任意角的三角函數(shù)的定義

1、5.2.1 任意角三角函數(shù)的定義【教學(xué)目標(biāo)】1. 理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義；熟記其在各象限的符號(hào)；掌握三角函數(shù)線的定義及畫法2通過教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想【教學(xué)重點(diǎn)】任意角三角函數(shù)的定義【教學(xué)難點(diǎn)】單位圓及三角函數(shù)線【教學(xué)方法】本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導(dǎo)與講練結(jié)合的教學(xué)方法在復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，定義了任意角的三角函數(shù)，講練結(jié)合，使學(xué)生牢固掌握然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)定義和象限內(nèi)的點(diǎn)坐標(biāo)符號(hào)導(dǎo)出三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，接著把正弦值、余弦值、正切值轉(zhuǎn)化為單位圓中的有向線段表示，使數(shù)與形密切結(jié)合起來，以加強(qiáng)學(xué)生對三角函數(shù)定義的理解【教學(xué)過程】環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入復(fù)

2、習(xí)銳角三角函數(shù)定義師：初中時(shí)我們學(xué)過銳角三角函數(shù)，當(dāng)時(shí)是怎樣定義的？以舊引新新課新課新課新課1. 任意角的三角函數(shù)定義已知 a 是任意角，P(x，y)， P¢(x¢，y¢)是角a 的終邊與兩個(gè)半徑不同的同心圓的交點(diǎn)(r， r')y Prr yyO x x xP¢如圖所示： 當(dāng)角 a 不變時(shí)，對于角 a 的終邊上任意一點(diǎn)P（x，y），不論點(diǎn) P 在角 a 的終邊上的位置如何，三個(gè)比值，始終等于定值因此定義：角 a 的余弦cos a ；角 a 的正弦sin a ；角 a 的正切tan a 依照上述定義，對于每一個(gè)確定的角 a，都分別有唯一確定的余弦值

3、、正弦值、正切值與之對應(yīng)，所以這三個(gè)對應(yīng)關(guān)系都是以角 a 為自變量的函數(shù)，分別叫做角 a 的余弦函數(shù)、正弦函數(shù)和正切函數(shù)2. 三角函數(shù)求值根據(jù)三角函數(shù)定義，可得計(jì)算三角函數(shù)值的步驟：S1 畫角：在直角坐標(biāo)系中，作轉(zhuǎn)角等于；S2 找點(diǎn)：在角的終邊上任找一點(diǎn)P，使|OP|1，并量出該點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)；S3 求值：根據(jù)相應(yīng)三角函數(shù)的定義，求該角的三角函數(shù)值例1 已知角 a 終邊上一點(diǎn) P(2，3)，求角a 的三個(gè)三角函數(shù)值解 已知點(diǎn) P（2，3），則r|OP|，由三角函數(shù)的定義，得sin a ；cos a ；tan a ；練習(xí)1 教材P138，練習(xí)A組第1、4、5題例2 試確定三角函數(shù)在各象限的符

4、號(hào)解 由三角函數(shù)的定義可知，sin a，角 a 終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 的正、負(fù)與角 a 的正弦值同號(hào)；cos a，角 a 終邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo) x 的正、負(fù)與角 a 的余弦值同號(hào)；由tan a ，則當(dāng) x 與 y 同號(hào)時(shí)，正切值為正，當(dāng) x 與 y 異號(hào)時(shí)，正切值為負(fù)Oxysin Oxycos Oxytan 三角函數(shù)在各象限的符號(hào)如下圖所示： 練習(xí)2 確定下列各三角函數(shù)值的符號(hào)：(1)sin()；(2)cos 130°；(3)tan 例3 使用函數(shù)型計(jì)算器，計(jì)算下列三角函數(shù)值：(1)sin67.5°， cos372°， tan (86°)；(2) sin1.

5、2， cos ， tan 解 略3. 單位圓與三角函數(shù)線如圖，以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓稱作單位圓 O M xa A(1，0)1 P(cos a，sin a)y設(shè)角 a 的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x，y)，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，則 sin ay，cos ax，即 P(cos a，sin a)cos axOM；sin ayMP于是我們把規(guī)定了方向的線段OM，MP分別稱作角a的余弦線、正弦線練習(xí)3（1） 在直角坐標(biāo)系的單位圓中，分別畫出 和的正弦線、余弦線設(shè)單位圓在點(diǎn)A的切線與角a的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn) T ( T ¢ ) ，則tan aAT ( AT¢ )，所以AT

6、( AT¢ )稱作角的正切線練習(xí)3 （2） 在直角坐標(biāo)系的單位圓中，分別畫出 和的正切線問題1：當(dāng)我們把銳角的概念推廣為轉(zhuǎn)角后，我們?nèi)绾味x任意角的三角函數(shù)呢？如左圖所示，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得，.由于點(diǎn)P，P' 在同一象限內(nèi)，所以它們的坐標(biāo)符號(hào)相同，因此，所以三個(gè)比值 ，只依賴于 a 的大小，與點(diǎn) P 在 a 終邊上的位置無關(guān)教師引領(lǐng)學(xué)生識(shí)記三角函數(shù)定義依據(jù)函數(shù)定義說明角 a 與三角函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系練習(xí)：在直角坐標(biāo)系中，畫出半徑為的圓，求出30°，38°，128°等角的正弦、余弦和正切的值.在例1中強(qiáng)調(diào)：（）P為角的終邊上任意一點(diǎn)；（）求三

7、角函數(shù)值時(shí)用到的三個(gè)量x，y，r以及三者的關(guān)系；教師可通過教材P138 練習(xí)A組第1題中的練習(xí)讓學(xué)生自己總結(jié)出三角函數(shù)在各象限的符號(hào)根據(jù)三角函數(shù)的定義，及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)得出三角函數(shù)在各象限的符號(hào)，教師總結(jié)口訣，幫助學(xué)生記憶：全正，正弦，正切，余弦練習(xí)2也可以用計(jì)算器直接求出三角函數(shù)值，然后確定符號(hào)師：在任意角三角函數(shù)的定義中，當(dāng)角 a 的終邊上一點(diǎn) P（x，y）的坐標(biāo)滿足r1時(shí)，三角函數(shù)的正弦、余弦會(huì)變成什么樣呢？看著圖示，結(jié)合三角函數(shù)定義講解正弦線、余弦線、正切線的由來學(xué)生自己動(dòng)手，熟悉正弦線，余弦線的畫法學(xué)生自己動(dòng)手，熟悉當(dāng)角a在不同象限時(shí)正切線的畫法說明三角函數(shù)定義的理論根據(jù)通過學(xué)生自己動(dòng)手測量,加深學(xué)生對三角函數(shù)定義的理解,并為學(xué)習(xí)單位圓做鋪墊.強(qiáng)調(diào)這幾點(diǎn)為練習(xí)B組第1、2、3做鋪墊.通過練習(xí)1，熟練已知角的終邊上一點(diǎn)求三角函數(shù)值的步驟 由練習(xí)中的具體題目到例2的理論分析，由特殊到一般加深學(xué)生對三角函數(shù)符號(hào)的理解.學(xué)生理解正切線難度較大，教師要詳細(xì)講解各個(gè)象限內(nèi)的角的正切線的做法.小結(jié)回憶本節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn)：(1)任意角三角函數(shù)的定義（代數(shù)表示）(2)任意角三角函數(shù)值的求法（兩