第4章透鏡的位相調(diào)制和傅里葉變換性質(zhì)

1、普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”國家級規(guī)劃教材國家級規(guī)劃教材傅里葉光學傅里葉光學 第第2 2版版電子教案電子教案周哲海 呂乃光 編著機械工業(yè)出版社第四章第四章 透鏡的位相調(diào)制和傅里葉變換性質(zhì)透鏡的位相調(diào)制和傅里葉變換性質(zhì)分析方法：分析方法：( (孔徑孔徑+ +透鏡透鏡)()(有限大小有限大小, ,有衍射作用有衍射作用, ,位相變換作用位相變換作用) ) + + 光在自由空間的傳播光在自由空間的傳播( (菲涅耳衍射菲涅耳衍射) )逐面計算逐面計算, ,在不同的幾何配置下可以得到在不同的幾何配置下可以得到傅里葉變傅里葉變換換或或成像成像目的與分析方法目的與分析方法目的：目的：從單透鏡的位相

2、變換作用入手從單透鏡的位相變換作用入手, ,導出透鏡的導出透鏡的傅里葉變換性質(zhì)和成像性質(zhì)；傅里葉變換性質(zhì)和成像性質(zhì)；將透鏡成像看成線性不變系統(tǒng)的變換，研究將透鏡成像看成線性不變系統(tǒng)的變換，研究評價透鏡成像質(zhì)量的頻域方法。評價透鏡成像質(zhì)量的頻域方法。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3 3、光學頻譜分析系統(tǒng)、光學頻譜分析系統(tǒng)l光學成像系統(tǒng)是一種最基本的光信息處理系統(tǒng)，光學成像系統(tǒng)是一種最基本的光信息處理系統(tǒng)，它用于傳遞二維的光學圖像信息。它用于傳遞二維的光學圖像信息。l光波攜帶輸入圖像信息（圖像的細節(jié)、對比等）

3、光波攜帶輸入圖像信息（圖像的細節(jié)、對比等）從光學系統(tǒng)物面?zhèn)鞑サ较衩妫敵龅膱D像信息取從光學系統(tǒng)物面?zhèn)鞑サ较衩?，輸出的圖像信息取決于光學系統(tǒng)的傳遞特性。決于光學系統(tǒng)的傳遞特性。l對于相干與非相干照明的成像系統(tǒng)可以分別給出對于相干與非相干照明的成像系統(tǒng)可以分別給出其本征函數(shù)，把輸入信息分解為由本征函數(shù)構成其本征函數(shù)，把輸入信息分解為由本征函數(shù)構成的頻率分量，考察這些空間頻率分量在系統(tǒng)傳遞的頻率分量，考察這些空間頻率分量在系統(tǒng)傳遞過程中，衰減、相移等等變化，研究系統(tǒng)空間頻過程中，衰減、相移等等變化，研究系統(tǒng)空間頻率特性即傳遞函數(shù)。率特性即傳遞函數(shù)。l這是一種全面評價光學系統(tǒng)傳遞光學信息的能力這是一種

4、全面評價光學系統(tǒng)傳遞光學信息的能力的方法，也是一種評價光學系統(tǒng)成像質(zhì)量的方法。的方法，也是一種評價光學系統(tǒng)成像質(zhì)量的方法。 光學成像系統(tǒng)的頻率特性光學成像系統(tǒng)的頻率特性l透鏡是光學系統(tǒng)的最基本的元件，具有成像和光透鏡是光學系統(tǒng)的最基本的元件，具有成像和光學傅里葉變換的基本功能，本章將首先討論透鏡學傅里葉變換的基本功能，本章將首先討論透鏡的成像和光學傅里葉變換性質(zhì)；的成像和光學傅里葉變換性質(zhì)；l透鏡可以用來實現(xiàn)透過物體的光場分布的透鏡可以用來實現(xiàn)透過物體的光場分布的夫瑯和夫瑯和費衍射費衍射，而透鏡之所以可以實現(xiàn)傅里葉變換的原，而透鏡之所以可以實現(xiàn)傅里葉變換的原因是它具有位相變換的作用；因是它具有

5、位相變換的作用；l無像差的正薄透鏡對點光源無像差的正薄透鏡對點光源的成像過程是點物成的成像過程是點物成點像，從波面變換的觀點看，透鏡將一個發(fā)散球點像，從波面變換的觀點看，透鏡將一個發(fā)散球面波變換成一個會聚球面波；面波變換成一個會聚球面波；l發(fā)散球面波發(fā)散球面波和和會聚球面波會聚球面波在透鏡平面上都具有球在透鏡平面上都具有球面波的二次位相因子，因此面波的二次位相因子，因此透鏡透鏡的功能就是改變的功能就是改變二次位相因子的大小，實際上也就是具有附加的二次位相因子的大小，實際上也就是具有附加的二次位相因子。二次位相因子。透鏡的位相變換作用透鏡的位相變換作用 基本假設基本假設 透鏡是薄的透鏡是薄的,

6、忽略折射引起的光線的橫向偏移忽略折射引起的光線的橫向偏移 透鏡無吸收透鏡無吸收, 完全透明完全透明, 均勻均勻,折射率為折射率為n，不改，不改變光場振幅變光場振幅,僅改變位相僅改變位相 透鏡孔徑為無限大透鏡孔徑為無限大 (以后再考慮孔徑影響以后再考慮孔徑影響)透鏡的位相變換作用透鏡的位相變換作用 1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用1.1 1.1 透鏡對入射波前的作用透鏡對入射波前的作用分析分析復振幅透過率復振幅透過率透鏡的復振幅透過率：透鏡的復振幅透過率：),(),(),(yxUyxUyxtlllUl (x,y) 和和U l (x,y) 分別分別是緊靠透鏡前后平面上是緊靠透鏡前后平

7、面上的光場復振幅分布。的光場復振幅分布。下面從復振幅透過率的定義式導出復振幅透過率。下面從復振幅透過率的定義式導出復振幅透過率。 這是在傍這是在傍軸近似下的完軸近似下的完善成像，發(fā)散善成像，發(fā)散球面波經(jīng)過透球面波經(jīng)過透鏡變換成會聚鏡變換成會聚球面波。球面波。1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用在傍軸近似下，在傍軸近似下，忽略忽略透鏡對光波振幅的影響，緊靠透鏡對光波振幅的影響，緊靠透鏡前后的平面上產(chǎn)生的復振幅分布為透鏡前后的平面上產(chǎn)生的復振幅分布為2200,expexp2lkUx yAjkdjxyd22,expexp2liikUx yAjkdjxyd則透鏡復振幅透過率表示為：則透鏡復振

8、幅透過率表示為：222200expexp2,expexp2iilllkAjkdjxydUx ytx yUx ykAjkdjxydkreraPUj0)(kreraPUj0)(2200,expexp2lkUx yAjkdjxyd22,expexp2liikUx yAjkdjxydzyxzr222zr 在傍軸近似下，在傍軸近似下，1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用則透鏡復振幅透過率表示為：則透鏡復振幅透過率表示為：220011expexp2iikjk ddjxydd222200expexp2,expexp2iilllkAjkdjxydUx ytx yUx ykAjkdjxyd( (常數(shù)項

9、常數(shù)項) )( (調(diào)制項調(diào)制項) )對于常數(shù)項，它改變的是光波整體的位相分布，并對于常數(shù)項，它改變的是光波整體的位相分布，并不影響平面上位相的相對空間分布，分析時可忽略掉。不影響平面上位相的相對空間分布，分析時可忽略掉。對于調(diào)制項，它改變了平面上位相的相對空間分布，對于調(diào)制項，它改變了平面上位相的相對空間分布，能把發(fā)散球面波變換為會聚球面波。能把發(fā)散球面波變換為會聚球面波。1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用根據(jù)幾何光學中介紹的透鏡成像公式根據(jù)幾何光學中介紹的透鏡成像公式0111iddf( ( 為透鏡的焦距為透鏡的焦距) )2222011expexp22ikkjxyjxyddf因此，

10、透鏡的復振幅透過率或透鏡的位相調(diào)制因子因此，透鏡的復振幅透過率或透鏡的位相調(diào)制因子(相位變換因子相位變換因子)：220,expexp,2llilUx yktx yjk ddjxyUx yf結論：通過上面的分析可知，透鏡對透射的光波具結論：通過上面的分析可知，透鏡對透射的光波具有位相調(diào)制的功能。有位相調(diào)制的功能。1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用透鏡本身的厚度變化，使得入射光波在通過透鏡透鏡本身的厚度變化，使得入射光波在通過透鏡的不同部位時，經(jīng)過的光程差不同，即所受時間的不同部位時，經(jīng)過的光程差不同，即所受時間延遲不同，從而使得光波的等相位面發(fā)生彎曲。延遲不同，從而使得光波的等相位面

11、發(fā)生彎曲。等相位面透鏡對透射的光波具有位相調(diào)制的功能。但是，透鏡對透射的光波具有位相調(diào)制的功能。但是，透鏡為什么會具有這種能力呢？透鏡為什么會具有這種能力呢？Answer:1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用薄透鏡：忽略光線在透鏡內(nèi)由于折射而產(chǎn)生的平移薄透鏡：忽略光線在透鏡內(nèi)由于折射而產(chǎn)生的平移( (忽略了折射效應忽略了折射效應) )。薄透鏡的作用：忽略吸收，僅使入射波前產(chǎn)生相位薄透鏡的作用：忽略吸收，僅使入射波前產(chǎn)生相位延遲，其大小正比于透鏡各點的厚度。延遲，其大小正比于透鏡各點的厚度。把透鏡看成把透鏡看成是一個相位型的衍射屏。是一個相位型的衍射屏。B透鏡的相位變換透鏡的相位變換(

12、位相調(diào)制位相調(diào)制)函數(shù)：函數(shù)：（復振幅透過率函數(shù)）（復振幅透過率函數(shù)）),(jexp),(yxyxtl1.2 1.2 透鏡的厚度函數(shù)透鏡的厚度函數(shù)主要考慮薄透鏡的情況主要考慮薄透鏡的情況從另一角度從另一角度-厚度函數(shù)導出透過率厚度函數(shù)導出透過率L(x,y)1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用,exp,exp,ltx yjx yjkL x yL(x,y)是是Q到到Q 之間的之間的光程光程：),() 1(),(),(),(00yxnyxyxnyxL則則 0,expexp1,ltx yjkjk nx y 0,expexp1,ltx yjkjk nx yB 透鏡的相位變換透鏡的相位變換(位相

13、調(diào)制位相調(diào)制)函數(shù)：函數(shù)： 1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用 0,expexp1,ltx yjkjk nx y上式具有普遍意義，對于任意面形的薄位相物體，上式具有普遍意義，對于任意面形的薄位相物體，一旦知道其一旦知道其厚度函數(shù)厚度函數(shù)(x,y)，就可以根據(jù)該式得到，就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。其位相調(diào)制。B透鏡的相位變換透鏡的相位變換(位相調(diào)制位相調(diào)制)函數(shù)：函數(shù)：（復振幅透過率函數(shù)）（復振幅透過率函數(shù)） 下面具體分析一下下面具體分析一下厚度函數(shù)厚度函數(shù)(x,y)和透鏡主要和透鏡主要結構參數(shù)結構參數(shù)(構成透鏡的兩個球面的曲率半徑構成透鏡的兩個球面的曲率半徑R1和和R2)之之間的

14、關系。間的關系。1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用為求出厚度函數(shù)，將透鏡一剖為二，如圖所示：為求出厚度函數(shù)，將透鏡一剖為二，如圖所示：符號規(guī)則：為使導出的公式適合于不同類型的透鏡，符號規(guī)則：為使導出的公式適合于不同類型的透鏡，規(guī)定：當光線從左到右時，它遇到的每個凸面的曲率規(guī)定：當光線從左到右時，它遇到的每個凸面的曲率半徑為正，而每個凹面的曲率半徑為負。半徑為正，而每個凹面的曲率半徑為負。22211101),(yxRRyx22222202),(yxRRyx22211yxRR22222yxRR21221102221110111),(RyxRyxRRyx22222202222220211

15、),(RyxRyxRRyx1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用2222221122222222112112xyxyRRxyxyRR 僅考慮傍軸光，僅考慮傍軸光，(x2+y2)足夠小足夠小2201211,2xyx yRR 2122110111),(RyxRyx2222220211),(RyxRyx厚度函數(shù)厚度函數(shù)1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用1.3 1.3 透鏡的復振幅透過率透鏡的復振幅透過率根據(jù)厚度函數(shù)的表達式，可得到在傍軸近似下，根據(jù)厚度函數(shù)的表達式，可得到在傍軸近似下，光波通過透鏡時在光波通過透鏡時在(x,y)點發(fā)生的

16、位相延遲點發(fā)生的位相延遲 0,expexp1,ltx yjkjk nx y2201211,2xyx yRR 2201211,expexp12lxytx yjknjk nRR121111nfRR(n為透鏡材料的折射率為透鏡材料的折射率)1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用220,expexp2lktx yjknjxyf常數(shù)因子常數(shù)因子透鏡位相因子透鏡位相因子2201211,expexp12lxytx yjknjk nRR121111nfRR以上推導的關系適用于各種形式的薄透鏡，以上推導的關系適用于各種形式的薄透鏡，而且是在傍軸近似條件下推導出來的。而且是在傍軸近似條件下推導出來的。透鏡

17、相位變換函數(shù)：透鏡相位變換函數(shù)： 在 分 析在 分 析時，可忽略時，可忽略常數(shù)和常相常數(shù)和常相位因子。位因子。220,expexp2lktx yjknjxyf220,expexp,2llilUx yktx yjk ddjxyUx yf忽略了常復數(shù)因子后，兩者相同。忽略了常復數(shù)因子后，兩者相同。由定義得到由定義得到由厚度函數(shù)和由厚度函數(shù)和),(jexp),(yxyxtl得到得到比較兩種方法得到的復振幅透過率比較兩種方法得到的復振幅透過率1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用透鏡的作用：透鏡的作用： 將入射平面波入射平面波變換為會聚（發(fā)會聚（發(fā)

18、散）球面波散）球面波 ，如下圖所示。 理解透鏡相位變換的物理意義，可通過考察理解透鏡相位變換的物理意義，可通過考察透鏡對垂直入射的單位振幅平面波的效應，來理透鏡對垂直入射的單位振幅平面波的效應，來理解透鏡相位變換的物理意義。解透鏡相位變換的物理意義。1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用2202jexp)jexp(1),(yxfkknyxUl第一項是常數(shù)相位延遲，第一項是常數(shù)相位延遲，第二項可理解為球面波的二次曲面近似。第二項可理解為球面波的二次曲面近似。1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用入射平面波變換為球面波，這正是由于透鏡具入射平面波變換為球面波，這正是由于透鏡具有有

19、的位相因子，能夠?qū)θ肷洳ㄇ笆┘游幌嗾{(diào)制的位相因子，能夠?qū)θ肷洳ㄇ笆┘游幌嗾{(diào)制的結果。的結果。fyxk2jexp222202jexp)jexp(1),(yxfkknyxUl1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用1）球面透鏡將平面波變換成球面波的結論，在很）球面透鏡將平面波變換成球面波的結論，在很大程度上依賴于大程度上依賴于傍軸傍軸近似。若在非傍軸近似條件近似。若在非傍軸近似條件下，即使透鏡表面是理想球面，透射光波也將偏下，即使透鏡表面是理想球面，透射光波也將偏離理想球面波，即透鏡產(chǎn)生波像差。事實上，常離理想球面波，即透鏡產(chǎn)生波像差。事實上，常常把透鏡表面磨成非球面形式，以減少出射波前常把

20、透鏡表面磨成非球面形式，以減少出射波前對球面的偏離，從而對球面的偏離，從而“校正透鏡的像差。校正透鏡的像差。”2）實際透鏡總是有大小的，即存在一個有限大小）實際透鏡總是有大小的，即存在一個有限大小的孔徑。引入光瞳函數(shù)的孔徑。引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限孔來表示透鏡的有限孔徑，即徑，即1,0P x y透鏡孔徑內(nèi)其他1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用22,exp,2lktx yjxyP x yf其中，其中，22exp2kjxyf表示透鏡對入射波前的位相調(diào)制；表示透鏡對入射波前的位相調(diào)制；P ( x, y ) 表示透鏡對于入射波前大小范圍的限制。表示透鏡對于入射波前大小范圍的

21、限制。于是透鏡的復振幅透過率可以完整的表示為：于是透鏡的復振幅透過率可以完整的表示為：透鏡的相位變換作用，是由透鏡本身的性質(zhì)決定。透鏡的相位變換作用，是由透鏡本身的性質(zhì)決定。1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用透過率的第二種推導方法：（前面已經(jīng)有了）透過率的第二種推導方法：（前面已經(jīng)有了）1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 回顧一下：利用透鏡實現(xiàn)夫瑯和費衍射，可以在透回顧一下：利用透鏡實現(xiàn)夫瑯和費衍射，可以在透鏡的焦平面上得到入射場的空間頻譜，即實現(xiàn)傅里葉鏡的焦平面上得到入射場的空間頻譜，即實現(xiàn)傅里葉變換的運算。變換的運算

22、。 因此，會聚透鏡除具有成像性質(zhì)外，另一個最突因此，會聚透鏡除具有成像性質(zhì)外，另一個最突出和最有用的性質(zhì)就是它能夠進行二維出和最有用的性質(zhì)就是它能夠進行二維FTFT。正因如。正因如此，傅里葉分析方法才得以用于光學。此，傅里葉分析方法才得以用于光學。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 透鏡為什么具有這種功能呢？透鏡為什么具有這種功能呢？* * * * 根本原因在于它具有能對入射波前施加位相調(diào)根本原因在于它具有能對入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說是透鏡的二次位相因子在起作制的功能，或者說是透鏡的二次位相因子在起作用；然而出現(xiàn)用；然而出現(xiàn)二次位相因子的原因是透鏡的厚度二次位相因子的

23、原因是透鏡的厚度函數(shù)。函數(shù)。下面將具體分析一下這種作用發(fā)生的具體過程，下面將具體分析一下這種作用發(fā)生的具體過程，并深入討論透鏡實現(xiàn)傅里葉變換的一些性質(zhì)。并深入討論透鏡實現(xiàn)傅里葉變換的一些性質(zhì)。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2.1 物體放置在透鏡前物體放置在透鏡前d 處處 透鏡后焦面上的場是透鏡前端場透鏡后焦面上的場是透鏡前端場U1(x,y)的傅里葉的傅里葉變換變換(空間頻譜空間頻譜)；根據(jù)透鏡的位相調(diào)制功能根據(jù)透鏡的位相調(diào)制功能，透鏡后，透鏡后端場端場U2(x,y)為為:U1U2U0Uf物物體體的的透透射射光光場場透透鏡鏡前

24、前端端場場透透鏡鏡后后端端場場后后焦焦面面上上的的場場2012-3-312 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2221,exp2kUx yUx yjxyf從透鏡后端到后焦面光的傳播屬于菲涅耳衍射，從透鏡后端到后焦面光的傳播屬于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的場利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的場U (x ,y )為：為：221,expexp2fffffkUxyjkfjxyjff2222,expexp2ffkUx yjxyjxxyydxdyff 透鏡后端場透鏡后端場U2(x,y)為為:將將U2(x,y)代入代入:000020200022)(2exp)(2exp ),()(2ex

25、p)exp(),(dydxyyxxzjyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxU 221,expexp2fffffkUxyjkfjxyjff2222,expexp2ffkUx yjxyjxxyydxdyff 菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上的場分布為后焦面上的場分布為22112,expexp,exp2fffffffkUxyjkfjxyUx yjxxyydxdyjfff 221,1expexp,2ffxxxyffffffkjkfjxyUx yjffF焦面場是透鏡前端場的傅里葉變換焦面場是透鏡前

26、端場的傅里葉變換(空間頻譜空間頻譜)。 ),(F)(2jexp)jexp(j1),(122yxUyxfkkffyxUffyff 2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)如上圖所示，距離透鏡前端有一物體，其透過率為如上圖所示，距離透鏡前端有一物體，其透過率為t(x0,y0)。若用振幅為。若用振幅為A的平面波垂直照明物體，則的平面波垂直照明物體，則物體的透射光場為：物體的透射光場為：00000,UxyA t xyU1U2U0Uf2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)根據(jù)角譜理論，透鏡前端場的角譜為：根據(jù)角譜理論，透鏡前端場的角譜為：1000,xyUx yUxyH ffFF22

27、,expxyxyHffjd ff則有：則有：2200,expexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyt xyHffjffF2222000,expexpexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyjdffUxyjffF22exp1,2ffffxyAkdjxyTjfffffH是費涅耳衍射在頻是費涅耳衍射在頻域中的傳遞函數(shù)域中的傳遞函數(shù),并并略去常量位相延遲。略去常量位相延遲。注意：注意：Uf與與t 的聯(lián)系的聯(lián)系 ),(F)(2jexp)jexp(j1),(122yxUyxfkkffyxUffyff 菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)是菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)是 22,expexpxyxyHffjkzjz f

28、ffyffxffyfx ,2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)（二次位相彎曲因子）（二次位相彎曲因子）其中，其中，T( )為透過率函數(shù)為透過率函數(shù)t( )的頻譜。的頻譜。結論：透鏡后焦面上的光場分布正比于物體的傅里結論：透鏡后焦面上的光場分布正比于物體的傅里葉變換。葉變換。fyffxffyfx,其頻率取值與后焦面坐標的關系為其頻率取值與后焦面坐標的關系為一般情況下一般情況下,FT前面仍有二次相位因子前面仍有二次相位因子,不是準確的不是準確的FT。fyfxTyxfdfkfAyxUfffffff,)(12jexpj),(222 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上后

29、焦面上(xf,xy)點的振幅和位相正比于物體頻譜所包點的振幅和位相正比于物體頻譜所包含的頻率分量（含的頻率分量（fx=xf / f， fy=yf / f ）的振幅和位相。）的振幅和位相。fyfxTyxfdfkfAyxUfffffff,)(12jexpj),(222 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 上式具有普遍意義，它證明在物體透射場的菲涅上式具有普遍意義，它證明在物體透射場的菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)放置一透鏡，在透鏡的后焦面上就可以耳衍射區(qū)內(nèi)放置一透鏡，在透鏡的后焦面上就可以得到該透射場的傅里葉變換得到該透射場的傅里葉變換(空間頻譜空間頻譜)。物體的功率譜物體的功率譜22,fffffxy

30、AIxyTfff對應的強度分布為對應的強度分布為一般情況下，一般情況下，F(xiàn)T前面仍有二次相位因子，不是準確的前面仍有二次相位因子，不是準確的FT，但不影響強度分布（通常觀察的是強度分布）。，但不影響強度分布（通常觀察的是強度分布）。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 如果如果d 0，物體在透鏡前方，由于變換式前的，物體在透鏡前方，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜產(chǎn)生一個二次位相因子，使物體的頻譜產(chǎn)生一個位相彎曲位相彎曲。（二次位相彎曲因子）（二次位相彎曲因子） 討論討論 d（物體到透鏡距離）物體到透鏡距離）的三種情況：的三種情況：fyfxTyxfdfkfAyxUffff

31、fff,)(12jexpj),(22df2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 如果如果d =d0= f，物體在透，物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面的光場分布消失，后焦面的光場分布是物體準確的傅里葉變換。是物體準確的傅里葉變換。這正是通常所用的光路。這正是通常所用的光路。 用單色平面波照明物體，物體置于透鏡的前焦用單色平面波照明物體，物體置于透鏡的前焦面，則在透鏡的后焦面上得到物體的準確的傅里葉面，則在透鏡的后焦面上得到物體的準確的傅里葉變換。透鏡的后焦面稱為頻譜面。變換。透鏡的后焦面稱為頻譜面。物理解釋后焦面上光場分布與頻譜的對應關系物理解釋后焦面

32、上光場分布與頻譜的對應關系物分布物分布t (x0,y0)是一個復雜結構是一個復雜結構, 含有多種空頻成分含有多種空頻成分.它它調(diào)制入射的均勻平面波調(diào)制入射的均勻平面波,使透射光場攜帶物體的信息使透射光場攜帶物體的信息.透射光場的角譜代表物函數(shù)的頻譜透射光場的角譜代表物函數(shù)的頻譜,即含有向不同方即含有向不同方向衍射的許多平面波向衍射的許多平面波. 其中向其中向 角方向衍射的平面波角方向衍射的平面波分量經(jīng)過透鏡后聚焦到分量經(jīng)過透鏡后聚焦到(0, yf)點點.2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)U0yfzf y0(0,yf )后焦面后焦面輸出面輸出面Uf2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透

33、鏡的傅里葉變換性質(zhì)U0yfzf y0(0,yf )后焦面后焦面輸出面輸出面Uf此平面波分量的空頻此平面波分量的空頻 fy = cosb b = yf / f由幾何關系易見由幾何關系易見: yf = f tan f sin = f cosb b (傍軸近似傍軸近似)方向余弦方向余弦后焦面上后焦面上(0, yf)點的復振幅點的復振幅,對應空頻為對應空頻為 (fx =0, fy = yf / f ) 的平面波分量的振幅和位相的平面波分量的振幅和位相.推廣之推廣之, 任意任意 ( xf , yf )點的復振幅點的復振幅, 對應空頻為對應空頻為 ( fx =xf / f , fy = yf / f )

34、的平面波分量的振幅的平面波分量的振幅和位相和位相.2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 透鏡的后焦面是物體的頻譜面透鏡的后焦面是物體的頻譜面.透鏡的后焦面是輸入物體的頻譜面透鏡的后焦面是輸入物體的頻譜面透鏡后焦面上不同位置的點透鏡后焦面上不同位置的點, ,對應物體衍射光場對應物體衍射光場的不同空間頻率分量的不同空間頻率分量fx0 xffx1fx2fx2 fx12 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的后焦面是輸入物體的頻譜面透鏡的后焦面是輸入物體的頻譜面頻譜點出現(xiàn)在與空間條紋結構垂直的方向上頻譜點出現(xiàn)在與空間條紋結構垂直的方向上. .F.T.F.T.2 2、透鏡的傅

35、里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)變換的尺度問題變換的尺度問題對應于物的對應于物的同一空頻分量同一空頻分量, 變換的尺度隨波長和焦變換的尺度隨波長和焦距而變距而變f1 2 2 1 1f2 f1f2xf = f fx, yf = f fy2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 如果如果d = 0，物體在透，物體在透鏡前端面，由于變換式鏡前端面，由于變換式前的二次位相因子，使前的二次位相因子，使物體的頻譜也產(chǎn)生一個物體的頻譜也產(chǎn)生一個位相彎曲。位相彎曲。fyfxTyxfdfkfAyxUfffffff,)(12jexpj),(222 2、

36、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2.2 2.2 物體放置在透鏡后方物體放置在透鏡后方沿光波傳播方向逐面沿光波傳播方向逐面進行計算，最終可獲進行計算，最終可獲得透鏡后焦面上的場得透鏡后焦面上的場分布分布.暫不考慮透鏡的有限孔徑暫不考慮透鏡的有限孔徑222jexp,yxfkAyxAtyxUll透鏡的透射光場透鏡的透射光場幾何光學近似下，會聚球面波投射到物平面上的場分布幾何光學近似下，會聚球面波投射到物平面上的場分布20200002jexp,yxdkdAfyxU物體的透射光場物體的透射光場 00000000,yxtyxUyxU2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)222,exp

37、,2fffffffxyAfkUxyjxyTj dddd222,fffffxyAfIxyTddd對應的強度分布為對應的強度分布為物體的功率譜物體的功率譜)(2jexp),(F)(2jexpj1),(202000022yxdkyxUyxdkdyxUfffff 00202000000000,2jexp,yxtyxdkdAfyxtyxUyxU物體的透射光場物體的透射光場根據(jù)菲涅耳衍射公式，透鏡后焦面上的場分布根據(jù)菲涅耳衍射公式，透鏡后焦面上的場分布 當當 d = f 時，結果與物在透鏡前相同，即物從兩面緊時，結果與物在透鏡前相同，即物從兩面緊貼透鏡都是等價的。貼透鏡都是等價的。 2 2、透鏡的傅里葉變

38、換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)222,exp,2fffffffxyAfkUxyjxyTj ddddfyfxTyxfdfkfAyxUfffffff,)(12jexpj),(220 d2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)注意：注意：與前兩種情況不同，這里頻率取值與后焦面上坐標與前兩種情況不同，這里頻率取值與后焦面上坐標的關系是的關系是yfxfdfydfx，對于給定頻率對于給定頻率( fx, fy ), 隨著隨著 d 的增大，的增大， xf 和和yf的絕對的絕對值增大；通過改變值增大；通過改變d，可以調(diào)整物體傅里葉變換的空，可以調(diào)整物體傅里葉變換的空間尺寸大小。這種間尺寸大小。這種靈活性

39、，為相干光靈活性，為相干光空間濾波的應用帶空間濾波的應用帶來很大方便。來很大方便。前兩種情況：前兩種情況：xf = f fx, yf = f fy2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結：總結： 在單色平面波照明下，無論物體位于透鏡前方、在單色平面波照明下，無論物體位于透鏡前方、后方還是緊靠透鏡，在透鏡的后焦面上都可以得到后方還是緊靠透鏡，在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；對于這樣的照明方式，透鏡后焦面物體的功率譜；對于這樣的照明方式，透鏡后焦面常稱為傅里葉變換平面或（空間）頻譜面。常稱為傅里葉變換平面或（空間）頻譜面。 如果采用球面波照明時，透鏡還能進行傅里葉變?nèi)绻捎们?/p>

40、面波照明時，透鏡還能進行傅里葉變化嗎？那頻譜面還是焦平面嗎化嗎？那頻譜面還是焦平面嗎? ? Answer:Answer: 透鏡還能起傅里葉變換作用，但是頻譜面不再是焦透鏡還能起傅里葉變換作用，但是頻譜面不再是焦平面，而是點光源的像面位置。具體推導過程可參平面，而是點光源的像面位置。具體推導過程可參考有關參考書，這里不再贅述?？加嘘P參考書，這里不再贅述。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)復習題復習題(小結小結) ：1、什么情況下得到準確的傅里葉變換？、什么情況下得到準確的傅里葉變換？（物體在什么位置）（物體在什么位置）（二次位相彎曲因子）（二次位相彎曲因子）fyfxTyxfdfk

41、fAyxUfffffff,)(12jexpj),(22物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面的光場分布是物體準確的傅里葉變換。的光場分布是物體準確的傅里葉變換。在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；透鏡在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；透鏡后焦面常稱為傅里葉變換平面或（空間）頻譜面。后焦面常稱為傅里葉變換平面或（空間）頻譜面。物體在透鏡前：物體在透鏡前：2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)物體在透鏡后：物體在透鏡后：（同樣存在二次位相彎曲因子）（同樣存在二次位相彎曲因子）對于給定頻率對于給定頻率( fx, fy ), 隨著隨著

42、 d 的增大，的增大， xf 和和yf的絕對的絕對值增大；通過改變值增大；通過改變d，可以調(diào)整物體傅里葉變換的空，可以調(diào)整物體傅里葉變換的空間尺寸大小。間尺寸大小。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2.3 2.3 透鏡孔徑的影響透鏡孔徑的影響引入光瞳函數(shù)引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限孔徑，來表示透鏡的有限孔徑，1,0P x y透鏡孔徑內(nèi)其他透鏡的復振幅透過率可以完整地表示為：透鏡的復振幅透過率可以完整地表示為：22,exp,2lktx yjxyP x yf下面將由簡而繁地討論透鏡孔徑的影響。下面將由簡而繁地討論透鏡孔徑的影響。有效物體有效物體則后焦面上的光場分布為：則

43、后焦面上的光場分布為：2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)1 1、物體緊靠透鏡放置、物體緊靠透鏡放置)(2jexp),(),(),(22yxfk-yxPyxAtyxUl考慮透鏡的有限孔徑，其透射場分布為考慮透鏡的有限孔徑，其透射場分布為fyffxfffffffyfxyxPyxtyxfkfAyxU,22),(),(FT)(2jexpj),( 當透鏡孔徑大于物體尺度時，當透鏡孔徑大于物體尺度時，P(x,y)對實際物對實際物體不造成限制，可從公式中略去。體不造成限制，可從公式中略去。 當透鏡孔徑小于物體尺度時，后焦面上的光場當透鏡孔徑小于物體尺度時，后焦面上的光場分布只是正比于一個有效

44、物體的傅里葉變換。分布只是正比于一個有效物體的傅里葉變換。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),ffxyP x yPffF其中，其中，,xP x yrectl以一維物函數(shù)以一維物函數(shù) t(x) 為例，假定透鏡孔徑是寬度為為例，假定透鏡孔徑是寬度為 l 的矩形函數(shù)，即的矩形函數(shù)，即fyfxPfyfxTyxfkfAyxUfffffffff,)(2jexpj),(22flxlfxPffsinc其傅里葉變換式為其傅里葉變換式為2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)卷積的效果是使物體頻譜圖像產(chǎn)生某種程度的模糊，卷積的效果是使物體頻譜圖像產(chǎn)生某種程度的模糊，或者說失真。透鏡孔徑越

45、小，這種模糊越嚴重。或者說失真。透鏡孔徑越小，這種模糊越嚴重。下圖是物體頻譜與光瞳函數(shù)傅里葉變換卷積的結果。下圖是物體頻譜與光瞳函數(shù)傅里葉變換卷積的結果。平面波平面波2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2 2、 物體放置在透鏡后方物體放置在透鏡后方它是透鏡孔徑沿會聚光錐在物平面上的投影，可它是透鏡孔徑沿會聚光錐在物平面上的投影，可用用投影光瞳函數(shù)投影光瞳函數(shù)表示表示dfydfxP00,透鏡的圓形孔徑（直徑透鏡的圓形孔徑（直徑l）限制的出射會聚球面波限制的出射會聚球面波照明的圓形區(qū)域的直徑照明的圓形區(qū)域的直徑=ld/f物體的透物體的透射光場為射光場為),(,)(2j-exp),()

46、,(),(0000202000yxtdfydfxPyxdkdAfyxtyxUyxU物體的透射光場物體的透射光場222,exp,*,2fffffffffxyxyAfkUxyjxyTPj dddddd后焦面上的復振幅分布為后焦面上的復振幅分布為),(,)(2j-exp),(000020200yxtdfydfxPyxdkdAfyxU2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì))(2jexp),(F)(2jexpj1),(202000022yxdkyxUyxdkdyxUfffff2012-4-92 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)00,ffxyffPP xyddddF其中，其中，*

47、 若物體被完全照明，則投影光瞳函數(shù)可從式中若物體被完全照明，則投影光瞳函數(shù)可從式中略去；否則，后焦面上的場分布只是部分物體的略去；否則，后焦面上的場分布只是部分物體的傅里葉變換，此時頻譜圖像產(chǎn)生模糊。傅里葉變換，此時頻譜圖像產(chǎn)生模糊。222,exp,*,2fffffffffxyxyAfkUxyjxyTPj dddddd焦平面上的復振幅分布為焦平面上的復振幅分布為fyfxPfyfxTyxfkfAyxUfffffffff,)(2jexpj),(221 1、物體緊靠透鏡放置、物體緊靠透鏡放置當透鏡孔徑大于物體尺度時，當透鏡孔徑大于物體尺度時，P(x,y)對實際物體不造對實際物體不造成限制，可從公式中

48、略去。成限制，可從公式中略去。當透鏡孔徑小于物體尺度時，后焦面上的光場分布當透鏡孔徑小于物體尺度時，后焦面上的光場分布只是正比于一個有效物體的傅里葉變換。只是正比于一個有效物體的傅里葉變換。* 若物體被完全照明，則投影光瞳函數(shù)可從式中若物體被完全照明，則投影光瞳函數(shù)可從式中略去；否則，后焦面上的場分布只是部分物體的略去；否則，后焦面上的場分布只是部分物體的傅里葉變換，此時頻譜圖像產(chǎn)生模糊。傅里葉變換，此時頻譜圖像產(chǎn)生模糊。2 2、 物體放置在透鏡后方物體放置在透鏡后方卷積的效果是使物體頻譜圖像產(chǎn)生某種程度的模糊卷積的效果是使物體頻譜圖像產(chǎn)生某種程度的模糊小結小結2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透

49、鏡的傅里葉變換性質(zhì)3 3、 物體放置在透鏡前方物體放置在透鏡前方回顧回顧漸暈漸暈：A物平面物平面B1B2B3M1M2M入射窗入射窗入射光瞳入射光瞳P1P2PP2P2P2P P P1P1P1這種軸外點光束被部分地攔掉的現(xiàn)象稱為光學系統(tǒng)的這種軸外點光束被部分地攔掉的現(xiàn)象稱為光學系統(tǒng)的軸外點光束的漸暈。軸外點光束的漸暈。2.3 2.3 透鏡孔徑的影響透鏡孔徑的影響2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)通常物體的距離通常物體的距離d0相對于透鏡孔徑都不太大，仍采用相對于透鏡孔徑都不太大，仍采用光學近似。光學近似。后焦面上后焦面上(xf,yf)點的光場點的光場應是物體上所有點所發(fā)應是物體上所

50、有點所發(fā)出的方向余弦出的方向余弦 ( cos xf /f , cosb b yf / f )的光線的光線經(jīng)透鏡會聚后疊加而成經(jīng)透鏡會聚后疊加而成的。的。但物平面上只有一個圓形區(qū)域所發(fā)出的光線能夠到但物平面上只有一個圓形區(qū)域所發(fā)出的光線能夠到達達(xf , yf)點，沿點，沿(xf , yf)點與透鏡中心連線方向，把透點與透鏡中心連線方向，把透鏡孔徑投影到物平面上就可確定這個圓形區(qū)域。鏡孔徑投影到物平面上就可確定這個圓形區(qū)域。f物平面物平面(xf , yf)y0d02 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)把透鏡孔徑投影到物平面上就可確定這個把透鏡孔徑投影到物平面上就可確定這個圓形區(qū)域圓

51、形區(qū)域。其中心位于其中心位于ffyfdyxfdx0000,投影光瞳函數(shù)投影光瞳函數(shù)(圓形區(qū)域圓形區(qū)域)：ffyfdyxfdxP0000,此處投影光瞳函數(shù)的中心位置是隨此處投影光瞳函數(shù)的中心位置是隨(xf , yf)點變化的。點變化的。ffyfdyxfdxPyxt000000,),(有效物體函數(shù)：有效物體函數(shù)：f物平面物平面(xf , yf)y0d02 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上的復振幅分布正比于有效物體函數(shù)的傅里后焦面上的復振幅分布正比于有效物體函數(shù)的傅里葉變換，即葉變換，即ffyfdyxfdxPyxt000000,),(有效物體函數(shù)：有效物體函數(shù)：fffffffy

52、fdyxfdxPyxtyxfdfkfAyxU000000220,),(F)(12jexpj),(2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)以波矢量在以波矢量在y0z平面內(nèi)傳播的平面波分量受透鏡孔徑平面內(nèi)傳播的平面波分量受透鏡孔徑限制的情況來說明對于頻譜面光場的影響。限制的情況來說明對于頻譜面光場的影響。如圖所示，對于如圖所示，對于 0方向，方向，透鏡孔徑投影能完全覆蓋透鏡孔徑投影能完全覆蓋物體的極限情況物體的極限情況.0002dLlf002dLl 相應空間頻率相應空間頻率假設圓形物體的直徑為假設圓形物體的直徑為L透鏡直徑為透鏡直徑為l截止頻率截止頻率(1) 0 部分的空間頻率，相應方向

53、的光線都可以部分的空間頻率，相應方向的光線都可以全部成像在焦平面上全部成像在焦平面上( 1/L, )(sinc41)(sinc41sinc)0 ,(02022202ffLffLLfIfTxxxx將將 代入代入,并取并取 =0.6m mm:q =f)(0dfxffx例題)()(sinc41)()(sinc41)(sinc)(000200020220dffdfxLdffdfxLdfxLIxIffff透鏡透鏡: D = 5cm, f = 80cm, 物體：物體：d0=20cm，LyLxxfyxt0000rectrect2cos121),(L=1cm, f0=100周周/cm)(0dfxffx將將 代

54、入代入,并取并取 =0.6m mm:f0=100, (q-d0) =3.6 10-30.36xf03.6 10-3-3.6 10-3-0.36I03 3、光學頻譜分析系統(tǒng)、光學頻譜分析系統(tǒng)光學頻譜分析的基本原理就是利用透鏡的傅里葉變光學頻譜分析的基本原理就是利用透鏡的傅里葉變換性質(zhì)來產(chǎn)生物體的空間頻譜，然后對它進行測量、換性質(zhì)來產(chǎn)生物體的空間頻譜，然后對它進行測量、分析來研究物體的空間結構。分析來研究物體的空間結構。二維光學頻譜分析系統(tǒng)二維光學頻譜分析系統(tǒng)上圖所示為二維光學頻譜分析系統(tǒng)的光路。上圖所示為二維光學頻譜分析系統(tǒng)的光路。S為相為相干點光源，干點光源，L1為準直透鏡，為準直透鏡，L2為

55、傅里葉變換透鏡。為傅里葉變換透鏡。P1平面（平面（L2前焦面）放置輸入物體，其復振幅透過前焦面）放置輸入物體，其復振幅透過率為率為t(x1,y1)。在。在P2平面（平面（L2后焦面）上，輸出光場后焦面）上，輸出光場分布正比于物體的空間頻譜，即分布正比于物體的空間頻譜，即 22112121112,expU xykt x yjx xy ydx dyf 22,xykTff在在P2平面（平面（L2后焦面）上，輸出光場分布正比于物后焦面）上，輸出光場分布正比于物體的空間頻譜，即體的空間頻譜，即 3 3、光學頻譜分析系統(tǒng)、光學頻譜分析系統(tǒng)強度記錄得到物體的功率譜為強度記錄得到物體的功率譜為 222222,

56、xyI xyk Tff光學頻譜分析可用于微小物體的形狀尺寸檢測、光學頻譜分析可用于微小物體的形狀尺寸檢測、質(zhì)量檢測、圖像分析等領域。質(zhì)量檢測、圖像分析等領域。 本章小結本章小結1 1）透鏡具有成像和傅里葉變換的功能，其根本原因在）透鏡具有成像和傅里葉變換的功能，其根本原因在于透鏡具有對入射波前進行位相調(diào)制的功能；而透鏡之于透鏡具有對入射波前進行位相調(diào)制的功能；而透鏡之所以具有這種位相調(diào)制的功能就在于透鏡本身存在的厚所以具有這種位相調(diào)制的功能就在于透鏡本身存在的厚度變化。度變化。2 2）透鏡具有傅里葉變換的功能）透鏡具有傅里葉變換的功能 當采用平面波垂直照明時，總可以在透鏡后焦面上得當采用平面波

57、垂直照明時，總可以在透鏡后焦面上得到物體的功率譜，無論物體放置在透鏡前方、后方還是到物體的功率譜，無論物體放置在透鏡前方、后方還是緊靠透鏡；緊靠透鏡； 但當用球面波照明時，頻譜面不在透鏡焦平面上，而但當用球面波照明時，頻譜面不在透鏡焦平面上，而是點光源的成像位置。是點光源的成像位置。3 3）透鏡有限大小的孔徑對傅里葉變換有很大的影響，）透鏡有限大小的孔徑對傅里葉變換有很大的影響，給傅里葉變換結果帶來誤差，頻率越高，誤差越大。透給傅里葉變換結果帶來誤差，頻率越高，誤差越大。透鏡相當于一個低通濾波器。鏡相當于一個低通濾波器。透鏡的透鏡的F.T.性質(zhì)性質(zhì)fyffxffyfx,透鏡的復振透鏡的復振幅透

58、過率：幅透過率：變換的空頻坐標與后焦面變換的空頻坐標與后焦面空間坐標空間坐標 xf, yf 的關系：的關系：)(2exp),(22yxfkjyxt物體放在焦距為物體放在焦距為 f 的透鏡的前焦面，的透鏡的前焦面，用波長為用波長為的單色平面波垂直入射的單色平面波垂直入射照明，在透鏡后焦面上得到：照明，在透鏡后焦面上得到：物函數(shù)物函數(shù)t(x0,y0)的準的準確的傅里葉變換確的傅里葉變換fyyffxxfyxffffffTcyxU,),(),(數(shù)學表達式：數(shù)學表達式：菲涅耳衍射的菲涅耳衍射的F.T.表達式（空域）表達式（空域）)(exp)exp(22yxffzjjkz)(2exp)exp(),(220

59、yxzkjjkzzayxU會聚球面波的會聚球面波的復振幅表達式復振幅表達式fyyffxxfyxffffffTcyxU,),(),(zyfzxfyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxUyx,)(2exp),( )(2exp)exp(),(202000022)(2exp),(),(22yxfkjyxPyxt薄透鏡以上述形式對薄透鏡以上述形式對Ul(x,y)進行相位變換的進行相位變換的條件條件是是 。只要傍軸條件滿足只要傍軸條件滿足有限透鏡的復振幅透過率（相位變換因子）有限透鏡的復振幅透過率（相位變換因子）任何衍射屏任何衍射屏, ,若其復振幅透過率可寫為若其復振幅透過率可寫為的形式的形式, ,都可

60、看成一個焦距為都可看成一個焦距為 f 的透鏡的透鏡. .fyxjk2exp22例題：廣義透鏡例題：廣義透鏡屏的復振幅透過率屏的復振幅透過率: : 問問: 1. : 1. 是否類似透鏡是否類似透鏡? 2. ? 2. 焦距焦距? 3. ? 3. 成像的波成像的波長特性長特性? ?lrarrtyxtcirc)cos(2121)(),(2解解:lyxyxjayxjalreelrarrtyxtjarjar2222222circ)(exp41)(exp4121circ22121circ)cos(2121)(),(22#設設a0, 分別考察圓括號中的三項分別考察圓括號中的三項:akyxjkyxja22exp