恰當(dāng)方程與積分因子ppt課件

1、2.3 恰當(dāng)方程與積分因子恰當(dāng)方程與積分因子 2.3.1 恰當(dāng)微分方程恰當(dāng)微分方程則它的全微分為是一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)設(shè),),(yxuu dyyudxxudu如果我們恰好碰見(jiàn)了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以馬上寫(xiě)出它的隱式解.),(cyxu定義1使得若有函數(shù)),(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),(則稱微分方程) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM是恰當(dāng)方程.),() 1 (cyxu的通解為此時(shí)如0 ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰當(dāng)方程.)(xyd)(23xyyxd)()(ydygxdxfd1 恰當(dāng)方

2、程的定義需考慮的問(wèn)題(1) 方程(1)是否為恰當(dāng)方程?(2) 假設(shè)(1)是恰當(dāng)方程,怎樣求解?(3) 假設(shè)(1)不是恰當(dāng)方程,有無(wú)可能轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程求解?2 方程為恰當(dāng)方程的充要條件定理1則方程偏導(dǎo)數(shù)中連續(xù)且有連續(xù)的一階域在一個(gè)矩形區(qū)和設(shè)函數(shù),),(),(RyxNyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM為恰當(dāng)方程的充要條件是).2(,),(),(xyxNyyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM證明“必要性”設(shè)(1)是恰當(dāng)方程,使得則有函數(shù)),(yxudyyudxxuyxdu),(dyyxNdxyxM),(),(故有),(yxMxu),(yxNyu從而2,Muyy

3、x 2.Nuxx y 從而有都是連續(xù)的和由于,22yxuxyu,22yxuxyu故.),(),(xyxNyyxM“充分性”，xyxNyyxM),(),(若解這個(gè)方程得看作參數(shù)把出發(fā)從,)5(y滿足則需構(gòu)造函數(shù)),(yxu)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu即應(yīng)滿足)5(),(yxMxu)6(),(yxNyu).(),(),(ydxyxMyxu,)(的任意可微函數(shù)是這里yyyu因而)7(),()(dxyxMyNdyyd,)7(無(wú)關(guān)的右端與下面證明x的偏導(dǎo)數(shù)常等于零即對(duì)x事實(shí)上),(dxyxMyNx),(dxyxMyxxN)6(),(yxNyu即同時(shí)滿足使下面選擇),6(),(u

4、ydyyddxyxMy)(),(N).(),(),(ydxyxMyxu),(dxyxMxyxNyMxN. 0積分之得右端的確只含有于是,)7( ,y,),()(dydxyxMyNy故dxyxMyxu),(),(,),(dydxyxMyN(8)。yxu為恰當(dāng)方程從而存在即) 1 (,),()7(),()(dxyxMyNdyyd注:假設(shè)(1)為恰當(dāng)方程,則其通解為為任常數(shù)ccdydxyxMyNdxyxM,),(),(二、恰當(dāng)方程的求解二、恰當(dāng)方程的求解1 不定積分法.,0),(),(10若是進(jìn)入下一步是否為恰當(dāng)方程判斷dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20求).(),(30y

5、yxNyu求由例1 驗(yàn)證方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰當(dāng)方程,并求它的通解.解:( , ),( , )2sin .xM x yey N x yxy這里( , )1M x yy所以故所給方程是恰當(dāng)方程.滿足由于所求函數(shù)),(yxu, yexux,sin2yxyu積分得對(duì)將看作常數(shù)只要將由偏導(dǎo)數(shù)的定義xyeyx,)()(),(ydxyeyxux).(yyxex,),(xyxN).(),(yyxeyxux應(yīng)滿足的方程為得求偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于對(duì))(,),(yyyxuyxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(積分后得:,cos2)(yy 故.cos2),(yyxeyxux從而方程的通解為.

6、cos2cyyxex2 分組湊微法 采用“分項(xiàng)組合的方法,把本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出來(lái),再把余的項(xiàng)湊成全微分.-應(yīng)熟記一些簡(jiǎn)單二元函數(shù)的全微分.如 xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd解:2222yxxdyydxyxydyxdxxdx)()ln(21()2(222yxarctgdyxdxd0)ln(212(222yxarctgyxxd故通解為:。ccyxarctgyxx為任常數(shù),2)ln(222例2 求解方程0)()(22yxd

7、yyxdxyxxdx22)()(yxdyyxdxyxxdx例3 求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解:2223( , )36,( , )64,M x yxxyN x yx yy這里( , )12M x yxyy所以故所給方程是恰當(dāng)方程. 把方程重新“分項(xiàng)組合得0)66(432232ydyxdxxydyydxx即0)33(222243dyxdxydydx或?qū)懗?)3(2243yxyxd故通解為:。ccyxyx為任常數(shù),32243,),(xyxN例4 驗(yàn)證方程, 0)1 ()sin(cos22dyxydxxyxx是恰當(dāng)方程,并求它滿足初始條件y(0)=2的解.解:),1

8、(),(,sincos),(22xyyxNxyxxyxM這里yyxM),(故所給方程是恰當(dāng)方程.把方程重新“分項(xiàng)組合得, 0)(sincos22ydyydyxdxxyxdxx即xd2sin212221yxd221yd, 0 xy2,),(xyxN, 0)(sin2222yyxxd或?qū)懗晒释ń鉃?,sin2222cyyxx得由初始條件, 2)0(y, 4c故所求的初值問(wèn)題的解為:. 4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd3 線積分法定理1充分性的證明也可用如下方法:,),(),(xyxNyyxM由于由數(shù)學(xué)分析曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定理知:，yxudyyxNdxyxM的全

9、微分為某函數(shù)),(),(),(使即有函數(shù)),(yxu,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu。為恰當(dāng)方程從而 ) 1 (則取這時(shí),),(,00Ryx),(),(00),(),(),(yxyxdyyxNdxyxMyxuxxdxyxM0),(0,),(0yydyyxN從而(1)的通解為。ccdyyxNdxyxMyyxx為任常數(shù),),(),(000例5 求解方程. 0)2(sin)2cos(2dyexxdxxexyyy解:, 2sin),(,2cos),(2yyexxyxNxexyyxM由于yyxM),(yxex2cos,),(xyxN故所給方程是恰當(dāng)方程.,),(),(全平面上連續(xù)在由于y

10、xNyxM則故取),0 , 0(),(00yxyxdyyxNdxxM00),()0 ,(xxdx022xyydyexx02)2(sin.2) 1(sin2yexxyy.,2sin2為任常數(shù)ccyexxyy故通解為:.2sin2yexxyy),()0, 0(),(),(),(yxdyyxNdxyxMyxu, 2sin),(2cos),(2yyexxyxNxexyyxM2.3.2 積分因子積分因子非恰當(dāng)方程如何求解?對(duì)變量分離方程:, 0)()(dxyxfdy不是恰當(dāng)方程.得方程兩邊同乘以,)(1y, 0)()(1dxxfdyy是恰當(dāng)方程.xyyxf)(10)(對(duì)一階線性方程:, 0)()(dxx

11、QyxPdy不是恰當(dāng)方程.得方程兩邊同乘以,)(dxxPe, 0)()()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP那么或左邊( )( )( )P x dxP x dxd eyQ x edx, 0是恰當(dāng)方程.可見(jiàn),對(duì)一些非恰當(dāng)方程,乘上一個(gè)因子后,可變?yōu)榍‘?dāng)方程.( )( )( )P x dxP x dxep x ex ( )( ( )( )P x dxep x yQ xy1 定義使得如果存在連續(xù)可微函數(shù), 0),(yx0),(),(),(),(dyyxNyxdxyxMyx.) 1 (),(,的一個(gè)積分因子是方程則為恰當(dāng)方程yx例5.,0)32()43(),(222并求其通解的一個(gè)積分因子是

12、方程驗(yàn)證dyyxxdxxyyyxyx解:對(duì)方程有),(),(yxMyx),(),(yxNyx332243yxyx24332yxyx) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM由于yyxMyx),(),(xyxNyx),(),(222126yxyx,),(后為恰當(dāng)方程故所給方程乘于yx.),(是其積分因子所以yx后得對(duì)方程兩邊同乘以yxyx2),(0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分項(xiàng)組合得0)34()23(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即03423ydxydx也即0)(3423yxyxd故所給方程的通解為:。ccyxyx為任常數(shù),342

13、32 積分因子的確定:0),(),(),(充要條件是的積分因子的是方程yxNdxyxMyxxyxNyxyyxMyx),(),(),(),(即)(xNyMyMxN)(xNyMyMxN.0),(),(),(,),(更困難方程一般來(lái)說(shuō)比直接解微分要想從以上方程求出程為未知函數(shù)的偏微分方上面方程是以dyyxNdxyxMyxyx盡管如此,方程)(xNyMyMxN還是提供了尋找特殊形式積分因子的途徑.則的積分因子有關(guān)存在僅與如果方程),(),(0),(),(xyxxyxNdxyxM這時(shí)方程, 0y)(xNyMyMxN變成dxNxNyMd)()(xNyMdxdN即,有關(guān)由于上式左側(cè)僅與 x,的函數(shù)的微分所以

14、上式右側(cè)只能是x是的積分因子的必要條件賴于有一個(gè)僅依從而微分方程xyxNdxyxM0),(),()10(,)(NxNyM此時(shí)求得積分因子NxNyMx)()(這里,)()(dxxex.),(無(wú)關(guān)而與的函數(shù)只是yxx.),()10(無(wú)關(guān)而與的函數(shù)只是若yxx,)()(dxxex則。dyyxNdxyxM一個(gè)積分因子是方程0),(),(NxNyMx)()(這里dxxd)( )( , )x N x yx( )( , )( , )( )dxN x yN x yxdxx( )( , )( )x dxN x y ex( , )( )N x yxx( , )( , )() ( )M x yN x yxyx( ,

15、 )( )N x yxx( , )( )M x yxy( )( , )x M x yy)( , )( , )0 xM x y dxN x y dy故 ( 是方程一個(gè)積分因子.3 定理微分方程) 1 (, 0),(),(yxNdxyxM是的積分因子的充要條件有一個(gè)僅依賴于x,)(NxNyM的積分因子為這時(shí)有關(guān)僅與) 1 (,x,)()(dxxexNxNyMx)()(這里充要條件是的積分因子的有一個(gè)僅依賴于微分方程同理y) 1 (,)(MxNyM的積分因子為這時(shí)有關(guān)僅與) 1 (,y,)()(dyyey.)()(MxNyMy這里例6 求微分方程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解:,)

16、,(,22),(2xxeyyxNyeyyxM這里由于yyxM),(xyxN),(xey2,xe故它不是恰當(dāng)方程,又由于NxNyM)(xxeyey1有關(guān)的積分因子故方程有一個(gè)僅與無(wú)關(guān)它與xy,)(xdxxex)()(dxe1xe后得對(duì)方程兩邊同乘以xex )(0)()22(222dyeyedxyeeyxxxx利用恰當(dāng)方程求解法得通解為.,222為任意常數(shù)ccyeeyxx 積分因子是求解積分方程的一個(gè)極為重要的方法,絕大多數(shù)方程求解都可以通過(guò)尋找到一個(gè)合適的積分因子來(lái)解決,但求微分方程的積分因子十分困難,需要靈活運(yùn)用各種微分法的技巧和經(jīng)驗(yàn).下面通過(guò)例子說(shuō)明一些簡(jiǎn)單積分因子的求法.1)()(NxNy

17、Mx例7 求解方程).0(,)(12yyxyxdxdy解:方程改寫(xiě)為:,22dxyxydyxdx或:,)(212222dxyxyxd易看出,此方程有積分因子,1),(22yxyx:),(乘改寫(xiě)后的方程兩邊得以yx,2)(2222dxyxyxd即,2)(2222dxyxyxd,22dxyxd故方程的通解為:.,22為任常數(shù)ccxyx例8 求解方程. 0)(dyxyydx解:,),(,),(xyyxNyyxM這里1),(yyxM, 1),(xyxN故方程不是恰當(dāng)方程,方法1:MxNyM)(因?yàn)閥2,有關(guān)僅與y的積分因子故方程有一個(gè)僅依賴于ydyyey)()(dyye2,12y:12乘方程兩邊得以y. 02ydyyxdyydx即. 0112dyyxdyydxy故方程的通解為:.lncyyx)(y方法2:方程改寫(xiě)為:,ydyxdyydx容易看出方程左側(cè)有積分因子:21y21x或xy1或221yx 或,有關(guān)但方程右側(cè)僅與y由此得為方程的積分因子故取,12y.2ydyyxdy