張穎-第二章-第二、四節(jié)-剛體定軸轉動定律及角動量定理-更新.

1、第二章 剛體力學基礎張張 穎穎第四節(jié)第四節(jié) 剛體定軸轉動的角動量定理與角動量守恒剛體定軸轉動的角動量定理與角動量守恒第二節(jié)第二節(jié) 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律2.4.1 剛體相對定軸的角動量xyzOOP0rir質點質點P其相對于其轉動平面的圓心其相對于其轉動平面的圓心O的角動量的角動量iiiLrp2sin90iiii iLr pmr 2ii iiiLLmrI轉動慣量轉動慣量LIOrPmv轉動平面轉動平面2.2.3 剛體的轉動慣量xyzOOP0rir2i iiImr2Ir dmr: 相對于轉軸的距離相對于轉軸的距離與質量有關與質量有關與質量分布有關與質量分布有關與轉軸的位置有關與轉軸的位置有

2、關具有相加性（相對于同一轉軸的轉動慣量可相加）具有相加性（相對于同一轉軸的轉動慣量可相加）2.2.3 剛體的轉動慣量例例題：題：質量質量 m、長、長 l的勻質細桿，轉軸垂直的勻質細桿，轉軸垂直細桿位于細桿位于(a) 質心質心C、(b) 一端一端O、(c) 過與質心過與質心O點相距為點相距為d的的O求細桿的轉動慣量。求細桿的轉動慣量。mdmdxlCxOdO(a) 轉軸位于質心C(b) 轉軸位于一端O/2/2222/2/2112llCllmIx dmx dxmll(c) 位于O2220013llOmIx dmx dxmll/2/22222/2/2112d ld lOd ld lmIx dmx dx

3、mlmdl2.2.3 剛體的轉動慣量C(O)ird( )ir CMPimNQ取兩個互相平行、間距為取兩個互相平行、間距為 d 的轉軸的轉軸其中一個轉軸通過剛體質心其中一個轉軸通過剛體質心C(O)(C)iirrdO推論：剛體繞通過質心的轉軸的轉動慣量最小推論：剛體繞通過質心的轉軸的轉動慣量最小22(O)(O)( )( )2( )( )2( )Oi iii iii iiiiiii ii iiiiiImrrmr Cr Cmr Cdmd dmr Cmr Cdmd 2mdIICMN0CI2mdi iiCmrrm(C)(C)i iiCmrrm相對相對于質于質心的心的位矢位矢質心質心相對相對于自于自己的己的

4、位矢位矢為為02.2.3 剛體的轉動慣量xixyiyirzim222iiiryx222 =zi iiiiiiiiImrm ym xzxyIII平面均勻薄板剛體，相對于垂直板面的某一轉軸的轉動慣量等于剛體相平面均勻薄板剛體，相對于垂直板面的某一轉軸的轉動慣量等于剛體相對通過該軸與板面交點且位于板面的兩個正交軸的轉動。對通過該軸與板面交點且位于板面的兩個正交軸的轉動。xIyIyi是是mi到到x軸軸的距離，此為的距離，此為繞繞x轉旋轉的轉旋轉的轉動慣量轉動慣量2.2.3 剛體的轉動慣量2cImr22c1212Im rr2c23Imr2c112Iml2c12Imr2c12Imr2c25Imr2c16I

5、maa2.4.2 剛體定軸轉動的角動量定理xyzOOP0rir上一章，質點系的角動量定理，也適用于剛體上一章，質點系的角動量定理，也適用于剛體M dtdL外dLMdt外iF外注意：注意： 的分量才會對繞的分量才會對繞z軸的轉動有貢獻。軸的轉動有貢獻。Mz外軸2121ttM dtLLL 外相對固定相對固定軸的力矩軸的力矩iiiiiMMrF外外外ri：轉動中心：轉動中心O到作用點的位矢。到作用點的位矢。積分式：積分式：2.2.4 剛體定軸轉動定律z軸軸細桿只能在紙平面內繞細桿只能在紙平面內繞z軸旋轉軸旋轉1F1r1M1Mz此力矩能引起桿此力矩能引起桿繞繞z軸轉動軸轉動2F2M2r1Mz此力矩不能引

6、起此力矩不能引起桿繞桿繞z軸轉動軸轉動1Fz2Fz2.2.4 剛體定軸轉動定律FrzFzFOdPz zzzzMrFrFFrFrFzMzM此分量才對此分量才對繞繞z軸轉動軸轉動有貢獻有貢獻sinzzzzMMF rF dd: 力臂，力臂，O到到 的作用線的距離的作用線的距離zFF的作用線與的作用線與z軸和軸和 構成的平面不在同一個平面內，才有：構成的平面不在同一個平面內，才有： 才能讓剛體繞才能讓剛體繞z軸轉動起來。軸轉動起來。r0,0zdMxyzOOP0rirdLMdt外LId IdIIdtdtMI外22ddt2.2.4 剛體定軸轉動定律2.2.4 剛體定軸轉動定律例例題：題：一輕繩跨過一質量為

7、一輕繩跨過一質量為M，半徑為，半徑為R的定滑輪，繩的兩端各的定滑輪，繩的兩端各懸掛一物體，質量分別為懸掛一物體，質量分別為m1和和m2，且，且m1m2。忽略定滑輪上的摩。忽略定滑輪上的摩擦，繩子不可伸長，且與定滑輪之間無相對滑動，定滑輪視為均擦，繩子不可伸長，且與定滑輪之間無相對滑動，定滑輪視為均質圓盤，相對中心質圓盤，相對中心O的轉動慣量為的轉動慣量為I=MR2/2。求物體的加速度及。求物體的加速度及兩側繩子的張力。兩側繩子的張力。m21T2T21mm m11212121221112122122()2()2()2()(4)2()(4)2()mmagMmmmmgMmmRMm mTgMmmMm

8、mTgMmm1111222212:mm gTm amm gTm aM T RT RIaR 聯(lián)系：正正方方向向2.2.5 剛體的平衡00iiiiFM外外ciiFma外iiMI外00ca例例題：題：長為長為l=6m，質量為，質量為m1=50kg的梯子斜靠在墻上，頂部距地面高度為的梯子斜靠在墻上，頂部距地面高度為a=4.8m，梯子的質心位于離下端，梯子的質心位于離下端l/3處。一質量為處。一質量為m2=80kg的人爬到梯子的中點的人爬到梯子的中點處。假設墻面是光滑的，地面與梯子的靜摩擦因子為處。假設墻面是光滑的，地面與梯子的靜摩擦因子為0.4，求：，求：（1）墻面與地面對梯子的作用力，此時梯子是否滑

9、動？）墻面與地面對梯子的作用力，此時梯子是否滑動？（2）在梯子開始滑動之前，人能沿梯子爬到多高的位置。）在梯子開始滑動之前，人能沿梯子爬到多高的位置。2.2.5 剛體的平衡xya2m g1m gOd例例題：題：長為長為l=6m，質量為，質量為m1=50kg的梯子斜靠在墻上，頂部距地面高度為的梯子斜靠在墻上，頂部距地面高度為a=4.8m，梯子的質心位于離下端，梯子的質心位于離下端l/3處。一質量為處。一質量為m2=80kg的人爬到梯子的中點的人爬到梯子的中點處。假設墻面是光滑的，地面與梯子的靜摩擦因子為處。假設墻面是光滑的，地面與梯子的靜摩擦因子為0.4，求：，求：（1）墻面與地面對梯子的作用力

10、，此時梯子是否滑動？）墻面與地面對梯子的作用力，此時梯子是否滑動？（2）在梯子開始滑動之前，人能沿梯子爬到多高的位置。）在梯子開始滑動之前，人能沿梯子爬到多高的位置。2.2.5 剛體的平衡00iiiiFM外外xyla2F1F2m g1m gf121200m gm gFfFOd122032ddm gm gF amax1ffF（1）解：）解：例例題：題：長為長為l=6m，質量為，質量為m1=50kg的梯子斜靠在墻上，頂部距地面高度為的梯子斜靠在墻上，頂部距地面高度為a=4.8m，梯子的質心位于離下端，梯子的質心位于離下端l/3處。一質量為處。一質量為m2=80kg的人爬到梯子的中點的人爬到梯子的中點處。假設墻面是光滑的，地面與梯子的靜摩擦因子為處。假設墻面是光滑的，地面與梯子的靜摩擦因子為0.4，求：，求：（1）墻面與地面對梯子的作用力，此時梯子是否滑動？）墻面與地面對梯子的作用力，此時梯子是否滑動？（2）在梯子開始滑動之前，人能沿梯子爬到多高的位置。）在梯子開始滑動之前，人能沿梯子爬到多高的位置。2.2.5 剛體的平衡00i