初中數(shù)學(xué)平面幾何軸對(duì)稱變換習(xí)題教案

1、幾何變換-軸對(duì)稱變換提高題【知識(shí)提要】 1. 如果已知平面上直線和一點(diǎn)，自點(diǎn)作的垂線，垂足設(shè)為，在直線上、的另一側(cè)取點(diǎn)，使得，如圖所示，我們稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的軸對(duì)稱點(diǎn)，或者說點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線為軸對(duì)稱，其中稱為對(duì)稱軸.2. 圖形的每一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)組成的圖形，稱為關(guān)于軸的軸對(duì)稱圖形.把一個(gè)圖形變?yōu)殛P(guān)于直線的軸對(duì)稱圖形的變換，叫作軸對(duì)稱變換(或反射變換)，直線稱為對(duì)稱軸(反射軸).3. 我們?nèi)菀紫氲?，一條線段關(guān)于它的垂直平分線為軸對(duì)稱圖形，一個(gè)角關(guān)于它的角平分線為軸對(duì)稱圖形.在幾何證題或解題時(shí)，如果圖形是軸對(duì)稱圖形，則經(jīng)常要添加對(duì)稱軸以便充分利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)；如果圖形不是軸對(duì)稱圖形，往往可選

2、擇某直線為對(duì)稱軸，補(bǔ)為軸對(duì)稱圖形，或?qū)?duì)稱軸一側(cè)的圖形反射到該直線的另一側(cè)，以實(shí)現(xiàn)條件的相對(duì)集中.4. 在幾何問題中有兩種常用而比較普遍的對(duì)稱圖形，它們是軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形.利用對(duì)稱性解題是解決幾何問題的有效方法之一，本講重點(diǎn)講解軸對(duì)稱圖形.(1) 軸對(duì)稱變換：把一個(gè)圖形變?yōu)殛P(guān)于某一直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，這種變換稱為軸對(duì)稱變換.在幾何圖形中，如果是軸對(duì)稱圖形，則常添加對(duì)稱軸，以充分利用對(duì)稱的性質(zhì).如等腰三角形、等腰梯形的對(duì)稱軸可以應(yīng)用三線合一等；對(duì)于正方形、菱形，經(jīng)常添加對(duì)角線等.(2) 中心對(duì)稱變換：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)按一定方向、一個(gè)角度旋轉(zhuǎn)而得到另一個(gè)圖形，這種變換稱為旋轉(zhuǎn)變

3、換.特殊地，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，稱為中心對(duì)稱變換.平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，矩形、菱形、正方形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.在對(duì)稱變換下，可使某些相關(guān)元素相對(duì)集中，為充分運(yùn)用已知條件、轉(zhuǎn)化結(jié)論提供方便.【例題精講】 【例1】在中，由點(diǎn)向邊引高線，垂足落在上，如果，求證：.【解法1】如圖所示，以為對(duì)稱軸翻折到的位置，則在上，.在中，根據(jù)外角定理可知，所以，故.【解法2】以為對(duì)稱軸翻折到的位置，則，從而.進(jìn)而，而(由“翻折”的特點(diǎn)決定)，故.【解法3】回顧一下我們?cè)诘?0講中所學(xué)的知識(shí)，可知，即.注意到，故，即，亦即，故.【點(diǎn)評(píng)】題設(shè)中的給了我們太多的聯(lián)想！我們不妨回憶一下第4講、第5講、第10講，

4、看看是否還有其他解法(比如延長(zhǎng)至，使).【例2】如圖所示，在四邊形中，求證：.【解析】注意到，這提示我們可以進(jìn)行對(duì)稱變換以“創(chuàng)造”出角.以為對(duì)稱軸將翻折到的位置，連接.則，故為等邊三角形.從而，等號(hào)成立時(shí)平分.【變式】(第3屆英國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題) 如圖所示，在中，、為的兩條高，求證：.【解法1】將改寫為，可形成下面的思路：的平分線記為，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，因?yàn)?，而，?【解法2】我們用“分析法”尋求思路：.注意到，故.而由、.【例3】如圖所示，在四邊形中，求四邊形的面積.【解析】直接計(jì)算四邊形的面積有困難，注意到，我們以的垂直平分線為對(duì)稱軸，作的關(guān)于的軸對(duì)稱

5、圖形，從而可以將角度集中.，所以，因此，是直角三角形.由勾股定理求得.在中，.而.由勾股定理的逆定理可知.【變式】在凸四邊形中，,.如果厘米，求四邊形的面積.【解析】如圖所示，以邊上的中垂線為對(duì)稱軸作的軸對(duì)稱圖形，則，故、共線.又因?yàn)?，由可知，而，?因此，是等腰直角三角形.故.【例4】(1993年圣彼得堡數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題) 已知點(diǎn)是四邊形的邊的中點(diǎn)，且,證明：.【解析】顯然，要證題設(shè)的不等式，應(yīng)當(dāng)把，三條線段首尾連接成一條折線，然后再與線段比較.要實(shí)現(xiàn)這一構(gòu)想，折線之首端應(yīng)與點(diǎn)重合，尾端應(yīng)與點(diǎn)重合，這可由軸對(duì)稱來實(shí)現(xiàn).以為對(duì)稱軸，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，則，即，由此.再以為對(duì)稱軸，作點(diǎn)

6、關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，則，即，由此.而，所以.注意到，因此，而，所以是等邊三角形，.由于兩點(diǎn)之間以直線段為最短，所以，即.【變式】(2001年波羅的海地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題) 設(shè)是凸四邊形的邊的中點(diǎn)，求證：.【解析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，則，且，.而，則，故.【例5】(2001年波羅的海地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題) 如圖所示，在中，的平分線交于點(diǎn)，已知，且，求的各個(gè)內(nèi)角.【解析】是角平分線提示我們可以進(jìn)行“翻折”.將點(diǎn)翻折到的位置，且在的延長(zhǎng)線上，且，.延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，則，故，從而，則，故為等邊三角形.故，.【變式】如圖所示，已知在中，的平分線交于，求之長(zhǎng).【解法1】由于平

7、分，因此這就提供了以為軸進(jìn)行對(duì)稱變換的可能性.取的中點(diǎn)，連接，交于，易知與關(guān)于對(duì)稱，且.由于，所以.延長(zhǎng)至，使，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).顯然和關(guān)于對(duì)稱，且.由于是的中位線，所以，.因?yàn)椋?所以，.于是.【解法2】回顧一下我們學(xué)過的第9講例3之“變式2”：如圖所示，在中，平分且交于點(diǎn)，求證：.直接應(yīng)用此結(jié)論可得，即.下面的題目作為備用題：【備選1】如圖所示，在中，為三角形內(nèi)一點(diǎn)，求證：.【解析】由已知條件，考慮作直線于，并以為對(duì)稱軸將翻折至的位置，連接.由軸對(duì)稱的性質(zhì)有，.因?yàn)?，于是，即是正三角形，從而可得?再由三內(nèi)角之和為，即，整理后得.【備選2】如圖所示，在中，為的中點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，求的面

8、積與的面積的兩倍的和.【解析】將補(bǔ)成一個(gè)等邊三角形，并作的對(duì)稱三角形，可以發(fā)現(xiàn)等邊三角形的面積等于.作，其中點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，則為等邊三角形.作于點(diǎn)，并取點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則有.而，故，且相似比為.則.而()，故.【復(fù)習(xí)鞏固】 練習(xí)1. 如圖所示，在中，是邊上的高，點(diǎn)在內(nèi)部，求證：.【解析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接.因?yàn)?，是邊上的高，易?因?yàn)?，?練習(xí)2.(1997年羅馬尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題) 如圖所示，在四邊形中，求證：(1) ；(2) .【解析】(1) 以為對(duì)稱軸將翻折到的位置，則由可知在上，且，.將平移到的位置，則由可知在的延長(zhǎng)線上，且，因此是一個(gè)等腰梯形，所以，于是

9、.(2) 由(1)可得，即，而由及勾股定理可得，故.練習(xí)3. 在中，為內(nèi)部一點(diǎn)，求的度數(shù).【解析】容易求得，.的對(duì)稱軸為，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，故為等邊三角形，則平分，.故.練習(xí)4. 如圖所示，為邊上的一點(diǎn)，且，已知，試求的度數(shù).【解析】作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，則，如圖所示.取的中點(diǎn)，連接，則為等邊三角形，故，.又因?yàn)?，故，故平分，故點(diǎn)到直線、等距，從而是的外角平分線，所以. 別看悉尼奧運(yùn)會(huì)開著的時(shí)候很風(fēng)光，但賽事一結(jié)束，許多奧運(yùn)會(huì)的設(shè)施就將告別悉尼，以賽場(chǎng)座椅為例，比賽結(jié)束后，將有一半的座椅要遠(yuǎn)渡重洋，運(yùn)回法國(guó)。為了節(jié)約開支，本屆奧運(yùn)會(huì)有不少東西都是“借的”。據(jù)負(fù)責(zé)奧林匹克公園場(chǎng)館建

10、筑設(shè)計(jì)的官員介紹，本屆奧運(yùn)會(huì)不少場(chǎng)館是臨時(shí)的，比如排球館是娛樂中心，舉重館是會(huì)議中心，擊劍館則是展覽中心，羽毛球館竟是農(nóng)展館。這里面的觀眾席大多是臨時(shí)搭建的，由于澳洲根本沒那么多椅子，新生產(chǎn)又擔(dān)心在奧運(yùn)會(huì)后無法處置，因此精明的澳大利亞人想起了租借，這五六萬把椅子就是從遙遠(yuǎn)的法國(guó)租來的，賽后就將被拆下來運(yùn)回法國(guó)。臨時(shí)性的不僅是場(chǎng)館和座椅，就連奧林匹克公園里的所有的空調(diào)系統(tǒng)都是從美國(guó)租來的，賽后也都物歸原主。老家院里有幾棵核桃樹，每年春夏之交，長(zhǎng)得枝繁葉茂，一派欣欣向榮的景象。沒事的時(shí)候我就數(shù)樹上的花朵，看看今年到底能結(jié)多少核桃。數(shù)不勝數(shù)的花讓我心里暖暖的，今年核桃肯定能夠大豐收。我望著核桃樹，臉

11、上是絲毫掩飾不住的對(duì)豐收的渴盼表情。核桃剛成形的時(shí)節(jié)，鄰居家饞嘴的小孩經(jīng)常趁我們不注意的時(shí)候，用石塊、長(zhǎng)棍將我家伸出墻外的核桃樹一陣亂打。等我出門時(shí)，他們?cè)缫雅艿脽o影無蹤?？吹降厣洗蚵涞臉渲腿~子，我很心疼。畢竟果實(shí)還沒成熟不能入口?。≡倏纯幢淮騻暮颂覙?，有的樹枝被打斷了，歪歪斜斜地掉了下來；有的枝丫主干被打斷了，僅僅連著一點(diǎn)點(diǎn)樹皮；有的核桃皮被打爛了，慘不忍睹。我很痛心地嘆息道：“完了，今年的核桃肯定減產(chǎn)了！”站在一邊的父親卻笑嘻嘻地說：“這是好事啊，這是好事！”我弄不懂父親到底是什么意思。父親說：“等秋天收核桃的時(shí)候你就明白了。”語氣平和坦然，一點(diǎn)都沒有責(zé)備人家的意思。此后，經(jīng)常有不懂事

12、的小孩子光顧我家，趁我們不在家或者不注意的時(shí)候襲擊我家的核桃樹。我想出門攔阻時(shí)，總被父親勸?。骸坝芍麄儼?，實(shí)際上他們?cè)趲臀覀兊拿δ??！备赣H如此寬宏大量，我也不好再說什么了，眼睜睜地看著他們由著性子用石塊、棍子和我家的核桃樹親密接觸。快到秋天收核桃的時(shí)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)我家的核桃樹遍體鱗傷，幾乎沒有一根完整的樹枝。同時(shí)，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪的現(xiàn)象，被小孩子打過的核桃枝上的核桃比沒有打過的樹枝上結(jié)的核桃大多了，而且結(jié)的果實(shí)也比一般的多。核桃成熟后一嘗，果然受傷的核桃比沒受傷的核桃可口得多。這引起了我濃厚的興趣，便向父親請(qǐng)教其中的原因。父親解釋說：“核桃樹的脾性和一般的果樹不一樣，越是使它的枝丫受傷，它長(zhǎng)得越茂盛，果實(shí)越香，而且第二年比第一年更好，尤其是正在結(jié)果成形的時(shí)候受的懲罰越多越利于結(jié)果。”吃了多年核桃，我從沒深究過其中的奧秘，父親的一席話使我恍然大悟。第二年挨打的那些枝丫的長(zhǎng)勢(shì)比第一年還茂盛蓬勃，花開得更艷更密。