懼和貪婪。公式不會(huì)看到金發(fā)碧眼和黃金白銀就亢奮發(fā)狂，也不會(huì)面對(duì)槍林彈雨和不會(huì)面對(duì)槍林彈雨和20122012而癱軟發(fā)抖，即使對(duì)一個(gè)最出色的交易員來(lái)說(shuō)，這也是難于登而癱軟發(fā)抖，即使對(duì)一個(gè)最出色的交易員來(lái)說(shuō)，這也是難于登天的品質(zhì)。天的品質(zhì)?！?華爾街的猴子華爾街的猴子 安德魯安德魯貝寧

2、森貝寧森 目前國(guó)際上的期權(quán)定價(jià)方法五花八門(mén)，主流的主要有四種：Black-Scholes方法（簡(jiǎn)稱(chēng)B-S）、二叉樹(shù)定價(jià)法、蒙特卡羅模擬法以及有保值參數(shù)和杠桿效應(yīng)的解析表達(dá)式等等。其中Black-Scholes方法是這里面唯一的解析方法，而其余三種都是數(shù)值法。期權(quán)定價(jià)現(xiàn)狀B-S是兩位經(jīng)濟(jì)學(xué)家BLACK、SCHOLES名字的縮寫(xiě)，為了紀(jì)念他們發(fā)現(xiàn)該模型而用他們的名字命名。 在二叉樹(shù)的期權(quán)定價(jià)模型型中，如果標(biāo)的證券期末價(jià)格的可能性無(wú)限增多時(shí)，其價(jià)格的樹(shù)狀結(jié)構(gòu)將無(wú)限延伸，從每個(gè)結(jié)點(diǎn)變化到下一個(gè)結(jié)點(diǎn)（上漲或下跌）的時(shí)間將不斷縮短，如果價(jià)格隨著時(shí)間周期的縮短，其調(diào)整的幅度也逐漸縮小的話，在極限的情況下，二

3、叉樹(shù)模型對(duì)歐式權(quán)證的定價(jià)就演變?yōu)殛P(guān)于價(jià)權(quán)證定價(jià)理論的經(jīng)典模型：B-S模型。B-S模型與二叉樹(shù)模型的關(guān)系It is well known that the binomial model converges to the Black-Scholes model when thenumber of time periods increases to infinity and the length of each time period is infinitesimallyshort. This proof was provided in Cox , Ross and Rubinstein(1979)

4、.BSM模型之前大多數(shù)的期權(quán)定價(jià)都是用期權(quán)預(yù)期收益的貼現(xiàn)值表示；然而期權(quán)期望收益依賴(lài)于未來(lái)股票價(jià)格的概率分布，期望收益的貼現(xiàn)值依賴(lài)于貼現(xiàn)率 BSM模型之所以稱(chēng)之為現(xiàn)代期權(quán)定價(jià)理論的基礎(chǔ)，是因?yàn)樵撃Ｐ蛯?duì)于期權(quán)的定價(jià)避免了對(duì)未來(lái)股票價(jià)格的概率分布和投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的依賴(lài)原理：構(gòu)建一個(gè)投資策略組合，買(mǎi)入一種股票的同時(shí)，賣(mài)出一份一定份額的改股票的看漲期權(quán)，可以構(gòu)造一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，即投資組合的收益完全獨(dú)立于股票價(jià)格的變化在資本市場(chǎng)均衡條件下，根據(jù)資本資產(chǎn)定價(jià)模型，這種投資組合的收益應(yīng)等于短期利率。因此，期權(quán)收益可以用標(biāo)的股票和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資本構(gòu)造的投資組合來(lái)復(fù)制，在無(wú)套利機(jī)會(huì)存在的情況下，期權(quán)價(jià)格等于購(gòu)買(mǎi)

5、投資組合的成本，即期權(quán)價(jià)格依賴(lài)于股票價(jià)格的波動(dòng)量、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、期權(quán)到期時(shí)間、敲定價(jià)格、股票市價(jià)Chapter.2配樂(lè)-必備知識(shí)布朗運(yùn)動(dòng)（基本維基過(guò)程） 配樂(lè)-必備知識(shí)伊藤過(guò)程& 伊藤引理（IT0定理） 泰勒展開(kāi)股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)過(guò)程股票價(jià)格自然對(duì)數(shù)變化過(guò)程200001()()()()2!GxxGxGxxGxx ()(1)10011()(),!(1)!nnnnGxxGxxxnn00()()GGxxGxxdGGGxxdxdGdGdxdx泰勒定理：一元函數(shù)情形：記：略去的高階無(wú)窮小項(xiàng)，則有：000000(,)(,)()(,)Gxx yyGxyxy Gxyxy23000011()(,)()(,)2!

6、3!xyGxyxyGxyxyxy001()(,)!nxyGxynxy1001()(,),(1)!nxyGxx yynxyxy()GGGxy GGxGyxyxyxyxyGGdGdxdyxy二元函數(shù)情形：略去的高階無(wú)窮小項(xiàng)，則有或布朗運(yùn)動(dòng)（基本維基過(guò)程） 標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)設(shè)代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度， 代表變量z在時(shí)間 內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的 具有兩種特征：特征1： 和 的關(guān)系滿足（6.1）： （6.1）其中， 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。tzzt z特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔， 和 的值相互獨(dú)立。 考察變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變化情形，我們

7、可得 （6.2）當(dāng)0時(shí) ，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： （6.3）tzTzNii1) 0()(dtdzt z先引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0，方差率為1.0。 我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x 的普通布朗運(yùn)動(dòng)： b是標(biāo)準(zhǔn)差 （6.4）其中，a和b均為常數(shù)，dz 遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。 普通布朗運(yùn)動(dòng) bdzadtdx普通的布朗運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間間隔的增加，需要加上一個(gè)漂移項(xiàng)，表示離開(kāi)起始位置的程度（常數(shù)比率），而其運(yùn)動(dòng)是正態(tài)規(guī)律運(yùn)動(dòng)。總體是一個(gè)疊加運(yùn)動(dòng) 普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們可

8、以從公式（6.4）得到伊藤過(guò)程（Ito Process）： (6.5） 其中，dz 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 伊藤過(guò)程 dztxbdttxadx),(),(漂移非常數(shù)，正態(tài)規(guī)律項(xiàng)非常數(shù)，都是與時(shí)間和其目前位置有關(guān)，更加復(fù)雜的隨機(jī)過(guò)程證券價(jià)格的變化過(guò)程可以用漂移率為S 、方差率為 的伊藤過(guò)程來(lái)表示： （6.6） SdzSdtdS22SdzdtSdS表示未來(lái)時(shí)間間隔后的證券價(jià)格增量變化是符合漂移和方差率只和目前價(jià)格有關(guān)系（線性關(guān)系）的伊藤隨機(jī)過(guò)程（即普通布朗運(yùn)動(dòng)的升級(jí)版）。表示未來(lái)價(jià)格變化率符合普通布朗運(yùn)動(dòng)，（描述運(yùn)動(dòng)偏離標(biāo)注布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率

9、和方差率項(xiàng)已變?yōu)槌?shù)而非與時(shí)間和目前值有關(guān)系的函數(shù)）股票價(jià)格的變化過(guò)程兩邊同除以S得：從（6.6）可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為：可見(jiàn)， 也具有正態(tài)分布特征 (6.7)ttSS),(ttSS 前三個(gè)是常數(shù)或者函數(shù)值，最后一個(gè)是個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，整個(gè)式子是某種正態(tài)隨機(jī)變量。只不過(guò)這里符合的正態(tài)分布的均值和方差是與時(shí)間間隔由關(guān)系的值而已。若變量x遵循伊藤過(guò)程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過(guò)程： （6.8）由于 （6.9）根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格G應(yīng)遵循如下過(guò)程： (6.10)SdzSdtdS22221()2ffffdfSSdtSdzStSS伊藤引理2221()2ffffdfab

10、dtbdzxtxx伊藤引理的證明（根據(jù)二元函數(shù)的泰勒展開(kāi)、伊藤過(guò)程 、標(biāo)準(zhǔn)布朗過(guò)程 證明可得）二元函數(shù)的泰勒展開(kāi)式為由前述由此可推導(dǎo)222222211.22ffffffStSS ttSSSx tt SStSt 2222SStt 即 將變成不再是隨機(jī)變量。而 ，則有 ，那么 。所以有 因?yàn)?服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，有 和 ，由此可以推導(dǎo) 。如果我們求 的方差，有 當(dāng) 時(shí)， 所以，當(dāng) 時(shí)， 是高階無(wú)窮小量。這意味著，210t1Var22222VarttEE0E2Vart21E20Vart0t 2tdt222dSS dt2t2t21E再把 代入，就有將這個(gè)結(jié)果代入上面泰勒展開(kāi)式，略去二階以上（包括二階）的

11、高階小量，就得到伊藤引理 得證222212fffdfdSdtS dtSSSSdzSdtdS2221()2ffffdfab dtbdzxtxx令 ， 由于代入式（6.10）: （6.11）證券價(jià)格對(duì)數(shù)G遵循普通布朗運(yùn)動(dòng),且： 0,1,1222tGSSGSSGSGlndzdtdG)2(2),)(lnln22tTtTSST這里的絕妙的對(duì)數(shù)變換是布萊克斯科爾斯微分方程的偏微分項(xiàng)全部消除變?yōu)楹?jiǎn)單的服從正態(tài)分布的方程。同時(shí)也說(shuō)明之前的假設(shè)是要成立的：證券價(jià)格的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布或證券價(jià)格服從對(duì)數(shù)分布。證券價(jià)格的對(duì)數(shù)變化量服從正態(tài)分布，從而知曉s 、t 的分布函數(shù)證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)變化過(guò)程 Chapter.3奏

12、樂(lè)-模型推導(dǎo)微分方程風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)其中：C期權(quán)初始合理價(jià)格；X期權(quán)交割價(jià)格；S所交易金融資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)；T期權(quán)有效期；r連續(xù)復(fù)利計(jì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；年度化方差（波動(dòng)率）；N()正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)，（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 =0）。)()(21dNXedSNcrTTdTTrLSdTTrLSd12221)2/()/ln()2/()/ln(B-S定價(jià)公式基本假設(shè)(a) 原生資產(chǎn)價(jià)格演化遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng) （1） (b)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r是常數(shù)且對(duì)所有到期日都相同，(c)原生資產(chǎn)不支付股息,(d)不支付交易費(fèi)和稅收,(e)不存在套利機(jī)會(huì),(f)證券交易是連續(xù)的。SdzSdtdS變量z是一個(gè)隨機(jī)變量，時(shí)間長(zhǎng)度為 t，

13、要使z服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng) 是依賴(lài)于S的衍生證券的價(jià)格 由ITO定理： （1）和（2）式離散形式：,ffS tttztSSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222兩式遵循相同的維納過(guò)程，即 相同。所以可以選擇某種股票和衍證券的組合來(lái)消除維納過(guò)程。)(tZ（2）（3）（4）其中，方程（3）和方程（4）遵循的維納過(guò)程相同，即 相同。所以可以選擇某種股票和衍生證券的組合來(lái)消除維納過(guò)程。假設(shè)某投資者賣(mài)出一份衍生證券，同時(shí)買(mǎi)入 份股票 ztfSrt 222212ffStSS ffSS ffSS 則該證券組合的價(jià)值為時(shí)間后，該證券組合的價(jià)值變化：將方程（3

14、）和方程（4）代入上式，得因?yàn)檫@個(gè)方程不含有 ，經(jīng)過(guò) 時(shí)間后證券組合必定沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)。因此，當(dāng) 無(wú)限短時(shí)，該證券組合的瞬時(shí)收益率一定 與其他短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率相同。否則的話，將存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì) 。所以 zttt其中 為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率(6)(5)r 確定期權(quán)的價(jià)值 ,就是要在區(qū)域 上 求解如下定解問(wèn)題： 邊界條件222212fffSrSrftSS,fSt: 0, 0StT m ax (, 0 )m ax (, 0 )TTSXfXS歐式看漲歐式看跌222212fffStrfStSS222212fffSrSrftSS將方程(5)、(6)代入上式可得這就是著名的Black-Schole微分方程化簡(jiǎn)得

15、前述的Black-Schole微分方程不包含任何投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好影響的變量，從而它獨(dú)立于風(fēng)險(xiǎn)偏好。因此，我們可以在對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)時(shí)使用任何一種風(fēng)險(xiǎn)偏好。為了簡(jiǎn)便分析，可以做一個(gè)非常簡(jiǎn)單的假設(shè)：所有的投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，這樣所有證券的預(yù)期收益率都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 ,且其衍生證券的目前價(jià)值可以用其期末價(jià)值的期望值以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 來(lái)貼現(xiàn)得到。而在此前提下的定價(jià)便稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)。rB-S風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)計(jì)算公式根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論，歐式股票看漲期權(quán)的期望值為： 0),max(XSET其中 表示風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)下的期望值， 為期權(quán)到期時(shí)間。 為時(shí)刻股票價(jià)格。因此，看漲期權(quán)的價(jià)格 是這個(gè)期望值以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 的貼現(xiàn)結(jié)

16、果：CTSTErmax(),0r TtTCeESX由前面得知，股票價(jià)格呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即),)(lnln22tTtTSST令當(dāng)前時(shí)刻t=0則：TTS1201,2ln20lnln,2TSSTT記那么11ln (,)TS 即ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。設(shè)ST的概率密度為 ，則0, 00,21)(21212)(ln1yyeyygyST()TSgy 2121(ln)211max(),0()()()2TyTSXXESXyXgy dyyXedyy )()5 . 0()ln()(ln121120121122ln2)(1211211212211dNSeTTrXSNeSXNedteerTrTXtdteXdteeXtXttln2)(1ln2)(12121212122TTrXSd)5 . 0()ln(21 令lny=t，上式= 右邊第一項(xiàng)= 代入化簡(jiǎn) 2111tut化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布令 第二項(xiàng)= )()5.