高等數(shù)學(xué) (第一節(jié)) 第二節(jié)定積分在幾何上的應(yīng)用

1、1第一節(jié)第一節(jié) 定積分的元素法定積分的元素法第二節(jié)第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用 一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積 二、二、 體積體積 三、三、 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)2xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積dxxdx:面積元素xdxfsd)(:面積元素xdxfxfds)()(12曲邊梯形的面積baxdxfA)(陰影部分的面積baxdxfxfA)()(12, ,ba分割, ,ba分割積直角坐標(biāo)系中圖形的面. 13dxxxdA)(2面積元素dxxxA)(210.312xy 2yx 所圍成的和計(jì)算由兩條拋物線

2、例221xyxy.圖形的面積兩曲線的交點(diǎn)為解.),(),(1100和,10 xx 為積分變量選10332323xx4解.兩曲線的交點(diǎn). ),(, ),(, ),(934200236xyxxy選 為積分變量x,32x, ,)(021xdxxxxsd)(2316, ,)(302xdxxxxsd)(63222xy xxy63 所圍成的和計(jì)算由曲線例2362xyxxy.圖形的面積5于是所求面積21SSSdxxxx)(20236dxxxx)(63230.12253注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)并不相同積分變量只能選 x 嗎？選取 y ?, ,)(021xdxxxxsd)(2316, ,)(302xdxxxxs

3、d)(63226解.兩曲線的交點(diǎn). ),(, ),(4822 422xyxy選 為積分變量y,42y,dyyydA242面積元素.1842dAAxy22 4 xy所圍成的和直線計(jì)算由曲線例4232xyxy.圖形的面積),(22 ),(487cd:.由參數(shù)方程給出曲線 2.求曲邊梯形的面積oxy )(tx )(ty ):(21ttt1t2tdxyds 面積元素解.dttt)()( ab badxys曲邊梯形之面積 21ttdttt)()( oxy1t2t2s:2s面積再求左圖中曲邊梯形的ydxds 面積元素dttt)()( dcydxs2 12ttdttt)()( ?!積分上下限不同8,sinc

4、os. byax已知橢圓的參數(shù)方程為例4.s求橢圓的面積等于第一象限部分由對(duì)稱性知解s.倍面積的 402 adxys04 024 dabsinsin 2024 dabsin.2214 abba bydxs04.又解 204 dbacoscos.cos 2024 dabba 9極坐標(biāo)情形.3 0 )( xo d )( r,)( 及射線由曲線 r,圍在一曲邊扇形 .A求其面積 drdA221 面積元素 d)(221 drA221 d d)(221, , 分割, dA.小的曲邊扇形曲邊扇形被分割成多個(gè))( r d. drsd221 面積元素:熟記10例例 5 5 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所

5、所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積.解解由對(duì)稱性知總面積由對(duì)稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos440221 .)2(2cos2024ada xy 2cos22a 1A ddA221 面積元素面積元素)(14346P11例例 6 6 求心形線求心形線)cos1( ar所圍平面圖形的所圍平面圖形的面積面積)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用對(duì)稱性知利用對(duì)稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0)(9345P12 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一

6、個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)二、二、 體積體積 1. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積13?,體積為多少體積為多少一周而成的立體一周而成的立體直直線線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲一般地一般地,)(,xfy 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞及及線線xxbxax,xyo)(xfy dx,x取積分變量為取積分變量為,bax上任取上任取在在,ba. ,xdxx小區(qū)間小區(qū)間軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞取以取以xxd,的體積為體積元素的體積為體積元

7、素xdxfdV2)( 旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為baxdxfV2)( 14直線直線的直線的直線及點(diǎn)及點(diǎn)連接坐標(biāo)原點(diǎn)連接坐標(biāo)原點(diǎn)例例,),(rhPO1軸軸將它繞將它繞軸圍成一個(gè)直角三角形軸圍成一個(gè)直角三角形及及xxhx.計(jì)計(jì)的圓錐體的圓錐體高為高為旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為,hr.算圓錐體的體積算圓錐體的體積.解解的方程為的方程為直線直線 OPxhry ,x取積分變量為取積分變量為, ,xdxxh上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間在在 0, ,hx0yrhPxo15以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為dxxhrdV2 圓圓錐錐體體的的體

8、體積積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoxhry 16 類類似似地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(yx 、直直線線cy 、dy 及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyo)(yx cddyy2)( dcV17例例 3 3 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱與的一拱與0 y所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞x軸、軸、y軸軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyVax)(220 2022)cos1(

9、)cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy18繞繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可可看看作作平平面面圖圖OABC與與OBC分分別別繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積之之差差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a )cos1()sin(tayttax19dx0 a b X)(xfy .,的的公公式式推推導(dǎo)導(dǎo)求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體

10、體積積軸軸一一周周生生成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體曲曲邊邊梯梯形形繞繞vY上小曲邊梯形上小曲邊梯形劃分劃分解解, ,.dxxxba ,軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)生生成成圓圓柱柱面面繞繞Y, )(xfx 2面面積積為為.dx厚厚度度為為.)(dxxfxdv 2 體體積積元元素素.)( badxxfxv 2補(bǔ)充20dxxfxVbay| )(|2 利用這個(gè)公式，可知上例中利用這個(gè)公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a )cos1()sin(tayttax21例例 4 4 求由曲線求由曲線24xy 及及0

11、 y所圍成的圖形所圍成的圖形繞直線繞直線3 x旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM22-2 -1 0 +1 +2 +3dx例例 4 4 求由曲線求由曲線24xy 及及0 y所圍成的圖形所圍成的圖形繞直線繞直線3 x旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.,.22 xx為積分變量為積分變量取取又解又解體積元素體積元素dxxfxdv| )(| )( 32 .)(dxxx2432 64432222 dxxxv)(232.

12、 平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積xoabxdxx )(xA表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù),)(xdxAdV .)(baxdxAV但卻知道該立但卻知道該立體體如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn),這個(gè)這個(gè)那么那么個(gè)截面面積個(gè)截面面積體上垂直于一數(shù)軸的各體上垂直于一數(shù)軸的各,.分來計(jì)算分來計(jì)算立體的體積也可用定積立體的體積也可用定積立體體積立體體積24RR xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂直于垂直于x軸的截面為直角三角形軸的截面為直角三角形x截面面積截

13、面面積,tan)()( 2221xRxA立體體積立體體積xdxRVRR tan)(2221.tan323 R ,的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為例例R5計(jì)算這平面截圓柱體所計(jì)算這平面截圓柱體所并與底面交成角并與底面交成角, .得立體的體積得立體的體積25解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂垂直直于于 x 軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形 截面面積截面面積 2222221)(xRhxRhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR tRxsin: 變換平行且等于底圓直平行且等于底圓直的圓為底的圓為底求

14、以半徑為求以半徑為例例,R6.,的正劈錐體的體積的正劈錐體的體積高為高為徑的線段為頂徑的線段為頂h26旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周三、小結(jié)27xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)，在在弧弧上上插插入入分分點(diǎn)點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，此折

15、線的長(zhǎng)此折線的長(zhǎng)|11 niiiMM的極限存在，則稱此極限為的極限存在，則稱此極限為曲線弧曲線弧AB的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).三、三、 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)281. 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：)(xfy 曲曲線線弧弧方方程程22dydxds 弧弧微微分分dxy21 badxys21弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)a dx bds29解解,21xy ,xdx1所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為baxdxs1ab的一的一到到從從上相應(yīng)于上相應(yīng)于計(jì)算曲線計(jì)算曲線例例baxxy23321.段弧的長(zhǎng)度段弧的長(zhǎng)度xdsd2121x.32232311)()(ab30曲線弧為曲線弧為,)()(tytx )( t22)()(ydxdsdtdtt)

16、()(22 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(tdtts 222. 參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形31解解星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性14 ss 20224 tdyxs2034 tdttacossin.a6P 345 圖圖(7).)(.的全長(zhǎng)的全長(zhǎng)求星形線求星形線例例02323232aayx32.)(sincos的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)等于橢圓等于橢圓 2012ttaytx的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng)證明正弦曲線證明正弦曲線例例)(sin. 203xxay1s設(shè)正弦曲線的弧長(zhǎng)等于設(shè)正弦曲線的弧長(zhǎng)等于xdys 021122s設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為 02212,cosxd

17、xa.證證33 , tdyxs 20222 0222212tdtatscossin,1s;cos 022112dxxastaytxsincos21橢圓橢圓)( 20 t根據(jù)橢圓的對(duì)稱性根據(jù)橢圓的對(duì)稱性 02212tdta cos 02212xdxa cos.故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立34曲線弧為曲線弧為)( )( rr sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()( drr22弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()( drrs223. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形22222222)()(;)()(.)()()( drdrdrrddrrdsdrd drsd35求曲線求曲線例例 .4),(sin 30033aar.s的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度313332 cossi